Обтекание пластинки под нулевым углом атаки в присутствии вихря Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIII

1992

№ 4

УДК 533.6.011.32:532.582.2 532.527

ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ ПОД НУЛЕВЫМ УГЛОМ АТАКИ В ПРИСУТСТВИИ ВИХРЯ

Получено аналитическое решение задачи об обтекании пластины идеальной несжимаемой жидкостью под нулевым углом атаки в присутствии стационарного вихря над верхней поверхностью пластины и при выполнении условия Жуковского на кромка# пластины. Показана возможность получения подъемной силы на пластине при нулевом угле атаки.

Задача об обтекании пластинки под углом атаки при наличии вихря над ее поверхностью неоднократно привлекала к себе внимание [1, 2] в связи с исследованием возможности захвата свободного вихря над поверхностью профиля и увеличения его подъемной силы. При этом отыскивалось стационарное положение вихря, т. е. такое, в котором скорость в точке расположения вихря, помимо скорости, создаваемой самим вихрем, равняется нулю. Такие положения существуют, и соответствующие точные решения, полученные при удовлетворении условия Жуковского на задней кромке пластины, были найдены.

Рассматривалась более общая задача о существовании вихрестока над поверхностью профиля [3, 4]. Наличие в этой задаче неизвестной интенсивности стока позволяло удовлетворить условию Жуковского еще в одной точке — либо на конце щитка, установленного на носке профиля, либо на носке профиля.

Однако и в упомянутой первой постановке задачи можно получить удовлетворение условиям Жуковского на передней и задней кромках при обтекании пластины. Этот случай интересен тем, что в нем возможно получение подъемной силы на пластинке при обтекании ее под нулевым углом атаки. Можно показать, что к этому же случаю сводится задача об обтекании пластинки под нулевым углом атаки в присутствии вихрестока.

Первой по времени была работа С. А. Чаплыгина [5]. Выпишем уравнения для задачи

о вихре над пластинкой в плоском потоке несжимаемой идеальной жидкости в более общей постановке: найти стационарные положения вихря над плоской пластинкой, обтекаемой однородным потокам под углом атаки при выполнении условия Жуковского на передней и задней кромках пластины.

Воспользуемся для этого методами теории комплексных переменных. Если пластина расположена в плоскости комплексного переменного г = х + іу от г = — 1 до 2=1, то

преобразованием г = -^-(е+ 1/?) ее можно отобразить на внешность единичного круга-в плос-

кости ?. Комплексный потенциал внешнего обтекания окружности с вихрем, расположенным В точке £0, имеет вид

Здесь — скорость потока на бесконечности, к — интенсивность вихря, расположенного в точке 2о, Г — интенсивность вихря, расположенного в центре окружности, а — угол атаки пластины. Потребуем, чтобы комплексная скорость в точке расположения вихря г0 в плоскости г равнялась нулю (интенсивность вихря сохраняется при преобразованиях 5 -► г и обратно):

А. А. Гладков

с

. / dw ik 1 \ 6о°~ / 1 ■„

lvK - ( dz 2n z — z0 ) sg — 1 V ^

------!---+tF--L\+TL-(-------------—) -0.

' У 2л». \ 6 ~ So dz z-z0 Jf

2я»_ So - 1/Co 2jlt,oc So _ . „

/ \ / «-*«0

2 s0

Последняя скобка равна-------------——. Условие Жуковского на передней и задней кромках плас-

(й- О

тины запишем в виде у|±і = 0.

Если ввести go = гёь, то в развернутом виде условия Жуковского дадут уравнения

1 — л2 - *'

sino=A----------------- ---------г+г; (1)

1 — 2г cos О + г

1 — г2 -

sin а = — it--------------------;— Г . (2)

1 + 2 г cos О + г2

Условия стационарности запишем в виде

1 , 1 \ г л sin 2d

■ -s-cos-(а-#)!’ 1 - —) -к—-------------—-------- - ■ = 0 ; 3

і \ г / г — 2Н cos 20 + 1

1 ■ I A\f I I 1 \ 1 і/ r Iі Г cos 20+1 \ Г

В общем случае условия (1), (2) одновременно не удовлетворяются (1].

Рассмотрим теперь частный случай а = 0'и положим О =Тогда уравнения (1), (2) принимают одинаковый вид 2

к 1 ~ + Г = О, (I')

1 + г2

уравнение (3) обращается в тождество, выражающее тот факт, что вертикальная составляющая скорости в точке расположения вихря над пластинкой после вычитания поля самого вихря тождественно равна нулю.

Уравнение (4) дает

(4')

Тем самым получаем систему уравнений (1')* (4') относительно неизвестных И, Г, решение которой имеет вид

* = -Ц-(г*+ 1)(г<- 1), Г = -І_(г2- 1)(г4- 1):

4 г 4 г1

Таким образом, получено точное аналитическое решение для обтекания пластинки под нулевым углом атаки, удовлетворяющее условию Жуковского на обеих кромках, со стационарным положением вихря над верхней поверхность» пластинки.

На рис. 1 показаны интенсивности £, Г в зависимости от расстояния г от центра окруж^ ности в плоскости 5 точки, в которой расположен вихрь. В плоскости г эти расстояния пересчитываются в расстояния от пластины у по формуле у——(г------------—). Нетрудно видеть, что при г,

близких к 1, зависимость к (г) — линейная, а Г (г) — квадратичная. Общая картина течения для частного значения г показана на рис. 2. Здесь линии тока получены численным интегрированием дифференциального уравнения, найденного из условия равенства нулю полного дифференциала мнимой части комплексного потенциала.

В соответствии с уравнением (Г) обтекание концов пластины плавное. Над серединой пластины образуется «пузырь», размер которого определяется параметром г. Обтекание переднеА й задней половин пластины симметрично.

Силы, действующие на пластину, при условии стационарности вихря с интенсивностью к, сводятся к подъемной силе д = Р0ооГ. направленной по нормали к пластине. В силу отмеченной симметрии обтекания она приложена в центре пластины.

Рассмотрим теперь устойчивость положений вихря, следуя [2]. Для этого используем малые возмущения положения вихря в предположении постоянства а, к, Г. Рассмотрим

Лх Лг . -

——= и — IV — —■- —— = (} в точке г0. Перейдем в плоскость ш “*

(5)

Сопряженное уравнение имеет вид

Здесь

</е 2е2

<1г - | ’

Разложим (? в ряд по малым смещениям ц'

О - «<*,й +( %)/ +( Щ-)/ +

(6)

индексом 0 отмечены стационарные положения вихря.

Здесь Q (go, go) = Q (go, go) = О в силу стационарности положения вихря,

+

(sQ — 1/ёо)2 s° -1 (g2—О2

Н)

(1).-Ч#).- (#).=Ч£).

Подставляя разложения ф и ф в (5), (6), получим систему уравнений для определения 6 и;'.

dj

dt

Рассматривая решение в виде Аеи, получим из этой системы уравнение для определения собственных чисел

х2 — (Ail + ^4 2 |)Л. — А 22^22 + А21А21 = 0.

Расчет показывает, что при 1 < г < -\/3 значения X *шсто мнимые, а следовательно, найденные положения вихря при этих значениях г являются нейтральными по отношению к малым возмущениям. При больших значениях г положенйе вихря становится неустойчивым.

Задача об обтекании дужки окружности при выполнении условий Жуковского на обеих кромках при наличии стационарного вихря рассматривалась в рабрте [5], однако решение, полученное в ней, не является полным. Чтобы, не вдаваясь в подробности решения, показать различие подходов, можно основываться на выписанных выше уравнениях, воспользовавшись тем, что суть и общая структура этих уравнений и уравнений работы [5] одинаковы. Следуя [5], решим уравнения (1), (2) относительно Л, Г. Полученные решения будут прямо зависеть от sin а и при о = 0 обратятся в нуль. Именно это тривиальное решение и взято в [5], где отмечено, что при нулевом угле атаки решение сводится к обтеканию дужки в отсутствие внешних вихрей. Для пластинки при нулевом угле атаки соответственно получается бесциркуляционное обтекание, не создающее подъемной силы. Другие решения не исследовались.

Рис. 3

Однако можно рассмотреть однородную систему (1), (2) непосредственно при <х=0 и получить решение задачи из условий, при которых уравнения системы становятся линейно зависимыми. Именно эти решения и получены в предлагаемой работе. Их смысл пояснен на рис. 3, где показана для этого случая вихревая система в плоскости £, в которой обтекаемый контур отображен на окружность. Симметрия конфигурации приводит к тому, что возможность подбора интенсивности вихрей ±к таким образом, что вихри будут компенсировать скорость, создаваемую вихрем Г, на одной кромке А, автоматически приводит к ее компенсации и на другой кромке В. Обобщение решения на другие контуры, получаемые конформным отображением окружности, очевидно.

ЛИТЕРАТУРА

1. S a f f m а п R. G., Sheffield J. S. Flow over a wing with an

attached free vortex. — Studies in applied mathematics, 1977, vol. 57, N 2.

2. H u a n М. K., Chow Ch. Y. Trapping of a free vortex by Zhukovsky airfoils. — AIAA J., 1982, vol. 20, N 3.

3. R os sow V. J. Lift enhancement by an externally trapped vortex.—

AIAA Paper. 1977, N 672.

4. Павл овец Г. А., Горелов Ю. А. Обтекание пластинки в присутствии вихрестока. — Ученые записки ЦАГИ, 1978, т. 9, № 3.

5. Чаплыгин С. А. О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие тела. # 8. Собр. соч. — Т.2, М.— Л.: ОГИЗ, 1948.

Рукопись поступила 6/1 1986 г.