ОБЪёМНАЯ ЖёСТКОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 532.5.013.2

ОБЪЕМНАЯ ЖЕСТКОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ ГИДРАВЛИЧЕСКОМ СИСТЕМЫ

© 2006 г. А. Т. Рыбак, В. С. Крутиков

Постановка задачи. В результате интенсивного развития технических возможностей вычислительной техники всё больше авторов теоретических исследований прибегают к прямым численным расчетам при решении различных задач, связанных с интегрированием дифференциальных уравнений. Одной из таких задач является исследование динамики работы силового гидравлического привода гидромеханических систем (ГМС). В этих случаях возникает необходимость определить изменение во времени давления сжимаемой жидкости в различных точках гидравлической системы.

Объёмная жёсткость жидкости. Изменение давления жидкости в различных точках гидравлической системы можно отследить, обратившись к обобщённому закону Гука, из которого следует, что [1, 2]

R =--1 dV~*

Р Ж т

Vо dp

Z7 dVж или dp = -E ж ж

V0

где рж - коэффициент объемного сжатия жидкости; У0 - начальный объём жидкости; dVж - приращение объёма жидкости соответствующее приращению давления на dp; Еж = в— - объёмный модуль упругости

жидкости. Знак (-) указывает на то, что положительному приращению давления dp соответствует отрицательное приращение объёма жидкости dVж и наоборот.

Но тогда, обозначив С ж = Еж/У0 , получим

dP = -C ж dVж

(1)

примет вид

dP = -C ж (вых - dVBX )

(2)

где dVвых - объём жидкости, выходящей из рассматриваемого объёма У0 за время dt; dУвх - объём жидкости, туда вошедшей за время dt.

dVж (—>

Qb:

Vo - dVж

dVB,

dVвх

"Qb,

dVB„

Рис. 1. Схема изменения объёма упругой жидкости при одновременном её перемещении

dV dt

Разделив уравнение (2) на dt, имея в виду, что = Q - объёмный расход жидкости, переставив

при этом местами величины, стоящие в скобках, окончательно запишем

dp = Cж (Qbx - Qвых )dt ,

(3)

где Сж - объемная жёсткость жидкости, которую из зависимости (1) можно определить как С ж = dp|dVж -приращение давления жидкости, соответствующее единичному приращению первоначального объёма, или, другими словами, - увеличение давления, необходимое для изменения первоначального объёма жидкости У0 на единицу.

Если при этом учесть, что из рассматриваемого объёма (рис. 1) жидкость может как выходить (жидкость расширяется), так и входить туда (жидкость сжимается), т.е. dУ— = dVвых - dУвх, то уравнение (1)

где dp - приращение давления жидкости в рассматриваемом объёме У0 за время dt; Qвх и Qвых - расходы вошедшей в рассматриваемый объём и вышедшей из него жидкости за то же время, соответственно.

Уравнение (3) позволяет определить изменение давления жидкости в некотором объёме, ограниченном абсолютно жёсткой оболочкой, при нестационарном течении жидкости через него.

Объёмная жёсткость цилиндрической стенки. Если же деформацией оболочки пренебречь нельзя, то изменение её объёма (например, объёма цилиндрической трубы), можно определить из следующих соображений Утр = пг 21, где Утр - первоначальный объём

рассматриваемого участка трубы; г и I - его радиус и длина, соответственно. Тогда можно записать, что

dVTp = 2nlrdr.

(4)

при этом приращение радиуса трубы dг определим по приращению напряжения dc, возникающего в стенке трубы под действием приращения давления

dp dr =-d о ,

E ст

(5)

где ст= p--напряжение, возникшее в стенке трубы

8

при воздействии на неё изнутри давления p; Ест и 5 - модуль упругости на растяжение материала стенки и её толщина, соответственно.

о

Тогда полный дифференциал напряжения можно определить по выражению

d и =1 (rdp + pdr). 8

(6)

Но так как для металлических труб можно считать, что Ыр >> pdr , то, пренебрегая вторым членом в скобке дифференциала напряжения (6), получим

dа =1 Мр , тогда из (5) следует, что 8

dr =

1Г 8 E

dp

(7)

и, подставив значение дифференциала радиуса трубы (7) в уравнение (4), получим

2 1 2г

dVтр = кг I———dp ,

тр

8 E с

или окончательно dp = С ст dV , где

C =

2 d ПГ —

8 E с

Произведя преобразования уравнения (8) с учё том, что dp = С ж dVжи dp = С

ст dVтр ,окончательно

получим выражение для определения приведённой объёмной жёсткости цилиндрической трубы с рабочей жидкостью

Е

ж (9)

C=

^ пр

(

V0

, dE ж 1 +--^

8 E с

Л '

Приведённая объёмная жёсткость поршневой и штоковой полостей гидравлического цилиндра.

Аналогично выводу уравнения (9) легко доказать, что приведённая объёмная жёсткость поршневой полости гидравлического цилиндра, без учёта влияния её вредного объема, может быть определена по формуле

4Е ж

C

пр.п

nd 2 х

, dE ж

1 +--^

8 E с

А

где d - внутренний диаметр гильзы гидроцилиндра; х - ход поршня гидроцилиндра (величина его выдвижения).

Аналогично приведённая объёмная жёсткость штоковой полости гидроцилиндра определяется по уравнению

4Е

=

п(Ь-х)

(d 2 - dL )

E

8 E с

где Ь - полный ход поршня гидроцилиндра, dшт - диаметр штока гидроцилиндра.

Приведённая объёмная жёсткость п элементарных объёмов, включённых в гидравлическую систему параллельно. Аналогично выводу формулы приведённой объёмной жёсткости цилиндрической трубы с рабочей жидкостью (9), где рассматривалось влияние двух элементов с собственной объёмной жёсткостью на приведённую объёмную жёсткость системы, в которую они включены параллельно, для п элементарных объёмов, включенных в систему параллельно, можно получить выражение

Сст - объёмная жёсткость стенки цилиндрической трубы; d - её первоначальный внутренний диаметр; dVтр - приращение объёма цилиндрической трубы соответствующее приращению давления dp.

Приведённая объёмная жёсткость трубы с рабочей жидкостью. На практике деформация стенок трубы происходит одновременно с деформацией рабочей жидкости, но тогда можно записать уравнение dp = С др dV , где Спр - приведённая объёмная жёсткость цилиндрической трубы с рабочей жидкостью; с1У - приращение объёма жидкости, ограниченного упругой оболочкой, которое равно сумме

dV = dVж + dVТр . (8)

П С,.

i=1

С=

п 1 п

Е С- п С,.

г =1^ Сгг=1 7

где Спр - приведённая объёмная жёсткость гидравлической системы, состоящей из п элементарных объёмов различного вида, включенных в систему параллельно; Сг - объёмная жёсткость г-го элемента системы.

Вывод. Используя предлагаемые формулы приведённых жёсткостей участков гидросистемы, можно отслеживать изменение во времени давления в различных точках гидравлической системы. Уравнение (3) в этом случае будет иметь вид

(к т \

dp = C

пр

2 0вх - Z Qв

1=1 }=1

dt,

где к - количество потоков рабочей жидкости входящих в рассматриваемый объём; т - количество потоков рабочей жидкости выходящих из рассматриваемого объёма.

Такой подход позволяет составлять математические модели ГМС различного оборудования [3] и производить теоретический анализ работы гидропривода в неустановившемся режиме.

Литература

1. Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. Гидромеханика / Под ред. Д.Н. Попова. М., 2002.

2. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы / Т.М Башта, С.С. Руднев, Б.Б. Некрасов и др. М., 1982.

3. Рыбак А.Т., Фридрих Р.А. Гидравлический привод быстродействующего пресса // Современное состояние и перспективы развития гидромашиностроения в XXI веке: Тр. междунар. науч. техн. конф. СПб., 2003. С. 342-347.

Донской государственный технический университет, г. Ростов на Дону; Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)_

28 апреля 2006 »