Обзор «Фракталы в Интернет» Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Лукичев Александр Сергеевич

ОБЗОР «ФРАКТАЛЫ В ИНТЕРНЕТ»

Возникнув в 1970-х годах, интерес к фракталам не проходит и поныне. Не удивительно, что в Интернет существует множество сайтов и страниц, посвященных этому вопросу. В этом обзоре будут рассмотрены некоторые из наиболее интересных российских и зарубежных Интернет-проектов, посвященных фракталам. Наибольший упор сделан на использование фракталов в образовательных целях и их практическое применение.

Прежде всего хотелось бы обратить внимание читателя на некоторые коллекции ссылок по фракталам, позволяющие заметно облегчить поиск нужной информации.

ВСЕЛЕННАЯ ФРАКТАЛОВ

http://fractals.chat.ru/

Помимо неплохой коллекции фрактальных ресурсов, сайт содержит и массу другой весьма полезной информации: базовая теория (определения фракталов и некоторый математический аппарат для работы с ними), описания алгоритмов и программы, связанные с фракталами (например, построение фракталов или фрактальное сжатие изображений), наконец, галерея картинок. Конечно, математика и алгоритмы здесь довольно наивны, но для первого знакомства с предметом их вполне достаточно.

ФРАКТАЛЫ

http://fract.narod.ru/

Интересен, прежде всего, своей коллекцией ссылок на URL и литературу. Причем для некоторых книг приведены

их шифры в Публичной библиотеке Санкт-Петербурга. Кроме того, на сайте есть галерея фракталов, описаны алгоритмы их построения и приведены исходные тексты программ.

Большую часть Интернет-ресурсов, посвященных фракталам, составляют различные галереи изображений фрактальных структур. Они, действительно, завораживают. Кроме того, математический аппарат, необходимый для построения изображений фракталов, весьма прост и доступен.

THE SHODOR EDUCTAION FOUNDATION, INC http ://w ww. shodor. or g/master/ На сайте представлен набор «утилит моделирования и симуляции для поддержки реформы образования» (MASTER,

'Иашшл Аеомохой колмщии ресурсов...

Лукичев A.C.

Modeling And Simulation Tools for Education Reform). Название сайта говорит само за себя: здесь представлен набор утилит, призванных продемонстрировать современные научные подходы в простой и наглядной форме с использованием компьютерных технологий. Среди них представлены и утилиты для создания фракталов в виде java-апп-летов (http://www.shodor.org/ master/fractal/software/).

Фрактальный микроскоп

(The Fractal Microscope)

Апплет отображает на экране множества Мандельброта и Жюлиа. Программа также позволяет нарисовать траекторию произвольной точки. Ну, и, естественно, прекрасно иллюстрирует самоподобие фракталов: можно увеличивать отдельные участки изображения.

Генератор снежинок Кох

(Snowflake Fractal)

В этой программе пользователь задает на экране ломаную, по которой строится фрактал по принципу снежинки Кох. Результат построения можно видеть в процессе изменения ломаной.

Ковер Серпинского

(Sierpinski Gasket)

Эта программа генерирует фигуры типа ковра Серпинс-кого с помощью построения случайного блуждания точки в плоском многоугольнике: случайно выбирается начальная точка, потом она с некоторой вероятностью двигается к одной из вершин многоугольника, пройдя некоторый отрезок пути, останавливается и повторяет выбор направления движения. И распределение выбора направ-

... <р4сгсфи Л-чпл

ковра

ления движения, и проходимый отрезок пути можно задавать. На рисунке отображаются точки остановки. При увеличении числа итераций наблюдается картина блуждания точки по фигуре типа ковра Серпинского.

3D FRACTALS (НГУ)

http : //fractals. nsu .ru/

Другой способ получения фигур типа Серпинского состоит в нахождении неподвижных точек сжимающего отображения, для чего используются IFS -iterated function system - итерации системы функций. На сайте 3D Fractals как раз и рассматривается такой подход. Часть сайта посвящена программе IFS Builder 3D, разрабатываемой в НГУ. Это довольно мощный инструмент, позволяющий создавать трехмерные фракталы, задавая набор отображений, которые и составляют итерируемую систему функций. Также пользователь может задать окраску фрактала и положение наблюдателя (так как фрактал трехмерный, то его можно рассматривать с разных сторон). Кроме галереи и программы IFS Builder 3D, на сайте можно найти прекрасную подборку ссылок и литературы.

ФРАКТАЛЬНОЕ СЖАТИЕ

Одним из приложений фракталов является фрактальное сжатие графической информации. Все множество изображений некоторого размера представляется в виде метрического пространства функций двух переменных. Затем предполагается, что существует такое сжимающее отображение на данном пространстве, для которого заданное на входе изображение яв-

86 © КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ В ОБРАЗОВАНИИ. № 5, 2001 г.

ляется неподвижной точкой. Остается только найти такое отображение. Поскольку это непросто, да и не ясно, существует ли искомое сжимающее отображение, то ищется не само оно, а некое другое сжимающее отображение, неподвижная точка которого близка (в метрике введенного пространства) к входному изображению. Для сужения класса рассматриваемых отображений рассматриваются кусочно-заданные аффинные преобразования специального вида. Более подробную информацию можно найти в курсовой работе Андрея Шабалдина на http:// public. tsu.ru/~shab/fcomp/ index.htm. Здесь же можно найти список литературы по фрактальному сжатию.

Весьма интересны работы лаборатории профессора Дитма-ра Сауне из Лейпцигского университета (ftp://ftp.informatik.uni-freiburg.de/ - это ссылка на FTP сервер университета). Зеркало страницы и 133 статьи в формате PostScript, посвященных фрактальному сжатию, можно найти на сайте Лаборатории компьютерной графики ВМиК МГУ (http://graphics.cs.msu.su/, http:// www.graphicon.ru: 8100/library/ fractals/index.htm). Правда, для чтения этих статей необходимо

Лукичев Александр Сергеевич, студент 4 курса математико-механического факультета СПбГУ.

...боламиМеИ&а itfaKewy

«^е^ллгле^ посе&и&ел&м «tcfeawtMü фрлсенллоё-»...

Как видно из обзора, интерес к фракталам нашел свое отражение в Интернет. И, хотя большинство сайтов просто предлагает посетителям полюбоваться «красотой фракталов», можно найти и много другой полезной информации, вроде математической теории динамических систем или применения фракталов к сжатию изображений.

иметь достаточно высокий начальный уровень знаний. Выпускающим редактором сайта является Дмитрий Ватолин. Он также имеет личную страницу, посвященную методам сжатия изображений и фрактальному сжатию, в частности. Адрес страницы http://www.amc.ru/~dv/ fractal/fract. htm.

© Наши авторы, 2001. Our authors, 2001.