CC BY
23
ОБУЧЕНИЕ СТУДЕНТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА МЕТОДИЧЕСКИМ ПРИЕМАМ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗАДАЧ НА ПРИЛОЖЕНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ
М. В. Егупова
Аннотация. В статье рассмотрены вопросы, связанные с методической подготовкой студентов к использованию практических приложений в обучении школьной геометрии; указаны существующие, по мнению автора,, проблемы. Предлагается два методических приема использования задач на приложения в обучении геометрии - «от теории к ее практическим применениям»; «от практической проблемы к поиску теории для ее разрешения». Основной задачей такой подготовки студентов является формирование методической компетенции, связанной с использованием практических приложений в обучении школьной математике.
Ключевые слова: методическая подготовка студентов, практические приложения школьной геометрии; методические приемы.
Summary. In the article the questions connected with the methodical preparation of students to use practical application in teaching school geometry are considered. The author highlights the existing problems in this field.. Two methodological means of using problems on application in teaching geometry are considered - "from the theory to its practical application"; "from a practical problem to a search of a theory to solve it". The primary goal of such a preparation of students is formation of the methodological competence connected with the use of practical applications in teaching school mathematics.
Keywords: methodical preparation of students, practical application of school geometry, methodological means.
Тезис о том, что качественное мате- государственного экзамена указано, что матическое образование невозмож- школьники должны уметь строить и ис-но без изучения практических прило- следовать простейшие математические жений в настоящее время приобретает модели [1]. Однако в открытом банке за-все большую актуальность. Это под- даний для проведения ЕГЭ задач на про-тверждается и нормативными докумен- верку указанного умения пока немного. тами общего образования, и содержа- Следует признать, что такое умением итогового контроля по математи- ние практически не формируется в ке. Так, в кодификаторе требований к курсе школьной математики. Действи-уровню подготовки выпускников по ма- тельно, на уроках крайне редко реша-тематике для составления контрольных ются задачи прикладного характера, с измерительных материалов Единого помощью которых, как известно, мо-
4 / гон Преподаватель |_
91
жет быть сформировано понятие моделирования и связанные с ним умения, определяющие способность к применению математики, ее методов и способов рассуждений для описания и исследования реальных объектов вне рамок учебного процесса.
Такое положение можно объяснить и недостаточной методической подготовкой учителей в вопросах использования приложений в обучении математике. Учителя испытывают трудности при подборе содержательных примеров применения математики на доступном для учащихся уровне, а соответствующей современной методической литературы еще крайне мало.
Следует добавить, что по результатам международного исследования по изучению педагогического образования и оценке качества подготовки будущих учителей математики TEDS студенты при высоком уровне математических знаний затруднялись в применении математики к решению проблем, возникающих в реальной жизни [2]. Будущие учителя математики хорошо справились с заданиями, связанными с решением 92 стандартных задач по арифметике, геометрии и алгебре. Затруднения возникли при выполнении контекстных заданий, в которых требовалось разрешить прикладную ситуацию, дать описание реальных процессов и явлений действительности с помощью математических моделей, извлечь информацию из диаграмм, графиков функций и т.п. В геометрической подготовке студентов в процессе исследования были выявлены затруднения, связанные с применением знаний для решения проблем, возникающих в реальной жизни (например, вычислить кубатуру строения или по макету определить площадь объекта с учетом используемого масштаба).
Эти результаты свидетельствуют о необходимости уделения дополнительного внимания вопросам, связанным с практическим применением полученных знаний в курсе методики обучения математике педвуза.
Учитывая возникшие у студентов затруднения, следует решать две задачи:
- обучение применению школьных математических знаний к исследованию и преобразованию объектов реального мира;
- формирование методической компетенции, связанной с использованием практических приложений в обучении школьной математике.
Покажем, как можно приблизиться к решению поставленных задач при методической подготовке студентов к преподаванию курса школьной геометрии.
Студентам предлагается освоить два методических приема, позволяющих включить практические приложения в обучении геометрии через задачи. Будем называть их задачами на приложения.
Методические приемы, которые условно назовем « От теории к ее практическим применениям» и «От практической проблемы к поиску теории для ее разрешения», направлены на повторение учебного материала по геометрии в курсе основной школы.
1. «От теории к ее практическим применениям»
Рассмотрим хорошо известную задачу, выполняющую, на первый взгляд, исключительно дидактическую функцию в обучении. Подобную задачу можно встретить во многих учебниках геометрии, как современных, так и прошлых лет.
На плоскости обозначены три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Че-
Рис. 1
Рис. 2
рез точку А проложите прямую, параллельную ВС.
У этой задачи имеется несколько решений. Приведем краткое решение каждого из них.
1. А Е
1) Соединяя точки А и В, продолжим АВ за точку В так, что АВ=ВБ (рис. 1).
2) Соединяя точки Б и С, продолжим DC за точку С так, что DC=СЕ.
3) АЕ//ВС, так как ВС средняя линия треугольника Л1)К.
2.
1) Соединим точки А и С и разделим отрезок АС пополам точкой О, АО=ОС (рис. 2).
2) Продолжим ВО за точку О так, что ВО=ОЕ.
3) АЕ//ВС, так как АВСЕ - параллелограмм.
1) Из точки А на прямую ВС опустим перпендикуляр АБ (рис. 3).
2) В точке А построим перпендикуляр АЕ к прямой АD.
3) АЕ//ВС, так как известно, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
' г А Е
4.
1) Соединим точки А и С. Получим угол АСВ (рис. 4).
2) Построим от луча АС в полуплоскость, не содержащую точку В, угол САЕ, равный углу АСВ.
с
Рис. 3
с
Рис. 4
Рис. 5
3) АЕ//ВС по признаку параллельных прямых (так как внутренние накрест лежащие углы при прямых АЕ и ВС и секущей АС равны по построению). 5.
1) Построим окружность, проходящую через точку А и пересекающую прямую ВС в точках В/ и С/ так, что АВ/^АС/. Для этого центр окружности О не должен лежать на перпендикуляре к прямой ВС, проходящем через точку А (рис. 5).
2) Построим окружность радиуса R=АВ / с центром в точке С/.
3) Среди точек пересечения построенных окружностей есть одна точка, соединив которую с А, мы получим прямую, параллельную ВС. Это точка Е, лежащая по одну сторону с точкой А от прямой ВС. АЕ//ВС [см. доказательство: 3, с. 86].
Далее учитель предлагает учащимся ряд вопросов, позволяющих выполнить этап интерпретации полученных решений, то есть установить связь изученной теории с ее практическим применением.
Пусть точки А, В, С заданы на земной поверхности. Все ли построения из решений 1-5 осуществимы в этом случае?
Как известно, всю земную поверхность можно считать сферой, а небольшую ее часть - плоскостью. Если точки А, В и С находятся, например, на разных материках, то предложенная задача вообще не может быть решена средствами школьной (евклидовой) геометрии.
Рассмотрим случай, когда часть поверхности земли, на которой расположены данные точки можно при-
93
4 / 2011
Преподаватель XXI
нять за плоскость. Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, надо знать, как на местности обозначаются точки, прямые, откладываются углы. Это может быть сделано как с использованием специальных геодезических приборов, так и с помощью простейших приспособлений.
Точку в этом случае представляет забитый в землю кол (трубка, штырь, столб и т.п.), который называют вехой. Прямая линия обозначается двумя вешками. Чертить на земле какие бы то ни было линии (прямые или дуги) очень сложно, поэтому циркуля при построениях на местности у нас нет. Отрезки нужной длины откладываются с помощью мерной ленты (или обыкновенной веревки).
Углы измеряются и откладываются путем построения соответствующих им треугольников. Так, например, прямой угол на местности может быть построен с помощью египетского треугольника (прямоугольный треугольник со сторонами 3; 4; 5 м). А для построения угла, близкого к 45°, мож-_ . но использовать треугольники со стон" ронами 7; 4 и 5 м или 7; 6 и 5 м, в которых угол в 45° будет лежать против пятиметровой стороны [4]. . ,
Поэтому для ответа на Е с поставленный вопрос проверим, можно ли решения 1-5 осуществить на местности без использования циркуля? Довольно легко провести построения 1-4. Можно предложить учащимся проверить это самостоятельно. Приемы нахождения на местности середины отрезка, точки пересечения прямых, построения перпендикуляра и откладывания углов подробно описаны в книгах «Примени математику» [5] и «Простейшие
измерения на местности» [4]. Пятое решение основано на построении окружностей и точек их пересечения, поэтому на местности применить этот способ с учетом сделанных ограничений невозможно.
2. Пусть для устройства цветника необходимо разметить клумбу с параллель-ными краями. Каким из предложенных способов 1-4 здесь удобно воспользоваться?
В этом случае выбор подходящего математического аппарата для вну-тримодельного решения зависит от дополнительных условий, которые могут появиться в реальной ситуации провешивания параллельных прямых. Пусть для построений на местности мы ограничены шириной клумбы. Например, за ее границами посажен газон, наступать на который еще нельзя. Провести построения в ограниченном таким образом пространстве позволяют способы 2, 3 и 4.
3. Как можно осуществить построения, если точки А, В, С удалены друг от друга на значительное расстояние и длины мерной ленты для проведения построе-
нии не хватает. < А .
А2
С
Рис. 6
с'
Рис. 7
В этой ситуации можно поступить, например, так. Надо провесить с помощью вешек прямую ВС и изменить положение точек В и С, поместив их на доступном от точки А расстоянии (рис. 6). Если этого сделать не удается (точка А удалена от прямой ВС на расстояние, которое больше длины рулетки), то можно построить несколько параллельных ВС линий в сторону точки А (рис. 7). Построения надо
Рис. 8
проводить до тех пор, пока не появится возможность проложить прямую через точку А.
4. Пусть точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, отмечены на листе фанеры. Через точку А проложите прямую, параллельную ВС с помощью линейки и чертежного треугольника.
Прикладываем к прямой ВС чертежный треугольник стороной, которая является гипотенузой. Далее, прижав треугольник к бумаге, придвигаем линейку к одному из его катетов (рис. 8). Затем, удерживая линейку на месте, передвигаем по ней треугольник до тех пор, пока его гипотенуза не коснется точки А. Затем по этой стороне проводим прямую АЕ, которая и будет искомой.
Можно задать учащимся дополнительный вопрос. Как поступить, если точка А не попадет на гипотенузу? (Надо продлить прямую ВС и начать построение в удобном месте.)
В результате такой методической работы учащиеся приобретают прочные неформальные знания, что достигается неоднократным обращением к исходной математической задаче и способам ее решения в процессе поиска ответов на дополнительные вопросы. Кроме того, деятельность учащихся мотивирована с помощью ее направленности на возможность практического применения. Имеется также возможность осуществления уров-невой и профильной дифференциации путем выбора числа решений исходной задачи.
2. «От практической проблемы к поиску теории для ее разрешения»
Предложим учащимся цепочку задач на приложения, связанных одной темой - «Окружность».
Задача 1. На рис. 9 показаны два способа измерения диаметра ствола дерева. На каких геометрических утверждениях они основаны ?
Рис. 9. Различные способы измерения диаметра дерева
Задача 2. Во время археологических раскопок были обнаружены фрагменты круглой тарелки (рис. 10). Можно ли по найденным частям восстановить ее размер ?
95
Рис. 10. Фрагменты фарфоровой тарелки производства заводов «Товарищество Кузнецова»
Задача 3. Найдите с помощью штангенциркуля и линейки диаметр водопроводной трубы, больше чем наполовину вкопанной в землю.
Решение. На рис. 11 показано, как надо наложить прибор. Отрезок А/В/,
4 / 2011
Преподаватель XXI
ф
Рис. 11. Наложение штангенциркуля на водопроводную трубу
равный АВ, измеряется штангенциркулем, АА' - линейкой (рис. 12). Нетрудно видеть, что хорда АВ перпендикулярна диаметру КМ. Диаметр тру-
м Рис. 12 м Рис. 13
бы найдется как сумма отрезков № и РМ. Длина № известна, она равна длине отрезка АА'. который можно измерить. РМ найдем, пользуясь утверждением о том, что если две хорды окружно-1 сти пересекаются, то Рис. 14 произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, запишем:
90 АР•РВ
АР • РВ = № • РМ ; РМ = . От-
сюда, КМ = № + РМ.
Задача 4. У настенных часов разбилось круглое стекло, закрывающее циферблат. Как узнать его диаметр, чтобы заказать новое?
Задача 5. Диаметр круглого предмета, внутренняя часть которого недоступна, можно вычислить, предварительно сделав измерения при помощи чертежного угольника. Опишите этот способ.
Решение. Чертежный угольник наложим так, как показано на рис. 13. Отрезки АВ и ВМ можно измерить. Для вывода формулы проведем диаметр МК и соединим точку А с точка-
ми М и N. Получим два подобных треугольника АВМ и AMN. Они - прямоугольные, и углы АМВ и ANM равны (если ВМ - по условию касательная, то ZAMB = 90° - ZAMN; ZANM = 90° -
ZAMN). Следовательно, ММ = ^Ав
или MN =
АМ2
Ав (*). Пусть АВ = а, ВМ = Ь тогда АМ2 = а2 + I2. Подставляя
в (*), получим ё = а +1 .
Последняя формула применима, если ё > 2а. В этом случае, при наложении угольника на дугу окружности он располагается так, как показано на рис. 13, то есть точка А упирается в дугу, а планка ВС касается ее. Если же ё < 2а, то обе части прибора будут касаться окружности (рис. 14). В последнем случае диаметр окружности определяется по формуле ё = 21 [6, с. 181].
Все предложенные задачи объединены одной идеей - необходимо найти диаметр окружности при различных ограничениях. Перечислим утверждения, которыми учащиеся могут воспользоваться для поиска решений этих задач:
1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины сторон.
3. Углы, стороны которых проходят через концы диаметра окружности, - прямые.
4. Длина окружности вычисляется по формуле: I = 2%Я.
5. Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.
6. Касательные, проведенные через концы хорды, являющейся диаметром окружности, параллельны.
7. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
При обсуждении решений задач полезно составить таблицу, в которой первая строка (I) - номера задач, вторая (II) - номера утверждений, которые необходимо использовать для решения данной задачи.
Заметим, что у задач 1 и 4 имеется не одно решение. Можно обсудить со школьниками проблему выбора рационального решения задачи. Под рациональностью будем понимать возможность достижения требования задачи в реальных условиях (здесь принимается во внимание, например, доступность для измерения нужных элементов) и удобство применения предложенного способа. Удобным считаем тот способ, при котором надо совершить меньшее количество действий (измерений, вычислений, построений).
Если в предыдущем примере учащиеся в процессе обучения двигались от теории к ее практическому применению, то здесь продемонстрирован обратный подход - от практической проблемы к поиску теории для ее разрешения, что является отражением двух путей развития математики как науки.
Использование практических приложений геометрии в виде серий специально подобранных задач и заданий может быть эффективно использовано для запоминания теории и осмысленного ее применения, а также для осуществления уровневой и профиль-
ной дифференциации. Следует отметить, что в условиях ограниченного числа приложений, понятных школьнику, предложенные приемы позволяют учителю самостоятельно составлять подобные серии задач и заданий на основе известных задач прикладного характера, объединяя их как по тематике фабул, так и по математическому содержанию.
Продемонстрированные методические приемы лишь небольшой шаг в решении проблем, сформулированных в начале статьи. Приведенные примеры были использованы автором при проведении семинарских занятий со студентами математического факультета МПГУ. В качестве задания для самостоятельной работы предлагалось составить свою подборку задач на приложения для реализации описанных приемов.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Открытый банк заданий по математике [Электронный ресурс]. - URL: http://www. mathege.ru
2. Российская академия образования. Ин- 97 ститут содержания и методов обучения. Центр оценки качества образования [Электронный ресурс]. - URL: http://www. centeroko.ru
3. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. завед. - М.: Дрофа, 2002.
4. Ганьшин В. Н. Простейшие измерения на местности. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Недра, 1983.
5. Сергеев И. Н., Олехник С. Н., Гашков С. Б. Примени математику. - М.: Наука, 1990.
6. Преподавание математики / Сб. ст. под ред. А. И. Фетисова. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1957. ■
4 / 2011
Преподаватель XXI
