CC BY
24
Строительная механика
Научная статья УДК 534.1
DOI https://doi.org/10.24866/2227-6858/2023-1/119-140 И.Ю. Негрозова, И.Н. Афанасьева
НЕГРОЗОВА ИРИНА ЮРЬЕВНА - младший научный сотрудник, irina-lanzova@mail.шн, https://orcid.org/0000-0001-8501-9306
Научно-образовательный центр компьютерного моделирования уникальных зданий, сооружений и комплексов им. А.Б. Золотова
Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет
АФАНАСЬЕВА ИРИНА НИКОЛАЕВНА - кандидат технических наук, ведущий инженер-расчетчик, irina.n.afanasyeva@gmail.com, https://orcid.org/0000-0001-8618-3829 АО Научно-исследовательский центр «СтаДиО» Москва, Россия
Обзор аналитических и полуэмпирических подходов
для анализа аэродинамической неустойчивости типа флаттер
Аннотация. Оценка возможности возникновения аэродинамической неустойчивости играет одну из важных ролей при проектировании различных конструкций. В статье представлен обзор аналитических (в том числе полуаналитических и полуэмпирических) моделей флаттера и методов оценки предела флаттера (критической скорости флаттера), которые легли в основу инженерного анализа флат-терной неустойчивости конструкций. Аналитические модели в том или ином виде являются частью процедуры анализа флаттера экспериментальными и численными методами. В дополнение к обзору аналитических и полуэмпирических методов оценки флаттерной неустойчивости представлен краткий анализ нормативных документов (как отечественных, так и зарубежных). Анализ нормативной базы показал, что во всех рассмотренных нормативных документах флаттер признается опасным и недопустимым аэроупругим явлением. Однако никакой методики анализа этого явления не предлагается, а даются только рекомендации по оценке возможности возникновения флаттера на основе характеристик конструкций. Для конструкций, подверженных флаттеру, дается рекомендация по проведению дополнительных исследований этого явления на основе испытаний в аэродинамических трубах или с помощью специалиста в данной области. Представленный в статье обзор аналитических и полуэмпирических моделей флаттера и методов оценки предела флаттера указывает на возможность и необходимость актуализации отечественных норм в части оценки аэроупругой неустойчивости типа флаттер. Ключевые слова: явления аэроупругости, аэродинамическая неустойчивость, флаттер, предел флаттера
Для цитирования: Негрозова И.Ю., Афанасьева И.Н. Обзор аналитических и полуэмпирических подходов для анализа аэродинамической неустойчивости типа флаттер // Вестник Инженерной школы Дальневосточного федерального университета. 2023. № 1(54). С. 119-140.
Введение
1. Классификация явлений аэроупругости
Аэродинамическая неустойчивость может рассматриваться как процесс, происходящий исключительно внутри самого потока, когда, например, с неподвижного тела срывается
© Негрозова И.Ю., Афанасьева И.Н., 2023
Статья поступила: 31.01.2023; рецензирование: 27.02.2023; финансирование: работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования (проект: «Теоретико-экспериментальное конструирование новых композитных материалов для обеспечения безопасности при эксплуатации зданий и сооружений в условиях техногенных и биогенных угроз» FSWG-2020-0007).
дорожка вихрей или быстро расходящаяся спутная струя. Но если тело в потоке жидкости отклоняется под действием некоторой силы и это начальное отклонение вызывает последующие отклонения, носящие колебательный характер или характер нарастающих во времени перемещений, то в таком случае говорят, что возникает аэроупругая неустойчивость.
Все случаи аэроупругой неустойчивости связаны с самовозбуждающимися аэродинамическими силами, которые действуют на тело вследствие его движения.
Для описания аэроупругих колебаний применяются различные модели, основанные на использовании экспериментальных/натурных данных. Основные виды аэроупругой неустойчивости, модели, описывающие аэроупругие явления, результаты теоретических, численных и экспериментальных исследований этих моделей достаточно подробно описаны в [33].
Большинство аэроупругих явлений можно встретить для всех тел, как для плохообте-каемых, так и хорошообтекаемых. Аэроупругие явления обусловлены формой поперечного сечения тела, его конфигурацией и ориентацией относительно направления потока, упругими, инерционными и демпфирующими свойствами, структурой ветра и другими факторами. Под демпфирующими свойствами понимают способность конструкций к рассеиванию энергии колебаний из-за сопротивления среды, в которой происходят колебания, сопротивления трения в опорных закреплениях, соединениях, а также сопротивления в результате внутреннего трения в материале сооружения. Мерой сопротивления является логарифмический декремент колебаний, определяемый как натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд колебаний. Большинство этих явлений связано, как правило, с определенным типом колебаний, представляют исключительный интерес с точки зрения механизма возникновения и обусловливают надежность и долговечность конструкций.
К причинам аэроупругих колебаний конструкций в ветровом потоке можно отнести следующее: порывы ветра; периодические аэродинамические силы, обусловленные срывом вихрей Кармана; отрицательное аэродинамическое демпфирование, приводящее к автоколебаниям; аэродинамическая связь между изгибной и крутильной формами деформаций; периодические изменения параметров системы. При поперечном обтекании ветровым потоком различных элементов образуются вихри правого и левого вращений, попеременно отрывающиеся от поверхности элементов, которые затем уносятся основным потоком. Совокупность отрывающихся вихрей образует вихревую дорожку Кармана. Эти вихри создают периодическую силу в направлении, перпендикулярном потоку.
Ветровые воздействия подразделяются на статические и динамические. Аэроупругие явления также подразделяются на статические и динамические [1]. Статические аэроупругие явления обусловливаются взаимодействием аэродинамических и упругих сил, а силы, в свою очередь, зависят лишь от самих деформаций и не зависят от их изменения во времени. Динамические аэроупругие явления обусловлены взаимодействием аэродинамических, упругих и инерционных сил, при этом силы зависят не только от деформаций, но и от изменения их во времени. Статические аэроупругие явления подразделяются на: 1) явления статической неустойчивости (дивергенция и потеря устойчивости плоской формы изгиба) и 2) статические деформации бокового изгиба. Динамические аэроупругие явления классифицируются на: 1) самовозбуждающиеся колебания (изгибно-крутильный флаттер, срывной флаттер, галопирование, вихревое возбуждение), 2) вынужденные колебания (бафтинг) и 3) динамическую неустойчивость (параметрический резонанс) (рис. 1).
Статические аэроупругие явления
Горизонтальная ветровая нагрузка вызывает статические деформации поперечного изгиба конструкции. Но в зависимости от геометрических размеров поперечного сечения, механических параметров конструкции и ветровой нагрузки возможно возникновение потери устойчивости плоской формы изгиба в горизонтальном направлении.
Еще одно явление, относящееся к статической аэроупругой неустойчивости - дивергенция. В отличие от упомянутого выше явления дивергенция возникает в результате воздействия аэродинамического момента, который скручивает конструкцию, уравновешенную в общем случае упругим сопротивлением кручению самой конструкции. Но при так называемой критической
скорости ветрового потока возрастающий аэродинамическии момент не уравновешивается упругим сопротивлением конструкции кручению, и это может привести к разрушению.
Поведение сооружений под действием ветра
Динамическое ^^^^^^^
1 1
Самовозбуждающиеся колебания Вынужденные колебания Динамическая неустойчивость
Статическое
статической неустойчивости
Рис. 1. Классификация аэроупругих явлений [1]
Динамические аэроупругие явления
Вихревое возбуждение - интенсивные колебания сооружения поперек потока в узком диапазоне скоростей ветра, возникающие при совпадении одной из собственных частот колебаний сооружения с частотой срыва вихрей Кармана. Амплитуда этих колебаний зависит от формы поперечного сечения элементов, жесткостных и диссипативных свойств элементов конструкции в плоскости колебаний.
Галопирование - аэроупругие автоколебания элементов конструкции поперек потока, вызванные отрицательным аэродинамическим демпфированием, возникновение которого обусловливается нестационарной аэродинамической подъемной (поперечной) силой при определенной ориентации элементов относительно направления потока. С увеличением скорости потока выше критического значения амплитуды таких колебаний нарастают в отличие от колебаний вихревого возбуждения.
Изгибно-крутильный (классический) флаттер - связанные изгибно-крутильные, нарастающие во времени, самовозбуждающиеся колебания, вызванные несовпадением аэродинамического центра (точки приложения аэродинамических сил) с центром изгиба поперечного сечения конструкции. Нарастающие в течение нескольких секунд амплитуды колебаний при из-гибно-крутильном флаттере достигают настолько больших значений, что могут разрушить конструкцию.
Срывной флаттер характеризует аэроупругие автоколебания преимущественно крутильного вида и связан с сильными аэродинамическими нелинейностями, срывом потока и образованием вихрей Кармана. К признакам срывного флаттера относятся:
- ограниченная амплитуда, зависящая от скорости потока, крутильной собственной частоты и демпфирующих свойств конструкций при крутильных деформациях;
- частота колебаний срывного флаттера, близкая к одной из собственных частот крутильных колебаний;
- доминирующие крутильные колебания;
- критическая скорость срывного флаттера, как правило, ниже критической скорости изгибно-крутильного.
Параметрические колебания, или параметрические резонансы, висячих мостов возникают в тех случаях, когда некоторые параметры сооружения, например динамический распор в висячей системе, периодически изменяются во времени. Известно, что при кратности собственных частот вертикальных и горизонтальных (угловых) колебаний висячих мостов возникают параметрические колебания, аналогичные связанным колебаниям пружинного маятника (эффект качелей). Взаимное влияние этих колебаний, очевидно, и состоит в том, что в процессе вертикальных колебаний периодически изменяется расстояние от центра изгиба поперечного сечения балки жесткости до точки крепления канатов на пилоне. При этом между свободными вертикальными и горизонтальными колебаниями устанавливается параметрическая связь, которая управляет «перекачкой» энергии одного вида колебаний в другой.
Бафтинг относится к одному из наименее изученных явлений аэроупругой неустойчивости и наблюдается у элементов конструкции в турбулентном потоке или в следе за другими элементами из-за интерференции аэродинамических сил различной природы.
Такие явления, как изгибно-крутильный флаттер, галопирование, дивергенция, считаются недопустимыми, поскольку увеличение скорости потока и времени его действия приводит к неограниченному нарастанию деформации или амплитуд колебаний. Для параметрических колебаний, вихревого возбуждения и срывного флаттера, амплитуда которых в установившемся режиме ограничена максимальным значением в окрестности критических скоростей потока, нужно определить возможные установившиеся режимы колебаний, соответствующие критические скорости и амплитудно-частотные соотношения, а также напряженно-деформированное состояние.
2. Нормативная оценка аэроупругой неустойчивости
При проектировании зданий и сооружений, в том числе мостовых конструкций, в отечественной практике применяются следующие нормативные документы, в которых в том или ином виде содержатся рекомендации по оценке аэроупругой неустойчивости строительных конструкций: СП 20.13330, СП 296.1325800.2017, ГОСТ Р 59625-2022. Среди зарубежных нормативных документов, в которых предусмотрены оценки аэродинамической неустойчивости для строительных конструкций, можно выделить Eurocode, СКК-ОТ 207 Ю/2018.
В СП 20.13330 «Нагрузки и воздействия» сказано, что для зданий и сооружений необходимо учитывать такие воздействия ветра, как резонансное вихревое возбуждение и аэродинамически неустойчивые колебания типа галопирования, дивергенции и флаттера. При этом в документе приведена оценка возможности возникновения (критическая скорость) только для резонансного вихревого возбуждения. В СП 20.13330 указано, что критерии возможности возбуждения аэродинамически неустойчивых колебаний устанавливаются в нормах проектирования строительных конструкций.
В СП 296.1325800.2017 «Здания и сооружения. Особые воздействия» есть рекомендации по учету аварийных ситуаций, к которым относятся экстремальные ветровые нагрузки. Согласно СП 296.1325800.2017 к проектным особым воздействиям ветра относятся воздействия, которые могут привести к возбуждению аэродинамически неустойчивых колебаний типа галопирования, дивергенции и различных видов флаттера. Такие явления являются недопустимыми, поскольку могут вызвать разрушение несущих конструкций сооружения. Для оценки галопирования и дивергенции приведены формулы критических скоростей. В данном документе указано, что критерии возбуждения различных типов флаттера должны устанавливаться в нормативных документах на проектирование конструкций или зданий на основе результатов модельных испытаний сооружений в аэродинамических трубах.
В ГОСТ Р 59625-2022 «Дороги автомобильные общего пользования. Мостовые сооружения. Правила расчета и подтверждения аэроупругой устойчивости» приводятся оценки возможности возникновения вихревого возбуждения, галопирования, срывного флаттера, изгибно-крутильного флаттера, бафтинга. В этом документе для вихревого возбуждения и галопирования даны формулы критических скоростей. Про срывной и изгибно-крутильный
флаттер сказано, что они принципиально недопустимы и критическую скорость или факт невозможности ее достижения в расчетном диапазоне скоростей ветра следует определять путем выполнения аэродинамических исследований в диапазоне скоростей потока, достигающих 1.5 Урасч (Урасч - расчетное значение скорости ветрового потока в уровне конструкции в заданном районе строительства мостового перехода).
В Eurocode представлены оценки возможности возникновения вихревого возбуждения, галопирования, дивергенции и флаттера. Для вихревого возбуждения, галопирования, дивергенции приведены формулы критических скоростей. Для флаттера перечислены только условия возможности возникновения.
В нормах Италии (СКЯ-ОТ 207 Ю/2018) также даются формулы для определения критических скоростей возникновения галопирования, дивергенции. Для флаттера подробно расписаны условия, при соблюдении которых конструкция будет нечувствительна к возникновению данного явления. Аналогично отечественному документу (ГОСТ Р 59625-2022) в нормах Италии сказано, что в случаях, когда исключить флаттер, применяя критерии, не представляется возможным, рекомендуется провести углубленный анализ по результатам испытаний в аэродинамической трубе и с помощью специалиста в данной области.
Во всех перечисленных нормативных документах флаттер признается опасным и недопустимым аэроупругим явлением, но никакой методики анализа этого явления не предлагается, а даются только рекомендации по оценке возможности возникновения флаттера на основе характеристик конструкций (например, на геометрических). Подробный анализ этого явления рекомендуется проводить отдельно на основе испытаний в аэродинамических трубах или с помощью специалиста в данной области.
3. Флаттерная неустойчивость и методы анализа
Считается, что исторически проблема флаттерной неустойчивости берет свое начало в конце Х1Х-начале XX в. наряду с развитием авиации и самолетостроения [5]. Изучение этого явления в Советском Союзе началось в 30-х годах, когда советская авиация столкнулась на практике с быстронарастающими вибрациями самолета при увеличении скорости, от начала которых до разрушения самолёта проходили считанные секунды. Значительный вклад в решение проблемы внесли Е.П. Гроссман и М.В. Келдыш [2], благодаря экспериментально-теоретическим работам которых были разработаны практические приемы для исключения вибрации при любой скорости полёта.
С другой стороны, можно сказать, что толчком к изучению флаттерной неустойчивости конструкций послужило обрушение моста Такома-Нарроуз в 1940 г. Несмотря на то, что до крушения Такомского моста известны и другие случаи обрушения (мост Аббатства Драйбург в 1818-м (Шотландия), цепной пирс в Брайтоне в 1836-м (Англия), железнодорожный мост через Ферт-оф-Тей в 1879-м (Шотландия)), именно эта авария стала отправной точкой для проведения научных исследований и развития аналитических и эмпирических подходов для анализа аэродинамической неустойчивости мостовых конструкций. Основной причиной того, что традиционные методы проектирования основывались только на опыте, было отсутствие понимания природы ветра. А следовательно, отсутствовало понимание механизма его динамического взаимодействия с конструкциями. Биллах и Сканлан (1991 г.) объяснили механизм окончательного разрушения Такомского моста и продемонстрировали физически, а также математически, что основной причиной был не вынужденный резонанс, а аэродинамически индуцированные самовозбуждающиеся колебания. Сканлан [31] и Мията [26] обобщили краткую историю некоторых достижений в области аэродинамики мостов после обрушения моста Такома-Нарроуз и объяснили, как исследования помогли в разработке экспериментальных и аналитических методов для прогнозирования отклика большепролетных мостов на воздействие ветра. С точки зрения возникновения аэроупругой неустойчивости среди мостовых конструкций наиболее чувствительными являются большепролетные вантовые и подвесные мосты. Такие мосты более гибкие, следовательно, более чувствительные к воздействию ветра. Сегодня благодаря техническому прогрессу размер пролетов и в целом длина мостов доведены
до новых пределов. Например, самый длинный в мире подвесной мост, построенный в Японии (Акаси-Кайкё), общей длиной 4 км имеет длину основного пролета 1991 м. А самый длинный вантовый мост, построенный в 2012 г. во Владивостоке, имеет длину центрального пролета 1104 м. При проектировании таких объектов ветер становится ключевым фактором, и требуется более подробный анализ аэроупругой устойчивости.
Нужно отметить, что во всем мире наблюдается возрастающая тенденция к использованию альтернативных источников энергии, в том числе последние 20 лет и в России набирает популярность тема построения парков ветроэнергетических установок (ВЭУ). Конструкции ВЭУ, а именно лопасти, в силу их геометрических характеристик подвержены флаттеру. Поэтому при проектировании ВЭУ для того, чтобы исключить такой нежелательный отклик конструкции, существует необходимость анализа аэроупругой неустойчивости типа флаттер.
Помимо вышеперечисленных объектов флаттеру могут быть подвержены любые конструкции или конструктивные элементы, относящиеся к классу гибких конструкций за счет их геометрических характеристик и вследствие чего являющиеся чувствительными к ветровым воздействиям. Например, это могут быть навесы и покрытия большепролетных конструкций типа открытых стадионов; флагштоки с флагами; вантовые фасадные конструкции; различные декоративные элементы или оборудование, установленное на крыше; а также ванты мостов, линии электропередач, особенно в условиях обледенения.
Несмотря на то, что флаттерной неустойчивости могут быть подвержены разнообразные объекты, как было сказано выше, информация, приведенная в данной статье, в основном взята из работ, посвященных аэродинамике мостов, в силу разработанности исследований в этой области.
На сегодняшний день подходы для анализа флаттерной неустойчивости можно разделить на два типа. В рамках подходов первого типа динамическое поведение конструкции в результате флаттерной неустойчивости анализируется напрямую. В основе этих подходов лежит определение нестационарных аэродинамических самовозбуждающихся сил, возникающих в результате отклика конструкции на их воздействие. Которые, в свою очередь, могут быть приложены к рассматриваемой системе для дальнейшего анализа напряженно-деформированного состояния конструкции. Подходы второго типа дают оценку возможности возникновения флаттера на основе определения критической скорости ветра, при которой отклик конструкций проявляется в виде нарастающих поперечных и крутильных колебаний. Такая критическая скорость ветра называется критической скоростью флаттера, или пределом флаттера.
В свою очередь, подходы обоих типов подразделяются на аналитические (отнесем к ним также полуаналитические и полуэмпирические), экспериментальные и численные. Аналитические методы представляют собой математические модели аэродинамических сил (первый тип) или критических скоростей (второй тип), полученные на основе комбинации теоретических умозаключений и эмпирических данных, например теория Теодорсена, модель Скан-лана и др. Под экспериментальными методами подразумеваются натурные замеры (мониторинг динамического отклика конструкции и соответствующих скоростей ветра) и эксперименты в аэродинамических трубах (определение статических ветровых нагрузок и замер аэродинамических производных для исследования секции моста, а также определение критических скоростей флаттера на динамических экспериментальных моделях). Последние 20 лет в силу стремительного развития компьютерных технологий и численных методов привлекает внимание исследователей третий подход, основанный на численном моделировании аэродинамики (Computational Fluid Dynamic, CFD) плохообтекаемых тел, в том числе c возможностью решения задач в аэроупругой постановке (Fluid-Structure Interaction, FSI). Несмотря на вычислительную сложность, CFD анализ (в двумерной и трехмерной постановке) дает возможность увидеть полную картину взаимодействия ветрового потока с конструкциями, предоставляя информацию о аэродинамических силах, распределении давлений на поверхности конструкций и скоростей ветра в любой момент времени в любой точке пространства, а также в случае FSI анализа информацию о динамическом отклике конструкции.
4. Цели и структура статьи
Целью данной статьи является ознакомление читателя с аналитическими (в том числе полуаналитическими и полуэмпирическими) моделями для определения аэродинамических сил (подходы первого типа) и критической скорости флаттера (подходы второго типа), которые легли в основу инженерного анализа флаттерной неустойчивости конструкций. В том или ином виде эти модели также являются частью процедуры анализа флаттера экспериментальными и численными методами.
В работе приведен обзор моделей флаттера: аналитическая модель Теодорсена и полуэмпирические модели (модель Сканлана, модели на основе переходных и импульсных функций, квазистационарная теория). Также представлены методы оценки предела флаттера: полу-эмпрические и полуаналитические (решение в частотной области, решение во временной области, упрощенный подход, мультимодальный подход).
Модели флаттера
1. Аналитическая модель флаттера
Впервые уравнения, описывающие флаттер, были предложены Дунканом и Фрейзером (1928 г.), а затем Блайхом (1949 г.) с серией публикаций по ферменным мостам. Однако значимое место в описание модели флаттера занимает работа Сканлана и Томко (1971 г.), которые сформулировали задачу, выразив силы, вызванные движением, на основе теории Теодорсена и экспериментально полученных аэродинамических производных, так называемых производных Сканлана, которые линейно зависят от движения конструкции.
Аналитическая формулировка задач аэроупругой неустойчивости первоначально пришла из авиационной промышленности, особенно для решения проблемы флаттера крыльев самолета. Теодорсен (1935 г.) дал аналитическое решение, основанное на теории потенциального потока, для аэродинамических сил на плоской пластине, индуцированных движением. Сравнение экспериментальных данных с теоретическим показано в работе Теодорсена 1940 г.
Согласно простейшей и наиболее распространенной модели приближения к флаттеру механическая система может быть описана линейным осциллятором с двумя степенями свободы с вертикальным h(t) и вращательным движениями a(t) (рис. 2). Если предполагается, что система механически не связана, уравнения движения можно записать следующим образом:
тИ+2mghcohh+mafhh = 1<). (1)
I а + 2Igaeoaá + Ico¡a = FM, (2)
где m и I - масса и момент инерции массы на единицу длины; ah = 2nfh и Ша = 2nfa - собственные угловые частоты; Zh и Q - относительные демпфирования; Fl и Fm - подъемная сила и момент на единицу длины; а точка обозначает производную по времени.
Рис. 2. Определение степеней свободы (вертикального h и вращательного а движений) и аэродинамических сил (подъемной силы FL и момента FM) для плоской пластины (- - недеформированное положение; - деформированное положение)
В случае тонкостенных пластин и оболочек, обтекаемых потоком несжимаемой жидкости, Теодорсеном было показано, что выражения для FL и Fм линейны относительно к и а и их первых и вторых производных:
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2022. № 1(54)
^ =рЬ2л(и<ва + И) + 2ярЬи1С(к)
а
Ь + 0.5Ьал
и
да у
¥Ы = -рЪ2л
'тт Ъ ■ *
тгрЬ и2 (И(к)
а
/? + 0.5МЛ
и.
(3)
(4)
да у
где С(к) - функция Теодорсена, к=Ьа/их - приведенная частота; Ь - половина хорды профиля обтекаемого тела; и^ - скорость течения и а - угловая частота колебаний.
2. Полуэмпирические модели флаттера
2.1. Модель Сканлана
Модель, предложенная Теодорсеном, которая часто используется для аэродинамических профилей в дозвуковом потоке, неприменима для мостов из-за зачастую сложной геометрии. Поэтому Сканлан и Томко предложили полуэмпирическую модель, в которой сохраняется линейный характер теоретической подъемной силы и момента, но функция Теодорсена заменяется восемью функциями приведенной скорости ветра:
1 9
=- рида в
кн'Ъ+кн^ё« 1 и и
+к2н:а+к2н:-+кн:^+кн 3 4 в 5 и 6 в
\
/
^ = - рида в2
'КА* А+м++К2А* 11+ка*±+ка*Рл 1 и. ^ и 3 4 в 5 и * в
у
2
рида в
'КР* ± + КР* + К1 ¡'¡а + к2г; Р- + кр; А + КР*
V 1 ида 2 ида 3 4 в 5 ида Й в ^
(5)
(6)
(7)
где ¥в - сила лобового сопротивления, р - поперечное вертикальное смещение, К = Ва/ и^ -приведенная частота, а - частота колебаний, а Н*, А* и Р* (при /=1, 6) - производные Сканлана. Эти аэродинамические производные для плохообтекаемых секций не могут быть вычислены аналитически, однако их можно получить путем экспериментальных испытаний в аэродинамической трубе или с помощью численного моделирования.
Модель Сканлана широко используется для решения двумерных и трехмерных задач аэроупругой устойчивости мостов благодаря ее способности применяться к различным типам поперечных сечений мостов. Сканлан и Томко первоначально изучали методы свободных колебаний для определения аэродинамических производных (Н*, А* с I = 1, 3), используя эксперименты для пяти различных форм полотна моста, и изучили влияние изменения глубины Н-образного сечения. Причиной использования трех аэродинамических производных была прямая связь с теорией плоской пластины, которая основана только на вертикальном движении, угловом вращении и угловой скорости в циркуляционных слагаемых. Сканлан использовал аэродинамические производные ( Н *, А*, Р* с I = 1, 3) для линейного динамического анализа флаттера мостов, имеющих режимы боковых колебаний. В работе Сканлана (1996 г.) использовали все шесть аэродинамических производных Р*.
2.2. Модели с переходными и импульсными функциями
Описанные Сканланом силы, вызванные движением, включают в себя слагаемые, зависящие от времени и частоты. Для проведения чистого анализа во временной области аэроупругие силы должны быть сформулированы без частотно-зависимых членов. Это реализуется с помощью индикаторных и импульсных функций, которые иногда называют ядрами аппрокси-
1
мации. Фактически они тесно связаны, и, как указано в работе [39], импульсная функция является производной переходной функции по времени, за исключением I = 0.
Формула для переходной функции получена путем расширения формулы Вагнера для нестационарных сил плохообтекаемого тела [9]:
Л
(т-, (8)
Л
1 9 , т I / ч ,/ ч / ч —П(т) , 2р(т)
Р = - ри1 ВС', Цф^-Ъ )и Т ) + ф ^ (т-т,) 2^ + (Т-Т1) р-
1 у у , г I / ч ,/ ч / \2Ъ"(т) , ч2р"(т,)Л , Рш = - ривс Ц ф„,а(т-т- У(т- ) + Фм,А (т-т-) —(-11 + Фм р (т-т-) -рр (тР = - ри1 ВС'0 т[ф ^(т-т- )и' (т- ) + Ф (т-т-) ^ + ф др (т-т-)
(9)
Л
2! Ш Д II Д, и \ - / \ - / Д, П \ - I ТЛ Д, и \ - / т\ (^Т- ^ (10)
, / \ / , в ,р В )
где Ф2,а, Фд,и, (при Q = L, М, .О) - переходные функции, описывающие безразмерную подъемную силу, момент и силу сопротивления из-за изменения а, к, р соответственно. Силы, вызванные движением, были первоначально введены в работе Сканлана (1974 г.) только для подъемной силы и момента для мостовых настилов. Позднее эту формулировку упростили, рассматривая только вращательное движение, с целью изучения крутильной устойчивости при турбулентном ветре. Затем Сканлан расширил их для силы сопротивления, основанной на крутильном и поперечном движении, и окончательная формулировка была получена после того, как было изучено влияние горизонтального движения на самовозбуждающиеся силы.
Явление «всплеска» возникает для плохообтекаемых тел, в которых переходная функция больше единицы, во время нарастания, а затем значение падает. Это следствие разделения потока, и это рассматривается в работе [30]. По сравнению с исходной теорией плоской пластины эта форма не включает переходную функцию, зависящую от члена углового ускорения а". Эти слагаемые изначально были включены в обозначение (Сканлан - 1974 г.); однако в работе Лин и Ли (1993 г.) это описано как избыточное соотношение с учетом, что угловая скорость а' включает в себя информацию об угловом ускорении а" в интервале [-да, т]. Формулировка импульсной функции была первоначально дана в работе Лин и Ли (1993 г.):
Р = - Ри1 £ (1Ьи(т-т- )и(т-) + 1Ьп (Т-Т-)п (т-) + 1Ьр (Т-Т-) р (т-)) йтх, (11)
Рш = -Ри1 (1ши (т-т-)и(т-) + 1ш,п (т-т-)П(т-) + 1ш,р (т-т-)р(т-)), (12)
= -Ри1 £(1п,и (т-т-)и(т-) + 1в,п (т-т-)П(т-) + Ь,р (т-т-)р(т-)), (13)
где к, 1д,р (при Q = L, М, О) - функции аэродинамического импульсного отклика, опи-
сывающие подъемную силу, момент и лобовую силу сопротивления за определенный период времени, вызванные изменениями а, к, р соответственно в определенном моменте времени. В [39] приведено сравнение подходов с переходной и импульсной функцией для плохообтека-емого тела на теоретической, экспериментальной и численной основе и сделан вывод о том, что эти функции очень похожи, возможно, даже одинаковы.
2.3. Квазистационарная теория
Квазистационарная теория обтекаемых тел существенно не отличается от теории плоских пластин. Эта модель не учитывает эффект памяти жидкости, однако в ней предлагается рассматривать статическую нелинейную зависимость между мгновенным углом атаки и силами, возбуждаемыми потоком. Самовозбуждающиеся силы могут быть представлены в виде [6]:
Р, = 1 ри^вс, а), (14)
Рм = 1 ри2гв2См а), (15)
Р = 1 ри2вс0 а), (16)
где
= ^(ида- Р)2 +(Н + Щва)
иг =\(ида-Р) +(н+тра\ , (17)
а =а +
^ к + /л(: Ва '
(18)
С помощью эффективного угла атаки ае и относительной скорости иг описывается взаимодействие жидкости и конструкции. Основная задача в этой модели - определить параметр ш1 для г = ь, М, б, который описывает расстояние между аэродинамическим центром и центром жесткости. Этот коэффициент является нелинейным и зависит от частоты, следовательно, его определение является сложной задачей. В работе [16] представлен этот коэффициент, вычисленный на основе производных флаттера при определенной скорости, для которой выполняется квазистационарное предположение.
В работе Дж. Диана (1992 г.) введены дополнительные коэффициенты Кб, Кь, км для статических коэффициентов ветра, чтобы развить скорректированную квазистационарную теорию:
сп (ае) = сп (а0)рКвёа, (19)
С (а е) = сь (ао)Р (20)
'а0
сМ (ае) = сМ (а0 )Г КМ^а - (21)
•>ао
В соответствии с [16] эти три параметра могут быть получены для высоких приведенных скоростей с помощью производных или с помощью испытаний в аэродинамической трубе. Другая модифицированная квазистационарная модель была представлена в [28] для исследования Хардангерского моста в Норвегии. Эта модель была основана на частотно-независимой интерполяции производных флаттера на структурной частоте и достаточно хорошо соответствует другим моделям для конкретного исследования.
В [15] представлена новая концепция моделирования аэродинамических сил, основанная на гистерезисном поведении коэффициента силы и момента по отношению к динамическому углу атаки для различных приведенных скоростей. В данном случае задача состоит в том, чтобы сформулировать реологический элемент, который мог бы заключить в себе несимметричный нелинейный гистерезис. Модель основана на нескольких независимых механических осцилляторах в параллельной конфигурации, параметры которых получены с помощью концепции передаточной функции аэродинамической силы. В [38] была представлена разработанная непараметрическая модель, основанная на «черном ящике» ввода-вывода, искусственной нейронной сети (ИНС), представленной для описания гистерезисного поведения. Хотя обнадеживающие результаты показаны для связанных сил, вызванных порывом ветра и движением, модель все еще не применялась для расчета скорости флаттера. Однако та же концепция ИНС была использована в [37] для непосредственного приближения аэродинамического гистерезиса по отношению к углу атаки в модифицированной гибридной модели, где
2
была получена скорость флаттера. Для дальнейшего исследования аэродинамических нели-нейностей в [36] использовали ряд Вольтерра в качестве ядер аппроксимации для моделирования нелинейной системы с затухающим (из-за вязкости) членом памяти. В этой формулировке нелинейная система моделируется как бесконечная сумма многомерных интегралов свертки возрастающего порядка, которая напрямую коррелирует с нестационарными аэродинамическими силами. Сравнение схем моделирования и обсуждения по этой теме можно найти в [30, 37].
Методы оценки предела флаттера
1. Полуэмпирический подход
Блайх ввел эмпирическую формулу, используя теорию флаттера Теодорсена для плоской пластины, чтобы определить критический предел возникновения флаттера. Сельберг (1961 г.) также разработал решение в замкнутом виде, введя коэффициент формы, применяемый для различных типов поперечных сечений мостов. Позже в работе 1967 г. была дана формула, которая подходит для ручных вычислений с использованием эмпирических диаграмм.
В теории тонких крыльев дается объяснение такому явлению аэроупругости, как крутильная дивергенция. Скорость ветра, называемая критической скоростью дивергенции Ud, соответствует возникновению потери статической устойчивости, поскольку даже малейший поворот крыла относительно нейтрального положения повлечет за собой неограниченно возрастающие отклонения от этого положения. Критическую скорость дивергенции можно рассчитать, используя коэффициент аэродинамического момента См настила моста для различных углов атаки ветра в следующим образом:
где Ка - жесткость настила на кручение. Следует отметить, что скорость дивергенции из приведенного выше уравнения действительна только тогда, когда коэффициент аэродинамического момента является линейным для представляющих интерес углов атаки. Обычно предел флаттера исг ниже, чем скорость дивергенции Ud для мостов с кабельной опорой, что делает статическую неустойчивость менее интересной, чем флаттер. Обычно частота кручения /а больше вертикальной частоты /к в случае мостов с кабельной опорой и двумя плоскостями кабелей; однако частота кручения может уменьшаться с увеличением скорости ветра из-за эквивалентного уменьшения жесткости на кручение под действием аэростатического давления. Франдсен привел формулу, для определения критической скорости флаттера:
Из приведенного уравнения следует, что предел флаттера меньше скорости дивергенции. Также возможно, что флаттер будет происходить при более низкой скорости ветра, если вертикальная и крутильная частоты близки. В связи с этим желательно поддерживать отношение частот fa/fh >2 в большепролетных мостах с кабельной опорой. Уравнение (23) достаточно хорошо согласуется с полуэмпирической формулой Сельберга, который дал следующее выражение критической скорости флаттера, основанное на теоретическом тонком крыле:
Уравнение Сельберга в несколько иной форме встречается и в других исследованиях [34]. Формулу Сельберга можно использовать для получения первой оценки предела устойчивости к флаттеру для плоской пластины, где отношение частот fdfк >1.5 [34].
(22)
(23)
(24)
В работе Франдсена (1966 г.) приводится формула для определения критической скорости, которую дал Рокард:
где
исг = 6.28/
(25)
(26)
В [24] также приводится упрощенная формула для определения критической флаттера для плоской пластины, используя соотношение между массой т и массовым моментом инерции I как I = тЪ2/3:
исг =3.81/
у/тт
1
рв3
г ( \ 2 Л
1 - со
а
V с) )
(27)
Другая упрощенная формула была дана Путом (1976 г.) для определения критической скорости флаттера:
и =п
сг !
1 +
V V
с
- 0.5
С
-0.72^
снЬ
(28)
где г = (1/т)1/2 - радиус инерции, а п - эмпирический коэффициент формы, который показывает разницу между критической скоростью ветра для определенного профиля по отношению к критической скорости для плоской пластины. Уравнение (28) можно дополнительно упростить следующим образом:
( Г. Л
и„ =
2Ь/а .
(29)
Широкий обтекаемый настил моста обычно показывает критическую скорость, близкую к критической скорости флаттера плоской пластины, тогда как балки с утолщением, фермы и глубокие секции настила показывают большую разницу между теоретическим пределом флаттера и измеренным в аэродинамической трубе. Обычно эта разница представлена с помощью отношения измеренной критической скорости флаттера к критической скорости флаттера плоской пластины в/, которое составляет около 90% для обтекаемой коробчатой балки и может достигать 40% для плохообтекаемых коробчатых секций. В связи с этим полагаться на предположение, основанное только на эмпирической формуле, неразумно; поэтому для важных конструкций и на финальной стадии проектирования требуется более детальный анализ.
2. Полуаналитический/производный анализ 2.1. Решение в частотной области
Анализ возникновения флаттера обычно проводится в частотной области, поскольку аэродинамические производные являются функциями приведенной скорости, что требует итерационного решения для определения критической скорости флаттера. Обычно итерационное решение выполняется путем комплексного анализа собственных значений. Есть два подхода, которые можно применить для выполнения этих расчетов: первый - прямой метод, в котором нестационарные аэродинамические силы применяются к конечно-элементной модели либо в частотной области, либо во временной области; второй - метод суперпозиции мод, при котором вначале отклик конструкции рассматривается отдельно для различных мод, а затем суперпозицией получают итоговый отклик конструкции.
Анализ флаттера лучше выполнять в частотной области из-за его вычислительной эффективности, поскольку аэродинамические производные сил, вызванных движением, являются функциями пониженной частоты [41]. Известны два основных аналитических подхода к решению задачи о флаттере: комплексный анализ собственных значений (complex eigenvalue аnalysis, CEVA) и пошаговый анализ (step-by-step analysis, SBSA). Долгое время для решения задачи о флаттере использовался CEVA. В CEVA основная проблема связана с исследованием связи частоты системы и коэффициента демпфирования со скоростью ветра, тогда как в SBSA такой проблемы нет. Кроме того, в SBSA описывается роль производных флаттера в критическом состоянии и в стабилизации флаттера.
В [41] показано применение CEVA для определения предела флаттера моста Стоункат-терс (Гонконг). В данной работе также показаны динамические и аэродинамические характеристики моста с движением и без движения. Дирби и Хансен (1997 г.) представили решение в модальной форме, где были указаны действительная и мнимая части с коэффициентами подобия формы колебаний. В работе Дунга (1998 г.) исследован сложный режим системы при увеличении скорости ветра, что помогает описать динамическое поведение перед флаттером.
Мацумото (1996 г.) разработал SBSA и описал характеристики флаттера, включая частоту, затухание, соотношение амплитуд и разность фаз, а затем сравнил их с CEVA и получил хорошее соответствие. Расхождения наблюдались в результатах, полученных CEVA и SBSA при более высоких скоростях, превышающих предел флаттера [24]. Более поздние модификации SBSA показали полное совпадение c CEVA [24].
2.2. Решение во временной области
Решение в частотной области для определения предела флаттера ограничивается рассмотрением только линейной системы под действием стационарного ветра без учета аэродинамических или физических нелинейностей. Поэтому большое количество исследований сосредоточено на анализе во временной области, в которой можно учесть эти нелинейности. Одна из самых ранних реализаций этого подхода была показана в работе 1977 г., где использовалась переходная функция для временной и частотной области. Первоначально анализ бафтинга обычно проводился во временной области с использованием квазистационарного подхода с моделью пространства состояний для импульсной функции. В [10, 13, 37] представлен анализ бафтинга и флаттера во временной области, основанный на пространстве состояний с использованием рациональной аппроксимации импульсных функций для полных и сокращенных моделей в модальных координатах.
В формулировке пространства состояний свертка описывается линейной суперпозицией дополнительных аэродинамических состояний, представляющих память жидкости. Затем вычисление интеграла выполняется с использованием схем интегрирования по времени первого порядка, таких как Рунге-Кутта или Эйлера. Затем предел флаттера сравнивается с обычным частотным анализом. В [13] представлена полная модель, в которой для каждого шага в методе Ньюмарка требовались дополнительные итерации. В [21] из решения дифференциальных уравнений второго порядка предложена схема сокращенного интегрирования за конечное время для свертки. Обе схемы оказались достаточно точными при вычислении предела флаттера для поперечной модели. В [43] вычислен предел флаттера на основе аппроксимации переходных функций для полной модели путем интегрирования интеграла свертки на каждом временном шаге. Чтобы уменьшить вычислительные затраты, в [7] предложили использовать временной интервал для конечной свертки переходной функции, предполагая, что только недавнее время оказывает влияние на рост самовозбуждающихся сил.
Квазистационарная теория была применена в [6, 28] при определении предела флаттера с учетом его особенностей для улавливания колебаний предельного цикла. В [11] предложили модель для высоких приведенных скоростей, учитывающую аэродинамические нелинейности, используя квазистационарную теорию, улавливающую нелинейную часть, и модель для малых приведенных скоростей на основе импульсной функции для линейных нестационарных эффектов. Похожий метод, называемый методом суперпозиции диапазонов, был
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2022. № 1(54)
использован в [14]. В данном методе частота ветра была разделена на несколько диапазонов, однако четкой связи между диапазонами не было. В [16] модель суперпозиции диапазонов была расширена путем использования скорректированной квазистационарной модели для низкочастотной части и линейной нестационарной модели для высокочастотных компонентов. С помощью моделей, представленных в [19, 38], пытались установить предел флаттера на основе гистерезисного поведения, включая аэродинамическую нелинейность и нелинейную память жидкости. В [37] показано сравнение моделей и методов для определения предела флаттера, учитывая влияние аэродинамической нелинейности, а также линейной и нелинейной памяти жидкости.
2.3. Упрощенный подход
Были предприняты некоторые попытки упростить анализ флаттера, используя зависимости аэродинамических производных:
Н* — кИ*; И* — -кИ2 А* — кА*; А* — кА*
Кроме того, существует другая зависимость между двумя парами А* и А*, И* и И* -
из-за эквивалентной функции Вагнера. Отсюда можно сделать вывод, что из восьми аэродинамических производных независимых всего две. Сканлан (1997 г.) аналитически описал зависимость между аэродинамическими производными и исследовал экспериментально полученные аэродинамические производные трех различных секций моста. Было обнаружено, что это соотношение не выполняется для плохообтекаемых секций. Однако в [40] была исследована взаимосвязь между аэродинамическими производными тонких мостов и на основании ранее предложенных им полуаналитических аэродинамических производных для гибкой конструкции показано, что между этими производными существуют определенная взаимосвязь:
И* — -4 А*; И 2* — -4 А*-Ж
к
И * —-4 Аз* + И 4 — -4 А** + П
3 16 4 4 2 , (31)
И* — кИ*-жО; И* — - И* Ж
1 3 2 ' 2 к 2к
.* т л* жк жО , Ж ,„ ^ч
А — кА*--+-;А* —-кА*--(1-Г)
1 3 64 8 4 2 8 V '
В работе Аль-Ассафа представлен альтернативный аналитический подход в дополнение к испытаниям в аэродинамической трубе для оценки предела флаттера плохообтекаемой секции моста путем синтеза аэродинамических производных на основе предыдущих исследований аналогичного сечения. В [23] также использовали данные по аэродинамической производной в целях прогнозирования производных флаттера для любого размера сечения моста для оценки предела флаттера. Маннини исследовал флаттер, анализируя большое количество динамических и аэродинамических данных, и предложил упрощенное выражение, которое использует только три или даже две аэродинамические производные для оценки предела флаттера [8]. В [22] дана другая упрощенная формула для определения предела флаттера в двумерной постановке, полученная с применением квазистационарного подхода и приближения в аэродинамических производных. В [29] представлена упрощенная аналитическая формулировка, включающая алгебраические выражения в замкнутой форме, для определения критического предела флаттера. В [28] предложен упрощенный подход к определению предела флаттера с использованием нового набора модифицированных квазистационарных коэффициентов. В [4] приведены выведенные выражения для обобщенной массы, обобщенной жесткости
и обобщенных аэродинамических силовых членов в компактной явной форме. В [35] предложен подход к решению динамической задачи исходя из простой механической системы с эквивалентными свойствами жесткости для улавливания основных механизмов взаимодействия ветра и моста. Все эти упрощения обычно обеспечивают разумный прогноз флаттера плоской пластины, но не подходят для реальных поперечных сечений моста.
2.4. Мультимодальный подход
Изучение явлений флаттера связано с пониманием природы нестационарных аэродинамических сил, механизмов совместной работы мод и методологии мультимодального анализа. Сканлан (1987 г.) представил методы одномодального и двухмерного анализа флаттера с использованием модальных координат, учитывая основной вклад выбранной основной крутильной моды (для крутильного флаттера) и связи между вертикальными и крутильными перемещениями (для классического флаттера). Двухмерного анализа связанного флаттера иногда бывает недостаточно, так как зачастую вклад более высоких мод значителен. Таким образом, может быть применим метод последовательного рассмотрения мод [17]. Двухмерный анализ применим в случае, когда полотно моста является прямым, с призматическим поперечным сечением, имеющим одинаковую по всему пролету моста изгибную и крутильную форму [20]. Кроме того, предполагается, что скорость ветра одинакова на всем уровне сечения.
Учет горизонтальных мод приводит к трехмерному анализу флаттера. Моды в поперечном направлении могут иметь значительное влияние на точное предсказание предела флаттера для мостов с большой протяженностью [25]. Горизонтальное движение полотна моста по направлению ветра для очень гибких большепролетных мостов может играть важную роль. Это было продемонстрировано на примере моста через пролив Акаси, где показано, что за счет включения аэродинамических производных р* значительно снижается предел флаттера. Столь
значительного вклада во флаттер поперечных мод никогда ранее не наблюдалось. В работе [24] показано, что это связано с совместной работой поперечных и крутильных мод. Аэродинамические производные р* обычно не измеряются непосредственно при испытаниях в аэродинамической трубе, поэтому могут использоваться квазистационарные значения (см. таблицу).
Преобразование между обозначениями аэродинамических производных Сканлана
и квазистационарной теорией [41]
Производные Сканлана Р Р 1 2 Р Р Н * А* Н А* Н 6, А6 р р 1 4 ' р6
Квазистационарная теория [41] --1 с. К ° ^ с, 2К ° 1 с 2К2 Сд 2К ° ■1 с К 1 -1 с КСм 0 0
В трехмерном анализе флаттера используется суперпозиция мод, в которых динамическое взаимодействие между модами конструкции происходит за счет самовозбуждающихся аэродинамических сил [19, 20]. Лишь несколько мод оказывают влияние на возникновение флаттера, и их необходимо учитывать при анализе. Анализ флаттера по выбранным модам колебаний является приблизительным, однако он может дать хорошую точность, если выбраны значимые моды. Трехмерные эффекты конструкции и характеристик ветра, а также влияние связанных мод важны для анализа флаттера, поскольку изменение характеристик доминирующей моды влияет на критический предел флаттера. В работе Сканлана показаны случаи, в которых моды, соответствующие высоким частотам, вносили значительный вклад в прогнозирование предела флаттера.
Анализ флаттера часто выполняется в модальном пространстве для мультимодальных систем, для которых Агаром [13] были разработаны аналитические методы. Сканлан (1996 г.) для изучения возникновения флаттера при отклике конструкций большепролетных мостов использовал мультимодальные подходы. В [9] исследовали методы полного порядка и прово-
дили сопоставление с результатами, полученными с применением двухмодального и мульти-модального подходов. В мультимодальном подходе выбранные моды были включены в анализ, тогда как в методе полного порядка учитывались все степени свободы, что с методологической точки зрения является точным для анализа флаттера, однако этот подход требует большего времени для вычислений. Чен и Карим [12] внесли значимую ясность в понимании муль-тимодального сопряженного флаттера, предложив выражения в замкнутой форме без использования CEVA для оценки модальных характеристик мостовых систем и двумерного предсказания флаттера. Они также предоставили руководство по выбору критических мод конструкции и пониманию отклика мостовых конструкций при возникновении мультимодального сопряженного флаттера. В [42] исследовали влияние каждой аэродинамической производной и связи мод на предел флаттера.
Старосек в работе 1997 г. использовал метод конечных элементов (МКЭ) при моделировании мостовых настилов с использованием балочных элементов с целью прогнозирования предела флаттера для системы с несколькими степенями свободы. Комплексное представление использовалось в работах Старосека при оценке предела двумерного крутильного флаттера и связанного флаттера в пространстве мод путем сравнения описаний одних и тех же механических явлений с помощью вещественных и комплексных чисел. В [31] применяли комплексное представление для сравнения аэродинамических производных, полученных в результате численного моделирования гидрогазодинамики (CFD) методом конечных объемов (МКО) и экспериментов в водном (гидродинамическиом) туннеле.
Заключение
В настоящей статье представлен обзор аналитических (в том числе полуаналитических и полуэмпирических) моделей флаттера и методов оценки предела флаттера (критической скорости флаттера). На основе проведенного обзора сделаны следующие выводы.
По своей природе явление флаттера характеризуется связью вертикальных и крутильных колебаний, когда частоты этих двух режимов совпадают. Аналитический анализ флаттера требует одновременного решения обобщенных уравнений движения системы с двумя степенями свободы как сложной задачи на собственные значения. Часто учитываются только первая основная изгибная мода и первая основная крутильная мода, для которых может быть выполнен упрощенный двухмерный анализ флаттера. Это упрощение предполагает, что только эти выбранные моды участвуют в анализе флаттера, что может привести к завышению предела флаттера. С одной стороны, этот подход не зависит от формы тела, но с другой - игнорируются эффекты, связанные с упрощением геометрии конструкции до плоской пластины (модель Тео-дорсена). Следовательно, этот подход действителен только для двумерного потока и конструкций с поперечным сечением типа плоской пластины или профиля крыла. Несмотря на это, данная модель может послужить стартовой точкой для первоначальной оценки флаттерной неустойчивости.
Полуэмпирические модели (модель Сканлана, модели на основе переходных и импульсных функций, квазистационарная теория), основанные на аналитической теории Теодорсена, дают более реалистичные результаты оценки аэродинамического поведения обтекаемых профилей конструкций. Часто используемой в проектной практике является модель Сканлана.
Для оценки предела флаттера наиболее используемыми на практике являются методы с решением в частотной области из-за их эффективности и простоты. Но эти методы применимы только для линейных моделей конструкций. Поэтому основным направлением исследований сегодня является развитие методов с решением во временной области, учитывающих нелинейности и эффекты памяти жидкости.
Упрощенные подходы помогают понять механизм взаимодействия конструкции с ветровым потоком. С одной стороны, эти подходы обеспечивают разумный прогноз для пла-
стины, с другой - не совсем применимы для реальных конструкций. Поэтому могут быть использованы для предварительного анализа флаттерной неустойчивости, но не для принятия окончательных проектных решений.
Мультимодальные подходы являются наиболее точными, так как учитывается трехмерность конструкций и характеристик ветра. То есть в анализе предела флаттера рассматривается взаимодействие большего количества мод, а также мод в различных направлениях, которые могут вносить значительный вклад в точное определение предела флаттера.
В дополнение к обзору аналитических и полуэмпирических методов оценки флаттерной неустойчивости был проведен анализ нормативных документов (как отечественных, так и зарубежных), который показал, что во всех рассмотренных нормативных документах флаттер признается опасным и недопустимым аэроупругим явлением. При этом никакой методики анализа флаттерной неустойчивости конструкции не предлагается, а рекомендуется проводить отдельно исследования в аэродинамических трубах или с помощью специалиста в данной области. Можно встретить рекомендации по оценке возможности возникновения флаттера на основе геометрических и динамических характеристик конструкций. А также некоторые нормы предлагают методику оценки критической скорости дивергенции с предположением, что дивергенция наступает раньше, чем флаттер.
Представленный в статье обзор аналитических и полуэмпирических моделей флаттера и методов оценки предела флаттера указывает на возможность и необходимость актуализации отечественных норм в целях оценки аэроупругой неустойчивости типа флаттер.
Финансирование
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования (проект: «Теоретико-экспериментальное конструирование новых композитных материалов для обеспечения безопасности при эксплуатации зданий и сооружений в условиях техногенных и биогенных угроз» FSWG-2020-0007).
Заявленный вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Казакевич М.И. Основы расчетов сооружений на ветровые воздействия. Москва: Изд-во МИСИ-МГСУ, 2019. 171 с.
2. Леонов Г.А., Кузнецов Н.В. О подавлении флаттера в модели Келдыша // ДАН. 2018. Т. 482, N°. 1. С.33-37.
3. Agar T. J. A. Dynamic instability of suspension bridges. Computers & structures. 1991;41(6): 1321-1328.
4. Banerjee J. R. A simplified method for the free vibration and flutter analysis of bridge decks. Journal of sound and vibration. 2003;260(5):829-845. DOI 10.1016/S0022-460X(02)00929-X
5. Bisplinghoff R.L., Ashley H., Halfman R.L. Aeroelasticity. Dover Science. New York, 1996.
6. Borri C., Costa C. Quasi-steady analysis of a two-dimensional bridge deck element. Computers & structures. 2004;82(13-14):993-1006. DOI 10.1016/j.compstruc.2004.03.019
7. Borri C., Hoffer R. Aeroelastic wind forces on flexible bridge girders. Meccanica. 2000;35(1): 1-15. DOI 10.1023/A: 1004729423318
8. Borri C., Mannini C. Aeroelastic phenomena and pedestrian-structure dynamic interaction on non-conventional bridges and footbridges. Firenze University Press, 2010. 148 p. DOI 10.36253/978-88-6453202-8
9. Caracoglia L., Jones N. P. Time domain vs. frequency domain characterization of aeroelastic forces for bridge deck sections. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2003;91(3): 371-402. DOI 10.1016/S0167-6105(02)00399-9
10. Chen X., Kareem A. Aeroelastic analysis of bridges under multicorrelated winds: Integrated state-space approach. Journal of Engineering Mechanics. 2001;127(11): 1124-1134. DOI 10.1061/(asce)0733-9399(2001)127:11(1124)
11. Chen X., Kareem A. Aeroelastic analysis of bridges: effects of turbulence and aerodynamic nonlineari-ties, Journal of Engineering Mechanics. 2003:129(8):885-895. DOI 10.1061/(asce)0733-9399(2003)129:8(885)
12. Chen X., Kareem A. Identification of critical structural modes and flutter derivatives for predicting coupled bridge flutter. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2008;96(10-11):1856-1870. DOI 10.1016/j .jweia.2008.02.025
13. Chen X., Matsumoto M., Kareem A. Time domain flutter and buffeting response analysis of bridges Journal of Engineering Mechanics. 2000;126(1):7-16. DOI 10.1061/(asce)0733-9399-(2000)126:1(7).
14. Diana G. et al. Complex aerodynamic admittance function role in buffeting response of a bridge deck. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2002;90(12-15):2057-2072. DOI 10.1016/S0167-6105(02)00321-5
15. Diana G., Resta F., Rocchi D. A new numerical approach to reproduce bridge aerodynamic non-linearities in time domain. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2008;96(10—11): 1871— 1884. DOI 10.1016/j .jweia.2008.02.052
16. Diana G., Rocchi D., Argentini T. An experimental validation of a band superposition model of the aerodynamic forces acting on multi-box deck sections. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2013;113:40-58. DOI 10.1016/j.jweia.2012.12.005
17. Fujino Y., Siringoringo D. Vibration mechanisms and controls of long-span bridges: a review. Structural Engineering International. 2013;23(3):248-268. DOI 10.2749/101686613X-13439149156886
18. Hoa L.T. Flutter Instability of Cable-stayed Bridges. Vietnam National University Hanoi. 2008.
19. Hua X. G., Chen Z. Q. Full-order and multimode flutter analysis using ANSYS. Finite Elements in Analysis and Design. 2000;44(9-10):537-551. DOI 10.1016/j.finel.2008.01.011
20. Kareem A., Tamura Y. (ed.). Advanced structural wind engineering. New York: Springer, 2013. 410 p.
21. Lazzari M., Vitaliani R. V., Saetta A. V. Aeroelastic forces and dynamic response of long-span bridges. International journal for numerical methods in engineering. 2004;60(6):1011-1048. DOI 10.1002/nme.987
22. Lee H.E. et al. A simplified evaluation in critical frequency and wind speed to bridge deck flutter. Procedia engineering. 2011;14:1784-1790. DOI 10.1016/j.proeng.2011.07.224
23. Lute V., Upadhyay A., Singh K. K. Support vector machine based aerodynamic analysis of cable stayed bridges. Advances in Engineering Software. 2009;40(9):830-835. DOI 10.1016/j.advengsoft.2009.01.008.
24. Matsumoto M. et al. New consideration on flutter properties based on step-by-step analysis. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2010;98(8-9):429-437. DOI 10.1016/j .jweia.2010.02.001
25. Mishra S.S., Kumar K., Krishna P. Multimode flutter of long-span cable-stayed bridge based on 18 experimental aeroelastic derivatives. Journal of wind engineering and industrial aerodynamics. 2008; 96(1):83-102. DOI 10.1016/j.jweia.2007.03.006.
26. Miyata T. Historical view of long-span bridge aerodynamics. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2003;91(12-15):1393-1410.
27. 0iseth O., Ronnquist A., Sigbjornsson R. Finite element formulation of the self-excited forces for timedomain assessment of wind-induced dynamic response and flutter stability limit of cable-supported bridges. Finite elements in analysis and design. 2012;50:173-183. DOI 10.1016/j.finel.2011.09.008
28. 0iseth O., Ronnquist A., Sigbjornsson R. Simplified prediction of wind-induced response and stability limit of slender long-span suspension bridges, based on modified quasi-steady theory: A case study. Journal of wind engineering and industrial aerodynamics. 2010;98(12):730-741. DOI 10.1016/j.jweia.2010.06.009
29. 0iseth O., Sigbjornsson R. An alternative analytical approach to prediction of flutter stability limits of cable supported bridges. Journal of Sound and Vibration. 2011;330(12):2784-2800. DOI 10.1016/j.jsv.2010.12.026
30. Scanlan R.H. Motion-related body-force functions in two-dimensional low-speed flow. Journal of Fluids and Structures. 2000;14(1):49-63. DOI 10.1006/jfls.1999.0252
31. Scanlan R.H. Observations on low-speed aeroelasticity. Journal of Engineering Mechanics. 2002;128(12):1254-1258.
32. Simiu E., Yeo D. H. Wind effects on structures: Modern structural design for wind. John Wiley & Sons, 2019.
33. Starossek U., Aslan H., Thiesemann L. Experimental and numerical identification of flutter derivatives for nine bridge deck sections. Wind and Structures. 2009;12(6):519. DOI 10.12989/was.2009.12.6.519
34. Strammen E. Theory of bridge aerodynamics. Springer Science & Business Media, 2010. 302 p.
35. Vairo G.A simple analytical approach to the aeroelastic stability problem of long-span cable-stayed bridges. International Journal for Computational Methods in Engineering Science and Mechanics. 2010; 11(1): 1-19. DOI 10.1080/15502280903446846
36. Wu T., Kareem A. A nonlinear convolution scheme to simulate bridge aerodynamics. Computers & Structures. 2013;128:259-271. DOI 10.1016/j.compstruc.2013.06.004
37. Wu T., Kareem A. Bridge aerodynamics and aeroelasticity: a comparison of modeling schemes. Journal of Fluids and Structures. 2013;43:347-370. DOI 10.1016/j.jfluidstructs.2013.09.015
38. Wu T., Kareem A. Modeling hysteretic nonlinear behavior of bridge aerodynamics via cellular automata nested neural network. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2011;99(4):378-388. DOI 10.1016/j.jweia.2010.12.011
39. Wu T., Kareem A. Revisiting convolution scheme in bridge aerodynamics: comparison of step and impulse response functions. Journal of Engineering Mechanics. 2014;140(5):04014008. DOI 10.1061/(asce)em.1943-7889.0000709
40. Xu X. Parametric studies on relationships between flutter derivatives of slender bridge (I). Applied mathematics and mechanics. 2009;30(2):237-245. DOI 10.1007/s10483-009-0211-2
41. Xu Y. L. Wind effects on cable-supported bridges. John Wiley & Sons, 2013. 776 p.
42. Zhang X., Sun B., Peng W. Study on flutter characteristics of cable-supported bridges. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2003;91(6):841-854. DOI 10.1016/S01676105(02)00477-4
43. Zhang Z. T., Chen Z. Q. Indicial functions for bridge aero-elastic forces and discussion of some problematic issues in flutter analysis. The Fifth International Symposium on Computational Wind Engineering (CWE2010). Chapel Hill. 2010. Paper No. 408.
FEFU: SCHOOL of ENGINEERING BULLETIN. 2023. N 1/54 Construction Mechanics www.dvfu.ru/en/vestnikis
Original article
DOI https://doi.org/10.24866/2227-6858/2023-1/119-140
Negrozova I., Afanasyeva I.
IRINA Yu. NEGROZOVA, Junior Researcher, irina-lanzova@mail.ru, https://orcid.org/0000-0001-8501-9306
Scientific and Educational Center for Computer Modeling of Unique Buildings, Structures and Complexes named after A.B. Zolotova National Research Moscow State University of Civil Engineering
IRINA N. AFANASYEVA, Candidate of Engineering Sciences, Leading Calculation Engineer, irina.n.afanasyeva@gmail.com, https://orcid.org/0000-0001-8618-3829 CJSC Research Center StaDiO Moscow, Russia
A review of analytical and semi-empirical approaches for analysis of flutter aerodynamic instability
Abstract. Estimation of the possibility of aerodynamic instability plays one of the important roles in the design of various structures. Current paper presents an overview of existing analytical (including semi-analytical and semi-empirical) flutter models and methods for flutter limit (flutter critical velocity) estimation, which formed the basis for engineering analysis of flutter instability of structures. Analytical models of flutter are used as a part of the flutter analysis performed experimentally and/or by using numerical methods. In addition to the review of analytical and semi-empirical methods for assessing flutter instability, a brief analysis of regulatory documents (both domestic and foreign design codes) is presented. This review showed that in all the design codes considered, flutter is recognized as a dangerous and unacceptable aeroelastic phenomenon, however, no method for analyzing of this phenomenon is proposed, and only recommendations are given for assessing the possibility of flutter occurrence based on the characteristics of structures. For structures subject to flutter, a recommendation is made for additional studies of this phenomenon based on wind tunnel tests or with the help of a specialist. The review of existing analytical and semi-empirical flutter models and methods for estimating the flutter limit presented in the paper indicates the possibility and necessity of updating domestic design codes and standards in terms of flutter analysis.
Keywords: aeroelastic phenomena, aerodynamic instability, flutter, flutter limit
For citation: Negrozova I., Afanasyeva I. A review of analytical and semi-empirical approaches for analysis of flutter aerodynamic instability. FEFU: School of Engineering Bulletin. 2023;(1):00-00. (In Russ.)
Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflict of interests.
REFERENCES
1. Kazakevich M.I. Osnovy raschetov sooruzheniy na vetrovyye vozdeystviya [Fundamentals of calculations of structures for wind effects]. Moscow, MISI-MGSU, 2019. 171 p. (In Russ.)
2. Leonov G.A., Kuznetsov N.V. O podavlenii flattera v modeli Keldysha [On flutter suppression in the Keldysh model]. DAN. 2018;482(1):33-37 (In Russ.)
3. Agar T. J. A. Dynamic instability of suspension bridges. Computers & structures. 1991;41(6): 1321-1328.
4. Banerjee J. R. A simplified method for the free vibration and flutter analysis of bridge decks. Journal of sound and vibration. 2003;260(5):829-845. DOI 10.1016/S0022-460X(02)00929-X
5. Bisplinghoff R.L., Ashley H., Halfman R.L. Aeroelasticity. Dover Science. New York, 1996.
6. Borri C., Costa C. Quasi-steady analysis of a two-dimensional bridge deck element. Computers & structures. 2004;82(13-14):993-1006. DOI 10.1016/j.compstruc.2004.03.019
7. Borri C., Hoffer R. Aeroelastic wind forces on flexible bridge girders. Meccanica. 2000;35(1): 1-15. DOI 10.1023/A: 1004729423318
8. Borri C., Mannini C. Aeroelastic phenomena and pedestrian-structure dynamic interaction on non-conventional bridges and footbridges. Firenze University Press, 2010. 148 p. DOI 10.36253/978-88-6453-202-8
9. Caracoglia L., Jones N. P. Time domain vs. frequency domain characterization of aeroelastic forces for bridge deck sections. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2003;91(3): 371-402. DOI 10.1016/S0167-6105(02)00399-9
10.Chen X., Kareem A. Aeroelastic analysis of bridges under multicorrelated winds: Integrated state-space approach. Journal of Engineering Mechanics. 2001;127(11): 1124-1134. DOI 10.1061/(asce)0733-9399(2001)127:11(1124)
11.Chen X., Kareem A. Aeroelastic analysis of bridges: effects of turbulence and aerodynamic nonlineari-ties, Journal of Engineering Mechanics. 2003:129(8):885-895. DOI 10.1061/(asce)0733-9399(2003)129:8(885)
12.Chen X., Kareem A. Identification of critical structural modes and flutter derivatives for predicting coupled bridge flutter. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2008;96(10-11):1856-1870. DOI 10.1016/j .jweia.2008.02.025
13.Chen X., Matsumoto M., Kareem A. Time domain flutter and buffeting response analysis of bridges Journal of Engineering Mechanics. 2000;126(1):7-16. DOI 10.1061/(asce)0733-9399-(2000)126:1(7).
14.Diana G. et al. Complex aerodynamic admittance function role in buffeting response of a bridge deck. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2002;90(12-15):2057-2072. DOI 10.1016/S0167-6105(02)00321-5
15.Diana G., Resta F., Rocchi D. A new numerical approach to reproduce bridge aerodynamic non-linearities in time domain. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2008;96(10-11): 1871-1884. DOI 10.1016/j.jweia.2008.02.052
16.Diana G., Rocchi D., Argentini T. An experimental validation of a band superposition model of the aerodynamic forces acting on multi-box deck sections. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2013;113:40-58. DOI 10.1016/j.jweia.2012.12.005
17.Fujino Y., Siringoringo D. Vibration mechanisms and controls of long-span bridges: a review. Structural Engineering International. 2013;23(3):248-268. DOI 10.2749/101686613X-13439149156886
18.Hoa L.T. Flutter Instability of Cable-stayed Bridges. Vietnam National University Hanoi. 2008.
19.Hua X. G., Chen Z. Q. Full-order and multimode flutter analysis using ANSYS. Finite Elements in Analysis and Design. 2000;44(9-10):537-551. DOI 10.1016/j.finel.2008.01.011
20. Kareem A., Tamura Y. (ed.). Advanced structural wind engineering. New York: Springer, 2013. 410 p.
21.Lazzari M., Vitaliani R. V., Saetta A. V. Aeroelastic forces and dynamic response of long-span bridges. International journal for numerical methods in engineering. 2004;60(6):1011-1048. DOI 10.1002/nme.987
22.Lee H.E. et al. A simplified evaluation in critical frequency and wind speed to bridge deck flutter. Procedia engineering. 2011;14:1784-1790. DOI 10.1016/j.proeng.2011.07.224
23. Lute V., Upadhyay A., Singh K. K. Support vector machine based aerodynamic analysis of cable stayed bridges. Advances in Engineering Software. 2009;40(9):830-835. DOI 10.1016/j.advengsoft.2009.01.008.
24. Matsumoto M. et al. New consideration on flutter properties based on step-by-step analysis. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2010;98(8-9):429-437. DOI 10.1016/j.jweia.2010.02.001
25.Mishra S.S., Kumar K., Krishna P. Multimode flutter of long-span cable-stayed bridge based on 18 experimental aeroelastic derivatives. Journal of wind engineering and industrial aerodynamics. 2008; 96(1):83-102. DOI 10.1016/j.jweia.2007.03.006.
26.Miyata T. Historical view of long-span bridge aerodynamics. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2003;91(12-15):1393-1410.
27.0iseth O., Rönnquist A., Sigbjörnsson R. Finite element formulation of the self-excited forces for timedomain assessment of wind-induced dynamic response and flutter stability limit of cable-supported bridges. Finite elements in analysis and design. 2012;50:173-183. DOI 10.1016/j.finel.2011.09.008
28.0iseth O., Rönnquist A., Sigbjörnsson R. Simplified prediction of wind-induced response and stability limit of slender long-span suspension bridges, based on modified quasi-steady theory: A case study. Journal of wind engineering and industrial aerodynamics. 2010;98(12):730-741. DOI 10.1016/j.jweia.2010.06.009
29.0iseth O., Sigbjörnsson R. An alternative analytical approach to prediction of flutter stability limits of cable supported bridges. Journal of Sound and Vibration. 2011;330(12):2784-2800. DOI 10.1016/j.jsv.2010.12.026
30.Scanlan R.H. Motion-related body-force functions in two-dimensional low-speed flow. Journal of Fluids and Structures. 2000;14(1):49-63. DOI 10.1006/jfls.1999.0252
31.Scanlan R.H. Observations on low-speed aeroelasticity. Journal of Engineering Mechanics. 2002;128(12):1254-1258.
32. Simiu E., Yeo D. H. Wind effects on structures: Modern structural design for wind. John Wiley & Sons, 2019.
33.Starossek U., Aslan H., Thiesemann L. Experimental and numerical identification of flutter derivatives for nine bridge deck sections. Wind and Structures. 2009;12(6):519. DOI 10.12989/was.2009.12.6.519
34.Strammen E. Theory of bridge aerodynamics. Springer Science & Business Media, 2010. 302 p.
35.Vairo G.A simple analytical approach to the aeroelastic stability problem of long-span cable-stayed bridges. International Journal for Computational Methods in Engineering Science and Mechanics. 2010; 11(1): 1-19. DOI 10.1080/15502280903446846
36.Wu T., Kareem A. A nonlinear convolution scheme to simulate bridge aerodynamics. Computers & Structures. 2013;128:259-271. DOI 10.1016/j.compstruc.2013.06.004
37.Wu T., Kareem A. Bridge aerodynamics and aeroelasticity: a comparison of modeling schemes. Journal of Fluids and Structures. 2013;43:347-370. DOI 10.1016/j.jfluidstructs.2013.09.015
38.Wu T., Kareem A. Modeling hysteretic nonlinear behavior of bridge aerodynamics via cellular automata nested neural network. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2011;99(4):378-388. DOI 10.1016/j.jweia.2010.12.011
39.Wu T., Kareem A. Revisiting convolution scheme in bridge aerodynamics: comparison of step and impulse response functions. Journal of Engineering Mechanics. 2014;140(5):04014008. DOI 10.1061/(asce)em.1943-7889.0000709
40.Xu X. Parametric studies on relationships between flutter derivatives of slender bridge (I). Applied mathematics and mechanics. 2009;30(2):237-245. DOI 10.1007/s10483-009-0211-2
41.Xu Y. L. Wind effects on cable-supported bridges. John Wiley & Sons, 2013. 776 p.
42.Zhang X., Sun B., Peng W. Study on flutter characteristics of cable-supported bridges. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2003;91(6):841-854. DOI 10.1016/S01676105(02)00477-4
43.Zhang Z. T., Chen Z. Q. Indicial functions for bridge aero-elastic forces and discussion of some problematic issues in flutter analysis. The Fifth International Symposium on Computational Wind Engineering (CWE2010). Chapel Hill. 2010. Paper No. 408.
