Общее решение уравненияна словах с одной переменной Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ НА СЛОВАХ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

GENERAL SOLUTION OF ONE VARIABLE WORD EQUATION

Максименко М.Н. — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей Математики Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова

Maksimenko M.N. — Cand. F-Mat. N (Mathematics), Associate Professor of the Department for Mathematics, Russian Plekhanov University of Economics

Аннотация

В этой статье будут предложены задачи, которые могут заинтересовать студентов экономико-математического факультета. В процессе изучения курса дискретной математики студенты ознакомились с основами семиотики, определениями алфавита, кода и уравнения на словах. В качестве упражнений им предлагались простейшие уравнения, решение которых не требовало компьютера, а алгоритмы решений были достаточно простыми и составлялись студентами самостоятельно. В данной работе будут сформулированы общие задачи, которые до сих пор не решены и представляют интерес, а также сформулированы небольшие конкретные задачи, которые могут вызвать интерес у студентов.

Abstract

In this article, we will propose some problems that may be of interest to students of economic-mathematical faculty. In the course of discrete mathematics students learned the basics of semiotics, definitions of the code and word equation. As the exercise they were offered the simplest equations, the solution of which did not require a computer and algorithms of solutions were simple enough and were made by students themselves. In this work will be formulate general problems, which are still not solved, but may be interesting to the students.

Ключевые слова: уравнение на словах-1; префикс-2; суффикс-3, граница слова-4, период слова-5, квазипериодическое слово-6, степень слова-7, сопряженные слова-8.

88

Key words: word equation-1, prefix-2, suffix-3, word bound-4, word period-5, quasiperiodic-6, word degree-7,conjugate words-8.

1. Вводные определения

Пусть C = {ap a2 ..., ap} — конечный алфавит постоянных, т.е. букв. Любая последовательность букв этого алфавита называется словом.

Длиной слова называется количество букв (символов) в нем. Обозначим длину словаX как |X|. Слово, в котором нет ни одного символа, называется пустым, оно имеет длину, равную 0 и обозначается X.

Если к слову P приписали слово S, то полученное слово PS называется конкатенацией слов P и S, а слова P и S называются множителями слова PS.

Говорят, что два слова равны в лексикографическом смысле, если их длины совпадают и i-я буква первого слова равнна i-й букве второго слова. Лексикографическое равенство слов P и S обозначается как P = S.

Множество всех слов в алфавите C обозначается как C*.

Уравнение на словах определено на алфавите переменых

V: x-

1' 2'

, xn следующим равенством:

ф (x1, x2, ..., xn, a1, a2, ..., ak, ... ) = x1, x2, ..., xn, a1, a2, ..., ak, ...) (1) Здесь слова ф (x1, x2, ..., xn, a1, a2, ..., ak, ... ) и x1, x2, ...,xn, a1, a2, ..., ak, ...) суть слова в алфавите Vu C.

Множество слов x1, x2, ..., xn в алфавите C называется решением уравнения (1), если слова ф (x1, x2, ...,xn, a1, a2, ..., ak, ... ) и x1, x2, ..., xn, av a2, ., ak, .) в алфавите C совпадают.

Пример 1. Пусть C = {a, b}, V= {x,y}. Тогда уравнение xby = ayb имеет решение X = a, Y= b, т.к. при подстановке X и Y в уравнение имеем лексико-графическое равенство abb = abb.

2. Основные определения и факты про слова

Говорят, что слово P является префиксом слова Q, если существует слово S, такое что PS = Q. [6] следующим равенством:

Пример 2. Слово abba является префиксом слова abbabbaaba. Говорят, что слово S является суффиксом слова Q, если существует слово P, такое что PS = Q. (см. Рис. 1.1).

Рис. 1.1. Префикс

89

Степенью слова А называется слово Ат: при т > 0, это слово вида А ... А, в данном случае берётся т раз конкатенация слова А (написали слово А т раз подряд), при т=0 слово Ат есть пустое слово.

Слово Р называется сложным или периодическим словом, если существует число т > 1 и слово А, такое что Р = Ат (см. Рис. 1.2).

Рис. 1.2. Сложное слово

Два слова называются сопряжёнными, если они имеют вид QS и SQ (см. Рис. 1.3). Если ни одно из слов Q или S не является пустым, то говорят, что QS и SQ являются собственными сопряжёнными.

<2 5 5 е

Рис. 1.3. Сопряженные слова

Слово Р называется простым, если ни для какого слова А и ни для какого числа т >1, не выполняется лексикографическое равенство: Р = Ат.

Слово А есть корень слова Р, если существует число т, такое что Р = Ат (см. Рис. 1.2). Если А является самым коротким корнем слова Р, то говорят, А является простым корнем слова Р, а его длина называется периодом периодом.

Говорят, что слово Р называется почти степенью слова А, если существует число т > 1 и слово В, такие что Р = АтВ, где В есть префикс слова А, т.е. слово имеет вид (ВС)т В. В этом случае слово Р является квазипериодическим. Длина слова А число 1 называется периодом слова Р.

Рис. 1.4.

Если подслово B является одновременно префиксом и суффиксом некоторого слова P, то оно называется его границей.

Говорят, что слово P является самопересекающимся, если множество всех его границ содержит другие слова, кроме самого слова P и пустого слова.

Множество всех непустых префиксов слова P обозначим Prefix(P).

Множество всех непустых суффиксов слова P обозначим Suffix(P).

Тогда множество Prefix (P) n Suffix(P) является множеством всех границ P.

90

Для работы над этой темой полезно ознакомиться с леммами, приведенными в книге Ю.И. Хмелевского [7]. Приведем некоторые из них.

Рассмотрим нетривиальное, сокращённое уравнение без коэффициентов. Оно имеет вид:

хф(х, у) = уу(ху). (2)

Лемма 1.1 Если (X, Y) — пара слов в алфавите С = {ар а2, ..., ар }, являющаяся решением уравнения (2), то существуют целые числа к, I > 0 и простое слово 5", такие что X = Бк и У = Б1.

Лемма 1.2 Если ху = ух, то существуют два числа к, I > 0 и простое слово S, такие что X = 5к и У = Б1.

Лемма 1.3. Пусть 5, Т суть простые слова, и Бк = Т\ к , 1 > 1, тогда 5 = Т.

Лемма 1.4. Если Б — простое слово и РБ есть префикс слова Б1, тогда Р есть степень слова Б.

Теорема

Слово является простым тогда и только тогда, когда оно не совпадает ни с одним из своих сопряжённых.

Лемма о перестановке

Если Р и Б суть простые слова, и они сопряжены между собой, т.е. Р = и Б = то такое разложение (факторизация) единственно.

3. Уравнения с одной переменной

Уравнение с одной переменной в конечном алфавите С имеет следующий вид:

ф(х , ар а2, ..., ар) = у(х , а1, а2, ..., ар), (3)

где ф, у суть слова в алфавите С и{х}, т.е. последовательности букв из алфавита С , в которых встречается переменная х.

Если в результате замены каждого имеющего место в уравнении вхождения переменной х словом X, левая и правая части уравнения совпадают, то слово X называется решением уравнения.

Пример 3. Если в качестве алфавита взять двубуквенный алфавит С = {а, Ь}, то выражение вида хаЬаах = аЬаахаЬаа является примером уравнения с одной переменной.

Решите это уравнение и постарайтесь ответить на вопрос, почему найденное решение X = аЬаа является единственным.

Длиной уравнения вида (3) называют целое число 1, равное ^(х , а1, а2, ...,ап)|+ +|^2(х , а1, а2, ...,ап)|, т.е. сумме длин левой и правой частей уравнения. Значит, уравнение из примера 7 имеет длину 15.

Длиной решения X называют число XI.

91

Описание всех решений в алфавите C называется общим решением уравнения с одной переменной.

Пример 4. Рассмотрим уравнение вида baxabaax = abaaxabaa. Очевидно, что это уравнение является противоречивым, т.к. левая и правая части начинаются с разных букв.

Если исходное уравнение не является противоречивым, то после сокращения общих суффиксов и префиксов получается уравнение одного из двух следующих видов:

u1xu2x ... urx = xw1xw2 ... xwm (4)

ulxu2x ... urxur+1 = xwjxw2 ... xwm-1x, (5)

где u1 не является пустым словом, wm не является пустым словом в (4) и ur+1 не является пустым словом в (5).

Если число вхождений переменной x в левой части не равно число вхождений в правой части уравнения, то можно найти длину возможного решения или доказать отсутствие решений.

Интерес для нас представляют уравнения с одинаковым вхождений переменной в левую и правую части.

Рассматривая только префиксы левой и правой частей, мы видим, что они одинаковы у уравнений вида (4) и вида (5). Выражение вида: u1xu2x ... = xw1xw2 ... (6)

назовем префикс-уравнением.

Если X не длиннее, чем u1, то X = Prefix (u1), а если X длиннее, чем u1, то X - самопересекающееся. Следовательно, X = u1 Prefix (u1) = un Prefix (u) = (z1z2)n z1, где u = корень u1, и u = z1z2, т.е. z1= Prefix (u1). Получаем, что в любом случае решение уравнения с одной переменной имеет вид:

X = (z^r Z1 (7)

Это также было показано Ю.И. Хмелевским в его работе [7]. Встает вопрос, а каким именно должен быть префикс слова u? Если посмотреть на суффиксы левой и правой частей уравнений (4) и (5),то X должен иметь общий суффикс с wr 2 в (4) и ur+1 в (5). Эти слова играют очень важную роль, определяя составляющие вида решения. Пусть w = wr 2 в (4), пусть w = ur+1 в (5). Пусть u = корень (u1), и = корень (w).

Тогда решение уравнения имеет вид (7), но z1 являетя одновременно префиксом слова u и суффиксом слова и.

92

Т.о. задача сводится к нахождению общих префиксов и суффиксов слов u и и. А это возможно сделать с помощью алгоритма Кнута-Морриса-Пратта.

В книге [2] изложен алгоритм, осуществляющий их поиск. Формулирую задачи, предлагаемые студентам.

1) Запрограммировать алгоритм Кнута-Морриса-Пратта.

2) Запрограммировать алгоритм, находящий все решения уравнения с одной переменной [6].

3) Найти слово с несколькими полупериодами (желательно составить алгоритм, порождающий такие слова).

4) Найти уравнение, имеющее ровно три решения или доказать, что таких нет.

Библиографический список

1 Duval J.-P. Contribution à la combinatoire du monoïde libre. Thèse, Université de Rouen, 1980.

2 Fine N.J. and Wilf H.S. Uniqueness Theorem for Periodic Function, Proc. Am. Math. Soc., 1965, 16.

3 Локуциевский В.О., Максименко М.Н., Шеметкова О.Л., Ерохина Т.А., Известия Рос. Экон. Ун-та, №2 (7) Электронный научный журнал ISSN 2221-9463, Москва, 2012

4 Максименко М.Н. Алгоритм квадратичной сложности вычисления общего решения уравнения на словах с одной переменной (на фр. яз.). RAIRO Informatique Theorique, т. 29, №4,Париж, 1995 г. Франция

5 Марков А.А. Теория алгорифмов. Труды Математического института АН СССР, 1954, 42.

6 Morrris J.H. and Pratt V.R. A Linear Pattern Matching Algorithm, Technical Report N°40, Computing Center, University of California, Berkeley, 1970.

7 Хмелевский Ю.И. Уравнения в свободной полугруппе. Труды Математического института АН СССР, 1971, 107, 288 с.

Контактная информация:

117997 Российская Федерация, г. Москва, Стремянный пер., 36 e-mail: marynmax@mail.ru

Contact links:

Stremyanny per. 36, 117997, Moscow, Russian Federation e-mail: marynmax@mail.ru

93