Обтекание твердого тела горячей сверхзвуковой газодисперсной струей с учетом вращения отраженных частиц Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XЬїї

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011

№ 2

УДК 532.525.6 532.529

ОБТЕКАНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГОРЯЧЕЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ГАЗОДИСПЕРСНОЙ СТРУЕЙ С УЧЕТОМ ВРАЩЕНИЯ ОТРАЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

Г. В. МОЛЛЕСОН, А. Л. СТАСЕНКО

Развита физико-математическая модель взаимодействия частицы с несущим газом, учитывающая силу Магнуса, экспериментальные данные о взаимном влиянии поступательного движения и вращения частиц, конечное время прогрева частицы и обрезание спектра ее теплового излучения. Динамика несущего газа описана в рамках модели Эйлера, излучением газа и обтекаемого тела пренебрегается, так же как и эрозией этого тела.

Численно исследован широкий диапазон размеров частиц, в котором реализуются различные режимы их взаимодействия с поверхностью тела (прилипание, отскок, абсолютно неупругое соударение). Оценено влияние собственного излучения частиц на их тепловой режим.

Развитый алгоритм позволяет рассчитать распределения плотностей потоков массы, импульса и энергии, приносимых частицами на поверхность осесимметричного тела, обтекаемого, в частности, двухфазной струей.

Ключевые слова: газодинамическое ускорение микрочастиц, коэффициенты восстановления компонент скорости, сжатый слой, вращение отраженных частиц, плотности потоков массы, импульса и энергии частиц.

Взаимодействие тел с высокоскоростным газодисперсным потоком представляется физически интересным и практически важным объектом исследования, которому к настоящему времени посвящено много статей и монографий, например, [1—4]. Особую роль в изучении многочисленных неравновесных процессов, сопровождающих это взаимодействие, играет газодинамический эксперимент, в котором высокоскоростной поток создается сверхзвуковым соплом (рис. 1). В отличие от случая равновесного «на бесконечности» двухфазного потока с параллельными линиями тока газа и траекториями частиц, истечение из сопла создает неравновесную по температуре и скорости среду с расходящимися или кумулированными к оси траекториями частиц (в зависимости от формы образующей сопла), причем степень этой неравновесности различна для частиц разных размеров. В результате для математического сопровождения таких экспериментов необходимо рассматривать все области течения, начиная, в принципе, от фор-камеры, в которой подготавливается неоднофазная смесь.

1. Система уравнений динамики газодисперсного потока. Исследование двухфазного потока ведется в цилиндрической системе координат х, г. Пусть р1, У| щ, \’| — плот-

ность и вектор скорости несущей среды; ах, У5 — радиус и вектор скорости

частицы 5-ой фракции (5 =2, 3); (Ол — угловая

МОЛЛЕСОН Галина Васильевна

андидат технических наук, доцент, ведущий научный сотрудник ЦАГИ

СТАСЕНКО Альберт Леонидович

доктор технических наук, профессор, начальник сектора ЦАГИ

Рис. 1. Сопло и компоненты скоростей на поверхности обтекаемого тела

скорость частицы. Обезразмеривание проведено при помощи традиционных масштабов: все геометрические размеры и радиус частиц отнесены к радиусу критического сечения сопла г*; компоненты скоростей фаз отнесены к скорости (звука) в критическом сечении сопла и,., рассчитанной на основе квазиодномерной газодинамики; плотности — к р*, температуры — к ги /. время — х* = г*/г/ *, угловые скорости — к 1/х*, Л, — удельная газовая постоянная.

В результате получена следующая замкнутая система уравнений:

уравнение неразрывности для всех компонентов смеси — газа (1), падающих (2) и отраженных (3) частиц

+ у РЛ- =0. 7 = 1, 2,3;

(1)

уравнения импульсов и энергии для несущей среды (индекс 1):

=-д^-Р2х-Рзх,

^+У тЧ =-^-р2г-р3г,

от дг

(2)

дріеі

ді

ЧРі

Ж

Рі

уравнения импульсов и энергии для ускоренных в сопле налетающих на тело частиц (индекс 2) и для отраженных от тела частиц (индекс 3):

дРА

ді

+ У Р*«4У* =Рз:

дР.^

ді

дрзез

ді

+ у р*^у* =£?,

(3)

а также азимутального момента импульсов для вращающихся частиц

- + У р,ю,У, =П4.

ді

Правые части этих уравнений имеют вид (5 = 2, 3):

Р =Р

ЯХ к 5

£

Лт--см,РіР «1-ю, VI-V,

(4)

(5)

Є

1

і'

РЪг = Р,

Лг + ^мЛР ®1 ю« и\ 11 в

5

Лг = —Р1с/з|у1-у,| VI -V.

^ =—РСтЗР1Р. °>1 -°Ч Ю1-Ю. ^со 2я

®, м1“м, V,-

а=Р'(/”+"'/“+''-/"+1С№Р,р[<“1"

(] + с0-«,2р1|ю1-ю,| ®1-®, £оД

л ^

(6)

(7)

(8)

-а>1-0), VI-V, и,

Т

Тъ-Т, -Ъв—^т-

а„

(9)

Следует обратить внимание на некоторые детали этой системы. Прежде всего, уравнения (1) характеризуют отсутствие массообмена между всеми компонентами смеси (несущим газом, падающими на тело и отраженными частицами), а также отсутствие слияния или дробления диспергированных частиц.

Система уравнений (2) соответствует модели Эйлера для несущей среды, в которых учтен аддитивный вклад импульсов и энергии частиц обеих фракций (падающих и отраженных).

Система уравнений (3), (4) формально одна и та же для частиц обеих фракций (5 =2, 3). В ней учтены компоненты силы Магнуса, пропорциональной векторному произведению относительных угловых и линейных скоростей фаз, а также тепло, выделенное при торможении вращения частиц, и их вклад в импульс и тепловыделение (см. Рет, и ^). Выражение (7) — мо-

мент сил, тормозящий вращение частиц.

Полная удельная внутренняя энергия газа ех содержит кинетическую энергию поступательного движения, а энергия частиц е — также кинетическую энергию вращения:

е, =

1 - , к — 1 Р1

о 2,2 22

е =^-Т \ 1111 * |

(10)

Межфазный обмен импульсом, моментом импульса и энергией описывается безразмерными полуэмпирическими коэффициентами (']}. Ссо, Ыи. зависящими от значений чисел Маха и Рейнольдса (как поступательного Ясл, так и вращательного Яс(1|), определенных по модулю разности относительных линейных и угловых скоростей и температур обеих фаз (частиц и несущего газа):

М,=

II 91 I

Ке, =2«,Рг-Кеш=----!---1

У,-У.=

ц Т,

2

и1-ив + V, -V

1/2

(11)

1

Здесь учтена возможность как дозвукового М5 < 1 , так и сверхзвукового М5 > 1 обтекания сферической частицы:

Т° = 47] 1 + 0.5 к-1 М? кМ^ -0.5 к-1 М;х к + 1

2

-2

4

2

м < 1 Т-=ТЛ

I 145 — -1, ±г ± 1,

М„>1, ъ=т°

Существуют многочисленные кусочно-непрерывные интерполяции коэффициента сопротивления шара при различных режимах его обтекания (например, [5]), неудобные для массовых вычислений. В настоящей работе используется простая формула, состоящая из множителей, каждый из которых зависит от одного аргумента:

Св =

24 4.4 ^ "

+ —тт^ + С-

Яе, Яе

1/2

"К

У

1-

М

4 Л

V 1 + М1У

^= 1 + 0.0751^

0.3

(12)

Здесь первый множитель — «стандартная кривая» коэффициента сопротивления, где учтены как сила Стокса (для которой Св —> 24/ЯсЛ. при Яел. —» 0), так и сила Ньютона, пропорциональная (, обобщенная на случай любых значений показателя адиабаты несущего газа к:

-

к + 1

4к

4к

к + 1

-1 к- 1

Второй сомножитель моделирует «звуковой барьер» для шара, под которым понимается резкое увеличение сопротивления частиц в окрестности значений числа Маха М5 —>1 (см. (11)). Эти выражения обоснованы и опробованы в [6]. Последний сомножитель описывает влияние вращения частицы на силу сопротивления (см. ниже).

Как известно, на вращающуюся частицу, обтекаемую газом, действует сила Магнуса, пропорциональная векторному произведению относительных вращательной и линейной скоростей, компоненты которой вошли в выражения (5—7):

4 з

=-таз ®1-ю* х см

На основе экспериментов для коэффициента силы Магнуса См предложено следующее интерполяционное выражение [7] (при движении частицы в континуальной среде):

3

0.45+ 2ую -0.45 ехр -0.075у°'4Ке°'7

2ую - 0.45,

2уга<0.45,

(13)

куда входит не только число Рейнольдса Яе, относительного движения частицы (11), но и

а51®! — со, I

Тю= I -------1 — отношение относительных экваториальной и поступательной скоростей час-

I ^1 У* I

тицы. Видно, что при сравнительно «медленном» вращении 2ую<0.45 экспериментальная

интерполяция дает классическое значение 3/4 [8].

Изменение момента импульса вращающейся частицы в несущей среде описывается уравнением (использованным при выводе (4))

с1 сое 1

Здесь =2/5rn.fi] —

Ю1“°Ч ®1-®* с»-

ш 2

момент инерции шаровой частицы.

2

Коэффициент демпфирования вращения при континуальном обтекании Сю, входящий в (7), (14), подробно исследован в [9], где приведено сравнение теоретических и экспериментальных результатов, полученных различными исследователями в течение полувека. В результате было предложено выражение

^ а Ь пп

Сю - Г=,--- + р > (15)

•у ю ®

коэффициенты которого даны в виде кусочно-постоянных функций от «вращательного» числа Рейнольдса . Для численных исследований в настоящей работе предложены более удобные гладкие зависимости, хорошо интерполирующие эти результаты:

а = 2%——, Ь = 16% -6я 2 , г = { ^С°' 1 . (16)

1 + г 1 + г ^471 )

Рассмотрим асимптотику приведенных выше выражений. При Яс01 —» 0 (ползущее движение) Сю —>1б7г/Кею, так что получается классическое уравнение для торможения вращения частицы в среде с вязкостью 1-11 (далее пренебрегается локальной угловой скоростью газа о),):

т ^ о з

J¡—— = %ml¡\lv -га, . ш

При Яе,., »1 (приближение пограничного слоя) Сш —> 2п /^Яс01, так что уравнение вращательного движения частицы принимает вид

= -«V •

В работе [10] экспериментально исследована интерференция вращательного и поступательного движения шаровой частицы (в воде, в диапазоне чисел 300 < Яе, < 4 • 104,

200< Яс01 <4-104). Показано, что коэффициент силы сопротивления С'Г) должен быть умножен 0 3

на = 1 + Кп Кею , КГ) = 0.072 ± 0.013, а коэффициент вращательного момента — на множитель = \ + Кт^ъГ^ Кт =0.0046±0.0007.

В этой же работе подтверждена справедливость выражения для коэффициента в силе Магнуса См , полученного в [7]. В настоящей работе использованы промежуточные значения

К ¡л = 0.075 и Кт =0.005 из приведенных интервалов.

В выражении для числа Нуссельта, входящего в (8), помимо «стандартной кривой» учтена возможность сильного отличия температур газа и частицы, которая (для случая степенной зависимости теплопроводности газа от температуры) приводит к множителю /Т [11]:

1 у’СО+1 уЧО+1

№д„ = /т 2 + 0.45911е^55Рг0'33 , /г =-------------ь-—^—, (17)

ТЬ=Т1 +Л?1

1 + 0.5 к-1

В приведенных выражениях с°р — удельная изобарическая теплоемкость несущей среды и

с° Т — материала частицы; Nu, Pr, M, Re — числа Нуссельта, Прандтля, Маха, Рейнольдса; ю — показатель степени температурной зависимости вязкости газа; Т — температура восстановления; г) — коэффициент восстановления температуры.

Множитель 0, входящий в выражение (9) для интенсивности межфазного теплообмена, учитывает влияние конечной теплопроводности материала частицы [11], которое может быть заметным для плохо проводящих диэлектрических частиц:

0= 1

Ми А

Ыи°Х0

-1

N11° = 10.

Учет этого фактора приводит к тому, что температура поверхности частицы Та и ее среднеобъемная температура Т8 неодинаковы.

Поскольку размер частицы ав может быть сравним с длиной волны Л теплового излучения, происходит обрезание спектра их излучения, учтенное множителем [12]

1

•7271,

Яр

1 —

1 (2 па.

2{ Л

¿/Л,

'БВ1 за о

в подинтегральное выражение которого входит функция Планка

я? =■

2/гР с0

1

Л

ехр

Г Уо Л

лквт;с

-1

Фундаментальные константы равны: постоянная Планка /?Р — 6,63 -10 34 Дж-с, константа

_лэ _о ) 1ж

Больцмана кв =1.38-10 Дж/К, постоянная Стефана— Больцмана с8В =5.67-10 —-------,

м • с • К

скорость света с0 = 3 -108 м/с.

Входящие в эти выражения безразмерные комплексы имеют вид

14СР Рг

Х =

Ь Тъ

срр„и*г*

срр*и*г*

Безразмерные постоянные равны:

78В -

Зст8Ва*

рХ

_ 3 р^* ”8Р°'

Замечания. 1. В некоторых работах, например [2], в выражении для силы Магнуса записывается разность скоростей вращения газа и частиц 0)Л . по аналогии с силой сопротивления, пропорциональной разности У[ — У5. Однако такое обобщение классического выражения, полученного в [8] при сй! = 0, в дальнейшем оказывается излишним, поскольку полагается <»! = ().5го1У| =0, что отражает пренебрежимо малую локальную закрутку газа «в среднем». Это же предположение принято и в настоящей работе. Поэтому выше положено 0)| — 0)Л. = — о)л.

2. Поскольку не учтены пограничные слои, отпадает необходимость учитывать «подъемную силу» Сэфмана, возникающую в сдвиговом потоке.

3. Как показали численные оценки, наибольшее значение критерия Кнудсена перед скачком

уплотнения Кп, =1т!2а2 ~ 10-2, т. е. много меньше единицы. Таким образом, поскольку в области параметров настоящей работы движение частиц происходит в континуальном режиме, целесообразно ограничиться выражениями (12), (17). (Коэффициенты сопротивления и теплообмена

4

шаровой частицы с газом для произвольных значений числа Кнудсена, имеющиеся в мировой литературе, интерполированы и использованы, например, в работе [6].)

Следует подчеркнуть, что предложенные зависимости учитывают возможность значительного отличия температур фаз и объемную неизотермичность частиц, которые могут реализовываться в сильно расширяющихся двухфазных потоках и при малой температуропроводности материала частицы.

2. Модель соударения частицы с поверхностью. Взаимодействие шаровой частицы с твердым телом характеризуется большим набором режимов — от прилипания (адгезии) при малых скоростях соударения до разрушения частицы и/или тела — при больших. Обширный теоретический и экспериментальный материал по этой проблеме можно найти, например, в монографиях и статьях [13 —16]. В настоящей работе рассмотрен режим взаимодействия, при котором формируется каустика (огибающая траекторий) отразившихся вращающихся частиц. Нормальная компонента скорости соударения, соответствующая этому режиму, заключена между значениями, соответствующими адгезионному пределу и пределу полностью неупругого соударения, \'2п < у2п < (см. рис. 1). Эти предельные значения зависят от физических свойств материалов сталкивающихся тел (плотностей р ■, модулей Юнга и сдвига (7; (или коэффициентов Пуассона ц ■), пределов текучести ст -, плотностей поверхностной энергии у ■, где индекс

] = 2 относится к падающим частицам, а ^ — к телу).

Коэффициенты восстановления компонент скорости поступательного движения частиц в функции от указанных свойств веществ предложено описывать простыми эвристическими выражениями [17, 18], основанными на богатом экспериментальном материале других исследователей. Что касается угловой скорости микрочастиц, которую затруднительно определить непосредственно, то соответствующий коэффициент связывается теоретически с силой тангенциального взаимодействия (например, [2]). В [18] предложено восстанавливать его значение сравнением расчетов с экспериментальными данными о положении каустики.

Используемые здесь соотношения для коэффициента восстановления нормальной и тангенциальной компонент импульса частицы ап Р2 и ах р 2 в функции угла скольжения Р2 (в градусах) и свойств материалов имеют вид (см. рис. 1):

1 -а„ Р:

1 -а„

= эш Р2

1~«т Р2

1 -аГп

К

30е

1/3

90° ~Р2 60°

2/3

где

1-

м>

Л1/6

м/

2

2

М/ =

у2п

" 2 °Л°Е)

=

г./ \\У2 (с>

(а)= а21 +а№1 ,

(сЕ) =

г? -1 77 -!

°2Е2 + ОА

а™111 = ат(30°) =

с = -

с + 0.5’ с.

с = Ас" с с" =

] \ ] ] ’ ] .

Е,

су =.

7 = 2,

Р,

с

с

Здесь и — продольная и поперечная скорости звука в материалах сталкивающихся тел. Окончательно компоненты линейной скорости у3и, у3т частицы и угловой скорости ее вращения после столкновения с массивным телом определяются соотношениями:

а3ю3 = і

Рг<Р* ~v2zaz- Рг/>Р.

где критический угол (3* является корнем уравнения ат [L = —, а3=а2.

Эти соотношения соответствуют случаю незакрученной падающей частицы со2 = 0 , который и реализовался во всех упомянутых экспериментальных исследованиях.

3. Определение плотности потоков. Основной целью работы является определение потоков массы, импульса и энергии на срезе сопла и по поверхности обтекаемого тела.

При отскоке часть QK начальной кинетической энергии частицы переходит в теплоту (в расчете на единицу массы)

1 2,2 1 [ 2 , 2 , 2 2 2

Qk ~ ^ v2п + v2t _ 21 V3” V3t 5 а"Юз

которая распределяется между частицами и подложкой. Кроме того, частицы, падающие на поверхность тела, несут и разность удельных энтальпий QH =c°s T2-Tw , где Т2, Tw —температуры падающих частиц и поверхности тела. Вопрос распределения суммы энтальпий и кинетической энергии между частицей и телом в процессе их контакта довольно сложен. По-видимому,

соответствующие коэффициенты аккомодации должны как-то зависеть от угла скольжения (как это имеет место для компонент импульса). Примем, что доля энергии, полученной каждым из

Г

двух тел, пропорциональна температуропроводности их материалов % =-------, так что отразив-

р°с°

шаяся частица (индекс 3) и обтекаемое тел (индекс w) получат доли кинетической энергии соответственно:

& _ 12 _ Qw _ Xw _

Л - ~а3’ Л2~Хз ’ „ - ~aw-

Qk Xw+X2 Qk Tw+%2

Переданная телу доля тепловой энергии падающей частицы должна зависеть и от меры неупругости столкновения, в качестве которой можно предложить множитель 1 — ап: при аи —» 1 удар абсолютно упругий, а при ап —> 0 почти вся тепловая энергия частицы передается телу. В результате для плотности потока энергии через поверхность тела примем оценку Чт = Чт\0-н 1-ая +0к]а»> гДе Чт —плотность потока массы падающих частиц.

Для определения теплового режима обтекаемого тела было бы необходимо решать сопряженную задачу теплопроводности с учетом деталей его конструкции, что не является целью настоящей работы. Однако здесь предполагается, что процесс взаимодействия двухфазного потока с телом происходит при масштабе времени, который, с одной стороны, много больше, чем zg ~xh/ua (масштаб для установления газодинамических параметров), а с другой, — меньше

характерного времени прогрева обтекаемого тела тд ~ R2/%w (эти условия реализуются в кратковременных экспериментах, например, [3, 19, 20]). Поэтому примем, что температура тела остается постоянной, Tw =T0w.

Зп ~ ~anv2n > Зі “ т 2 т

4. Исходные данные. Радиус критического сечения сопла г* = 9 мм является масштабом всех линейных размеров (см. рис. 1). Общая длина сопла равна 9, углы наклона конфузорной и диффузорной частей 22 и 7.5° соответственно. Параметры смеси в форкамере: р0 -1.5 МПа, Т0 =1580 К. Число Маха на срезе сопла Ма =2.25 соответствует течению «чистого» (без частиц) газа с фиксированным отношением теплоемкостей к = 1.25. Начальные скорости и температуры фаз приняты равновесными. Обтекаемое тело — шар радиусом Я =5, расстояние точки торможения от среза сопла х/г — ха =1.54. Вязкость и теплопроводность газа рассчитываются по формулам (в системе СИ):

М-1 =5.4-10-5 Т1 /Т0

*1 =

Iі! СР Рг

к Л,

Ср к - Г

4к

где удельная газовая постоянная принята равной К, =315 Дж/ кг -К ; со = 1; Рг =----------. Этот

9к - 5

набор параметров близок к условиям аэродинамического эксперимента [20].

Исследовались газодинамические параметры дисперсного потока в сопле и в сжатом слое около обтекаемого тела (медного шара), а также параметры падающих и отраженных частиц БЮ2 радиусом от 1 до 150 мкм с начальной массовой долей 1%. Значения использованных физических параметров материалов сталкивающихся тел даны в таблице [21].

Физические свойства веществ сталкивающихся тел

Е, ГПа а, МПа р, кг/м3 с°, Дж/кг-К А0, Дж/мх-К (с11/)0-5, м/с

Частицы 100 370 2650 1226 7 4743

Обтекаемое тело 120 215 8900 380 400 3260

Предельные значения скоростей, соответствующие адгезии частиц или абсолютно неупругому соударению, приняты равными \2п =6-10—3 и \2п =390 м/с. (Заметим, что в результате наклепа, вызванного бомбардировкой частиц, предел текучести материала обтекаемого тела, например, меди может в течение эксперимента измениться на порядок своей величины, так что

значение у2п может достичь 500 м/с (рис. 2, штрихпунктирные прямые).)

В принципе, налетающие частицы могут приобрести угловые скорости за счет столкновений друг с другом и со стенками форкамеры. Однако при дальнейшем ускорении все еще плотным несущим газом их скорости вращения быстро стремятся к нулю, так что в настоящих расчетах угловыми скоростями 2-частиц пренебрегается.

Динамика несущего газа описывается в рамках модели Эйлера. Метод решения [22] и граничные условия для двухфазного течения подробно изложены в работе [18]. Граничные условия при отскоке частиц описаны выше.

1000 и, м/с 750

* 500

Пп

250

1 1 1600 т, к а) 1400 1200 -

7 _

V —-

1 Г __ 1000 1 1

б)

Рис. 2. Зависимость скорости (а) и температуры (б) частицы от ее радиуса:

--------— в критическом сечении сопла;---------- — в точке торможения на обтекаемом теле; — • — • — — возможный разброс

значений скорости отскока;........— скорость и температура квазиодномерного потока «чистого» газа в критическом сечении

сопла

5. Результаты численного исследования. На рис. 2 даны зависимости от радиуса частиц значений их скоростей и температур в двух характерных точках потока: в центре критического сечения и в точке торможения на теле. (Все физические величины даны ниже в размерном виде.) В критическом сечении сопла скорость частиц монотонно падает, а температура монотонно растет с увеличением их размера (см. штриховые кривые). Однако в точке торможения потока на теле зависимость скорости соударения от размера частицы становится немонотонной (рис. 2, а, сплошная кривая). Полоса между штрихпунктирными прямыми иллюстрирует разброс предельной нормальной скорости соударения у2„ (связанный с возможным изменением прочностных характеристик поверхностного слоя обтекаемого тела). Видно, что частицы промежуточных размеров 3 < ак <30 мкм приобретают слишком большие скорости, что приводит к абсолютно неупругому соударению (или эрозии поверхности тела). Таким образом, отскакивать после соударения с телом будут только мелкие и крупные частицы из рассматриваемого интервала значений их радиуса.

На рис. 3 и 4 показаны структура потока за срезом сопла и в сжатом слое у сферической преграды, а также формы каустики для случая самых мелких и крупных частиц. Картина изолиний Маха газа позволяет локализовать скачок уплотнения, тройную точку, звуковую линию. Рис. 3 иллюстрирует влияние силы Магнуса, действующей на отскочившие от тела вращающиеся частицы, на их каустику. Видно, что каустика мелких частиц целиком лежит внутри сжатого

2-

1-

4- /ІШ

тт. ґ § /

3- /

2- ї

1- 1

1 я— я 0 36 і

2.21 if —~ 1

1 І//Г018 1

1 11 п 0 ,—L-, ,

1 Ха 2 3 JC 1 Xh

б) О

жш\іг 4-

Г J /

jSF і і СП CN Г

7ш 1-

1 \(k^ 0 ■ 1

1 Xh 2 2 X 1 Xh

Рис. 3. Поля равных значений числа Маха газа М! (левый столбец) и плотности отраженных частиц р3 (правый столбец) радиусом 1 мкм без учета (а) и с учетом (б) силы Магнуса; радиальное распределение плотности отраженных частиц радиусом 1 мкм в вертикальных сечениях x = const без учета (в) и с учетом (г) силы Магнуса

Рис. 4. Линии равных значений числа Маха газа М! и плотности отраженных частиц р3 радиусом 100 мкм (а) и 150 мкм (б) с учетом силы Магнуса

слоя, показанного в левом столбце рисунков. На рис. 4 аналогичные результаты даны для крупных частиц с учетом их вращения при двух значениях их радиуса. Видно, что после отскока от тела эти частицы выходят за пределы сжатого слоя.

Рис. 5 и 6 позволяют уточнить значения массовой плотности р3 отраженных частиц в нескольких поперечных сечениях х = const.

Строго говоря, каустика — линия, на которой концентрация отраженных частиц может стремиться к бесконечности. Существуют методы, позволяющие преодолеть эту математическую трудность, например, лагранжев подход [23] или ТДК (траекторный дискретно-континуальный) [24]. В реальности многие факторы «размазывают» эту линию в область конечной ширины (шероховатость поверхности обтекаемого тела, несферичность и немонодисперсность частиц,

0.2

р3, кг/м3 0.15

0.1

0.05

л

1 1 1 4 1 1 I

р3, кг/м3

1.07

3 1.16

X = 1.18

\ 0.9

Х~1 У \0.8 2 1.01

1—J-54 1 - 1 1

1 ™

1 1 Nisi б) 0 1 1 1 ,

Рис. 5. Радиальное распределение плотности отраженных частиц р3 радиусом 75 мкм в сечениях: а — в сжатом слое; б — в окрестности каустики

0.25

р3, кг/м3 0.2

0.15

0.1

0.05

“) 0

1 1 1 і

1 Д 0.9

х= 1І Я У \0-8

I

l.4\^ 1

- 1.25 і і \£SO.

5

р3, кг/м3 4

б)

1 1 1 1.07

- 1 16

X 1.18

- 1.01 "

1 і

1 2 3 4 К 5

Рис. 6. То же, что и на рис. 5, для частиц радиусом 150 мкм

турбулентность газа). В численных исследованиях таким «размазывающим» фактором служит конечно-разностная аппроксимация уравнений (аналогичный эффект имеет место и для скачка уплотнения в «чистом» газе). В настоящей работе не ставилась цель подробного описания структуры каустики, а лишь влияния на ее положение размера и закрутки отраженных от тела частиц.

Особый интерес для настоящей работы представляет пространственное распределение угловой скорости отраженных частиц (рис. 7). Оно дано как в виде линий равных значений (левый столбец), так и в виде продольного распределения на поверхностях r = const (правый столбец). Целесообразно сравнить эти поля с полями линий равных значений плотности на рис. 3 и 4. Сле-

Рис. 7. Изолинии и продольные распределения угловой скорости а>3 отраженных

частиц радиусом: а — 1 мкм; б — 75 мкм; в — 150 мкм

дует подчеркнуть, что картина значений р3 = const на рис. 3 иллюстрирует положение каустики (которая в конечно-разностном описании представляется не линией, огибающей траектории отраженных частиц, а областью повышенных значений их плотности). Приведенные данные ограничены минимальным значением р3 =0.01 кг/м .

В рассматриваемой в настоящей работе цилиндрической системе координат с ортами ех, ег, еф угловые скорости отраженных частиц имеют единственную азимутальную компоненту ю3 = ефю3, численное значение которой отрицательно со^ < 0 .

Из рис. 7 видно, что для крупных частиц с удалением от тела в сторону сопла угловая скорость уменьшается. С удалением от оси (в вертикальной плоскости) значение угловой скорости проходит максимум.

На рис. 8, а показано влияние собственного излучения частиц на их температуру в виде от-

ношения =

Ysb

TZ

\

Y^Nu,© Ть а.

Т

лучистого потока к потоку теплообмена с га-

зом (см. слагаемые в (9)) для случая самых мелких частиц (а3 =1 мкм) из рассмотренного диапазона. Здесь же, на рис. 8, б, в, приведены значения температур восстановления Тъ относительного потока газа у поверхности частицы и температур самих частиц Т для нескольких значений их радиуса. Из рис. 8, б видно, в частности, что для мелких частиц ав— 1 мкм значение Тъ превышает температуру в форкамере вследствие перехода кинетической энергии ускоренной газом частицы в тепловую непосредственно за скачком уплотнения. Поскольку знак разности Ть -изменяется при прохождении скачка, соответственно изменяется и знак отношения 5. На рис. 8, в также дано изменение вдоль оси температуры несущего газа Т.

Наибольший практический интерес представляют плотности потоков массы и энергии, приносимые на тело частицами (как отразившимися, так и взаимодействующими абсолютно неупруго). На рис. 9 даны зависимости этих потоков в точке торможения от радиуса падающих частиц. Хорошо видна немонотонность потока энергии qт в исследованном диапазоне ра-

диусов частиц. Кроме того, кинематика частиц, ускоренных газом в сопле, существенно зависит от процессов, происходящих в камере смешения, и формы образующей сопла. Расчеты показывают, что уже в критическом сечении значения скоростей фаз (газа и твердых частиц) заметно отличаются друг от друга. Очень важно также направление вектора скорости частиц за критическим сечением. Форма образующей сопла была фиксирована при всех вариантах расчетов. На рис. 9 представлены результаты для двух разных случаев задания начальной скорости частиц: 1 — расчет всего потока, начиная с сечения х = 0 в конфузор-

0.03

0.02

0.01

-0.01

- 1 as = 1 мкм і

- J\

1 і

в)

б)

1800 Ть, К 1600

1400

1200

1000

.1600 К

1400 1200 1000

0 0.5 X

1

150

_ as = 150 мкм

■ ■

75

^ _ 1 _

і '——^

0 0.5 1 х

в)

'75 ' 150 Т\ X -

Gs—l МКМ і j т-- J і і .

1.2

Рис. 8. Изменение термодинамических характеристик частиц вдоль оси потока:

а — отношение потоков излучения частицы и ее теплообмена с газом; б — температура восстановления относительного потока газа у поверхности частицы; в — температуры частиц нескольких радиусов и температура газа (абсциссы: х = 0 — срез сопла; х ~ 1 — скачок уплотнения; х = х^ = 1.54 — точка торможения на теле)

Т

а

S

О) 0 50 100 as,Mкм 150 ¿0 0 50 100 д„ Мкм 150

Рис. 9. Влияние радиуса частиц на величину плотности потока массы (а) и энергии (б), приносимых ими на обтекаемое тело в точке торможения при двух предельных режимах уско-

рения частиц в сопле:

1 — коническое сходящееся течение в конфузорной части, приводящее к резкой кумуляции частиц к оси потока; 2 — конический разлет в диффузорной части

ной части сопла. Такое течение приводит к резкой кумуляции частиц к оси потока и определяет максимальные значения плотности массы, импульса и энергии частиц в несущем потоке; 2 — конический расходящийся поток после критического сечения, параметры смеси в котором получены в предыдущем варианте. Можно ожидать, что в этом случае указанные плотности потоков на поверхности обтекаемого тела будут наименьшими.

Здесь не рассматривается поток тепла от «чистого» (без частиц) газа, который определяется, например, в [2, 23] как экспериментально, так и теоретически традиционными методами. Согласно гипотезе аддитивности [19], этот поток может быть добавлен к найденному выше вкладу от частиц.

Заключение. Развитые в настоящей работе физико-математическая модель и численный алгоритм можно использовать для сопровождения газодинамических экспериментов с целью извлечения информации о трудно измеряемых параметрах (например, коэффициентах восстановления скорости частиц, частоты их вращения после отражения) путем сравнения численных расчетов и результатов опытов.

Частицы из средней части рассмотренного массового спектра соударяются с телом абсолютно неупруго, отражаются только мелкие и крупные частицы. Первые из них после отражения ускоряются газом внутри сжатого слоя, вторые выходят за пределы скачка уплотнения.

Отход от обтекаемого тела каустики (огибающей их траекторий) отраженных микрочастиц монотонно растет с увеличением их радиуса. Учет вращения частиц смещает их каустику к телу из-за потери части энергии на вращение.

При обтекании сферы сверхзвуковой струей, несущей монодисперсные частицы, реализуются немонотонные зависимости от их радиуса скорости падения и передаваемого ими телу потока тепла в точке торможения.

Плотности потоков массы и энергии частиц в точке торможения существенно зависят от формирования двухфазного потока в камере смешения и конфузорной части сопла.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты 08-08-00618 и 10-01-00745.

ЛИТЕРАТУРА

1. Михатулин Д. С., Полежаев Ю. В., Ревизников Д. Л. Теплообмен и разрушение тел в сверхзвуковом гетерогенном потоке. — М.: Янус-К. 2007, 392 с.

2. Volkov A. N., Tsirkunov Yu. М., Oesterle' В. Numerical simulation of a supersonic gas-solid flow over a blunt body: The role of inter-particle collisions and two-way coupling effects // Intern. J. Multiphase Flow. 2005. V. 31, p. 1244—1275.

3. Василевский Э. Б., Осипцов А. Н., Чирихин А. В., Яковлева Л. В.

Теплообмен на лобовой поверхности затупленного тела в высокоскоростном потоке, содержащем малоинерционные частицы // ИФЖ. 2001. Т. 74, № 6, с. 34—42.

4. Моллесон Г. В., Стасенко А. Л. Газотермодинамика двухфазной струи, натекающей на нормальную преграду // Ученые записки ЦАГИ. 1990. Т. XXI, № 5, с. 51 — 58.

5. Henderson C. B. Drag coefficient of particles in continuum and rarefied flows //

AAIA J. 1976. V. 14, N 6, p. 707—708.

6. Гринац Э. С., Стасенко А. Л. Интерполяционная модель динамики и теплообмена шаровой частицы в несущем газе при произвольных значениях числа Кнудсена // Труды ЦАГИ. 2008, вып. 2676, с. 3 — 14.

7. Oesterle' В., Bui Dinh Т. Experiments on the lift of a spinning sphere in a range of intermediate Reynolds numbers // Experiments in Fluids. 1998. V. 25, p. 16 — 22.

8. Rubinow S. I., Keller J. B. The transverse force on spinning sphere moving in a viscous fluid // J. Fluid Mech. 1961. V. 11, p. 447—459.

9. Dennis S. C. R., Singh S. N., Ingham D. B. The steady flow due to a rotating sphere at low and moderate Reynolds numbers // J. Fluid Mech. 1980. V. 101. Part 2, p. 257—279.

10. Лукерченко Н. Н., Харламов А. А., Квурт Ю. П. Экспериментальная оценка силы сопротивления, силы Магнуса и момента сопротивления, действующих на сферическую частицу // Материалы VI Междунар. конф. по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ — 2006). — М.: Вузовская книга, 2006, 368 с.

11. Стасенко А. Л. Физическая механика многофазных потоков. — М.: Изд-во МФТИ, 2004, 136 с.

12. Петров Ю. И. Физика малых частиц. — М.: Наука, 1982, 360 с.

13. Вараксин А. Л. Столкновения в потоках газа с твердыми частицами. — М.: Физматлит, 2008, 310 с.

14. Kim O. V., Dunn P. F. A microsphere-surface impact model for implementation in computational fluid dynamics // Aerosol Sci. 2007. V. 38, p. 532— 549.

15. Лашков В. А. Об экспериментальном определении коэффициентов восстановления скорости частиц потока газовзвеси при ударе о поверхность // ИФЖ. 1991. T. 60, № 2, с. 197—203.

16. Кангу р Х. Ф., Клейс И. Р. Экспериментальное и расчетное определение коэффициента восстановления при ударе // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. № 5, с. 182—185.

17. С т а с е н к о А. Л. Коэффициенты восстановления скорости частицы при отражении от поверхности твердого тела // ИФЖ. 2007. Т. 80, № 5, с. 38 —44.

18. Моллесон Г. В., Стасенко А. Л. Особенности обтекания затупленного тела сверхзвуковой полидисперсной струей с закруткой отраженных частиц // ТВТ. 2011. Т. 49, № 1, с. 73—80.

19. Vasilevsky E. B., Dombrovsky L. A., Mikhatulin D. S., Polez-haev Yu. V. Heat transfer in a heterogeneous supersonic flow // Heat Transfer Conf., Grenoble, France, August 18 —23, 2002. Paper N 504, 5 p.

20. Василевский Э. Б., Кудин О. К., Нестеров Ю. Н., Токарев О. Д., Флаксман Я. Ш., Яковлева Л. В. Результаты физического эксперимента по взаимодействию сверхзвукового высокотемпературного газодисперсного потока с твердым телом // Труды 52-й Научн. конф. МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». — М. — Жуковский: Изд-во МФТИ, 2009, 270 с.

21. Физические величины. Справочник под ред. Е. З. Мейлихова. — М.: Энергоатом-издат, 1991, 1232 с.

22. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике. — М.: Наука, 1982, 392 с.

23. Осипцов А. Н. Исследование зон непрерывного роста концентрации частиц в дисперсных потоках // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 5, с. 46—52.

24. Гилинский М. М., Стасенко А. Л. Сверхзвуковые газодисперсные струи. — М.: Машиностроение, 1990, 176 с.

Рукопись поступила 26/V 2010 г.