CC BY
18
УДК 532.137.3
ОБСУЖДЕНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ МАЯТНИКОВОГО ВИСКОЗИМЕТРА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ СВОЙСТВ
И.В. Елюхина
Сведений о поведении высокотемпературных сред к настоящему времени недостаточно для уверенной идентификации реологического типа, и поэтому своевременной является разработка комплекса экспериментов, позволяющих наблюдать и измерять неньютоновские свойства таких сред. В работе обсуждены возможности маятникового вискозиметра для решения подобных задач.
В рамках разработки комплекса экспериментов по изучению неньютоновских свойств высокотемпературных сред ранее были рассмотрены основные традиционные для таких жидкостей методы - крутильно-колебательный и вибрационный (см., например, [1-3]). Эти методы относятся к нестационарным; первый из них обычно используется при исследовании металлических расплавов, второй - для оксидных и шлаковых систем. С позиций неньютоновости были интерпретированы данные, получаемые с помощью стационарной капиллярной вискозиметрии (см., например, [4]), также приемлемой для сред с рабочими температурами - 1200-2000 К. Теперь обратимся еще к одному из возможных для решения подобных задач нестационарному методу - маятниковому (см., например, [5, 6]).
Пусть тонкая пластинка с площадью поверхности 5 подвешена с помощью подвесной системы, имеющей момент инерции I и крутильную жесткость^, и совершает вокруг точки подвеса колебания в своей плоскости с периодом т0 и декрементом затухания колебаний S0. При помещении ее в жидкость вследствие увлечения среды ускоренно движущейся пластиной возрастает эффективный момент инерции подвесной системы, увеличивается период колебаний: т > т0, и вследствие дополнительной диссипации механической энергии, обусловленной вязким трением между подвергаемыми сдвигу слоями жидкости, растет скорость затухания колебаний: S>ÔQ. Задача заключается в предсказании закона колебаний a - a(t) : зависимости от времени t угла поворота a маятника, помещенного в неньютоновскую среду массой M, и является сопряженной: движение пластины непосредственно связано с возбуждаемым ей движением среды,
Примем положения, традиционно используемые в этом методе, как то: амплитуды колебаний малы, маятник имеет большую длину - что в свою очередь позволяет допустить, что пластина совершает плоскопараллельное движение. Краевыми эффектами здесь также пренебрегаем. Тогда математическая модель будет иметь вид:
- уравнение движения маятника [5]
d2a rl2 da (mg£c + K) _ Fmpt
_ ~г r CC , ( 1 )
dt I dt I I
- уравнение движения жидкости
(2)
dt p ôz
- начально-краевые условия для (1,2)
dafdt[=0= 0, a(0) = a0, V(z,0)-0, V{0,t) = da/dt-£, = (3)
1 2 Вестник ЮУрГУ, № 2, 2005
Елюхина И.В.
Обсуждение возможностей маятникового вискозиметра для исследования неньютоновских свойств
где ¥тр ~ 25 0 - действующая на пластину со стороны жидкости сила трения; g - ускорение свободного падения; £ - расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника; 1С - расстояние от точки подвеса до центра пластинки; т - масса маятника; г - коэффициент силы трения при колебаниях в отсутствии среды; V - компонента скорости пластины, направленная вдоль оси X ; X и Ъ - оси декартовой системы координат, коллинеарная и ортогональная направлению колебаний пластины соответственно (г = 0 на пластине); а0 - начальное угловое отклонение от положения равновесия; р - плотность среды. Компонента (гх -я) тензора напряжений, являющаяся в общем случае неньютоновской среды функцией / второго инварианта О
тензора скоростей деформации на пластине а7Х = урО^ • /(£>). Здесь = - гх-я компонента тензора скоростей деформации; V - кинематическая вязкость среды; для рассматриваемых условий течения О = |.
Для обеспечения прецизионности измерений желательно исключить из числа наблюдаемых параметров частоту собственных колебаний щ, недоступную прямым измерениям. Поэтому, рассматривая уравнение колебаний пластины в отсутствии среды и учитывая, что ( 2 2\}/2 /
щ = (+4п I /г0 , уравнение колебаний пластины в жидкости (1) запишем как
йга 28ъ йа х 302 +4пг ¥ I с1г Т0 & Го 1
Представим уравнение (4) в терминах линейного смещения пластинки из положения равновесия х-а£ и введем безразмерные параметры
где й - толщина пограничного слоя; <р(у/) - некоторая функция от у/ (обезразмеренного значения £)): для ньютоновских сред <р(у)-1\ для нелинейно вязких сред со степенным реологическим законом и для линейных вязкопластичных сред соответственно
Ф) = ¥т~1 '(2я/т0)т-1к/(ур); (6)
(р(у/} = (1 + Вт/у/) - при у/>Вт и
у/^ - 0 - при у/ < Вт, (7)
где т и к - показатель и постоянная степенного реологического закона; Вт - <т0[ур{2я/т0)]-1 - число Бингама, сг0 - предел текучести;
для линейных вязкоупругих сред изосинхронный режим колебаний в отсутствии переходных процессов не нарушается, и их свойства (вязкость, время релаксации и пр.) можно описать в рамках комплексной вязкости, используя ньютоновскую модель поведения. Система (2)-(4) в терминах параметров (5) имеет вид:
11Т* л йТ
С £ °0
2п
+ 1
£ = (8)
ди
^/¿т|г=0=0, <?(0) = £0. и(С,0) = 0, ит)^/^, 1/(оо,Г) = 0. (10)
Серия «Математика, физика, химия», выпуск 5
113
Физика_
Легко заметить, что при данной постановке и допущениях задача эквивалентна задаче для вибрационного вискозиметра, совершающего затухающие колебания (за тем исключением, что в последнем случае А-Бйр1т, где т - масса подвесной системы). Поэтому для дальнейшего обсуждения возможностей маятникового вискозиметра следует обратиться к соответствующим работам по вибрационному методу (к примеру, [2]). Для сравнения заметим также, что для маятникового вискозиметра параметры колебаний в отсутствии среды равны
для вибрационного вискозиметра -
4 ягт2 „ 1 гтх
Ч^-—Г* ^о = т ' (12)
ту-0,25г 2 т
где у - жесткость упругого элемента.
Отдельно отметим, что помимо вектора состояния системы (величин С/ и £ в (8, 9)) и пространственно-временных координат (Т и С) в систему уравнений входит только один параметр -А, безразмерный комплекс, характеризующий свойства среды и условия эксперимента, объединяющий все параметры установки. Изменение А позволяет варьировать условия эксперимента и выбирать оптимальные, определяемые совокупностью причин, как-то: достаточным числом колебаний до момента, после которого уверенная регистрация а невозможна; значительным изменением периода и декремента затухания в процессе колебаний - для большей наблюдаемости неньютоновских эффектов; чувствительностью оценок реологических свойств среды к ошибкам в измеряемых в эксперименте параметрах и др.
Маятниковый метод математически подобен вибрационному для режима установившихся колебаний, но технически он реализуется иначе, в частности, обладает различными с вибрационным методом возможностями для изменения условий эксперимента, измерения наблюдаемых в опыте параметров, отклика на шум, организации переходных процессов и пр. В связи с этим экспериментатору при выявлении неньютоновских свойств высокотемпературных сред полезно иметь в распоряжении и такую экспериментальную базу для проверки согласованности получаемых данных этим методом и иными.
Литература
1. Елюхина И.В. Оценивание свойств неньютоновских сред крутильно-колебательным методом // Вестник ЮУрГУ. Серия «Металлургия». - 2004. - Вып. 4. - № 8(37). - С. 18-21.
2. Елюхина И.В. Вибрационный метод затухающих колебаний для измерения свойств ньютоновских и неньютоновских сред // Тр. XI Рос. конф. «Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов». - Екатеринбург, 2004. - Т. 2. - С. 223-227.
3. Вяткин Г.П., Елюхина И.В. Идентификация нелинейно вязких и вязкопластичных свойств вибрационным методом // Матер. 22 симп. по реологии. - М.: ИНХС РАН, 2004. - С. 29.
4. Елюхина И.В. К измерению вязкопластичных свойств раствора глицерина капиллярным методом // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». - 2005. - Вып. 5. - №2(42). -С.110-111.
5. Росин Г.С. Маятниковый вискозиметр // Завод, лаб. - 1967. - Т. 33 . - №8. - С. 1027-1028.
6. Шпильрайн Э.Э., Фомин В.А., Сковородько С.Н., Сокол Г.Ф. Исследование вязкости жидких металлов. - М.: Наука, 1983. - 243 с.
Поступила в редакцию 19 марта 2005 г.
114
Вестник ЮУрГУ, № 2, 2005
