ОБЗОР МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ ПОЛЛИНГА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СЕТЯХ

Вишневский Владимир Миронович; Семенова Ольга Валерьевна

REVIEW ON MODELS OF POLLING SYSTEMS AND THEIR APPLICATIONS TO TELECOMMUNICATION NETWORKS

V.M. Vishnevsky, O.V. Semenova

Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences 117997, Moscow, Russia

DOI: 10.24411/2073-0667-2020-10015

The paper provides an overview of studies on stochastic polling systems published in 2007-2019. Due to the applicability of the stochastic polling models, the researchers face new and more complicated polling models. Stochastic polling models are effectively used for performance evaluation, design and optimization of the telecommunication systems and networks, transport systems and road management systems, traffic, production systems and inventory management systems. Polling systems are queuing systems with multiple queues and a common server (or a multiple servers). Each queue has its own input of customers. Following to a certain rule, the server visits the queues and serves the customers. In the review, we separately discuss the results for two-queue systems as a special case of polling systems. Then we discuss new and already known methods for polling system analysis including the mean value analysis and its application to the systems with heavy load to approximate the performance characteristics. We also present the results concerning the specifics in polling models: a polling order, service disciplines, methods to queue or to group arriving customers, and a feedback in polling systems. The new direction in the polling system models is investigation of how the customer service order within a queue affects the performance characteristics. The results on polling systems with correlated arrivals (MAP, BMAP, and the group Poisson arrivals simultaneously to all queues) are also considered. Then we briefly present the results on multi-server and non-discrete polling systems (the continuous systems where the number of waiting places are nondenumerable and the fluid polling models) are briefly presented.

Key words: polling systems, polling order, queue service discipline, mean value analysis, probability generating function method, broadband wireless networks.

References

1. Vishnevsky V. M., Semenova O. V. Sistemv pollinga: teoriva i primenenive v shirokopolosnvkh besprovodnvkh setvakh. M.: Tekhnosfera, 2007. fin Russian]

2. Vishnevsky V., Semenova O. Polling Systems: Theory and Applications for Broadband Wireless Networks // LAMBERT Academic Publishing, 2012.

3. Boon M. A. A., van der Mei R. D., WTinands E. M. M. Applications of polling systems // Surveys in Operations Research and Management Science. 2011. V. 16, N 2. P. 67-82.

4. Cao J., Feng W., Chen Y., Ge N., Wang S. Performance analysis of a polling model with BMAP and across-queue state-dependent service discipline // IEEE Access. 2019. V. 7. P. 127230-127253.

5. He M., Guan Z., Wu Z., Lu L., Zhou Z., Anisetti M., Damiani E. A polling access control with exhaustive service in wireless body area networks for mobile healthcare using the sleeping schema // Journal of Ambient Intelligence and Humanized Computing. 2019. V. 10, N 10. P. 3761-3774.

The research is supported by the Russian Foundation for Basic Research, project N 19-29-06043.

(c) V. M, Vishnevsky, O. V. Semenova, 2020

6. Granville K., Drekic S. A 2-class maintenance model with dynamic server behavior // TOP. 2019. DOI: https://doi.org/10.1007/sll750-019-00509-l.

7. Takagi H. Analysis of polling systems. MIT Press, 1986.

8. Borst S.C. Polling systems. Amsterdam: Stichting Mathematisch Centrum, 1996.

9. Vishnevskii V. M., Semenova O.V. Mathematical methods to study the polling systems // Automation and Remote Control. 2006. V. 67, N 2. P. 173-220.

10. Vishnevsky V. M., Mishkov G.K., Semenova O.V. New models and methods to study polling systems // Proceedings of the International Conference proceedings Distributed Computer and Communication Networks. Theory and Applications (DCCN-2009, Moscow). M.: R&D Company „Information and Networking Technologies", 2009. P. 79-85. fin Russian]

11. Borst S.C., Boxma O.J. Polling: past, present, and perspective // TOP. 2018. V. 26, N 3. P. 335-369.

12. Vishnevsky V. M., Semenova O.V., Bui D.T., Sokolov A.M. Adaptive cyclic polling systems: analysis and application to the broadband wireless networks // Lecture Notes in Computer Science. 2019. V. 11965. P. 30-42.

13. Winands E. M.M., Adán I. J.B.F., van Houtum G.J., Down D.G. A state-dependent polling model with fc-limited service // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2009. V. 23, N 2. P. 385-408.

14. Boon M. A. A., Adán I. J. B. F., Boxma O.J. A two-queue polling model with two priority levels in the first queue // Discrete Event Dynamic Systems. 2010. V. 20, N 4. P. 511-536.

15. Vlasiou M., Adán I. J. B. F., Boxma O.J. A two-station queue with dependent preparation and service times // European Journal of Operational Research. 2009. V. 195, N 1. P. 104-116.

16. Chernova N., Foss S., Kim B. A polling system whose stability region depends on the whole distribution of service times // Operations Research Letters. 2013. V. 41, N 2. P. 188-190.

17. Dorsman J.-P. L., Boxma O.J., van der Mei R. D. On two-queue Markovian polling systems with exhaustive service // Queueing Systems. 2014. V. 78, N 4. P. 287-311.

18. Boon M.A.A., Winands E. M.M. Heavy-traffic analysis of fc-limited polling systems // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2014. V. 28, N 4. P. 451-471.

19. Adán I. J.B.F., Boxma O. J., Kapodistria S., Kulkarni V. G. The shorter queue polling model // Annals of Operations Research. 2016. V. 241, N 1. P. 167-200.

20. Gaidamaka Yu.V. Model with threshold control for analysing a server with SIP protocol in the overload mode // Automatic Control and Computer Science. 2013. V. 47, N 4. P. 211-218.

21. Shorgin S., Samouvlov K., Gaidamaka Y., Etezov S. Polling system with threshold control for modeling of SIP server under overload // Advances in Intelligent Systems and Computing. 2014. V. 240. P. 97-107.

22. Avrachenkov K., Perel E., Yechiali U. Finite-buffer polling system with threshold-based switching policy // TOP. 2016. V. 24, No. 3. P. 541-571.

23. Perel E., Yechiali U. Two-queue polling systems with switching policy based on the queue that is not being served // Stochastic Models. 2017. V. 33, N 3. P. 430-450.

24. Jolles A., Perel E., Yechiali U. Alternating server with non-zero switch-over times and opposite-

queue threshold-based switching policy // Performance Evaluation. 2018. V. 126. P. 22-38.

„"

policy // Computers k, Operations Research. 2019. V. 114, 104809.

26. Liu Z., Chu Y., Wu J. On the three-queue priority polling system with threshold service policy // Journal of Applied Mathematics and Computing. 2017. V. 53, N 1. P. 445-470.

27. Chernova N., Foss S., Kim B. On the stability of a polling system with an adaptive service mechanism // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 125-144.

28. Winands E. M. M., Adán I. J. B. F., van Houtum G. J. Mean value analysis for polling systems // Queueing Systems. 2006. V. 54. P. 35-44.

29. van Vuuren M., Winands E.M.M. Iterative approximation of fc-limited polling systems // Queueing Systems. 2007. V. 55. N 3. P. 161-178.

30. van der Mei R. D., Winands E. Heavy traffic analysis of polling models by mean value analysis // Performance Evaluation. 2008. V. 65, N 6-7. P. 400-416.

31. Vishnevsky V.M., Semenova O.V. Adaptive dynamical polling in wireless networks // Cybernetics and Information Technologies. 2008. V. 8, N 1. P. 3-11.

32. WTierman A., Winands E., Boxma O.J. Scheduling in polling systems // Performance Evaluation. 2007. V. 64, N 9-12. P. 1009-1028.

33. Boon M.A.A., van WTijk A. C.C., Adan I.J.B. F., Boxma O.J. A polling model with smart customers // Queueing Systems. 2010. V. 66. P. 239-274.

34. Vishnevskii V.M., Semenova O.V., Shpilev S.A. A duplex cyclic polling system for mixed queues // Automation and Remote Control. 2009. V. 70. P. 2050-2060.

35. Yechiali U. Analysis and control of polling systems // Performance Evaluais of Computer and Communication Systems. Ed. Donatielo L., Nelson R. Springer-Verlag. 1993. P. 630-650.

36. Boxma O.J., Kella O., Kosinski K.M. Queue lengths and workloads in polling systems // Operations Research Letters. 2011. V. 39. N 6. P. 401-405.

37. Resing J. A. C. Polling systems and multitvpe branching processes // Queueing Systems. 1993. V. 13. P. 413-426.

38. Guan Z., Zhao D. A delay-guaranteed two-level polling model // Advances in Computer Science and Information Engineering. Advances in Intelligent and Soft Computing. 2012. V. 168. P. 153-158.

39. Saifer Z., Telek M. Unified analysis of BMAP/G/1 cyclic polling models // Queueing Systems. 2010. V. 64, N 1. P. 69-102.

40. Vishnevsky V.M., Dudin A.N., Klimenok V.l. Stokhasticheskive sistemv s korrelirovannymi potokami. Teoriva i primenenive v telekommunikatsionnvkh setvakh. M.: Tekhnosfera, 2018.

41. Dudin A.N., Klimenok V.l., Vishnevsky V.M. Methods to Study Queuing Systems with Correlated Arrivals. 2020. Springer. 410 p.

42. Hiravama T., Hong S.J., Krunz M.M. A new approach to analysis of polling systems // Queueing Systems. 2004. V. 48, N 1-2. P. 135-158.

43. Hiravama T. Multiclass polling systems with Markovian feedback: mean sojourn times in gated and exhaustive systems with local priority and FCFS service orders // Journal of the Operations Research Society of Japan. 2005. V. 48, N3. P. 226-255.

44. Hiravama T. Markovian polling systems: functional computation for mean waiting times and its computational complexity // Advances in Queueing Theory and Network Applications. W. Yue et al. (eds.) 2009. P. 119-146. *

45. Rvkov V. V. On analysis of periodic polling systems // Automation and Remote Control. 2009. V. 70. P.*997-1018.

46. van der Mei R. D. Towards a unifying theory on branching-type polling systems in heavy traffic //Queueing Systems. 2007. V. 57, N l.P. 29-46. *

47. Semenova O.V., Bui D.T. Paket prikladnvkh programm diva issledovaniva sistem pollinga // Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenive, vychislitel'naya tekhnika i informatika. 2020. N 50. P. 106-113. fin Russian]

BMAP/G/1

Methods for Analysis of Telecommunication Networks. Communications in Computer and Information Science. 2013. V. 356. P. 157-166.

49. Vishnevsky V.M., Semenova O.V., Bui D.T. Using machine learning to study polling systems with correlated flow input // Proceedings of the Information and Telecommunication Technologies and Mathematical Modeling of High-Tech Systems 2020 (ITTMM 2020). Moscow, RUDN, April 1317, 2020. P. 248-253. fin Russian]

50. Saffer Z., Telek M. Stability of periodic polling system with BMAP arrivals // European Journal of Operational Research. 2009. V. 197, N 1. R 188-195.

51. Vis P., Bekker R., van der Mei R. D. Transient analysis of cycle lengths in cyclic polling systems // Performance Evaluation. 2015. V. 91. P. 303-317.

52. Dorsman J.-P. L., Borst S.C., Boxma O.J., Vlasiou M. Markovian polling systems with an application to wireless random-access networks // Performance Evaluation. 2015. V. 85-86. P. 33-51.

53. Hiravama T. Analysis of multiclass Markovian polling systems with feedback and composite scheduling algorithms // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 83-123.

54. Fiems D., Altman E. Gated polling with stationary ergodic walking times, Markovian routing and random feedback // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 145-164.

55. MacPhee I., Menshikov M., Petritis D., Popov S. A Markov chain model of a polling system with parameter regeneration // Annals of Applied Probability. 2007. V. 17, N 5-6. P. 1447-1473.

56. MacPhee I., Menshikov M., Petritis D., Popov S. Polling systems with parameter regeneration, the general case // Annals of Applied Probability. 2008. V. 18, N 6. P. 2131-2155.

57. Lee T. Analysis of single buffer random polling system with state-dependent input process and server/station breakdowns // International Journal of Operations Research and Information Systems (IJORIS). 2018. V. 9, N 1. P. 22-50.

58. Guan Z., Zhao D., Zhao Y. A discrete time two-level mixed service parallel polling model // Journal of Electronics (China). 2012. V. 29, N 1-2. P. 103-110.

59. Yang Z., Ding H. Characteristics of a two-class polling system model // Tsinghua Science and Technology. 2014. V. 19, N 5. P. 516-520.

60. Bao L., Zhao D., Zhao Y. A priority-based polling scheduling algorithm for arbitration policy in Network on Chip // Journal of Electronics (China). 2012. V. 29, N 1-2. P. 120-127.

61. Vishnevsky V. M., Dudin A.N., Semenova O.V., Klimenok V. I. Performance analysis of the BMAP/G/1 queue with gated servicing and adaptive vacations // Performance Evaluation. 2011. V. 68, N 5. P. 446-462.

62. Vishnevsky V. M., Dudin A.N., Klimenok V. I., Semenova O.V., Shpilev S. Approximate method to study M/G/1-tvpe polling system with adaptive polling mechanism // Quality Technology and Quantitative Management. 2012. V. 2. P. 211-228.

63. Semenova O.V., Bui D.T. Method of generating functions for performance characteristic analysis of the polling systems with adaptive polling and gated service // Communications in Computer and Information Science. 2018. V. 912. P. 348-359.

64. Boon M. A. A., Adán I. J. B. F. Mixed gated/exhaustive service in a polling model with priorities // Queueing Systems. 2009. V. 63, N 1-4. P. 383-399.

65. Boon M.A.A., Adán I.J.B.F., Boxma O.J. A polling model with multiple priority levels // Performance Evaluation. 2010. V. 67, N 6. P. 468-484.

66. Shapira G., Levy H. On fairness in polling systems // Annals of Operations Research. 2016. https://doi.org/10.1007/sl0479-016-2247-8

67. Boon M., Boxma O.J., Winands E.J.J. On open problem in polling systems // Queueing Systems. 2011. V. 68. N 3-4. P. 365-374.

68. Winands E.M.M. Branching-type polling systems with large setups // OR Spectrum. 2011. V. 33. P. 77-97.

69. Hanbali A. A., de Haan R., Boucherie R. J., van Ommeren J.-K. Time-limited polling systems with batch arrivals and phase-type service times // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 57-82.

70. Boxma O. J., Groenendijk WT.P. Pseudo conservation laws in cyclic-service systems // Journal of Applied Probability. 1987. V. 24, N 4. P. 949-964.

71. Leonovich A., Ferng H.-WT. Modeling the IEEE 802.lie HCCA mode // Wireless Networks. 2013. V. 19, N 5. P. 771-783.

72. de Haan R., Boucherie R. J., van Ommeren J.-K. A polling model with an autonomous server // Queueing Systems. 2009. V. 62, N 3. R 279-308.

73. Horng S.-C., Lin S.-Y. Ordinal optimization of G/G/1/K polling systems with k-limited service discipline // Journal of Optimization Theory and Applications. 2009. V. 140, N 2. P. 213-231.

74. van der Mei R. D., Roubos A. Polling models with multi-phase gated service // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 25-56.

75. van Wijk A. C. C., Adán I. J. B. F., Boxma O. J., Wierman A. Fairness and efficiency for polling models with the k-gated service discipline // Performance Evaluation. 2012. V. 69, N 6. P. 274-288.

76. Remerova M., Foss S., Zwart B. Random fluid limit of an overloaded polling model // Advances in Applied Probability. 2014. V. 46, N 1. P. 76-101.

77. Ling Y., Liu C., Li Y. Study on queue strategy of gated polling multi-access communication system // Recent Advances in Computer Science and Information Engineering. Lecture Notes in Electrical Engineering. 2012. V. 124. P. 99-105.

78. Vishnevskii V. M., Lakontcev D. V., Semenova O. V., Shpilev S. A. Model sistemv pollinga dlia issledovaniia shirokopolosnvkh besprovodnvkh setei // Avtomatika i telemehanika. 2006. N 12. P. 123135.

79. Vatutin V. A. Multitvpe Branching processes with immigration in random environment, and polling systems // Siberian Advances in Mathematics. 2011. V. 21, N 1. P. 42-72.

80. Abidini M. A., Boxma O., Resing J. Analysis and optimization of vacation and polling models with retrials // Performance Evaluation. 2016. V. 98. P. 52-69.

81. Kim B., Kim J. Analysis of the waiting time distribution for polling systems with retrials and glue periods // Annals of Operations Research. 2019. V. 277, N 2. P. 197-212.

82. Dorsman J. L., van der Mei R. D., Winands E. M. M. Polling systems with batch service // OR Spectrum. 2012. V. 34. P. 743-761.

83. Boon M. A. A., Winands E. M. M., Adán I. J. B. F., van WTijk A. C. C. Closed-form waiting time approximations for polling systems // Performance Evaluation. 2011. V. 68, N 3. P. 290-306.

84. Jiang T., Liu L., Zhu Y. Analysis of a batch service polling system in a multi-phase random environment // Methodology and Computing in Applied Probability. 2017. P. 1-20.

85. Shomronv M., Yechiali U. Polling systems with positive and negative customers // Technical Report, Department of Statistics and Operations Research, Tel-Aviv University, Tel-Aviv, Israel. 2006.

86. Shomronv M., Yechiali U. Polling systems with job failures and with station failures // Technical Report, Department of Statistics and Operations Research, Tel-Aviv University, Tel-Aviv, Israel. 2006.

87. Zorine A. V. On ergodicitv conditions in a polling model with Markov modulated input and state-dependent routing // Queueing Systems. 2014. V. 76, N 2. P. 223-241.

88. Boon M. A. A. A polling model with reneging at polling instants // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 5-23.

89. Granville K., Drekic S. On a 2-class polling model with reneging and k^-limited service // Annals of Operations Research. 2019. V. 274, N 1. P. 267-290.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

90. Neuts M.F. Matrix-geometric solutions in stochastic models: an algorithmic approach. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1981.

91. Boxma O.J., Bruin J., Fralix B.H. Sojourn times in polling systems with various service disciplines // Performance Evaluation. 2009. V. 66, N 11. P. 621-639.

92. Bekker R., Vis P., Dorsman J.L., van der Mei R. D., WTinands E. M. M. The impact of scheduling policies on the waiting-time distributions in polling systems // Queueing Systems: Theory and Applications. 2015. V. 79, N 2. P. 145-172.

93. Vis P., Bekker R., van der Mei R. D. Heavy-traffic limits for polling models with exhaustive service and non-FCFS service order policies // Advances in Applied Probability. 2015. V. 47, N 4. P. 989-1014.

94. Kim B., Kim J. Sojourn time distribution in polling systems with processor-sharing policy // Performance Evaluation. 2017. Vol. 114, N 9. P. 97-112.

95. Cao J., Xie W. Stability of a two-queue cyclic polling system with BMAPs under gated service and state-dependent time-limited service disciplines // Queueing Systems. 2016. V. 85, N 1-2. P. 117147.

96. Chen W.-L. Computing the moments of polling models with batch Poisson arrivals by transform inversion // INFORMS Journal of Computing. 2019. V. 31, N 3. P. 411-632.

97. Suman R., Krishnamurthv A. Analysis of tandem polling queues with finite buffers // Annals of Operations Research. 2019. https://doi.org/10.1007/sl0479-019-03358-0

98. Antunes N., Fricker C., Roberts J. Stability of multi-server polling system with server limits // Queueing Systems. 2011. Vol. 68. P. 229-235.

99. Boxma O., van der Wal J., Yechiali U. Polling with batch service // Stochastic Models. 2008. V. 24, No.4. P. 604-625.

100. Vlasiou M., Yechiali U. M/G/<x> polling systems with random visit times // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2008. V. 22, N 1. P. 212-245.

101. van der Mei R. D., Winands E. M.M. A note on polling models with renewal arrivals and nonzero switch-over times // Operations Research Letters. 2008. V. 36. P. 500-505.

102. van der Mei R. D., Levy H. Polling systems in heavy traffic: Exhaustiveness of service policies // Queueing Systems. 1997. V. 27, N 3-4. P. 227-250.

103. Dorsman J. L., van der Mei R. D., Winands E. M. M. A new method for deriving waiting-time approximations in polling systems with renewal arrivals // Stochastic Models. 2011. V. 27. P. 318-332.

104. Boon M.A.A., van der Mei R. D., WTinands E. M.M. Heavy traffic analysis of roving server networks // Stochastic Models. 2017. V. 33, N 3. P. 1-21.

105. Mevfrovt T. M. M., Boon M. A. A., Borst S. C., Boxma O.J. Performance of large-scale polling systems with branching-type and limited service // Performance Evaluation. 2019. V. 133. P. 1-24.

106. Kavitha V., Combes R. Mixed polling with rerouting and applications // Performance Evaluation. 2013. V. 70, N 11. P. 1001-1027.

107. Boxma O., Ivanovs J., Kosinski K., Mandjes M. Levy-driven polling systems and continuous-state branching processes // Stochastic Systems. 2011. V. 1, N 2. P. 411-436.

108. Leskela L., Unger F. Stability of a spatial polling system with greedy myopic service // Annals of Operations Research. 2012. Vol. 198, N 1. P. 165-183.

109. Kavitha V., Altman E. Continuous polling models and application to ferry assisted WTLAN // Annals of Operations Research. 2012. Vol. 198, N 1. P. 185-218.

110. Beekhuizen P., Denteneer D., Resing J. Reduction of a polling network to a single node // Queueing Systems. 2008. V. 58, No. 4. P. 303-319.

111. Matveev A., Feoktistova V., Bolshakova K. On global near optimalitv of special periodic protocols for fluid polling systems with setups // Journal of Optimization Theory and Applications. 2016. V. 171, N 3. P. 1055-1070.

112. Saffer Z., Telek M., Horvath G. Fluid polling system with Markov modulated load and gated discipline // Lecture Notes in Computer Science. 2018. V. 10932. P. 86-102.

113. Yechiali U., Czerniak O. Fluid polling systems // Queueing Systems. 2009. V. 63, N 12. P. 401-435.

114. Czerniak O., Altman E., Yechiali U. Orchestrating parallel TCP connections: cyclic and probabilistic polling policies // Performance Evaluation. 2012. V. 69, N 3-4. P. 150-163.

(с) V. M, Vishnevsky, О. V. Semenova, 2020

ОБЗОР МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ ПОЛЛИНГА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СЕТЯХ

В. М. Вишневский, О. В. Семенова

Институт проблем управления им. В, А, Трапезникова РАН 117997, Москва, Россия

УДК 519.872

DOI: 10.24411/2073-0667-2020-10015

В статье представлен обзор работ по исследованию стохастических систем поллинга, опубликованных в период 2007-2019 гг. Приведена классификация дискретных и непрерывных систем поллинга. Описаны точные и приближенные методы исследования систем поллинга с различными типами входящих потоков (пуассоновские и ВМАР-потоки) и количеством очередей, а также различными дисциплинами обслуживания и порядком опроса очередей. Приводится описание применения моделей поллинга в различных приложениях, в частности, для оценки производительности широкополосных беспроводных сетей с централизованным механизмом управления.

Ключевые слова: системы поллинга, порядок опроса, дисциплина обслуживания очереди, метод анализа средних, метод производящих функций, широкополосные беспроводные сети.

Окончание. Начало в предыдущем номере.

6. Дисциплины обслуживания очередей. В работе [66] ставится вопрос о справедливости дисциплин обслуживания в системах поллинга (как для дискретных, с конечным числом очередей, так и для непрерывных систем поллинга). Рассматриваются следующие дисциплины: шлюзовая, исчерпывающая, биномиально-шлюзовая, двухфазная шлюзовая и глобально шлюзовая. Под количественным выражением справедливости F для произвольной заявки понимается отношение среднего числа заявок, обслуженных перед данной заявкой, к общему среднему числу заявок, находящихся в системе в момент ее поступления. Показано, что с точки зрения порядка обслуживания заявок внутри очереди наиболее справедливым является порядок FIFO (первым пришел, первым обелужилея), в этом случае F = 1, а LIFO (последним пришел, первым обелужилея) — самый несправедливый порядок, F = 0, Случайный выбор заявки на обслуживание дает F = 0,5. В случае дискретных систем поллинга для пяти рассмотренных дисциплин обслуживания очере-

F

нии становятся близкими, а при увеличении числа фаз в многофазном шлюзовом обслуживании F ^ 1. Глобально-шлюзовое обслуживание является более справедливым, чем исчерпывающее или шлюзовое, но менее, чем любое многофазное обслуживание. Самым несправедливым обслуживанием из рассмотренных является биномиально-шлюзовое. Для

Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 19-29-06043. (с) В. М, Вишневский, О. В. Семенова , 2020

случая непрерывной системы ^ = 2/3 при исчерпывающем и шлюзовом обслуживании, ^ = 8/9 при двухфазном шлюзовом обслуживании, ^ = при к-фазном шлюзовом и

ЕГ=о(! - р)п (

3 -р + п 12-6р + 2

ЕГ=о(1 - Р)п(1/2 + п)

при биномиально-шлюзовом обслуживании с параметром р, и при 0 < р < 1 имеет место 1/2 < ^ < 2/3.

Далее отдельно выделим работы, касающиеся ограниченного обслуживания и многофазного шлюзового обслуживания, а также остальных дисциплин обслуживания.

6.1. Ограниченное обслуживание. Как отмечено выше, система двух очередей типа М/М/1 с к-ограниченным обслуживанием исследована в [18]. В [29] для системы поллинга типа М/С/1 с ограниченным обслуживанием применен метод анализа средних (подробнее см. раздел 4.1).

Работа [67] посвящена двум нерешенным проблемам в теории систем поллинга: анализ системы с двумя очередями, одна из которых получает шлюзовое, а другая — 1-ограниченное обслуживание, а также анализ системы с детерминированными, бесконечно большими временами переключения сервера между очередями. Приведен обзор работ, касающихся этих вопросов, а также описаны трудности анализа этих систем. Вторая проблема более подробно исследуется в работе [68], при этом предполагается, что дисциплины обслуживания очередей являются дисциплинами ветвящегося типа [37] (см. раздел 4.2). Предложен асимптотический анализ распределений вероятностей состояний в таких системах.

В статье [69] рассмотрена модель с автономным (самоуправляющимся) сервером и ограниченной по времени (Т-ограниченной) дисциплиной обслуживания очередей для системы поллинга типа Мк/С/1 с групповым поступлением заявок. Напомним, что при Т

бывания не истечет (это время еще называют временем таймера), либо пока очередь не опустела. Автономный же сервер должен находиться у очереди все время его пребывания (независимо от того, опустела очередь или нет). Эти два способа посещения сервером очереди не являются дисциплинами ветвящегося типа, что затрудняет точный анализ характеристик системы [70]. Авторы предлагают итерационную схему нахождения совместных распределений числа заявок в очередях в моменты подключения и опроса сервером очереди. В [71] Т-ограпиченпая дисциплина рассмотрена для системы поллинга типа М/С/1/К.

В статье [48] исследуется система поллинга с очередями типа ВМАР/С/1 с групповым марковским входным потоком ВМАР и биномиально-шлюзовым (биномиально-исчерпывающим) обслуживанием очередей. Статья обобщает результаты работы [39]. Напомним, что при биномиально-шлюзовой дисциплине каждая заявка, находящаяся в очереди в момент ее опроса будет обслужена с вероятноетыо рг, а с дополнительной вероятностью 1 — рг она игнорируется сервером и остается в очереди. При биномиально-исчерпывающей дисциплине, если за время обслуживания заявок в очередь поступили

рг

де обслуживания очереди. Такая система исследована методом производящих функций и получены функциональные уравнения для вероятностей состояний системы в моменты опроса очереди и моменты ухода сервера из очереди. Отмечено, что эти уравнения могут быть решены численно.

В [72] исследуется система иоллиига типа М/С/1 с Т-ограниченпой (с экспоненциальным распределением) дисциплиной обслуживания очередей с прерыванием обслуживания. Сервер в данной модели, как и в [69], предполагается автономным. Получено условие существования стационарного режима рг < (г, где

1 - 1/&

_ Д А. _

рг _ г СгШ) , ^ _ Е^ао + ^)'

где 6 — среднее время пребывания сервер а у очереди г, (г — доля времени пребывания сервера у очереди г в цикле.

Далее система исследуется методом вложенных цепей Маркова, Также приводится приближенный анализ системы путем ее декомпозиции на отдельные системы массового обслуживания с отдыхами прибора. Распределения ш1^), Пи пг^) числа заявок, соответственно, в моменты начала обслуживания, прерывания обслуживания и успешного окончания обслуживания очереди соотносятся как

пг(г) _ ДБг(Сг) ^ Д,Б3&^ ^,

где

<(2) _ (1 - ¿Ш) - Д] )

ш + е5=х д (1 - ]))

—• (6 + >

ЗД)

х:(2) _ ^ | ^

е_ 1 - вгдг + Е;=1 Д](1 - ^))

(6 + Е?=1 Д, (1 - г,) ' 1 - -г(£г) '

Далее распределения я^), 6:^) и ^^ числа заявок, соответственно, начала, прерывания и окончания периода простоя сервера у очереди соотносятся как

ад _ /¿^¿ад, ад _ адад,

где /г^) _ (1 ^^, а /¿(з) — ПЛС распределения времени между моментами

г

Система поллинга с очередями типа ^/^Д/Хи ^-ограниченным обслуживанием рас-

г

исключепием параметров входных потоков. Исследуется задача нахождения оптимальных значений (ограничений на число заявок, которые могут быть обслужены за одно посещение сервером очереди), минимизирующих целевую функцию (среднюю стоимость ожидания заявки в системе в единицу времени, а также штрафа за потерю поступающих в очередь заявок, если буфер очереди полон). Для решения задачи оптимизации строится искусственная нейронная сеть, а все характеристики производительности вычисляются с помощью имитационного моделирования,

6,2, Многофазное шлюзовое обслуживание. Многофазное шлюзовое обслуживание как обобщение шлюзовой дисциплины введено в статье [74], Каждая заявка, поступающая

в очередь должна ждать кг циклов перед тем, как она будет обслужена сервером, г = 1,^, Как отмечают авторы, целью такой дисциплины является предотвращение „монополизации" сервера более загруженными очередями путем выбора подходящего уровня кг. Ставится задача поиска оптимальных значений кг для всех г = 1,М, минимизирующих взвешенную сумму средних времен ожидания в очередях. Как отмечается в работе, эта задача будет нетривиальной, если система находится в условиях большой загрузки, и для этого случая получено асимптотическое распределение времен ожидания для вычисления приближенных значений моментов и хвоста распределения времен ожидания в условиях обычной загрузки. Еще одна задача оптимизации значений кг, г = 1,М решается в работе

[75], Ставится задача максимизировать попарную разность между средними временами

"

мя сохранить эффективность как взвешенную сумму средних времен ожидания, т, е, в качестве критерия оптимизации выбирается выражение

N

7(а) = (1 — а) тах(М[Щ — М[Щ]) + «VргМ[Щ

г,j=1,N ^

>■> ' г=1

для некоторого параметра а € (0,1), который позволяет учитывать желаемое соотношение

""

В работе [76] для системы с многофазным шлюзовым обслуживанием проведен асимптотический анализ случайного процесса, описывающего длину отдельной очереди с помощью жидкостной модели, В [60, 77] рассматривается система с трехфазным шлюзовым обслуживанием,

6,3, Другие виды дисциплин. В [78] рассмотрена система с исчерпывающей пороговой дисциплиной обслуживания очередей. Очередь может быть обслужена, если ее длина превышает заданный порог, В случае, если все очереди имеют длину, недостаточную для начала обслуживания, обслуживающий прибор прекращает обход очередей и возобновляет его в момент, когда какая-либо из них не накопит требуемое число заявок. Пороговые дисциплины обслуживания также рассматривались для систем поллинга с двумя очередями [22, 24], а в [26] — для системы с тремя очередями (раздел 3),

Для многомерного ветвящегося процесса с миграцией, функционирующего в случай"

мов готового продукта, произведенного за время жизни процесса, С использованием этого

"

чайными дисциплинами обслуживания очередей ветвящегося типа [37],

7. Способы формирования очереди, В данном разделе перечислены работы, исследующие различные способы формирования очередей на обслуживание или способы упорядочивания и группирования поступающих заявок, К одному из таких способов можно отнести повторные вызовы, В системе с повторными вызовами заявка (первичная заявка), поступающая в систему в момент, когда сервер занят, уходит на так называемую орбиту и становится повторной. Далее она через случайные промежутки времени, независимо от других заявок на орбите, делает попытки занять сервер и обслужпться. Если попытка не удалась, заявка вновь возвращается на орбиту, В модели [80] каждая очередь системы поллинга представляет собой систему с повторными вызовами. После того как сервер подключился к очереди, он начинает период ожидания (или подготовки к обслуживанию), имеющему фиксированную длительность. Если в этот период заявка впервые поступает в

очередь или совершает повторную попытку занять место в очереди, то она принимается в очередь, и по окончании периода ожидания сервер начинает обслуживать накопившиеся таким образом заявки. По завершении обслуживания заявок сервер покидает очередь. Если же заявки делают попытки занять место в очереди в любой другой момент времени (вне периода ожидания), то в очередь они не принимаются и уходят на так называемую орбиту, откуда, независимо от других заявок, делают попытки попасть в очередь через случайное, экспоненциально распределенное время.

Дополнением к [80] является модель [81], в которой перед тем как начать обслуживание, сервер выжидает детеминированное время перед началом обслуживания очереди, И в этот период первичные заявки, поступающие в очередь, и повторные, сделавшие попытку занять место в очереди, принимаются в очередь. По истечении периода ожидания сервер приступает к обслуживанию очереди, С применением метода производящих функций получено ПЛС времени ожидания произвольной заявки, В [19] заявки в симметричную систему из двух очередей поступают из общего потока, но присоединяются к очереди меньшей длины.

Далее отметим работы, в которых заявки получают обслуживание группами, различаются лишь способы формирования групп на обслуживание, В статье [82] рассматривается модель поллинга типа С/С/1 с внутренней и внешней частью, в которой заявки (про-

г

внешнюю систему и скапливаются в группе типа г. Как только накопится Ог заявок, вся

г

как целая заявка. Группы, поступившие во внутреннюю часть системы в очередь Qг, далее обслуживаются в порядке поступления при очередном посещении сервером очереди. Для нахождения взвешенной суммы средних времен ожидания используется приближенный метод [83], поскольку такая модель не поддается точному анализу. Ставится задача оптимизации размеров групп Ог, г = минимизирующих взвешенную сумму средних времен ожидания, и эта задача решается численно,

В статье [84] исследована система поллинга, в которой все заявки, находящиеся в очереди, обслуживаются группой (без ограничения размера группы). Система функционирует в случайной среде и состоит из двух зон: зоны обслуживания и зоны ожидания. Заявка, поступающая в систему, с некоторой вероятностью присоединяется к одной из существу-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

М

ной вероятностью заявка поступает в зону для ожидания. Заявки в зоне для ожидания формируют общую очередь. Как только заканчивается обслуживание одной из групп, заявка, стоящая первой в линии для ожидания, перемещается в зону для обслуживания и может формировать свою группу заявок. Система функционирует в случайной многофазной среде, управляемой цепью Маркова с конечным пространством состояний. Если

г

Аг и обслуживаются согласно экспоненциальному раепределепню с параметром Случайная среда находится в состоянии г, экспоненциально распределенном с параметром вг время. При этом переходы возможны лишь в соседние состояния г — 1 ми г + 1, Для такой системы получены условия существования стационарного режима, и для нее удается применить матрично-аналитичеекий подход нахождения стационарных вероятностей состояний системы. Получены различные характеристики производительности, такие как среднее число групп на обслуживании и ПЛС распределения времени ожидания.

8. Перемещение и удаление заявок в системе, В некоторых моделях систем предполагается, что по окончании своего обслуживания заявки могут не покинуть систему, а вернуться в очередь для повторного обслуживания, либо перейти в другую очередь. Подобным образом в системах поллинга с приоритетом заявка может поменять свой приоритет, как, например, в [53], Такая процедура перемещения заявок внутри системы иногда называется обратной связью.

Система поллинга с отрицательными заявками рассмотрена в [85], Отрицательная заявка — это особый вид заявок, которые определенным образом воздействуют на систему (удаляют из нее одну или несколько обычных заявок). Для такой системы методом производящих функций получено распределение числа заявок в очередях и распределение времени ожидания в терминах преобразования Лапласа-Стилтьеса,

В [86] рассмотрена система поллинга с отказами двух типов: отказы в обслуживании заявки и отказы в обслуживании очереди, что можно рассматривать как аналог отрицательных заявок двух типов. Отказ первого типа происходит во время обслуживания заявки, в результате чего она покидает систему, а обслуживающий прибор переходит к обслуживанию следующей заявки в очереди. Если же очередь на обслуживается, то отказ удаляет первую стоящую в очереди заявку. При отказе второго типа обслуживающий прибор немедленно прерывает обслуживание заявки, покидает очередь и переходит к следующей очереди,

В [54] обратная связь описывается полулинейным случайным процессом, а порядок опроса — случайный марковский. Показано, как поведение системы может быть описано с помощью полулинейных стохастических рекурсивных уравнений в случайной марковской среде. Получены выражения для первых и вторых моментов числа заявок в системе в моменты опроса, а также среднее число заявок в системе в произвольный момент времени. Обратная связь подразумевает собой не количество заявок, которое порождает обслуженная заявка, а количество нагрузки, которое образуется в системе после ухода обслуженной заявки, процесс обслуживания отдельной очереди при этом моделируется полулинейным процессом.

Для системы поллинга с очередями типа M/M/1, 1-ограниченным обслуживанием и обратной связью в [87] устанавливаются условия существования стационарного режима. Входные потоки управляются случайной средой,

В [88] рассмотрена система поллинга, в которой заявки, не дождавшись обслуживания, могут принять решение покинуть систему (так называемые нетерпеливые заявки), однако это возможно лишь в моменты отключения сервера от очереди или в моменты ее опроса. Вероятность, с которой заявка покидает очередь, зависит от двух параметров: от номера очереди, в которой находится заявка, и номера очереди, к которой обращен сервер. Такой способ выхода из системы назван синхронизированным, а заявки, покидающие систему названы в статье умными заявками. Основной сложностью такой системы является то, что заявки могут покидать систему группами, С использованием обобщенного закона Литтла в форме распределения, для такой системы получены распределения длительности цикла, времени ожидания и длин очередей.

Система поллинга с нетерпеливыми заявками рассмотрена также в [89], Система представлена двумя очередями типа M/PH/1/6 с ^-ограниченным обслуживанием. Состояние системы описывается процессом размножения и гибели, и с помощью матрично-аналитичеекого подхода [90] решается задача нахождения стационарного распределения

состояний системы, также получено распределение времени ожидания в очередях системы,

9. Порядок обслуживания заявок внутри очереди, В данном разделе изложены результаты, полученные для систем поллинга с точки зрения порядка обслуживания заявок внутри очереди,

В статье [91] рассматривается система поллинга типа M/G/1 и различными типами порядка обслуживания заявок внутри очереди: LCFS (Last-Come-First-Served, инверсионный порядок обслуживания), PS (Processor Sharing, дисциплина разделения процессора), случайный порядок, SJF (Shortest Job First, первой на обслуживание выбирается заявка с наименьшим времен обслуживания) и другие,

ПЛС времени цикла для системы поллинга, дисциплина обслуживания в которой согласуется со свойством ветвления [37], определяется формулой

N

M (в-шС\Хг = тг,г = 1Д) = П(и))в^(и)),

i=1

где Хг — число заявок в i-й очереди в произвольный момент ее опроса, вг(и) — ПЛС времени, которое сервер проводит в этой очереди, если бы в ней в момент ее опроса была бы лишь 1 заявка, В случае шлюзового обслуживания вг(и) = Вг(и), при исчерпывающем обслуживании 9г(и) = пг(и), т. е. эта величина есть период занятоети сервера в i-й очереди, порожденный одной заявкой, а функции фг(и) и (и) определяются следующим образом:

фг(ш) = Ш + Аг(1 — вг(ш)), г = 1Д,

Фг,М (ш) = ^+1(^+2 (...(фм (ш)))), г = ТД, )(ш) = Ш.

ПЛС времени ожидания заявки в очереди, получающей шлюзовое обслуживание, имеет вид

М ) = 1 — Ы(Яо)(1 + Рг)ш + 2 [АМ(В2)М(По) + М(ЯС)(1 + рг + рг2)] ш2 + о(ш3),

M ) = 1 - M(Rc)(1 + Рг)и + 2 [АгM(B2)M(Rc) + M(RC)(1 + Рг)2] и2 + o(u3)

при ш -I 0, а первые два момента этого времени вычисляются по формулам

М(ПРогя) = М(ВЬоЕЯ) = (1 + Рг)М (Яо), М(В1оР8) = Аг М(Вг)М(Яо) + М(Я0 )(1 + Рг + р2), М(В1оР8) = Аг М(Вг)М(Яо ) + М(Я0 )(1 + Рг)2.

Случайный порядок обслуживания определяется следующим образом: каждой заявке, поступающей в очередь с такой дисциплиной обслуживания заявок, ставится в соотвествие метка — значение случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [0,1], Далее, после опроса очереди сервером, все заявки, ожидающие обслуживание, упорядочиваются по возрастанию значений их меток и далее обслуживаются в установленном порядке,

ПЛС времени пребывания заявки, имеющей метку х, в очереди Qг имеет вид

M ^g-^T(x)J = AM x(1-ei(w))CJ _ M £е-(ш+А4я(1-01(и)))СJj ,

ш^Д (C)

при этом безусловные no x моменты вычисляются как M(T ) = M(Bi)+ M(Rc )(1+ Pi),

M(T2) = M(T| CFS ) + p2i = M(B2) + M(RC )(2(1 + pi)M(Bi) + \M(B2)) +

+ M(RC ^1 + P2 + 2 Pi

Отсюда следует, что вторые моменты средних времен пребывания заявок для рассматриваемых дисциплин обслуживания удовлетворяют неравенству

M(T|CFS) > M(TROS) > M(T|CFS).

Для дисциплины разделения процессора (PS) и дисциплины, при которой ранее всех обслуживается заявка с наименьшим требуемым временем обслуживания (SJF, Shortest Job First), не удается получить выражения для ПЛС времени пребывания заявки в явном виде для произвольной функции распределения Bi(t) времени обслуживания заявок. Однако для случая экспоненциального распределения данное ПЛС в случае PS совпадает с ПЛС при случайном порядке обслуживания заявок.

Пусть некоторая заявка поступает в очередь Q с заранее известным временем ее об-x

M(Tps(x)) = x + M(RC) [1 + 2ЛгM(mrn(Bi,x))] , а ПЛС ее времени ожидания

M (x)J = 1 _ m(Rc)(1 + 2M(min(Bi,x)))w+

+

^M(mm2(Bi,x))M(Rc) + M(RC ) ( 1 + 3M(mrn(Bi,x)) + 3M2(min(Bi,x))

ш2 + о(ш3)

при ш I 0, тогда

(ж)) = М(ЯС )(1 + 2М(тт(Вг,ж))),

(ж)) = 2Л, М(тт(В,,ж))М(Яс) + М(ЯС И 1 + 3М(шт(В,,ж)) + 3М2(тт(В,,ж)) В случае дисциплины

М (e-шDsJF(ж)) = с-"ж _-_-_

шС

где ф(ш,ж) = М а 1(А) — функция-индикатор события А, 1(А) = 1, если А

— достоверное событие, и равно 0 в противном случае.

Далее проведен анализ ПЛС в случае глобально-шлюзового обслуживания очередей. Заметим, что в [91] рассматриваются лишь шлюзовые дисциплины обслуживания очередей, которые являются более удобными с точки зрения анализа системы в силу того, что время пребывания заявок, ожидающих обслуживания в текущем цикле, никак не зависит

от заявок, поступающих в очередь в течение периода обслуживания сервером данной очереди, В случае же исчерпывающего обслуживания такой анализ представляется гораздо более сложным,

В статье [92] исследуется влияние порядка обслуживания заявок внутри очереди на распределение времени ожидания в условиях большой загрузки при шлюзовом или глобально-шлюзовом обслуживании. Известно, что при обслуживании заявок в порядке их поступления асимптотическое распределение времени ожидания имеет вид произведения равномерного и гамма-распределения. Показано, что при случайном порядке выбора заявки на обслуживание равномерное распределение сменяется на трапециевидное, а при дисциплине разделения процессора и дисциплине, при которой обслуживается заявка с самым коротким временем обслуживания — на обобщенное трапециевидное распределение. Показано также, как выбор дисциплины обслуживания заявок в каждой очереди может повлиять на поведение всей системы. Получены способы приближенного вычисления средних времен ожидания.

Статья [93] продолжает исследование [92] для систем поллинга с исчерпывающим обслуживанием и различными дисциплинами обслуживания заявок внутри очереди, в том числе с инверсионным порядком, приоритетным порядком и другими. Показано, что

асимптотическое распределение длительности цикла имеет вид гамма-распределения с па-

вё ё 2 Ь(2) г ^м - /1 - \ -

раметрами а = ^и ц = -2, где а2 = о = г=1 Рг(1 — Рг), рг — значение загрузки Рг г-и

очереди при общей загрузке р =1,

г

панпп заявок в порядке их поступления имеет вид

В случае инверсионного порядка, когда на обслуживание выбирается заявка, которая поступила позже всех (для случаев прерывания обслуживания при поступлении новой заявки в очередь и без прерывания) это распределение имеет вид

где ц = -^2- Формулы для остальных дисциплин обслуживания можно найти в [93],

В статье [94] рассматривается система поллинга типа М/С/1, в которой одна из очередей имеет дисциплину разделения процессора для обслуживания заявок, а время обслуживания заявок имеет распределение фазового типа, в остальных очередях заявки обслуживаются в порядке поступления,

10. Системы с коррелированными входными потоками и матрично-аналитический подход, В данном разделе отметим работы, посвященные системам поллинга с коррелированными входными потоками. Наиболее часто используемый тип

г=1

а Ьк к-й момент времени обслуживания заявки в г-й очереди.

ГД6 Цг = (Г-р^-

входного потока — это ВМАР, марковский групповой входной поток [40], который позволяет описывать свойства реальных потоков данных в современных телекоммуникационных сетях, ВМАР-поток не является стационарным, ординарным, а интервалы времени между моментами поступления заявок в общем случае зависимы, ВМАР-поток управляется неприводимой непериодической цепью Маркова с непрерывным временем и конечным пространством состояний. Поступление заявок может происходить лишь в моменты скачков управляющего процесса и описывается матрицами к > 0, Матрица До (Дк) определяет интенсивности переходов управляющего процесса, не сопровождающихся по-ступленнем заявок (сопровождающихся поступлением группы заявок размера к к > 1), Описание ВМАР-потока имеет матричный вид, что приводит к необходимости применять матрично-аналитичеекий подход [90] для многомерных цепей Маркова, описывающих функционирование систем с входными потоками такого типа. Далее кратко изложим суть матрично-аналитичеекого подхода. Этот подход применяется для систем, состояния которых описываются многомерным марковским случайным процессом

Ста = (^га^Ы^гаг-^Мга^ п > °

у которого компоненты имеют конечное число состояний, а гп — не более чем счетное, Жт ^ {1,...,М^}, гп > 0, Процесс может быть как с непрерывным, так и с дискретным временем. Здесь рассмотрим случай процесса с непрерывным временем. Состояния процесса ж1п,ж2га,...,ж^га занумеровываются в лексикографическом порядке, и, таким образом, мы приходим к двумерному процессу = (гп,Жп), п > 0 ГДе Жп € {1,-.,ПМ^}, а его ипфиптезимальпый генератор <5 имеет блочную структуру

/Во Ао В1 А1 Ао

А 2 А1 Ао

< = А2 А1 Ао

А2 А1

V )

при этом предполагается, что эта структура является неприводимой, (Во + Ао)1 = (В1 + А1 + Ао)1 = (Ао + А1 + А2)1 = 0, где 1 — вектор-столбец, состоящий из единиц, 0 — нулевой вектор-строка.

Пусть далее п — вектор стационарных вероятностей матрицы А = Ао + А1 + А2, пА = 0. Тогда случайный процесс п > 1 имеет стационарное распределение вероятностей х = {хо,х1,...} тогда и только тогда

пА21 > пАо1.

г-я компонента век тора х — это вектор х стационарных вероятностей случайного процесса = (гп ,Жп), п > 0 при значении г компоненты гп, Векторы х^ г > 1 находятся в виде

х^ = хоЯг, г > 1,

где матрица Я — это минимальное неотрицательное решение матричного уравнения Я2А2 + ЯА1 + Ао = О, а вектор хо находится как решение системы уравнений

\

Хо(Во + ЯВГ) = 0, Хо(/ — Я)-11 = 1.

Для систем, поведение которых описывается случайными процессами с ипфипитезималь-ными генераторами более сложного вида (например, в которых структура блоков зависит г

о которых можно узнать в [40],

Напомним, что обобщенный анализ системы поллинга типа ВМАР/С/1 со шлюзовой или исчерпывающей дисциплиной представлен в статье [39], Получены уравнения для векторных производящих функций среднего числа заявок в очередях, которые справедливы для широкого класса дисциплин обслуживания очередей и как для мгновенного, так и немгновенного переключения сервера между очередями. Эти уравнения могут быть численно решены как система линейных алгебраических уравнений (подробнее см, раздел 4.2).

В статье [4] рассматривается система двух очередей типа ВМАР/РН/1 с ограничен-

ВМАР

нием времени обслуживания заявок фазового типа. Данная модель отражает особенности современных стандартов сжатия видеоданных. Первая очередь обслуживается согласно шлюзовой дисциплине, а вторая — согласно Т-ограниченной дисциплине, зависящей от состояния первой очереди в момент, когда ее покидает сервер. Методом вложенных цепей Маркова и с помощь матрично-аналитичеекого подхода [90] получено совместное распределение вероятностей состояний системы. Условия существования стационарного режима для такой системы в случае неограниченного числа мест для ожидания в очередях получены в [95],

В [96] рассмотрена система, в которой заявки в очереди системы поступают одновременно и группами, интервалы между моментами поступлений заявок распределены экспоненциально, а размеры групп определяются значением случайного вектора К = (к1,к2,..,км), распределение которого определено производящей функцией к(х) = к(г1,г2,...гм), Поскольку среднее время ожидания в очередях зависит от вида распределений времени обслуживания, переключения сервера и входных потоков лишь через два первых их момента, то автор предлагает применить псевдо-преобразование исходных распределений производящей функцией моментов, что позволяет уменьшить объем требуемых вычислений по сравнению с классическим методом проиводящих функций для систем поллинга.

Отметим также здесь работы, исследующие модели поллинга с некоррелированными входными потоками, но использующие матрично-аналитичеекий подход для нахождения стационарного распределения состояний системы. Описание этих работ приводится в других разделах обзора, В [24] на основе матрично-аналитичеекого подхода исследуется система с двумя очередями и пороговой стратегией переключения сервера, а в [25] рассматривается система с политикой выбора на обслуживание самой длинной из очередей, В статье [84] исследована система поллинга, в которой все заявки, находящиеся в очереди, обслуживаются группой (без ограничения размера группы). Система функционирует в случайной многофазной среде, управляемой цепью Маркова с конечным пространством состояний, которые определяют параметры входных потоков и обслуживания (см, раздел 8), В [89] матрично-аналитичеекий подход применен к анализу системы поллинга типа М/РН/1/Ь

к

— к анализу тандема из двух систем поллинга типа М/М/1 с двумя очередями,

11. Системы с более чем одним обслуживающим прибором. Система поллинга с несколькими серверами рассмотрена в [98] в предположении ограничения на число серверов, которые одновременно могут быть обращены к одной очереди. Серверы посещают очереди независимо друг от друга в случайном порядке, определяемом вероятностями перехода сервера между очередями. Для такой системы получены условия существования стационарного режима для дисциплин обслуживания очереди неограниченного типа, т, е, дисциплин, при которых число заявок, которое может обслужить сервер за одно посещение очереди, неограниченно. Сюда также отнесем работу [34], исследующую модель поллинга с дуплексным опросом очередей, при котором опрос производится двумя независимыми серверами. Часть очередей является общей для серверов, остальные очереди обслуживаются лишь одним сервером. Для исследования такой системы применен метод анализа средних,

В [99] представлен анализ системы поллинга с неограниченным ресурсом обслуживающего прибора (одновременно обслуживаются все заявки, находящиеся в очереди в момент ее опроса), такую систему можно также представить как систему с неограниченным числом серверов, посещающих очереди одновременно. Такая система анализируется методом производящих функций, и для нее получено распределение времени ожидания. Аналогичная система с Т-ограниченным обслуживанием исследована в [100], Очередь получает обслуживание в течение случайного времени, по истечении которого обслуживание прерывается, а заявки, обслуживание которых прервано, обслуживаются заново при следующем посещении очереди. Для такой системы получено ПЛС распределения времени пребывания заявки в системе,

12. Системы поллинга в условиях большой загрузки, В данном разделе перечислим основные работы, исследующие поведение систем поллинга в условиях, когда загрузка р близка к 1. В таких условиях для некоторых систем удается получить приближенные формулы для требуемых характеристик производительности путем рассмотрения р как переменной, а параметров, описывающих систему как функцию от р,

В статье [101] рассматривается система поллинга со шлюзовой дисциплиной обслуживания, а входные потоки в очереди представлены процессами восстановления с параметрами А,, г = Величина загрузки р в данной системе увеличивается таким образом, что увеличиваются лишь параметры входных потоков заявок, а распределения времени

обслуживания заявок и доли загрузок очередей системы р остаются неизменными, С уве-

р

времена ожидания М[Ж,] в очередях устремляются к бесконечности при всех г = Таким образом, М[Жг], как функция р, имеет полюс первого порядка в точке р =1 [102], то есть

ш,-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

М[Жг] = + о((1 - р)-1), р | 1, г = 1Д, 1 - р

где ш, называется средним асимптотически нормированным временем ожидания для очереди которая означает скорость, с которой М[Ж,] ^ го при р ^ 1-Параметры ш, определяются следующим образом:

_ (1+рН +

ш = 2 р, (1 + р,) +г

где а2 = ^¿=1 Аг(В[Вг] + р2В[Аг]), Ю[Вг] — дисперсия времени обслуживания, а Аг ^

и Ю[Аг], соответственно, параметр и дисперсия времени между моментами поступления заявок в очередь ^ при р = 1, рг = АгЬг.

В [103] рассмотрена система поллипга с произвольными функциями распределения времени между моментами поступления заявок в очереди в условиях большой загрузки, для которой применяются результаты [83], Система поллипга типа 0/0/1 в условиях большой загрузки рассмотрена в [104], и исследован ее жидкостной аналог, В [30] предлагается новый подход к приближенному анализу систем поллинга с шлюзовым или исчерпывающим обслуживанием в условиях большой загрузки, при котором р = ^Рг ^ 1 Используется известный метод средних [28], с помощью которого получена система линейных уравнений для величин М[Ьг^], где Ьг^ — это число заявок в очереди в произвольный момент времени, когда сервер обращен к очереди Qj. При переходе к большой загрузке все параметры, описывающие систему (входных потоков, обслуживания, переключения сервера между очередями), рассматриваются как функции от загрузки р. И значение параметра х в точке р = 1 обозначается как я. Пусть также М[Ь^-] = Ишр|1(1 — р)М[Ьг^], тогда для исчерпывающего обслуживания

М[Ь*г] = сАг (1 - рг),

М [Ь*,г+п ] = сАг (2 Рг+т + Рг+п ) , г = "Щп = ТД—1,

\ т=1 )

где с = в = ^ =1 — Е¿=1 Рл1 а Для шлюзового обслуживания имеем:

М[Ь*г] = САг, М[Ь*г] = сАгрг,

М[Ь*,г+п] = сАг (2 П-1 Рг+т + Рг+п ) , г = ,П = 1,М — 1,

т=1

где величины Ьг,г и Ьг,г характеризуют длину очереди перед шлюзом (заявки, которые будут обслужены сервером при текущем посещении) и за шлюзом (заявки, которые будут обслужены при следующем посещении сервера).

Асимптотическое значение средних (отмаештабированных относительно 1 — р) времен ожидания определяется как М[Жг*] = с(1 — рг) при исчерпывающем обслуживании и М[Ж*] = с(1 + рг) при шлюзовом обслуживании,

В работе [46] показано, что для случайной величины Хг,г+п (Уг,г+п), обозначающей число заявок в очереди Qi в начале (конце) произвольного периода посещения сервером очереди Qi+n, справедливо свойство

(1 — рХг,г+п) дАг I ^ рг+т I Г(а,1),

\ т=1 /

(1 — рУц+п) ¿Аг I ^ Рг+т + рг+п I Г(а,1), г = 1,Ы ,п = 1Д — 1,

\т=1 )

где означает сходимость по распределению, д — известная константа, Г(а,1) — гамма-распределение, параметр а при этом те зависит от г и г + п.

Напомним, что система с двумя очередями типа M/M/1 и ограниченной дисциплиной обслуживания в условиях большой загрузки исследована в [18] (см, раздел 3), К данному разделу также отнесем работу [105], рассматривающую симметричную систему поллинга с большим числом очередей. Показано, что с ростом числа очередей, дисциплины обслуживания которых удовлетворяют свойству [37], при сохранении общей загрузки системы случайные величины, описывающие длины очередей, становятся независимыми в пределе, и таким образом показано, как поведение отдельной очереди можно описать в терминах системы массового обслуживания с одной очередью и простоями сервера, что позволяет упростить анализ распределений длин очередей и времени ожидания. Также введена гибкая fc-ограниченная дисциплина обслуживания очередей с целью уменьшения средних длин очередей и среднего времени цикла для приложений, чувствительных к задержкам, 13. Недискретные модели поллинга и сети поллинга, К недискретным моделям поллинга в данном разделе отнесем системы (сети) с более чем счетным числом очередей, либо системы, в которых процесс поступления и обслуживания заявок происходит не путем увеличения или уменьшения их числа на некоторое целое число, а изменяется непрерывно (так называемые жидкостные модели поллинга),

В статье [106] приводится обобщенный анализ дискретных систем поллинга (с конечным числом очередей) и непрерывных систем. Такие системы в статье названы смешанными системами поллинга. Предполагается также, что в данных системах заявки после завершения обслуживания могут переходить в другие очереди (или менять свое местоположение в случае непрерывной системы). Для непрерывной системы описан способ ее дискретизации и получено среднее количество виртуальной работы, т.е. среднее время, которое будет работать сервер, чтобы обслужить все заявки, находящиеся в системе в данный момент времени, а также остаточное время обслуживания заявки, если сервер в данный момент занят,

В статье [107] рассматривается циклическая система поллинга со смешанной дисциплиной обслуживания, в которой загрузка очередей (количество работы, которое необходимо обработать серверу) управляется N-мерным процессом Леви с положительными приращениями, Такой процесс подразумевает зависимость входящих потоков в очереди. Получено стационарное распределение количества работы в системе во вложенные и в произвольные моменты времени,

В [108-109] поступающие заявки размещаются внутри круга, В [108] предполагается, что сервер обслуживает заявки, расположенные в окрестности текущего положения сервера, а для обслуживания сервер выбирает ближайшую к нему заявку. Доказывается классический критерий существования стационарного режима такой системы, при котором параметр обслуживания заявок должен превышать параметр их поступления в систему, В [109] рассматривается система, в которой сервер перемещается по окружности с постоянной скоростью и обслуживает часть заявок согласно глобально-шлюзовой дисциплине, а остальные заявки — по исчерпывающему правилу. Основная идея статьи состоит в использовании дискретной модели поллинга с конечным числом очередей, при котором средняя виртуальная загрузка системы получается как предел средней виртуальной загрузки дискретной системы поллинга со смешанной дисциплиной обслуживания очередей, для которой можно применить закон псевдосохранения.

Отметим здесь также статью [110], в которой исследуется сеть поллинга. Сети поллинга состоят из нескольких систем поллинга, между которыми происходит обмен заявками. Получив обслуживание в очереди одного узла сети, заявка переходит в другой узел (дру-

гую систему иоллиига) и занимает место в некоторой очереди узла, дожидаясь своего обслуживания. Сеть поллинга в [110] имеет древовидную структуру, в которой заявка, получив обслуживание в узле сети, переходит в соседний узел, и так далее, пока она не достигает корневого узла, откуда, получив обслуживание, покидает сеть. Показано, как поведение сети поллинга можно описать в терминах одного (корневого) узла.

Жидкостная модель системы поллинга представлена в работе [111]. Очередь системы интерпретируется как уровень некоторой жидкости, который снижается при обслуживании сервером очереди, причем скорость работы сервера может варьироваться в зависимости от уровня жидкости согласно выбранной стратегии управления скоростью,

В статье [112] рассматривается жидкостная модель системы полинга со шлюзовым обслуживанием. Увеличение количества работы в очереди управляется марковским процессом с непрерывным временем, а снижение его происходит с постоянной скоростью при обслуживании сервером очереди. Получены необходимые условия существования стационарного режима, а также соотношения для векторных преобразований Лапласа стационарных уровней жидкости в очередях системы в моменты опроса и в моменты ухода сервера из очереди, а также в произвольный момент времени, а также другие стационарные распределения, характеризующие поведение системы. Показано, что среднее время цикла для такой модели имеет вид C = s/ (1 — р),

В [113] система поллинга состоит из N жидкостных систем массового обслуживания и одного обслуживающего устройства. Дисциплины обслуживания предполагаются исчерпывающей, шлюзовой и глобально-шлюзовой. Порядок опроса очередей - циклический или случайный. Получено ПЛС распределения уровня жидкости в очередях системы в момент опроса сервером очередей и в произвольный момент времени. Дополнительно описана процедура нахождения оптимального вероятностного порядка опроса очередей,

В работе [76] для системы с многофазным шлюзовым обслуживанием с помощью жидкостной модели проведен асимптотический анализ случайного процесса, описывающего длину отдельной очереди. Система поллинга типа G/G/1 с обратной связью рассмотрена в [104], В [27] для системы с тремя очередями и адаптивным опросом исследуется проблема нахождения условий существования стационарного режима, В статье [114] предложен анализ системы поллинга, в которой очереди представлены жидкостными моделями с циклическим и случайным порядком их обслуживания для описания протокола TCP,

Тандем из двух систем поллинга, каждая из которых состоит из двух очередей типа M/M/1 с циклическим опросом и исчерпывающим обслуживанием, исследован в [97], После завершения обслуживания в первой системе заявка переходит в соответствующую очередь второй системы тандема. Рассмотрены следующие политики обслуживания очередей серверами систем: сервера циклически обслуживают очереди независимо друг от друга, синхронно обращены к очередям с одинаковыми номерами (при этом один из серверов может простаивать) или синхронно обращены к очередям с разными номерами, В работе исследуется влияние данных политик обслуживания на время ожидания с помощью матрично-аналитичеекого подхода.

Список литературы

1. Вишневский В.М., Семенова О. В. Системы поллинга: теория и применение в широкополосных беспроводных сетях. М.: Техносфера, 2007. 312 с.

2. Vishnevsky V., Semenova О. Polling Systems: Theory and Applications for Broadband Wireless Networks // LAMBERT Academic Publishing, 2012. 317 p.

3. Boon M. A. A., van der Mei R. D., WTinands E. M. M. Applications of polling systems // Surveys in Operations Research and Management Science. 2011. V. 16, N 2. P. 67-82.

4. Cao J., Feng W., Chen Y., Ge N., Wang S. Performance analysis of a polling model with BMAP and across-queue state-dependent service discipline // IEEE Access. 2019. V. 7. P. 127230-127253.

5. He M., Guan Z., Wu Z., Lu L., Zhou Z., Anisetti M., Damiani E. A polling access control with exhaustive service in wireless body area networks for mobile healthcare using the sleeping schema // Journal of Ambient Intelligence and Humanized Computing. 2019. V. 10, N 10. P. 3761-3774.

6. Granville K., Drekic S. A 2-class maintenance model with dynamic server behavior // TOP. 2019. DOI: https://doi.org/10.1007/sll750-019-00509-l.

7. Takagi H. Analysis of polling systems. MIT Press, 1986.

8. Borst S.C. Polling systems. Amsterdam: Stichting Mathematisch Centrum, 1996.

9. Вишневский В. \!.. Семенова О. В. Математические методы исследования систем поллинга // Автоматика и телемеханика. 2006. № 2. С. 3-56.

10. Вишневский В.М., Мишкой Г. К., Семенова О. В. Новые модели и методы исследования систем поллинга // Proceedings of the International Conference proceedings Distributed Computer and Communication Networks. Theory and Applications (DCCN-2009, Moscow). M.: R&D Company „Information and Networking Technologies", 2009. C. 79-85.

11. Borst S.C., Boxma O.J. Polling: past, present, and perspective // TOP. 2018. V. 26, N 3. P. 335-369.

12. Vishnevsky V. M., Semenova O.V., Bui D.T., Sokolov A.M. Adaptive cyclic polling systems: analysis and application to the broadband wireless networks // Lecture Notes in Computer Science. 2019. V. 11965. P. 30-42.

13. WTinands E. M.M., Adán I. J.B.F., van Houtum G.J., Down D.G. A state-dependent polling model with fc-limited service // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2009. V. 23, N 2. P. 385-408.

14. Boon M. A. A., Adán I. J. B. F., Boxma O.J. A two-queue polling model with two priority levels in the first queue // Discrete Event Dynamic Systems. 2010. V. 20, N 4. P. 511-536.

15. Vlasiou M., Adán I. J. B. F., Boxma O.J. A two-station queue with dependent preparation and service times // European Journal of Operational Research. 2009. V. 195, N 1. P. 104-116.

16. Chernova N., Foss S., Kim B. A polling system whose stability region depends on the whole distribution of service times // Operations Research Letters. 2013. V. 41, N 2. P. 188-190.

17. Dorsman J.-P. L., Boxma O.J., van der Mei R. D. On two-queue Markovian polling systems with exhaustive service // Queueing Systems. 2014. V. 78, N 4. P. 287-311.

18. Boon M.A.A., WTinands E. M.M. Heavy-traffic analysis of fc-limited polling systems // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2014. V. 28, N 4. P. 451-471.

19. Adán I. J.B.F., Boxma O. J., Kapodistria S., Kulkarni V. G. The shorter queue polling model // Annals of Operations Research. 2016. V. 241, N 1. P. 167-200.

20. Gaidamaka Yu.V. Model with threshold control for analysing a server with SIP protocol in the overload mode // Automatic Control and Computer Science. 2013. V. 47, N 4. P. 211-218.

21. Shorgin S., Samouvlov K., Gaidamaka Y., Etezov S. Polling system with threshold control for modeling of SIP server under overload // Advances in Intelligent Systems and Computing. 2014. V. 240. P. 97-107.

22. Avrachenkov K., Perel E., Yechiali U. Finite-buffer polling system with threshold-based switching policy // TOP. 2016. V. 24, N. 3. P. 541-571.

23. Perel E., Yechiali U. Two-queue polling systems with switching policy based on the queue that is not being served // Stochastic Models. 2017. V. 33, N 3. P. 430-450.

24. Jolles A., Perel Е., Yechiali U. Alternating server with non-zero switch-over times and opposite-queue threshold-based switching policy // Performance Evaluation. 2018. V. 126. P. 22-38.

25. Perel E., Perel N., Yechiali U. A polling system with „Join the shortest — serve the longest" policy // Computers k, Operations Research. 2019. V. 114, 104809.

26. Liu Z., Chu Y., Wu J. On the three-queue priority polling system with threshold service policy // Journal of Applied Mathematics and Computing. 2017. V. 53, N 1. P. 445-470.

27. Chernova N., Foss S., Kim B. On the stability of a polling system with an adaptive service mechanism // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 125-144.

28. Winands E. M. M., Adán I. J. B. F., van Houtum G. J. Mean value analysis for polling systems // Queueing Systems. 2006. V. 54. P. 35-44.

29. van Vuuren M., Winands E.M.M. Iterative approximation of fc-limited polling systems // Queueing Systems. 2007. V. 55. N 3. P. 161-178.

30. van der Mei R. D., Winands E. Heavy traffic analysis of polling models by mean value analysis // Performance Evaluation. 2008. V. 65, N 6-7. P. 400-416.

31. Vishnevsky V. M., Semenova O.V. Adaptive dynamical polling in wireless networks // Cybernetics and Information Technologies. 2008. V. 8, N 1. P. 3-11.

32. WTierman A., WTinands E., Boxma O.J. Scheduling in polling systems // Performance Evaluation. 2007. V. 64, N 9-12. P. 1009-1028.

33. Boon M.A.A., van WTijk A. C.C., Adán I.J.B.F., Boxma O.J. A polling model with smart customers // Queueing Systems. 2010. V. 66. P. 239-274.

34. Вишневский B.M., Семенова О. В., Шпилев С. А. Дуплексная система циклического обслуживания смешанных очередей // Автоматика и телемеханика. 2009. № 12. С. 121-133.

35. Yechiali U. Analysis and control of polling systems // Performance Evaluate of Computer and Communication Systems. Ed. Donatielo L., Nelson R. Springer-Verlag. 1993. P. 630-650.

36. Boxma O.J., Kella O., Kosinski K.M. Queue lengths and workloads in polling systems // Operations Research Letters. 2011. V. 39, N 6. P. 401-405.

37. Resing J. A. C. Polling systems and multitvpe branching processes // Queueing Systems. 1993. V. 13. P. 413-426.

38. Guan Z., Zhao D. A delay-guaranteed two-level polling model // Advances in Computer Science and Information Engineering. Advances in Intelligent and Soft Computing. 2012. V. 168. P. 153-158.

39. Saffer Z., Telek M. Unified analysis of BMAP/G/1 cyclic polling models // Queueing Systems. 2010. V. 64, N 1. P. 69-102.

40. Вишневский B.M., Дудин A.H., Клименок В. И. Стохастические системы с коррелированными потоками. Теория и применение в телекоммуникационных сетях. М.: Рекламно-

"

41. Dudin A. N., Klimenok V. I., Vishnevsky V. М. Methods to Study Queuing Systems with Correlated Arrivals. 2020. Springer. 410 p.

42. Hiravama Т., Hong S.J., Krunz M.M. A new approach to analysis of polling systems // Queueing Systems. 2004. V. 48, N 1-2. P. 135-158.

43. Hiravama T. Multiclass polling systems with Markovian feedback: mean sojourn times in gated and exhaustive systems with local priority and FCFS service orders // Journal of the Operations Research Society of Japan. 2005. V. 48, N3. P. 226-255.

44. Hiravama T. Markovian polling systems: functional computation for mean waiting times and its computational complexity // Advances in Queueing Theory and Network Applications. W. Yue et al. (eds.) 2009. P. 119-146. *

45. Рыков В. В. К анализу поллинг-систем // Автоматика и телемеханика. 2008. № 6. С. 90114.

46. van der Mei R. D. Towards a unifying theory on branching-type polling systems in heavy traffic //Queueing Systems. 2007. V. 57, N 1. P. 29-46. *

47. Семенова О. В., Буй 3. Т. Пакет прикладных программ для исследования систем поллинга // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2020. № 50. С. 106-113.

48. Saffer Z. BMAP/G/1 cyclic polling model with binomial disciplines // Modern Probabilistic Methods for Analysis of Telecommunication Networks. Communications in Computer and Information Science. 2013. V. 356. P. 157-166.

49. Вишневский В. \!.. Семенова О. В., Буй Д. Т. Использование машинного обучения для исследования систем поллинга с коррелированным входным потоком // Материалы всероссийской конференции с международным участием (ITTMM 2020). Москва, РУДН, 13-17 апреля 2020. С. 248-253.

50. Saffer Z., Telek М. Stability of periodic polling system with BMAP arrivals // European Journal of Operational Research. 2009. V. 197, N 1. P. 188-195.