CC BY
12
УДК 681.53
Д. А. Гринюк, Н. М. Олиферович, И. Г. Сухорукова
Белорусский государственный технологический университет
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ СИНТЕЗА DEADBEAT-РЕГУЛЯТОРА НА ПРОИЗВОЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО ШАГОВ
В статье рассмотрены проблемы синтеза Deadbeat Controller with a Prescribed Controlled. Deadbeat Controller является отдельным классом алгоритмов управления в системах с обратной связью. Этот алгоритм может быть использован непосредственно для управления объектами, либо для синтеза ПИД-регуляторов.
Для обеспечения необходимой гибкости в задачах управления в условиях ограничений для реальных технологических процессов, при получении параметров ПИД-регулятора с различными показателями качества переходного процесса требуется адаптивная схема перенастройки в зависимости от свойств объекта управления.
Ранее были получены отдельные решения для возможности удлинения переходного процесса на 1, 2 и 3 шага. Однако если передаточная функция объекта имеет более высокий порядок, либо увеличение порядка обусловлено отличием структуры от последовательного соединения звеньев, данных решений может быть недостаточно. В последнем случае при получении общей передаточной функции с использованием z-преобразований происходит резкое увеличение порядка результата преобразований.
Получение расчетных формул синтеза осуществлено на основании подхода, который позволяет регулятору формировать одинаковое значение управляющего воздействия на заданном количестве шагов. При этом можно получить основные неравенства для синтеза путем определения апериодического характера переходного процесса синтезируемого регулятора.
Адекватность полученных выражений была проверена путем построения переходных характеристик регулятора и замкнутых систем управления для объекта шестого порядка.
Ключевые слова: deadbeat-регулятор, настройка регулятора, переходный процесс.
D. A. Hryniuk, N. M. Oliferovich, I. G. Suhorukova
Belarusian State Technological University
GENERAL SOLUTION FOR SYNTHESIS OF DEADBEAT REGULATOR FOR ARBITRARY NUMBER OF STEPS
This article discusses the synthesis problems of Deadbeat Controller with a Prescribed Controlled. Deadbeat Controllers are a separate class of control algorithms in feedback systems. This algorithm can be used directly for controlling objects, or for the synthesis of PID controllers.
To provide the necessary flexibility in control tasks under restrictions for real technological processes, when receiving PID controller parameters with different transient quality indicators, an adaptive reconfiguration scheme is required depending on the properties of the control object.
Separate solutions have been previously obtained for the possibility of lengthening the transition process by 1, 2 and 3 steps. However, if the transfer function of the object has a higher order, or the increase in the order is due to distinguish the structure from the serial connection of the links, these solutions may not be enough. In the latter case, upon obtaining the general transfer function using z-trans-formation, a sharp increase in order of the result of the transformations occurs.
Obtaining calculation formulas for the synthesis has been carried out using an approach that allows the regulator to generate the same value of the control action for given number of steps. Moreover, it is possible to obtain the main inequalities for the synthesis by determining the aperiodic nature of the transition process of the synthesized controller.
The adequacy of obtained expressions has been verified by constructing the transient characteristics of the regulator and closed control systems for an object of the sixth order.
Key words: deadbeat regulator, regulator tuning, transition process.
Введение. Теория непрерывных систем управления постоянно развивается, но техническая реализация происходит на цифровых платформах. Использование напрямую цифровых подходов к синтезу систем управления позво-
ляет получить лучшее совпадение при практической реализации.
Deadbeat-регуляторы являются одним из направлений развития цифровых систем [1-3]. Алгоритмы deadbeat-контроллера широко
применяются в управлении двигателем [4-8], в модуляции балансировки напряжения [9]. В [1] было показано, что данные виды регуляторов очень хорошо приспособлены для использования в условиях ограничения на управляющее воздействие. В этой же работе, в дополнение к [2], были получены расчетные формулы для растягивания переходного процесса на два и три такта. Полученные результаты нашли свое применение в разработке нового метода синтеза настроек ПИД-регулятора [3]. Можно добиться соответствия контроллера технологическим нормам за счет увеличения времени шаговых ответов [10].
Предложенный метод синтеза ПИД-регуля-тора через deadbeat-регуляторы показал, что для возможности выбора разных показателей качества процесса потребуется наличие расчетных формул для максимального удлинения переходного процесса.
Следует отметить, что существуют и другие методы проектирования deadbeat-контроллера [11-13]. Однако в прикладных решениях находит большее применение подход из [1].
Расчетные формулы. Синтез deadbeat производится на основании функции г-преобразо-вания элементов систем управления. Структура системы управления показана на рис. 1.
Оя(г) и вКг)
Рис. 1. Структура deadbeat-регулятора: V - сигнал задания; е - сигнал ошибки; и - управляющее воздействие; у - выход системы
Передаточная функция регулятора Оя(г) и объекта Ор(г) может быть записана следующим образом [1]:
г ( ) б (г) г ( ) А ) (г) = 1 _ Р/л ' (г)="
Р (г)
В (г)
(1)
где б(г), Р(г) - многочлены передаточной функции регулятора; А(г), В(г) - многочлены передаточной функции объекта.
Коэффициенты многочленов б(г), Р(г) для классического deadbeat-регулятора могут быть найдены с использованием уравнений [2]:
1
Ь + ь2 +...+К
Чг = % а,
Рг = %0Ьг,
(2)
где аг, Ьг - коэффициенты многочленов функции г-передачи непрерывного объекта А(г), В(г) соответственно; т - порядок передаточной функции объекта.
Коэффициенты многочлена б(г) можно выразить как:
% = и (0),
\д0 = и ()_ и (_ 1), г = 1,..., т.
(3)
Итак, начальное значение управляемой переменной и(0) зависит только от суммы (2) коэффициентов функции г-передачи объекта Ьг.
В [2] получены выражения для возможности выбора первичного импульса. Расширим его на большее количество тактов:
(к) = 1 для к = 0, 1, 2,....
(4)
Для случая Ь = 0 г-преобразования задающей, регулируемой и управляющей переменных имеют следующий вид:
1
(г )=-
1 _ г
у (г ) = у (1)г-1 + у (2 )г "2 +... +
+ 1
г - т + г-(т+1)+..."
(5)
(6)
(7)
и (г) = и (0) + и (1)г 1 +... +
+ и(т)Гг"т + г"(т+1)+...".
Разделив уравнения (6) и (7) на (5), получим: У (г)
™(г) и (г)
= р г"1 + р2 г"2 +... + рпг~т = Р (г), (8)
(г)
= %0 + %1г"1 +... + Чтг~т = б (г). (9)
Условие построения апериодического регулятора независимо от количества заданных тактов не меняется:
Ь г"1 +... + Ьтг~т = рр г"1 +... + р'т+1 г"(т+1)
1 + а, г 1 +... + атг
+ % г" +... + дтг~
—.(10)
— т 4 '
Условие для получения значений коэффициентов запишем в виде
Р = (р г+... + Ртг_т)( _ г)(а2 _ г
б (%0+ ... + %т'г
(а1 _ г)( ( _ г"' )
( _ г_1 )
X
_1
у
Сокращение одинаковых множителей приводит к единому результату:
Ь1 г— +... + Ъпг~т _ Р0г— +... + Рт?
-1
1 + а^"1 + ... + йт^ д0 + ... +
Сопоставление коэффициентов с одинаковыми степенями дает
-. (12)
41 _ а14о, Р _ bl4о, Ъ _ a240, р2 _ b240,
(13)
/ /
4т _ йт4о , Рт _ Ьт40.
В общем случае система при удлинении переходного процесса на N может быть представлена как:
для четного N
40 _ Л40, 41 _ Л41 — ¿240,
42 _ Л42 — ¿241 + А340 ,
4N _ Al4N — А24'N—1 + ... + ¿N<¡1 — 4о, (14)
— Л ' л ' '
4т +N — 2 _ —14т + ^4т—1 — 4т—2 ,
— Л ' '
4т + N —1 _ ^4т — 4т —1, /
4т +N _ —4т ;
Р1 _ А1 Р^ Р2 _ А1Р2 — А2Р^ Р3 _ А1Р3 — А2 Р2 + А3 Р^
РN _ А1РN — А2Р^ 1 + ... + (15)
_ л Л
Рт _ —1 Рт + ^Рт—1 — Рт—2 ,
— Л ' '
Рт + N —1 _ ^Рт — Рт—1, /
Рт + N _ -Рт ;
— для нечетного N
40 _ А140, 41 _ А141 — А2 40, 42 _ A142 — А2 41 + А340 ,
4N _ — ¿24N—1 +...— ¿N41 + 4о, (16)
4т+N—2 _ А—14т А4т—1 + 4т—2, 4т+N—1 _ —^4т + 4т—1,
4т+N _ 4т ;
Р1 _ А1Р^ Р2 _ А1Р2 — А2 Р^ Р3 _ А1Р3 — А2 Р2 + А3 Р'^
РN _ А1РN А2Л/ —1 + ... ¿N/"1,
Рт _ Л—1 Рт — 4^—1 + Рт—2 , (17)
— Л ' '
Рт+N—1 _ AN Рт + Рт—1, /
Рт + N _ Рт ,
где
( — г— )((Х 2 — г-1)...(т — г)_
— ¿1 ¿2 г + ¿2 г ....
Будем искать расчетные формулы исходя из равенства первых управляющих воздействий [7], тогда
40 _ л
40
0 _ ¿141 — ¿2 4о, 0 _— ¿241 + ¿340, / (18) 0 _ ¿143 — ¿2 42 + ¿3 41 — ¿440,
или с учетом (13)
■_ А
0 _ ¿а 40 — ¿2 4о,
0 _ Аа2 40 — ¿2 а14о + ¿3 4о, (19)
0 _ ¿1а340 — ¿2а240 + ¿3а140 — ¿44о,
Суммированием уравнений (15) и (17) и с учетом
1 _ Р1 + Р2 + ... + Рт+N
можно получить:
1) для четного N
т , .
1 _ XЪг (¿1% — ¿240 + ... + ¿N—140 — ¿N40 + 40 ); (20)
г _1
2) для нечетного N
т
1 _ XЪг (440 — ¿240 +...— Л—140 + ¿N40 — 40). (21)
г _1
После выражения ¿1, ¿2, ... из (18) и (19) и подстановки в (20) и (21) соответственно можно получить:
- для четного N
1
X ь
_ 4оV + 4о;
(22)
г_1
- для нечетного N 1
или
= % О _ %,
(23)
где
О = 1 _aN_l _а^2(1 _а!)_а^3(1 _а2 _ _а1(1 _а1))_аN_4(1 _а3 _а2(1 _а1)_ _а1(1 _а2 _а1(1 _а1)))) _....
Используя выражение из (18) и (19)
1) для четного N
0 = А\% _ А2%_1 +...+_ %; (24)
2) для нечетного N
0=А1% _ А2%_1 +..._ + %, (25)
можно получить: - для четного N
1 = н;
%0
- для нечетного N
1 = _%- н,
(26)
(27)
где
Н = (% _ %_1а1 _ %_2 (а2 _ а12 ) _ _ % _3 (а3 _ а2 а1 _ а1 (а2 _ а' ))_ ...).
Тогда величину управляющего воздействия на первом такте для соблюдения условия
и5Р = и (0 ) = и (1) =... = и (Ы) можно рассчитать как
и5Р = %0
1
( _ н )1 Ь
(28)
(29)
С учетом того, что коэффициенты А1, А2, ... можно получить из (18) при известном значении usp:
иЯР = %0 А1, А2 = А1а1, А3 — Аа + А1а1 , А4 = А1а3 _ А1а1а2 _ А1а2 а1 + А1а13,
(30)
и5Р = %0 А1, %0 А2 = USPal, %0 А3 = и8Р (_а2 + а12 )
ч0А4 = иР (а3 _ 2а1а2 + а^),
(31)
%0 = и5Р,
41 = 0, % = 0
qN = 0,
ЯN+1 = %0AlaN+1 _ %0А2%+1 + ... + а1%0,
(32)
%т +N_2 = %0 AN_1ат _ %0^ат_1 + ат_2%0 ,
qm+N _1 = _% ANam +ат _1%0, /
%т+N = ат%0;
Р1 = ч0 АА; Р2 = Ч0 А1Ь2 _ Ч0 А2Ь1, Р3 = Ч0 А1Ь3 _ Ч0 А2Ь2 + Ь1<?0 ,
РN = Ч0 A1ЬN _ Ч0 А2^_1 + ... _ + ^ (33)
Рт = Ч0AN_1 Ьт _ %0 ANЬm_1 + ^^ Рт + N _1 = _% ^Ьт + Ят_1,
_Ь '.
Рт+N = Ьт%0 ;
%0 = и5Р, %1 = 0,
42 = 0, ^ = 0
^N+1 = %0А1%+1 _ %0А2%+1 + ... _ а1%0, (34)
%т +N_2 =_%0 AN_1ат + %0^ат_1 _ат_2%0 ,
qm+N _1 = %0 ANam _ ат _1% , /
qm+N = _ат%0;
Р1 = Ч0 Р2 = Ч0 А1Ь2 _ Ч0 А2Ь1, Р3 = Ч0 А1Ь3 _ Ч0 А2Ь2 + Ь1 q0,
РN = Ч0 AlЬN _ Ч0 А2К_1 +...+Ч0а^\ _ ^ (35)
Рт =_Ч0 А _1Ьт +Ч0 ANЬm_1 _Ьт_ 2 ^ Рт+N_1 = %0 ANЬm _ Ьт_%0 , Рт+N = Ьт%0 .
г=1
г=1
Для расчета коэффициентов deadbeat-регу-лятора используем системы уравнений (32), (33) или (34), (35). Величину Ы8Р получаем из (25), значения коэффициентов д0А1, ... опре-
деляем из (31) и, наконец, до' можно рассчитать или по (22)/(23), или по (26)/(27).
Моделирование. В качестве приложения методики расчета регуляторов выбран объект с передаточной функцией
Wo (s) =
(-0,5s +1)
(10 s +1)(7 s + l)(3s +1)
-exp (-2s). (36)
Данного вида передаточные функции могут быть использованы при аппроксимации переходных процессов объектов с распределенными параметрами.
Максимальное управляющее воздействие usp при simple time ts = 4, при одинаковых управляющих воздействиях первых тактов N = = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6] убывает в следующей последовательности [23,6960 7,2037 3,6834 2,4141 1,8267 1,4646 1,2871]. Переходную характеристику регулятора можно видеть на рис. 2.
Результаты расчета (рис. 3) и моделирования замкнутой системы представлены на рис. 4-8.
20 10 0
У -10
-20
-30
1 1
1 1 1
- r£h"J N = 0 N = 2 N \ 4 N = 6
i i i
L J i i i j L .
1 i
40
160
80 120 Время, с
Рис. 2. Переходная характеристика deadbeat-регулятора для N = [0, 2, 4, 6]
200
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
1 N = 0 _ Ч
1 ^ \ V \ N = 6
N = 2 Л ^ N = 4
т 1 1 -1 F—^ _ _
1 1 1
0
10
20 30 Время, c
40
50
Рис. 3. Расчетный идеальный переходный процесс для N = [0, 2, 4, 6]
Графики построены с использованием z-пре-образований и соответствуют общей концепции deadbeat. Моделирование производилось в MATLAB с помощью SIMULINK. Для реализации deadbeat-регулятора использовался Discrete filter. Здесь при увеличении времени simple time до 8 кривые приобретают более апериодический характер (рис. 5).
1,0 0,8
0,6
У
0,4 0,2 0
1 J L 1 1
w r V 1 1 II N N ) /V>2> w 1 л //Sc_ i / \1/ / 2 сгу^---- 1 у*---1 1 1 1 -------1-------,------- N = 6
"7 ~V"T~I N = L L\li г г- 4 1 1
Г / Г/ г г г 1 1 1 1 /V 1 1 1 ill 1 1 1
ГГ7Г !/1 /// 1 У I г г 1 1 1 1 1 1
20
80
100
40 60 Время, с
Рис. 4. Переходный процесс по сигналу задания. Результат моделирования в МЛТЬЛБ для N = [0, 2, 4, 6] при ^ = 4
1,0
0,8
0,6
У
0,4
0,2
0 20 40 60 80 100 120 140 Время, с
Рис. 5. Переходный процесс по отклонению. Результат моделирования в МЛТЬЛБ для N = [0, 2, 4, 6] при ts = 8
0,8
0,6
У
0,4
0,2
0
N =2 1 \ N = 4 \\/ | V\
1 г\ 1 / \ '/ \ N = 6 \ \ \ |
N = 0 /I /1 / 1 , ДД \1 W W
/ 1 / 1 / 1 / 1 У 1 1
20
80
40 60 Время,, с
Рис. 6. Переходный процесс по возмущению. Результат моделирования в МЛТЬЛБ для N = [0, 2, 4, 6]
100
0
30 20 10 u 0 -10 -20
-30
/ N = 0
--- . N = 4 N = 6
"1 ÜJ
N = 2
| j
Влияние времени дискретизации ts и N на максимальное управляющее воздействие при переходном процессе можно видеть на рис. 9.
Usp
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Рис. 7. Изменение сигнала управления
при изменении сигнала задания. Результат моделирования в МЛТЬЛБ для N = [0, 2, 4, 6]
N = 3 N = 4 N = 5 N =6 10°
6 8 10 12 14 1618
ts
u
0
-0,5 -1,0 -1,5 -2,0
N = 6
N = 2 „jUr
I '
l.T~
N = 0
Ц1 у
N = 4
0
20
40
60
80
100
Рис. 8. Изменение сигнала управления при возмущении. Результат моделирования в МЛТЬЛБ для N = [0, 2, 4, 6]
Рис. 9. Зависимость первого максимального управляющего воздействия uSP от simple time tS
Заключение. В отличие от [1, 8], разработанная методика позволила получить формулы в общем виде, что облегчает применение deadbeat controllers для различных задач. Они могут быть легко алгоритмизированы для прикладных задач (например, при использовании deadbeat controller в условиях ограничения на управляющее воздействие; для настройки ПИД-регулятора).
Следует отметить, что, несмотря на ограничение управляющего воздействия на начальных этапах, могут проявляться большие отклонения в последующих тактах, что требует проведения оценки при синтезе регуляторов.
Список литературы
1. Isermann R. Digital Control Systems. Berlin: Springer, 1989. 565 p.
2. Plsek S., Matusu R. Application of adaptive deadbeat controller in drying process // Procedia Engineering. 2015. Vol. 100. P. 756-764.
3. Awadallah M. A., Bayoumi E. H. E., Soliman H. M. Adaptive deadbeat controllers for brushless DC drives using PSO and ANFIS Techniques // Journal of Electrical Engineering. 2009. Vol. 60, no. 1. P. 3-11.
4. Deadbeat model-predictive torque control with discrete space-vector modulation for PMSM drives / Y. Wang [et al.] // IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2017. Vol. 64, no. 5. P. 3537-3547.
5. Deadbeat-direct torque and flux control of interior permanent magnet synchronous machines with discrete time stator current and stator flux linkage observer / L. Jae Suk [et al.] // IEEE Transactions on Industry Applications. 2011. Vol. 47, no. 4. P. 1749-1758.
6. Deadbeat control for a single-phase cascaded H-bridge rectifier with voltage balancing modulation / Ch. Qi [et al.] // IET Power Electronics. 2018. Vol. 11, issue 3. P. 610-617.
7. Increasing the robustness of the digital controller / N. Oliferovich [et al.] // Open Conference of Electrical, Electronic and Information Sciences (eStream). Vilnius, 2018. P. 1-6. DOI: 10.1109/eStream.2018.8394120.
8. Hryniuk D., Oliferovich N., Suhorukova I. Approximation PID-controllers through deadbeat controller and its tuning // Open Conference of Electrical, Electronic and Information Sciences (eStream). Vilnius, 2019. P. 1-6. DOI: 10.1109/eStream.2019.8732172.
9. Kucera V. Deadbeat Control, Pole Placement, and LQ Regulation // Kybernetika. 1999. Vol. 35, no. 6. P. 681-692.
10. Westphal L. C. Handbook of Control Systems Engineering. New York: Springer, 2001. 1073 p.
11. Irfan A. Implementation of PID and deadbeat controllers with the TMS320 Family. Application report: SPRA083. Texas Instruments, 1997. 59 p.
4
12. Sami Fadali M., Visioli A. Digital control Engineering. Analysis and Deisgn // Elsevier. 2013. P.217-225.
13. Hryniuk D., Suhorukova I., Orobei I. Non-linear PID controller and methods of its setting // Open Conference Electrical, Electronic and Information Sciences (eStream). Vilnius, 2017. P. 1-4.
References
1. Isermann R. Digital Control Systems. Berlin, Springer, 19S9. 5б5 p.
2. Plsek S., Matusu R. Application of adaptive deadbeat controller in drying process. Procedia Engineering, 2015, vol. 100, pp. 75б-7б4.
3. Awadallah M. A., Bayoumi E. H. E., Soliman H. M. Adaptive deadbeat controllers for brushless DC drives using PSO and ANFIS Techniques. Journal of Electrical Engineering, 2009, vol. б0, no. 1, pp. 3-11.
4. Wang Y., Wang X., Xie W., Wang F., Dou M., Kennel R. M., Lorenz R. D., Gerling D. Deadbeat model-predictive torque control with discrete space-vector modulation for PMSM drives. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2017, vol. б4, no. 5, pp. 3537-3547.
5. Jae Suk L., Chan-Hee C., Jul-Ki S., Lorenz R. D. Deadbeat-direct torque and flux control of interior permanent magnet synchronous machines with discrete time stator current and stator flux linkage observer. IEEE Transactions on Industry Applications, 2011, vol. 47, no. 4, pp. 1749-175S.
6. Qi Ch., Chen X., Tu P., Wang P. Deadbeat control for a single-phase cascaded H-bridge rectifier with voltage balancing modulation. IETPower Electronics, 201S, vol. 11, issue 3, pp. б10-б17.
7. Oliferovich N., Hryniuk D., Orobei I., Suhorukova I. Increasing the robustness of the digital controller. Open Conference of Electrical, Electronic and Information Sciences (eStream). Vilnius, 201S, pp. 1-б. DOI: l0.ll09/eStream.20lS.S394l20.
S. Hryniuk D., Oliferovich N., Suhorukova I. Approximation PID-controllers through deadbeat controller and its tuning. Open Conference of Electrical, Electronic and Information Sciences (eStream). Vilnius, 2019, pp. 1-б. DOI: l0.ll09/eStream.20l9.S732l72.
9. Kucera V. Deadbeat Control, Pole Placement, and LQ Regulation. Kybernetika, 1999, vol. 35, no. б, pp.6S1-692.
10. Westphal L. C. Handbook of Control Systems Engineering. New York, Springer, 2001. 1073 p.
11. Irfan A. Implementation of PID and deadbeat controllers with the TMS320 Family. Application report: SPRA0S3. Texas Instruments, 1997. 59 p.
12. Sami Fadali M., Visioli A. Digital control Engineering. Analysis and Deisgn. Elsevier, 2013, pp.217-225.
13. Hryniuk D., Suhorukova I., Orobei I. Non-linear PID controller and methods of its setting. Open Conference Electrical, Electronic and Information Sciences (eStream). Vilnius, 2017, pp. 1-4.
Информация об авторах
Гринюк Дмитрий Анатольевич - кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры автоматизации производственных процессов и электротехники. Белорусский государственный технологический университет (22000б, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: hryniuk@tut.by
Олиферович Надежда Михайловна - ассистент кафедры автоматизации производственных процессов и электротехники. Белорусский государственный технологический университет (22000б, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: oliferovich@belstu.by
Сухорукова Ирина Геннадьевна - старший преподаватель кафедры программной инженерии. Белорусский государственный технологический университет (22000б, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: irina_x@rambler.ru
Information about the authors
Hryniuk Dzmitry Anatol'yevich - PhD (Engineering), Associate Professor, Assistant Professor, the Department of Automation of Production Processes and Electrical Engineering. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 22000б, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: hryniuk@tut.by
Oliferovich Nadezhda Mikhaylovna - assistant lecturer, the Department of Automation of Production Processes and Electrical Engineering. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 22000б, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: oliferovich@belstu.by
Suhorukova Irina Gennad'yevna - Senior Lecturer, the Department of Engineering Drawing. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 22000б, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: irina_x@rambler.ru
Поступила после доработки 15.04.2020
