CC BY
19
Том 28, № 142 НАУЧНАЯ СТАТЬЯ
© Борзов Н. С., Жуковская Т. В., Серова И. Д., 2023 https://doi.org/10.20310/2686-9667-2023-28-142-137-154 УДК 517.911, 517.929
2023
Обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения с запаздыванием: общие свойства и особенности
Никита Сергеевич БОРЗОВ1'2 , Татьяна Владимировна Жуковская3 ,
Ирина Дмитриевна Серова1
1 ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина» 392036, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33
2 ФГБУН «Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН»
117997, Российская Федерация, г. Москва, ул. Профсоюзная, 65
3 ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный технический университет»
392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Советская, 106/5
Аннотация. Рассматривается дифференциальное уравнение с запаздыванием
(ОД)), £ > 0, х(в) = 5< 0,
относительно неизвестной функции х, абсолютно непрерывной на каждом конечном отрезке. Предполагается, что функция / : М+ х М ^ М суперпозиционно измерима, функции : (-то, 0) ^ М, Н : М+ ^ М измеримы и при п. в. £ > 0 выполнено Н(£) < Если имеет место более обременительное неравенство Н(£) < £ — т при некотором т > 0, то задача Коши для этого уравнения однозначно разрешима и любое решение продолжаемо на всю полуось М+. В то же время задача Коши для соответствующего дифференциального уравнения
(*)), £ > 0,
как известно, может иметь бесконечно много решений, а максимальный интервал существования решений может быть конечным. В статье рассмотрен вопрос, какими из перечисленных свойств обладает уравнение с запаздыванием (единственность решения или бесконечность множества решений, бесконечность или конечность максимального интервала существования решений), если функция Н имеет всего лишь одну «критическую» точку > 0 — точку, для которой мера множества {£ € (£о — е, £о + е) П М+ : Н(£) > £ — е} является положительной при любом е > 0. Оказывается, что при такой функции запаздывания свойства решений близки свойствам решений обыкновенного дифференциального уравнения. Кроме того, рассмотрена задача о зависимости решений уравнения с запаздыванием от функции Н.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение с запаздыванием, задача Коши, зависимость решения от функции запаздывания
Благодарности: Результаты раздела 1 получены третьим автором в Тамбовском государственном университете им. Г. Р. Державина при поддержке Российского научного фонда (проект № 23-11-20020, https://rscf.ru/project/23-11-20020/), результаты раздела 2 получены первым автором в Институте проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН при поддержке Российского научного фонда (проект № 20-11-20131, https://rscf.ru/project/20-11-20131/)
Для цитирования: Борзов Н.С., Жуковская Т.В., Серова И.Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения с запаздыванием: общие свойства и особенности // Вестник российских университетов. Математика. 2023. Т. 28. № 142. С. 137-154. https://doi.org/10.20310/2686-9667-2023-28-142-137-154
SCIENTIFIC ARTICLES
© N. S. Borzov, T.V. Zhukovskaya, I.D. Serova, 2023 https://doi.org/10.20310/2686-9667-2023-28-142-137-154
Ordinary differential equations and differential equations with delay:
general properties and features
Nikita S. BORZOV1'2 , Tatyana V. Zhukovskaya3 , Irina D. Serova1
1 Derzhavin Tambov State University 33 International St., Tambov 392036, Russian Federation 2 V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences, Russian Academy of Sciences 65 Profsoyuznaya St., Moscow 117997, Russian Federation
3 Tambov State Technical University 106/5 Sovetskaya St., Tambov 392000, Russian Federation
Abstract. We consider the differential equation with delay
x(t) = f (t, x (h(t))), t > 0, x(s) = f(s), s< 0,
with respect to an unknown function x absolutely continuous on every finite interval. It is assumed that the function f : R+ x R ^ R is superpositionally measurable, the functions f : (-to, 0) ^ R, h : R+ ^ R are measurable, and h(t) < t for a. e. t > 0. If the more burdensome inequality h(t) < t — t holds for some t > 0, then the Cauchy problem for this equation is uniquely solvable and any solution can be extended to the semiaxis R+. At the same time, the Cauchy problem for the corresponding differential equation
x(t) = f (t,x(t)), t > 0,
may have infinitely many solutions, and the maximum interval of existence of solutions may be finite. In the article, we investigate which of the listed properties a delay equation possesses (i.e. has a unique solution or infinitely many solutions, has finite or infinite maximum interval of existence of solutions), if the function h has only one «critical» point t0 > 0, a point for which the measure of the set {t e (t0 — e,t0 + e) n R+ : h(t) > t — e} is positive for any e > 0. It turns out that for such a delay function, the properties of solutions are close to those of solutions of an ordinary differential equation. In addition, we consider the problem of the dependence of solutions of a delay equation on the function h.
Keywords: differential equation with delay, Cauchy problem, dependence of a solution on a delay function
Acknowledgements: The results of section 1 were obtained by the third author at Derzhavin Tambov State University with the support of the Russian Science Foundation (project no. 2311-20020, https://rscf.ru/en/project/23-11-20020/), the results of section 2 were obtained by the first author V.A. Trapeznikov Institute of Control Problems RAS with the support of the Russian Science Foundation (project no. 20-11-20131, https://rscf.ru/en/project/20-11-20131/).
Mathematics Subject Classification: 34K05, 34A12.
For citation: Borzov N.S., Zhukovskaya T.V., Serova I.D. Ordinary differential equations and differential equations with delay: general properties and features. Vestnik rossiyskikh universi-tetov. Matematika = Russian Universities Reports. Mathematics, 28:142 (2023), 137-154. https://doi.org/10.20310/2686-9667-2023-28-142-137-154 (In Russian, Abstr. in Engl.)
Введение
Статья посвящена проблеме зависимости свойств множества решений уравнения с запаздывающим аргументом h(t), выявлению эффектов, возникающих при сходимости h(t) к функции, хотя бы в одной точке не имеющей запаздывания, т. е. совпадающей с t.
Вопросам непрерывной зависимости решений дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений от параметров посвящена многочисленная литература (см. монографии [1, § 4.1 § 9.4], [2, § 1.5], [3, гл. 189], статьи [4,5] и библиографические списки данных работ). Многие из этих исследований используют методы анализа, в частности, результаты о неподвижных точках (см. [6-8]), точках совпадения (см. [9,10]), и возмущениях (см. [11-14]) регулярных отображений нормированных, метрических или частично упорядоченных пространств. Но такие исследования почти не затрагивают ситуации скачкообразного изменения решений и их важнейших свойств. «Импульсные» перестройки структуры множеств решений возможны, например, для уравнений с запаздывающим аргументом в случае, когда запаздывание t — h(t) стремится к нулю, а уравнение превращается, соответственно, в обыкновенное дифференциальное уравнение. В частности, задача Коши для уравнения с положительным запаздыванием однозначно разрешима, и ее решение продолжаемо на всю полуось R+, а задача Коши для предельного обыкновенного дифференциального уравнения может иметь бесконечное множество решений, и максимальный интервал существования решений может быть конечным. В данной статье показано, что такое же скачкообразное изменение решений возможно и в случае, если функция положительного запаздывания стремится к функции запаздывания, положительной везде, кроме лишь одной точки (называемой в статье «критической»).
Отметим, что вопросы скачкообразного изменения решений относятся к предмету теории катастроф и теории особенностей (см. [15]), однако, большинство работ в этих областях математики более сосредоточены на вопросах перестройки решений обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [16-18]) и, как правило, не рассматривают изменения, возникающие в множестве решений функционально-дифференциальных уравнений. А вопросы кардинальной перестройки множества решений при стремлении запаздывания к нулю и превращении соответствующего уравнения с отклоняющимся аргументом в обыкновенное дифференциальное уравнение, насколько известно авторам данной статьи, в литературе не исследовались.
Основная часть предлагаемой статьи содержит три раздела. В первом рассматривается задача Коши для дифференциального уравнения с положительным запаздыванием. Здесь показано, что при самых общих предположениях на функции, порождающие такое уравнение, задача Коши однозначно разрешима, и ее решение неограничено продолжаемо. Во втором разделе демонстрируются примеры дифференциальных уравнений, функция запаздывания которых содержит одну критическую точку t0 > 0, и при этом множество решений задачи Коши бесконечно, а среди решений есть непродолжаемые на всю полуось R+. Таким образом, если функция положительного запаздывания сходится к функции, имеющей хотя бы одну критическую точку, то множество решений соответствующих уравнений при таком предельном переходе испытывает скачкообразные изменения. В третьем разделе показывается, что даже в случае скачкообразного изменения структуры множества решений при изменении запаздывания можно выделить конечный отрезок положительной длины в области определения решений, на котором решение непрерывно зависит от запаздывания.
1. Дифференциальное уравнение с положительным запаздыванием
Меру Лебега на прямой r будем называть мерой и будем обозначать ее символом mes. Обозначим через l[0,t], AC[0,t] и c[0,t] банаховы пространства, соответственно, суммируемых, абсолютно непрерывных и непрерывных на [0, T] С r+ ( T < œ ) функций. Нормы в этих пространствах определяются формулами
Г T
l|x||L = |x(s)| ds, ||x||AC = |x(0)| + ||x||L, ||x||C = max |x(t)|.
Jo ...... ......... te[o,T ]
В работе рассматривается дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом
x(t) = f (t,x(h(t)), t > 0, x(s) = p(s), s < 0, (1.1)
в котором «функция предыстории» ^ : (-œ, 0) ^ r измерима и существенно ограничена, функция h : r+ ^ r измерима и при п.в. t G r+ удовлетворяет неравенству h(t) < t, функция f : r+ х r ^ r суперпозиционно измерима (например, удовлетворяет условиям Каратеодори или их обобщениям, см. [19,20]), то есть для любой измеримой функции u : r+ ^ r композиция f (-,u(-)) : r+ ^ r также измерима. Кроме того, предполагается, что для любого r > 0 и любых u G [—r, r] функция fr : r+ ^ r,
fr(t)= sup |f (t,u)I, t G r+, (1.2)
u€[-r,r]
является суммируемой на каждом конечном отрезке, принадлежащим r+ (заметим, что измеримость функции fr : r+ ^ r следует из [21, следствие 1.5.9]). Запишем уравнение (1.1) в виде
=f(t (S"*)(i)), » >0 где оздм={» если h<;J >0 (1.з)
Представление уравнения (1.1) в виде (1.3) позволяет дать следующее определение его решения (см. [1, § 1.1]).
Пусть T > 0. Решением уравнения (1.1), определенным на [0,T], называем абсолютно непрерывную на этом отрезке функцию, удовлетворяющую (1.3) при п. в. t G [0,T], а решением, определенным на [0,T) или [0, œ) называем функцию, абсолютно непрерывную на каждом конечном отрезке, принадлежащем этому интервалу, и удовлетворяющую (1.3) при п. в. t G [0,T), соответственно, при п. в. t G [0, œ). В случае T < œ решение называем локальным. Если решение xj1 определено на множестве Ji, решение xj2 определено на J2 и имеют место соотношения
J1 С J2 и xJl (t) = xj2 (t) при t G J1,
то xj2 называется продолжением решения xJl, а xJl — частью решения xj2. Решение xJ, определенное на некотором множестве J, называется максимально продолженным, если оно не является частью никакого другого решения. В этом случае множество J называется максимальным интервалом существования данного решения.
Определение решения как элемента пространства абсолютно непрерывных функций со значениями в r, а не в бесконечномерном банаховом пространстве, предложенное
Н.В. Азбелевым более 50 лет назад (см. [1, § 1.1]), позволило распространить на уравнения с отклоняющимся аргументом фундаментальные результаты о представлении общего решения, о краевых задачах, задачах управления и вариационных задачах, известные для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [2-4]). Это определение не требует «непрерывной стыковки» решения и начальной функции, т. е. возможно х(0) = <(0), более того, в этом и следующем параграфе статьи непрерывность функции < не требуется, предполагается лишь ее измеримость. Но, безусловно, случай непрерывной функции < и непрерывное ее продолжение решением не отвергается принятым нами определением решения, эта ситуация соответствует задаче Коши с начальным условием х(0) = <(0). Такая задача будет рассмотрена в разделе 3. статьи, где будет исследоваться зависимость решения этой задачи от изменения функции запаздывания.
Вначале рассмотрим частный случай уравнения (1.1) — дифференциальное уравнение с постоянным запаздыванием т > 0. Такое уравнение имеет вид
¡¿(г) = /(г,¿(г - т)), г > 0, ¿(в) = <(в), в< 0. (1.4)
Вполне очевидно, что любое решение уравнения (1.4) может быть неограничено продолжено, точнее, имеет место следующее утверждение.
Теорема 1.1. Задача Коши для уравнения (1.4) с начальным условием
¿(0) = а (1.5)
при любом а € к имеет единственное определенное на всей полуоси к+ решение ¿(-), и любое локальное решение является частью этого решения.
Доказательство. Решение задачи (1.4), (1.5) может быть получено на каждом из интервалов (гт, (г + 1)т], г = 0,1,... , в виде функции ¿(г) = иг(г), г € (гт, (г + 1)т], определяемой рекуррентными формулами
«о(г) = а + / /(в, <(в — т)) ^в при г € (0, т];
Л
«1(г) = и0(т) + J /(в,«0(в — т)) ^в при г € (т, 2т];
иг(г) = иг-1(гт)+ / /(в,иг-1(в — т)) ^в при г € (гт, (г + 1)т], г = 1, 2,....
и гт
В первой из этих формул, в силу суммируемости на отрезке [0,т] при любом г функции /г и существенной ограниченности на этом отрезке функции в М <(в — т), подынтегральная функция в М /(в,<(в — т)) суммируема. Следовательно, функция и0(-) абсолютно непрерывна. Далее, во второй из этих формул, в силу суммируемости на отрезке [т, 2т] функции /г и ограниченности на этом отрезке непрерывной функции в М «0(в — т), подынтегральная функция в М /(в,и0(в — т)) суммируема. Следовательно, функция м1(^) абсолютно непрерывна. Таким образом доказывается, что при всех г = 0,1,... функция Иг(-) абсолютно непрерывна. Итак, существование определенного на всей полуоси к+ решения задачи (1.4), (1.5) установлено.
Предположим, что существует некоторое локальное решение х(-), отличное на его области определения от решения ¿(-). Определим множество
е = {г: ж(г) = ¿(г)} с
и найдем наименьший из номеров i таких, что мера множества E П (гт, (г + 1)т] положительна. Тогда на интервале ((i — 1)т, ir] значения функций ;r(t),x(t) совпадают, ¡r(t) = x(t) = Ui-i(t). Остается заметить, что в силу уравнения (1.4) его решение на (ir, (i + 1)т] однозначно определяется по «предыстории» — функции ui-1. □
Утверждение теоремы 1.1 без труда переносится на более общее уравнение (1.1) с запаздывающим аргументом.
Теорема 1.2. Пусть для любого T > 0 существует т > 0 такое, что при п. в. t G [0,T] выполнено неравенство h(t) < t — т. Тогда задача Коши для уравнения (1.1) с начальным условием (1.5) при любом a G r имеет единственное определенное на всей полуоси r+ решение x(-), и любое локальное решение является частью этого решения.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.1.
2. Уравнение с запаздыванием, имеющим критическую точку
Для измеримой функции h : r+ ^ r, определяющей отклонение аргумента в уравнении (1.1), теперь будем предполагать, что при п. в. t G r+ выполнено неравенство h(t) < t.
Точку to > 0 будем называть левой критической для функции h, если мера множества {t G (t0 — e,t0) : h(t) > t — e} является положительной при любом e > 0, и правой критической для функции h, если мера множества {t G (t0,t0 + e) : h(t) > t — e} является положительной при любом e > 0. Очевидно, что для левой критической точки t0 выполнено строгое неравенство t0 > 0. Точку t0 > 0 называем критической для функции h, если она является левой или правой или одновременно и левой, и правой критической.
Следующие две теоремы показывают, что в левой критической точке может «закончиться» максимальный интервал существования решения, а правая точка может стать «точкой рождения» бесконечного множества продолжений локального решения.
Теорема 2.1. Пусть в уравнении (1.1) функция запаздывания h имеет одну критическую точку t0 > 0, являющуюся левой критической точкой. Тогда на интервале [0,t0) задача Коши (1.1), (1.5) имеет единственное решение x(-), и любое другое локальное решение совпадает с решением x(-) на пересечении их областей определения. Кроме того, имеет место следующая альтернатива: либо для сужения решения x(-) на произвольный отрезок [0,T ], T < t0 выполнено limT^t0-0 ||:t(-)||ac[0t ] = œ, ив этом случае максимальным интервалом определения решений задачи (1.1), (1.5) является интервал [0,t0), либо limT^t0-0 ||ж(0|Цс[О T] < œ, и тогда решение x(-) продолжаемо единственным образом на всю полуось r+.
Доказательство. Покажем, что при произвольном T G (0, t0) существует такое т = т(T) > 0, что h(t) < t — т при п. в. t G [0,T]. Предположим, что требуемое число т = т(T) > 0 не существует. Тогда при любом натуральном i для т = i-1 на некотором множестве e, С [0,T] положительной меры выполнено h(t) > t — т,. Множества e, упорядочены по вложению, т. е. Ej+1 С Ej. Теперь определим множество
E = {t G [0,T] : V£ > 0 mes([t,t + i] П Ej) > 0}, i = 1, 2,...,
которое не пусто, поскольку mes Ej > 0. Положим ej = inf Ej, i = 1, 2,... . Так как множества Ej упорядочены по вложению, определенная таким образом последовательность
{^i} возрастает и ограничена, и поэтому сходится к некоторому 9 £ [0,T]. Для любого 8 > 0 существует натуральное I такое, что 9j £ [9 — 8, 9] при всех i > I. Следовательно,
[9i, 9i + 8] С [9 — 8,9 + 8], mes([9 — 8,9 + 8] П E) > 0 при всех i > I.
Полученное неравенство означает, что точка 9 критическая, но по условию теоремы в отрезке [0,T] нет критических точек.
Итак, для произвольного T £ (0, to) при п. в. t £ [0,T] выполнено h(t) < t — т, где т > 0. Это неравенство, согласно теореме 1.2, гарантирует, что на интервале [0, to) задача Коши (1.1), (1.5) имеет единственное решение xt0(•), и любое другое локальное решение совпадает с решением xt0(•) на пересечении их областей определения.
Функция (0,t0) Э T м- ||xt0(•)|ac[0T] возрастает. Возможны две ситуации: либо эта функция ограничена, либо limT^t0-0 ||xt0(•)|ac[0T] = то. В первой ситуации существует конечный limT^i0-o ||xt0 (•)|ac[0,tj , и поэтому существует ж = limt^i0-o xi0(t) < то. Определим функцию
~ I , \ ту ~f \ \ ^(s) при s £ (—то, 0), ,П1,
" :(—TO'to) м R х,0(.) при s £ [0, to),' (2^1)
и рассмотрим задачу
xx(t) = f (t, x(h(t))), t > to; x(s) = £(s), s<to; x(0) = ж. (2.2)
На множестве [to, то) у функции h нет критических точек. Повторив приведенные выше рассуждения, получим, что для любого T > to существует т = т(T) > 0 такое, что при п. в. t £ [to,T] выполнено неравенство h(t) < t — т. Согласно теореме 1.2 на всем [to, то) задача Коши (2.2) имеет единственное решение x(-), и любое другое локальное решение этой задачи совпадает с решением x(-) на пересечении их областей определения.
Для завершения доказательства остается заметить, что искомым единственным максимально определенным решением исходной задачи (1.1), (1.5) является функция со значениями xt0(t) при t £ [0,to) и x(t) при t £ [to, то). □
Теорема 2.2. Пусть в уравнении (1.1) функция запаздывания h имеет одну критическую точку to > 0, являющуюся правой критической точкой. Тогда на отрезке [0,to] (если to = 0, отрезок вырождается в одноточечное множество) задача Коши (1.1), (1.5) имеет единственное решение x(-), и любое другое локальное решение совпадает с решением x(-) на пересечении их областей определения. Кроме того, если для некоторого 8 > 0 при п. в. t £ [to,to + 8] функция f (t, •) непрерывна, то любое локальное решение уравнения (1.1), включая решение x(-), продолжаемо на всю полуось R+ и имеет место следующая альтернатива: либо это продолжение единственно, либо решений, определенных на полуоси бесконечно много, но при этом для произвольного а > 0 любое решение, определенное на интервале [0,to + а), имеет единственное продолжение на R+.
Доказательство. Утверждение теоремы о решении на отрезке [0, to] тривиально, если to = 0. Рассмотрим ситуацию to > 0.
Так как сужение функции h на отрезок [0, to] не имеет критических точек, как показано при доказательстве теоремы 2.2, существует т > 0 такое, что h(t) < t — т при п. в.
Ь £ [0,Ь0]. В силу этого неравенства на [0,Ь0] существует локальное решение , причем это решение определяется равенством
х*0 (Ь) = иго+1 (Ь),
где г0 — целая часть действительного числа ¿о/т, а значения м^0+1(Ь), вычисляются по формулам:
и0(Ь) = ^(Ь) при Ь < 0;
, . Г и0(Ь) при Ь < 0,
\ а + /0 /(з, и0(Л,(з))) при Ь £ [0,т];
U (t) = ^ t ПРИ t < - 1)Т' г = 2 г •
i ' Ui-i((i - 1)т) + //¿_1)т/(S'Ui-i(h(s)^ ds при t G ((г - 1)г,гг]' ' ' ' ' ' 0;
/(¿-1)7
(,) = . Ui0(t) при t < гоТ'
¿0+1 \ Uio(гот) + Ji0T/(S'Uio(h(s))) ds при t G (ioT'to].
Для доказательства продолжаемости локального решения xto рассмотрим задачу (2.2) с функцией «предыстории» (2.1), а начальное значение положим равным X = xto (t0). Запишем эту задачу в виде эквивалентного интегрального уравнения
x(t) = X + Г /(s' (Shx)(s)) ds' t > to; где (ЗД(з) = ( ^^ если h(s) > t0' (2.3) Ло l ¥x(h(s))' если h(s) <to.
Зададим
r = 1 + max{ max |x(t)|' vraisup |^(s)|} te[0,io] se(-œ,o)
и для определенной формулой (1.2) функции /r : R+ ^ R найдем такое А > 0' что
г to+A
/ /Г(t) dt < 1.
Jto
Рассмотрим действующий в пространстве C[to,to+A] непрерывных на отрезке [t0 ' t0 + А] функций интегральный оператор (Fx)(t) = X + f* / (s' (Shx)(s)) ds. Так как функция / удовлетворяет условиям Каратеодори и ее мажоранта — функция /г суммируема, оператор F : C[to,to+A] ^ C[to,to+A] непрерывен. Шар BC(0'Г) с центром в нулевой функции радиуса r отображается этим оператором в себя. Кроме того, для любой функции x G BC(0'Г) и любых t1't2 G [t0't0 + А] выполнено
|(Fx)(t2) - (Fx)(t1)| = | Г /(s' (Shx)(s)) ds| < Г /(s) ds'
Jt\ Jt-i
поэтому множество F(Bc(0'Г)) является равностепенно непрерывным, следовательно, компактным. Согласно теореме Шаудера, оператор F имеет в шаре Bc(0'Г) неподвижную точку, обозначим ее Xa. Полученная непрерывная функция Xa является решением уравнения (2.3), следовательно, эта функция абсолютно непрерывна, и эта функция есть локальное решение задачи (2.2), определенное на [t0't0 + А]. Соответственно, решением
исходной задачи (1.1), (1.5) является функция ¿г0+д со значениями ¿¿0(г) при г € [0,г0)
и жд(г) при г € [г0,г0 + А].
Для нахождения продолжения этого решения надо рассмотреть дифференциальное уравнение на интервале [г0 + А, то), соответствующее уравнению (1.1), с функцией «предыстории»
На множестве [г0 + А, то) у функции к нет критических точек. Поэтому, рассуждениями, примененными при доказательстве теоремы 2.1, устанавливается, что для любого значения Т > г0 + А существует т > 0 такое, что при п. в. г € [г0 + А,Т] выполнено неравенство к(г) < г — т. Согласно теореме 1.2 на всем [г0 + А, то) задача Коши для рассматриваемого уравнения имеет единственное решение ж(-), и любое другое локальное решение этой задачи совпадает с решением ж(-) на пересечении их областей определения.
Если продолжение решения ¿¿0 на множество [0,г0 + А] единственно (в том смысле, что любое локальное решение совпадает с ¿¿0 на пересечении областей определения этих решений), то и построенное определенное на к+ решение также единственно. Утверждение теоремы в этом случае выполнено.
Предположим теперь, что существует локальное решение «(•), отличающееся на некотором множестве от решения ж(-). Тогда значения этих функций должны отличаться на множестве [г0,г0 + 5] при любом 5 > 0 (если на этом множестве решения совпадают, то вследствие отсутствия критических точек, больших чем г0 + 5, решения совпадут и на всем пересечении их областей определения). Согласно [22, предложение 6] множество сужений на [г0, г0 + 5] решений интегрального уравнения (2.3) при достаточно малых значениях 5 > 0 есть связное подмножество пространства С^0$0+б] непрерывных на [г0,г0 + 5] функций. Поэтому, кроме решений ж(-) и «(•), задача имеет еще бесконечное множество решений, и каждое из них имеет единственное продолжение на [г0, то). □
Для иллюстрации теорем 2.1,2.2 приведем примеры дифференциальных уравнений вида (1.1), функция запаздывания которых имеет лишь одну критическую точку г0, и если она левая (в примере 2.1), среди решений задачи Коши есть непродолжаемые на всю полуось к+, а если правая (в примере 2.2), множество решений задачи Коши бесконечно. Примеры также демонстрируют, что изменения начального условия либо параметров уравнения могут привести к тому, что соответствующие задачи Коши становятся однозначно разрешимыми на всей полуоси, несмотря на то, что функция запаздывающего аргумента остается неизменной (конечно, как и ее критическая точка).
Пример 2.1. Пусть функция к : к+ М к задана формулой
при в € (—то, 0), при в € [0,г0 + А].
2г — 1 при г € [0,1], г — 1 при г € (1, то).
(2.4)
с начальным условием
х(0) = 1.
Несложно проверить, что решением этой задачи Коши является функция
*(*) = , * е [0,1).
Иных решений у рассматриваемой задачи нет. Интервал [0,1) есть максимальный интервал определения этого решения.
Отметим, что для рассматриваемого уравнения (2.4) решение задачи Коши с любым начальным условием
х(0) = а
имеет такой же максимальный интервал определения. При таком начальном условии решением является функция
ж(г) = а - 1+ 1 , * е [0,1).
Теперь изменим в уравнении (2.4) функцию предыстории на нулевую, т. е. будем полагать х(в) = 0 при в < 0. В таком случае решение задачи Коши с любым начальным условием х(0) = а единственно, продолжаемо на всю полуось к+ и определяется соотношением = иг(*), * е (гт, (г + 1)т], где
и0(*) = а при * е (0,1]; з/тб
«!(*) = а + У— а4(* - 1) при * е (1, 2];
о
316 Г^ ^
иг(*) = иг-1(г) +--— (иг-1(в — 1)) ^в при * е (г, г + 1], г = 2, 3,... .
3 ./г
Пример 2.2. Пусть функция к : к+ ^ к задана формулой
при * е [0,1/2],
к(*) 1 * — 1/2 при * е (1/2, то).
Эта функция имеет правую критическую точку *0 = 0. Рассмотрим уравнение
ж(*) = З^ХЩ), * > 0. (2.5)
Заметим, что рассматриваемое уравнение не нуждается в определении «функции предыстории», так как к(*) > 0 на К+. На всей полуоси К+ решением уравнения (2.5) с начальным условием
х(0) = 0
является нулевая функция, а также функция х(-), значения которой х(*) = иг(*) при * е (г/2, (г + 1)/2], г = 0,1,..., определяются следующими соотношениями
1
и0(*) = * при * е (0,1 ;
. . 1 9 / 1 \4/3 /1 ■
и1(*) = 2 + 4 (* — 2) при * е (Г,1
и(*) = 22) +3 Ji ^— 2) ^в при * е (
г = 2, 3,
Согласно теореме 2.2, кроме предъявленных выше двух решений задача имеет еще бесконечное множество решений, и каждое из них единственным образом продолжаемо на всю полуось к+.
Отметим, что для рассматриваемого в этом примере уравнения (2.5) решение задачи Коши с любым отличным от нуля начальным значением имеет единственное определенное на всей полуоси к+ решение я(-), и любое локальное решение является частью этого решения.
Теоремы 2.1,2.2 позволяют исследовать дифференциальное уравнение (1.1) также и в случае, когда критические точки являются одновременно левыми и правыми. Такую ситуацию описывает следующее утверждение, прямо вытекающее из этих теорем.
Следствие 2.1. Пусть в уравнении (1.1) функция Л имеет одну критическую точку Ь0 > 0, причем, эта критическая точка является и левой, и правой. Тогда на интервале [0,Ь0) задача Коши (1.1), (1.5) имеет единственное решение я(-), и любое другое локальное решение совпадает с решением я(-) на пересечении их областей определения. Кроме того, имеет место следующая альтернатива: либо для сужения решения я(-) на произвольный отрезок [0,Т ], Т < Ь0 выполнено Нтт^0-0 ||жОЩс[0 Т ] = го, ив этом случае максимальным интервалом определения решений задачи (1.1), (1.5) является интервал [0,Ь0), либо НтТ^0-0 ||ж(0||Ас[0 Т] < го. Во втором случае, если для некоторого 5 > 0 при п. в. Ь € [Ь0,Ь0 + 5] функция /(Ь, •) непрерывна, то любое локальное решение уравнения (1.1), включая решение я(-), продолжаемо на всю полуось к+, это продолжение либо единственно, либо решений, определенных на полуоси бесконечно много, но при этом для произвольного а > 0 любое решение, определенное на интервале [0,Ь0 + а), имеет единственное продолжение на к+.
3. Зависимость решений задачи Коши от запаздывающего аргумента
Здесь мы рассмотрим следующую задачу.
Пусть заданы такие удовлетворяющие требованиям теоремы 1.2 (поэтому не имеющие критических точек) функции : к+ ^ к, п =1, 2,..., что при п. в. Ь £ к+ последовательность {ЛП(Ь)} сходится к Л(Ь) слева, т. е. ЛП(Ь) < Л(Ь) на к+, причем, предельная функция Л : к+ ^ к обладает критической точкой. Рассмотрим последовательность задач Коши
Х(Ь) = /(Ь,ж(Л„(Ь))), Ь > 0; х(з) = <^(з), з< 0; х(0) = а. (3.1)
При любом натуральном п задача (3.1) имеет единственное определенное на к+ решение хп, продолжающее любое локальное решение. Нас интересует вопрос, сходится ли (в каком-либо либо смысле) последовательность {хп} к решению х предельного уравнения (1.1) с начальным условием (1.5). Напомним, что согласно теоремам 2.1 и 2.2 решение х предельного уравнения может быть не единственным и, возможно, имеет конечный максимальный интервал определения.
Будем предполагать, что функция «предыстории» ^ : (-го, 0) ^ к равномерно непрерывна и ограничена, функция / : к+ х к ^ к удовлетворяет условиям Каратеодори, т. е. измерима по первому и непрерывна по второму аргументам. Кроме того, как и выше, полагаем, что определяемая формулой (1.2) функция /г : к+ ^ к при любом г > 0 является суммируемой на каждом конечном отрезке. Но в отличие от предыдущих параграфов, где
начальное значение а было любым, здесь его положим равным а = <(0). Таким образом, в данном параграфе предполагается «непрерывная стыковка» решения с начальной функцией. Существенность этого условия для сходимости хп ^ х демонстрируется ниже в примере 3.1. Сначала сформулируем два утверждения о непрерывной зависимости решения задачи Коши от функции запаздывания в случаях наличия у предельной функции запаздывания левой и правой критических точек.
Теорема 3.1. Пусть предельная функция к имеет одну критическую точку *0 > 0, являющуюся левой критической точкой. Тогда для любого Т е (0,*0) последовательность сужений хпТ на замкнутый отрезок [0,Т] максимально продолженных решений хп задач (3.1) равномерно сходится к сужению хт на тот же отрезок [0,Т] максимально продолженного решения х задачи (1.1), (1.5).
Доказательство. Выберем любое Т е (0, *0). На отрезке [0, Т ] у функции к нет критических точек и, как показано при доказательстве теоремы 2.1, для некоторого т > 0 при п. в. * е [0,Т] выполнено к(*) < * — т. Следовательно, кп(*) < к(*) < * — т, п = 1, 2,..., п. в. на [0,Т]. Вследствие полученного неравенства решение хпт на [0,Т] задачи (3.1) при любом натуральном п определяется равенством
хпТ (*) = иго+1(*),
где г0 — целая часть действительного числа Т/т, а значения иго+1(*), вычисляются по формулам:
и0(*) = <(*) при * < 0;
и0(*) при * < 0,
к а + /0/(в,и0(Мв))) а!в при * е [0, т];
и1(*)
, иг_ 1 (*) при * < (г — 1)т, .
' (г_ 1)т
иг_1((г — 1)т) + /(г_1)т/(в,иг_1(кп(в)^ <^в при * е ((г — 1)т, гт],
и (*) = ^ иго (*) при * < г0т,
г0+1 | иго (¿0т ) + /(в, иго (кп (в))) ^в при * е (¿0т, ¿0].
Используя приведенные соотношения, покажем ограниченность последовательностей решений {хпт} и их производных {хпт}.
В этих соотношениях значения функций иг(*), г = 1,... , г0 + 1, при * < гт удовлетворяют неравенствам |иг (*) | < Гг, где
Г0 = шах{|а|, уга1зир |<(*)|}, Г = Гг_1 + / (в) <^в.
*е(_те,0) ,/0
Таким образом, на отрезке [0,Т] при любом натуральном п выполнено
|хпТ (*)| < Гго+1, |хпТ (*)| < /п0+1
ограниченность последовательностей решений задачи (3.1) и их производных установлена.
Вследствие ограниченности на отрезке [0,Т] последовательности производных хпт(•) одной суммируемой функцией, все функции хпт(•) равностепенно непрерывны на этом
отрезке. Согласно теореме Арцела-Асколи последовательность {хпу} относительно компактна в пространстве С[0,у]. Пусть Ху — предельная точка этой последовательности, т. е. некоторая подпоследовательность {х„3у} равномерно сходится к Ху.
Покажем, что для п. в. Ь £ [0,Т] имеет место сходимость ,хп.у)(Ь) ^ )(Ь)
3 3
при ^ ^ го. Для этого рассмотрим каждое слагаемое в правой части неравенства
|(ЯП.х„3у)(Ь) - (ЯЖу)(Ь)| < х„3у)(Ь) - (Ях„3у)(Ь)| + ^Ях«,у)(Ь) - (ЯХу)(Ь)|.
Пусть задано е > 0. Поскольку функции х„3у, п = 1, 2,..., равностепенно непрерывны, а функция ^ равномерно непрерывна, существует такое а > 0, что при любых Ь1,Ь2 £ [0,Т] из |Ь1 - Ь21 < а следует |х„3у(ЬО - х„3у| < 2-1е и |) - < 2-1е.
Для п. в. Ь £ [0,Т] определим натуральное такое, что при всех ] > справедливо неравенство |ЛП3(Ь) - Л(Ь)| < а. Таким образом, для п. в. Ь £ [0,Т] при > получаем
|(Я„3хга.у)(Ь) - (Яхга.у)(Ь)| < 2-1е. (3.2)
Вследствие равномерной сходимости х„3у ^ Жу существует натуральное ^ такое, что при любом ] > ^ для всех Ь £ [0,Т] справедливо неравенство |х„3у(Ь) - Жу(Ь)| < 2-1е. Таким образом, при ] > ^ для всех Ь £ [0,Т] получаем
|(Яхга.у)(Ь) - (ЯЖу)(Ь)| < 2-1е. (3.3)
Из неравенств (3.2), (3.3) следует, что для п. в. Ь £ [0,Т] при всех ] > тах { выполнено
КЯП. х„.у)(Ь) - (Яху)(Ь) < е.
1 3 1
Итак, доказана сходимость ,хга.у)(Ь) ^ )(Ь) (при ^ го) для п. в. Ь £ [0,Т].
3 3
Теперь докажем, что Жу является решением задачи (1.1), (1.5), определенным на [0, Т]. При п. в. Ь £ [0,Т] из непрерывности функции /(Ь, •) следует, что последовательность {/(Ь, хПзу) (Ь))} сходится к /(Ь, (Ь)). А так как к тому же функции /(Ь, хПзу) (Ь)), п = 1, 2,..., в совокупности ограничены одной суммируемой функцией, согласно теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла имеем
х«3у(Ь) = а + / /(з, (Яп.х„3у)(з)) ^ а + / /(з, (Яжу)(з)) для всех Ь £ [0,Т]. 0 3 0
В то же время, х„3у(Ь) ^ Жу(Ь). Поэтому получаем равенство
Жу(Ь) = а +/ /(з, (ЯЖу)(з)) Ь £ [0,Т],
которое означает, что жу — решение задачи (1.1), (1.5).
Итак, любая предельная точка компактной в пространстве С[0,у] последовательности {хпу} есть единственное решение хсу на [0,Т] задачи (1.1), (1.5). Так как предельная точка единственная, эта компактная последовательность является сходящейся. □
4
4
Теорема 3.2. Пусть предельная функция h имеет одну критическую точку t0 > 0, являющуюся правой критической точкой. Тогда
• при n ^œ последовательность сужений xnt0 на замкнутый отрезок [0,t0] максимально продолженных решений xn задач (3.1) равномерно сходится к сужению xt0 на тот же отрезок [0,t0] любого максимально продолженного решения x задачи (1.1),(1.5);
• для любого T G (t0, œ) последовательность сужений xnT на замкнутый отрезок [0,T] максимально продолженных решений xn, n =1, 2,..., задач (3.1) компактна в пространстве C[0,T], и любая ее предельная точка есть сужение xT на [0,T] некоторого максимально продолженного решения x задачи (1.1), (1.5).
Доказательство. Так как на отрезке [0, t0] функция h не имеет критических точек, то существует т > 0 такое, что h(t) < t — т при п. в. t G [0,t0]. Повторяя рассуждения, применявшиеся для доказательства теоремы 3.1, установим, что на этом отрезке решение xnt0 задачи (3.1) при каждом n единственно, а также, что существует и единственно решение xt0 краевой задачи (1.1), (1.5), и имеет место равномерная сходимость xrai0 ^ xt0. Первое утверждение теоремы доказано.
Для доказательства второго утверждения зафиксируем произвольное T G (t0, œ). Согласно теореме 2.2 любое локальное решение задачи (3.1) при любом n продолжаемо на отрезок [0, T]. Докажем, что производные всех таких решений ограничены в совокупности одной суммируемой функцией.
Из равномерной на [0,t0] сходимости xnt0 ^ xt0 следует, что все непрерывные функции xnt0, n = 1, 2,... , ограничены, т. е. существует такое A > 0, что |xnt0(t)| < A при любых n =1, 2,... и всех t G [0, t0]. Положим
r0 = 2 + max {A, vraisup |<^(s)|}
и для определенной формулой (1.2) функции /Г0 : R+ ^ R найдем такое А > 0, что
r Î0+A
/ /Г0 (t) dt < 1.
Jt0
Заметим, что вследствие неотрицательности функции /0 при любом 5 G [0, А] выполнено
|>Î0+5 r Î0+A
/ Л0 (t) dt < / /г0 (t) dt < 1.
•/Î0 </Î0
Покажем, что при любом n любое определенное на [0,t0 + А] решение xnt0+A задачи (3.1) удовлетворяет неравенству |xnt0+A(t)| < r0 при всех t. При t G [0,t0] это неравенство, очевидно, выполнено, более того, на этом отрезке |xnt0+A(t)| < r0 — 2. Поэтому, если требуемое неравенство нарушается, то |xnt0+A(ti)| > r0 в некоторой точке ti G (t0,t0 + А]. В силу непрерывности функции xrat0+A найдется точка t1 G (t0,t1) С (t0,t0 + А] такая, что |xnt0+A (t1)| = r0 и |xrat0+A (t)| < r0 при всех t < t1. Но эти два соотношения противоречат друг другу, так как
r0 = |xrat0 +a(^) | < |xrai0+A(t0 + А)| + [ |/(s, (Shn xrai0+A)(s)| ds
J t0+A
< |xrai0+A(t0 + А)| + i /0 (s) ds < (r0 — 2) + 1.
Л0+А
Итак, доказано, что при любом п для решения х„^о+д задачи (3.1) выполнено
[х^о+д^)! < Г0, Ь £ (Ь0,Ь0 + А],
а следовательно, его производная оценивается неравенством
|ххга*о+д(Ь)| < /Го(Ь), Ь £ (Ь0,Ь0 + А].
Теперь при любом Т > Ь0 + А получим аналогичные оценки для определенных на [0,Т] решений х„у, п = 1, 2,.... задачи (3.1).
Функция к на отрезке [Ь0 + А,Т] не имеет критических точек, поэтому существует т > 0 такое, что при всех п на этом отрезке справедливы неравенства к„(Ь) < к(Ь) < Ь - т. Учитывая эти неравенства, рассуждениями, примененными в доказательстве теоремы 3.1, установим, что при любом п имеют место соотношения
|х„у (Ь)| < гг, |х „у (Ь)| < (Ь), Ь £ (Ь0 + А + т (г - 1), ^0 + А + тг], г = 1, 2,...,^, |х„у(Ь)| < г^о+1, |;х„у(Ь) < /Т;о+1 (Ь), Ь £ (*0 + А + тг0,Т],
где г = г^-1 + /0Т /Г4-1 (з) ^з, а натуральное г0 есть целая часть числа (Т - Ь0 - А)/т.
Таким образом, на отрезке [0,Т] последовательность производных х„у(•) решений задачи (3.1) ограничена одной суммируемой функцией /г +1 (•). Следовательно, функции х„у(•), п = 1, 2,... , равностепенно непрерывны на этом отрезке. Согласно теореме Ар-цела-Асколи последовательность {х„у} относительно компактна в пространстве С[0,у]. Повторяя рассуждения, примененные в доказательстве теоремы 3.1, докажем, что любая предельная точка ху этой последовательности является решением задачи (1.1), (1.5). □
Следующий пример демонстрирует существенность условия «непрерывной стыковки» в теоремах 3.1,3.2.
Пример 3.1. Пусть функции к, к„ : к+ ^ к заданы формулой
Г Ь - 1 при Ь £ [0,1], к (Ь) Г Ь - 1 - п-1 при Ь £ [0,1], к(Ь) [0 при Ь £ (1, го). к„(Ь)=\ -п-1 при Ь £ (1, го).
Рассмотрим задачи
хх(Ь) = (х(к„(Ь)), Ь > 0; х(з) = 1, з< 0, х(0) = 0, где п = 1, 2,..., (3.4) х(Ь) = (х(к(Ь)), Ь > 0; х(з) = 1, з< 0, х(0) = 0. (3.5)
Очевидно, здесь при любом п выполнено к„(Ь) < к(Ь), а при п ^ го имеет место сходимость к„(Ь) ^ к(Ь), Ь £ к+. Функция к не имеет критических точек, тем не менее последовательность решений х„ задач (3.4) не сходится к решению х предельной задачи (3.5). Действительно, эти решения определяются формулами:
х„(Ь) Ь, х(Ь) / I _ [т ч
[1 при Ь £ (1, го).
References
[1] Н.В. Азбелев, В. П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина, Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений, Наука, М., 1991. [N. V. Azbelev, V. P. Maksimov, L. F. Rahmatullina, Introduction to the Theory of Functional Differential Equations, Nauka Publ., Moscow, 1991 (In Russian)].
[2] Н.В. Азбелев, В. П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина, Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения, Институт компьютерных исследований, М., 2002. [N. V. Azbelev, V. P. Maksimov, L.F. Rahmatullina, Elements of the Modern Theory of Functional Differential Equations. Methods and Applications, Institute for Computer Research, Moscow, 2002 (In Russian)].
[3] В.П. Максимов, Вопросы общем теории функционально-дифференциальных уравнений. Избранные труды., ПГУ ПСИ ПССГК, Пермь, 2003. [V. P. Maksimov, Questions of the General Theory of Functional Differential Equations. Selected Works., PGU PSI PSSGK, Perm', 2003 (In Russian)].
[4] N. V. Azbelev, V. P. Maksimov, P. M. Simonov, "Theory of functional differential equations and applications", International Journal of Pure and Applied Mathematics, 69:2 (2011), 203-235.
[5] Е. С. Жуковский, "Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра", Матем. сб., 197:10 (2006), 33-56; англ. пер.:Е. S. Zhukovskii, "Continuous dependence on parameters of solutions to Volterra's equations", Sb. Math., 197:10 (2006), 1435-1457.
[6] Е. О. Бурлаков, Е. С. Жуковский, "Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра с локально сжимающими операторами", Изв. вузов. Матем., 2010, №8, 16-29; англ. пер.:Е. O. Burlakov, Е. S. Zhukovskii, "The continuous dependence of solutions to Volterra equations with locally contracting operators on parameters", Russian Mathematics, 54:8 (2010), 12-23.
[7] Е. О. Бурлаков, Е. С. Жуковский, "О корректности краевых задач и непрерывной зависимости периодических решений управляемых систем от параметров", Вестн. Удмуртск. унта. Матем. Мех. Компьют. науки, 2010, №1, 11-21. [Е. O. Burlakov, Е. S. Zhukovskiy, "On a correctness of boundary value problems and continuous dependence of periodic solutions of controllable systems on parameters", Vestn. Udmurtsk. un-ta. Matem. Mekh. Komp'yut. nauki, 2010, № 1, 11-21 (In Russian)].
[8] Е. Burlakov, Е. Zhukovskiy, A. Ponosov, J. Wyller, 'Existence, uniqueness and continuous dependence on parameters of solutions to neural field equations", Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics, 65 (2015), 35-55.
[9] А. В. Арутюнов, С. Е. Жуковский, "Накрывающие отображения, действующие в нормированные пространства, и точки совпадения", Оптимальное управление и дифференциальные игры, Сборник статей, Труды МИАН, 315, МИАН, М., 2021, 19-25; англ. пер.^. V. Arutyunov, SA Zhukovskiy, "Covering mappings acting into normed spaces and coincidence points", Proc. Steklov Inst. Math., 315 (2021), 13-18.
[10] А. В. Арутюнов, С. Е. Жуковский, "Об устойчивой разрешимости нелинейных уравнений относительно вполне непрерывных возмущений", Функциональные пространства, теория приближений и смежные вопросы анализа, Сборник статей. К 115-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского, Труды МИАН, 312, МИАН, М., 2021, 7-21; англ. пер.^. V. Arutyunov, S^. Zhukovskiy, "Stable Solvability of Nonlinear Equations under Completely Continuous Perturbations", Proc. Steklov Inst. Math., 312 (2021), 1-15.
[11] А. В. Арутюнов, Е. С. Жуковский, С.Е. Жуковский, "О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной", Дифференциальные уравнения, 47:11 (2011), 1523-1537; англ. пер.^^. Arutyunov, Е. S. Zhukovskii, S^. Zhukovskii, "On the well-posedness of differential equations unsolved for the derivative", Differential Equations, 47:11 (2011), 1541-1555.
[12] A. V. Arutyunov, Е. S. Zhukovskiy, S. Е. Zhukovskiy, "Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 75:3 (2012), 1026-1044.
[13] Е. С. Жуковский, В. Мерчела, "Метод исследования интегральных уравнений, использующий множество накрывания оператора Немыцкого в пространствах измеримых функций", Дифференциальные уравнения, 58:93-104 (2022); англ. пер.:Е. S. Zhukovskiy, W. Merchela, "A method for studying integral equations by using a covering set of the Nemytskii operator in spaces of measurable functions", Differential Equations, 58:92-103 (2022).
[14] С. Бенараб, Е.А. Панасенко, "Об одном включении с отображением, действующим из частично упорядоченного пространства в множество с рефлексивным бинарным отношением", Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 32:3 (2022), 361-382. [S. Benarab, E. A. Panasenko, "Ob odnom vklyuchenii s otobrazheniem, dejstvuyushchim iz chastichno uporyadochennogo prostranstva v mnozhestvo s refleksivnym binarnym otnosheniem", Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye nauki, 32:3 (2022), 361-382 (In Russian)].
[15] В.И. Арнольд, Теория катастроф, Наука, М., 1990. [V.I. Arnold, Catastrophe Theory, Nauka Publ., Moscow, 1990 (In Russian)].
[16] И. А. Богаевский, "Неявные обыкновенные дифференциальные уравнения: перестройки и усиление эквивалентности", Изв. РАН. Сер. матем., 78:6 (2014), 5-20; англ. пер.:1. A. Bogaevsky, "Implicit ordinary differential equations: bifurcations and sharpening of equivalence", Izv. Math., 78:6 (2014), 1063-1078.
[17] А. А. Давыдов, "Особенности типичного дохода в модели Арнольда циклических процессов", Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Труды МИАН, 250, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2005, 79-94; англ. пер.:А. A. Davydov, "Generic profit singularities in Arnold's model of cyclic processes", Proc. Steklov Inst. Math., 250 (2005), 70-84.
[18] А. А. Давыдов, Е. Мена Матош, "Типичные фазовые переходы и особенности выгоды в модели Арнольда", Матем. сб., 198:1 (2007), 21-42; англ. пер.^. A. Davydov, H. Mena Matos, "Generic phase transitions and profit singularities in Arnol'd's model", Sb. Math., 198:1 (2007), 17-37.
[19] И.В. Шрагин, "Суперпозиционная измеримость при обобщенных условиях Каратеодори", Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 19:2 (2014), 476-478. [I. V. Shragin, "Superpositional measurability under generalized caratheodory conditions", Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki = Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 19:2 (2014), 476-478 (In Russian)].
[20] И. Д. Серова, "Суперпозиционная измеримость многозначной функции при обобщенных условиях Каратеодори", Вестник российских университетов. Математика, 26:135 (2021), 305-314. [I. D. Serova, "Superpositional measurability of a multivalued function under generalized Caratheodory conditions", Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika = Russian Universities Reports. Mathematics, 26:135 (2021), 305-314 (In Russian)].
[21] Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальних включений, 2-е изд., Либроком, М., 2011, 224 с. [Yu. G. Borisovich, B.D. Gel'man, A. D. Myshkis, V. V. Obuhovskij, Introduction to the Theory of Multivalued Mappings and Differential Inclusions, 2nd ed., Librocom Publ., Moscow, 2011 (In Russian), 224 pp.]
[22] Е. С. Жуковский, "О связности множеств решений включений", Матем. сб., 210:6 (2019), 82-110; англ. пер.:Е. S. Zhukovskiy, "Connectedness of the solution sets of inclusions", Sb. Math.,
210:6 (2019), 836-861.
Информация об авторах
Information about the authors
Борзов Никита Сергеевич, аспирант, кафедра функционального анализа. Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация. E-mail: [email protected]
Nikita S. Borzov, Post-Graduate Student, Functional Analysis Department. Derzhavin Tambov State University, Tambov, Russian Federation. E-mail: [email protected]
ORCID: http://orcid.org/0009-0005-7439-0405
ORCID: http://orcid.org/0009-0005-7439-0405
Жуковская Татьяна Владимировна,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики. Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация. E-mail: t [email protected]
Tatiana V. Zhukovskaia, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Higher Mathematics Department. Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation. E-mail: t [email protected]
ORCID: https://orcid.org/0000-0003-4374-4336
ORCID: https://orcid.org/0000-0003-4374-4336
Серова Ирина Дмитриевна, аспирант, кафедра функционального анализа. Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация. E-mail: [email protected]
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4224-1502 Конфликт интересов отсутствует.
Для контактов:
Серова Ирина Дмитриевна E-mail: [email protected]
Поступила в редакцию 20.05.2023 г. Поступила после рецензирования 05.06.2023 г. Принята к публикации 09.06.2023 г.
Irina D. Serova, Post-Graduate Student. Functional Analysis Department. Derzhavin Tambov State University, Tambov, Russian Federation. E-mail: [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4224-1502
There is no conflict of interests.
Corresponding author:
Irina D. Serova E-mail: [email protected]
Received 20.05.2023 Reviewed 05.06.2023 Accepted for press 09.06.2023
