CC BY
1
Владикавказский математический журнал 2024, Том 26, Выпуск 1, С. 68-84
УДК 539.3
DOI 10.46698/x5277-2885-8052-p
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОГО СЛОЯ#
А. О. Ватульян1'2, С. А. Нестеров2
1 Южный федеральный университет, Россия, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; 2 Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 E-mail: aovatulyan@sfedu.ru, 1079@list.ru
Аннотация. Приведена постановка обратной задачи по идентификации переменных материальных характеристик поперечно неоднородного термоэлектроупругого слоя, нижняя грань которого жестко защемлена, закорочена и поддерживается при нулевой температуре, а на верхней неэлек-тродированной грани приложена нестационарная нагрузка. С помощью преобразования Фурье двумерная обратная задача сведена к ряду одномерных задач, аналогичных задачам для упругого и термоупругого стержня с модифицированными характеристиками. Предложен поэтапный подход по идентификации материальных характеристик слоя. Обезразмеренные прямые задачи после применения преобразования Лапласа решаются на основе аппарата интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода и обращении трансформант на основе теории вычетов. Методом линеаризации получены операторные уравнения 1-го рода для решения обратных задач на каждом этапе. Проведены вычислительные эксперименты по реконструкции материальных характеристик термоэлектроупру-гого слоя, как при отсутствии зашумления входной информации, так и при 1%-м шуме. Выявлены эффективные для идентификации временные отрезки съема дополнительной информации. Проведен анализ результатов идентификации термомеханических характеристик слоя. Ключевые слова: коэффициентная обратная задача термоэлектроупругости, функционально-градиентный пироматериал, слой, идентификация, интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода. AMS Subject Classification: 74B05, 80A20, 80A23.
Образец цитирования: Ватульян А. О., Нестеров С. А. Обратная задача термоэлектроупругости для функционально-градиентного слоя // Владикавк. матем. журн.—2024.—Т. 26, вып. 1.—С. 68-84. DOI: 10.46698/x5277-2885-8052-p.
1. Введение
В конструкциях, изготовленных из пироматериалов, например, в бесконтактных термометрах при нестационарном тепловом воздействии возникают температурные деформации, что приводит к образованию в поляризованной среде электрического поля [1]. Для определения напряженно-деформированного состояния (НДС) в этих конструкции с учетом взаимного влияния механического, теплового и электрического полей применяется теория термоэлектроупругости [2, 3], основные положения которой были разработаны в работах Миндлина [4, 5].
# Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-11-00265, https://rscf.ru/ project/22-11-00265/.
© 2024 Ватульян А. О., Нестеров С. А.
Для однородных и слоистых пироматериалов динамические задачи термоэлектроупругости достаточно хорошо изучены [6-11]. Так, в [6] рассмотрено распространение плоских волн в неограниченной термоэлектроупругой среде, в [7] — тепловой удар по однородному термоэлектроупругому слою.
В настоящее время широко стали применяться функционально-градиентные пирома-териалы (ФГПМ) [12] — композиты, обладающие переменными физическими свойствами. В ФГПМ благодаря плавному изменению термомеханических характеристик удается избежать концентрации напряжений в окрестности сопряжения слоев, присущей слоистым материалам.
Исследованию задач термоэлектроупругости для неоднородных плоских тел и полупространства посвящено достаточное большое количество работ [12-16]. При этом основная цель исследований — получение аналитических решений в случае степенных и экспоненциальных законов неоднородности. Однако фактические законы изменения термомеханических характеристик могут сильно отличаться от расчетных при изготовлении. Поэтому важной проблемой является разработка эффективных численных методов решения задач термоэлектроупругости при произвольных законах неоднородности. Если законы неоднородности произвольны, то для решения задач термоэлектроупругости применяются численные методы, например, метод сведения к системе интегральных уравнений Фредгольма (ИУФ) 2-го рода [15].
Точность решения прямой задачи термоэлектроупругости для ФГПМ зависит от знания законов неоднородности. Однако в силу переменности характеристик они не могут быть определены из простых макроэкспериментов. Поэтому требуется создание эффективных методов идентификации переменных характеристик пироматериалов на основе аппарата коэффициентных обратных задач (КОЗ) термоэлектроупругости. При этом КОЗ термоэлектроупругости решены только для стержневых структур [17-19]. В то же время обратные задачи теории упругости и термоупругости достаточно хорошо исследованы для одномерных [19-21] и двумерных областей [22-27].
Для анизотропных материалов основные методы идентификации механических характеристик неоднородного полупространства изложены в монографии [28]. В [22] обратная задача о реконструкции модуля сдвига упругой прямоугольной области, зависящего от обеих координат, исследуются на базе операторного метода Ньютона и сводится к итеративной процедуре решения последовательности интегральных уравнений. В [23] исследована обратная задача теории упругости для ортотропного слоя. Решение двумерной обратной задачи сводится к последовательной идентификации механических характеристик из решения одномерных обратных задач для усредненных полей смещений и их моментов. В [24] исследуется КОЗ термоупругости для однородной изотропной пластинки в режиме установившихся колебаний. Благодаря специальным граничным условиям и геометрии удается свести задачу к одномерной. При некотором условии на частоту колебаний построено разрешающее уравнение для нахождения коэффициента температурных напряжений. В [25] термомеханические характеристики трехслойной пластины находятся путем сведения КОЗ термоупругости к экстремальной постановке и минимизации функционала невязки градиентным методом. В [26, 27] исследованы КОЗ термоупругости для поперечно-неоднородного изотропного слоя. Идентификация характеристик изотропного термоупругого слоя строится на основе итерационного процесса для усредненных характеристик, на каждом этапе которого для нахождения поправок решается ИУФ 1-го рода.
В данной работе на основе подхода, изложенного в [19, 23], исследована обратная задача по идентификации материальных характеристик поперечно неоднородного термо-
электроупругого слоя. Предложен трехэтапный подход по идентификации материальных характеристик путем последовательного решения ряда одномерных задач, аналогичных задачам для упругого и термоупругого стержня с модифицированными характеристиками. Прямые задачи на каждом этапе решаются на основе аппарата интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода. Получены операторные уравнения для решения обратных задач на каждом этапе. Даны рекомендации по вычислительным аспектам решения прямых и обратных на каждом этапе. Проведен анализ результатов реконструкции термомеханических характеристик слоя.
2. Постановка коэффициентной обратной задачи для термоэлектроупругого слоя
Рассмотрим неустановившиеся колебания неоднородного по толщине термоэлектро-упругого слоя (ж1 € те), ж2 € (-те, те), ж3 € [0, Л,]), нижняя грань которого
хз = 0 жестко защемлена, закорочена и поддерживается при нулевой температуре, а на верхней неэлектродированной грани хз = Л приложена нестационарная нагрузка: 1) —А;30,3 (ж1, Л, ¿) = д, а13 (ж1, Л, ¿) = ст33 (х1, Л, ¿) = 0; 2) 0,3 (х1, Л, ¿) = 0, а13 (ж1, Л, ¿) = р1, стзз (х1, Л, ¿) = 0; 3) 0,3 (х1, Л, ¿) = 0, ^ (жь Л, ¿) = 0, ^33 (жь Л, ¿) = Р3.
Математическая постановка задачи связанной термоэлектроупругости состоит из дифференциальных уравнений движения, электростатики и теплопроводности, граничных и начальных условий.
При тепловом способе нагружения постановка задачи термоэлектроупругости для слоя описывается следующей начально-краевой задачей:
9(711 дагз дж1 дж3
0 + 9о"33 _ 0
' дж1 дж3 '
ЭД1 | дР3
дж1 дж3'
А
дж1
9ж1У ^ дхз
, -- , -- . „ д2щ д2и3 д2р
щ (Ж1,0, ¿) = и>3 (ж 1, 0, ¿) = 0 (ж 1, 0, ¿) = (£> (Ж1,0, ¿) = 0, —Л30,3 (ж1,Л, ¿) = д, а13 (ж1,Л, ¿)= ст33 (ж1,Л, ¿) = 0, (ж1,Л, ¿) = 0,
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
0 (ж1, ж3,0) = щ (ж1, ж3,0) = и3 (ж1, ж3,0) = и 1 (ж1, ж3,0) = и3 (ж1, ж3,0) = 0. (6)
Здесь р — плотность, с£ — удельная объемная теплоемкость при постоянном тензоре деформации, с11, с13, с33, с44 — компоненты тензора упругих модулей, й3 — компоненты тензора теплопроводности, 71, 73 — компоненты тензора коэффициентов температурных напряжений, е31, е15, е33 — компоненты тензора пьезомодулей, е1, е3 — компоненты тензора диэлектрической проницаемости, д3 — компонента вектора пиро-коэффициентов, д — плотность теплового потока, 0 — приращение температуры тела от естественного состояния с температурой То, ^ — электрический потенциал, щ — компоненты вектора перемещения, ст11 = с11и1,1 + с13и3,3 + е31^>,3 — 710, ст13 = ст31 = С44 (^1,3 + ^3,1) + е15^,1, ^33 = 613^1,1 + 033^3,3 + е33^>,3 — 730 — компоненты тензора напряжений, = е15 (и1>3 + и3>1) — е1^,1, = е33и3,3 + е13и1;1 — е3^>,3 + д30 — компоненты вектора электрической индукции, р^ — компоненты вектора механической нагрузки.
Обратная задача термоэлектроупругости для слоя при тепловом способе нагружения состоит в нахождении термомеханических характеристик из (1)—(6) по информации о температуре, измеренной на верхней границе слоя хз = Л:
0 (Ж1,М) = / (XI ,*), I е [Т, Т2]. (7)
В случае действия на верхней грани слоя нормальной механической нагрузки в постановке задачи (1)—(6) изменятся граничные условия (5), которые примут вид:
0,3 (х1,Л, ¿) = 0, а13 (х1,Л, ¿) = 0, ст33 (х1, Л, ¿) = р3, (х1,Л, ¿) = 0. (8)
В этом случае при решении обратной задачи термоэлектроупругости в качестве дополнительной информации выступают компоненты перемещений, измеренные на верхней границе слоя х3 = Л,
и (Ж1,М)= £г (х1,^), г = 1,3, £ е [Т3,Т4]. (9)
3. Упрощенные постановки обратной задачи термоэлектроупругости для слоя
Основываясь на подходе, изложенном в [23], двумерную обратную задачу (1)—(9) можно значительно упростить, сведя ее к решению более простых одномерных задач. Для этого сначала применим к задаче (1)-(9) преобразование Фурье по продольной координате
й(.,х3,г)=/и (^М) е-^ (10)
— с
Постановка обратной задачи термоэлектроупругости для слоя в трансформантах Фурье имеет вид:
-ш2спй1-шс13й3^-ше31ф^ + ш^1в + (сий1,з)у3-ш (сийз)>3-ш (в!50))3 = р-д^-, (И)
—шсийг^з — ш2сщй3 — ш2е\ф — ш (сгзщ);3 + (с33й3;3) 3 + (е33^;3)¿-(ъв),з = (12)
м + = с.% - +- («)
-¿ше^й^ - ш2е15-й3 + ш2М1( + ^33^3,3)^ - гш (е^)^ - ^(,3)^ + (#30) ^ = 0, (14)
¿1 (ш, 0, ¿) = и3 (ш, 0, *) = 0 (ш, 0, ¿) = ( (ш, 0, ¿) = 0, (15)
-й30,3 (ш, Л, ¿) = д (ш, ¿),
с44 (Л) (й1 3 (ш, Л, ¿) — гшй3 (ш, Л, ¿)) — гше15 (Л) ((ш, Л, ¿) = 0,
- (16)
-гшс13 (Л) ¿1 (ш, Л, ¿) + С33(Л)й3,3 (ш, Л, ¿) + е33 (Л) (-,3 (ш, Л, ¿) - 73 (Л) 0 (ш, Л, ¿) = 0, е33 (Л) и3,3 (ш, Л, ¿) - гше13й1 (ш, Л, ¿) - М3 (Л) (,3 (ш, Л, ¿) + (Л) 0 (ш, Л, ¿) =0),
ди ди
0 (ш, ж3,0) = «1 (ш, ж3,0) = й3 (ш, ж3,0) = — (ш, ж3,0) = — (ш, ж3,0) = 0, (17)
0(ш,М) = /(ш,*), t € [Т1,Т2], (18)
и Л, = (ш,*) , г = 1, 3, * € [Тз,Т4]. (19)
Для удобства дальнейших построений обезразмерим задачу (11)-(19) по формулам:
® = ^> * = Ъ иг = ьи3 = ^^ = 1во = у/Щр, Ф = = У^Л, <г = А,
д* = ф) = ВД = р(г) = су(г) = Ш =
*;(*) = Ш = ъ(г) = Т = ¿, = = =
е33 У3 73 с33 с33 V р0
, к2с° , /г ¿1 ^ t - I _0 ,0 „0 Л .,0 7,0 .0 „0
Ч = -ЩГ-, ¿2 = и, £0 = Т1 = т2 = где с33, е3, е33, р0, 73, к3, се, д3 — максимальные значения соответствующих термомеханических характеристик.
В результате обезразмеривания возникают следующие малые параметры: ¿1 — параметр электромеханической связанности, ¿2 — параметр термомеханической связанности, ¿з — параметр теплоэлектрической связанности, £о — отношение характерных времен звуковых ¿2 и тепловых ¿1 возмущений.
Функции ^1, из, Ш, Ф, Т, д, Ог, Рг представляют собой аналитические функции параметра преобразования Фурье ш, поэтому при малых значениях этого параметра их можно представить в виде разложения по степеням ш:
и (ш, г, п) = ио (г, п) + гши (г, п) + ш2и2 (г, п) + ...,
из (ш, г, п) = зд (г, п) + гш^1 (г, п) + ш2^ (г, п) + ..., Ш (ш, г, т1) = -ш0 (г, т1) + гшад1 (г, т1) + ш2-ш2 (г, т1) + ..., Ф (ш, г, т1) = Ф0 (г, т1) + гшФ1 (г, т1) + ш2Ф2 (г, т1) + ..., Т (ш, п) = То (п) + гшТ1 (п) + ш2Т2 (п) + ..., д (ш, п) = д (Т1) + гш^1 (п) + ш2^2 (Т1) + ..., О г (ш, Т2) = О(0) (Т2) + гшО^ (Т2) + ш2О(2) (Т2) + . . . ,
Рг (ш, Т2) = Рг(0) Ы + гшр(1) (т,) + ш2р(2) (т,) + .... (20)
Коэффициенты разложений в формулах (20) — это осредненные функции компонент физических полей и их моменты различных порядков, например, -Ш0 = /Г«, ^ т1) = ^ /Г«, ^ т1) Ж = —^ (X, г, Г1) Ж2 (1х.
Ограничимся в разложениях (20) только тремя слагаемыми. Подставим разложения (20) в (11)-(19), составим начально-краевые задачи при одинаковых степенях ш, далее применим к ним преобразование Лапласа по времени. Тогда получим 6 упрощенных обратных задач. Задачи 1а, 2а, 3а аналогичны задаче для упругого стержня. Задачи 1Ь, 2Ь, 3Ь аналогичны задаче для термоупругого стержня с модифицированными коэффициентами, которые появляются после исключения электрического потенциала из постановок задач. Задачи такого типа хорошо изучены в [19, 20]. Задача 1а.
(с44 и' 0) = р2ри0, (21)
И0 (0,р) = 0, С44(1)и'0 (1,р) = р(0), (22)
и0 (1,р) = О(10). (23)
Здесь р — параметр преобразования Лапласа, знак «штрих» обозначает производную по координате г.
Задача 1Ь. В случае теплового способа нагружения постановка задачи имеет вид:
(Т^'о) - ¿2 (7з^о) - = 0, (24)
- рс*го - р^27з'"/о = 0, (25)
«о(0,р)=0, г (0,р) = 0, (26)
-Й3 (1) г'о (1,р) = ^о (р), с33(1)^'о(1,р) - ¿27з*(1)г'о(1,р)=0, (27)
г (1,р) = ^о, (28)
—2 — — -2 где Щз = сзз + 7з* = 7з - 'М:^- с* = с + 5Щ.
В случае механического нагружения в постановке задачи (24)-(28) изменятся граничные и дополнительные условия (27), (28), которые примут вид
г'о (1,р) = 0, с33(1)и'о(1,р) - ¿27з*(1)г'о(1,р) = РТ (р) , (29)
V (1,р) = Р3о)- (30)
Если функция ио известна из решения задачи 1а, а пара функций (-йо, го) из решения задачи 1Ь, тогда можно сформулировать постановки обратных задач 2а и 2Ь.
Задача 2а.
2
- р рщ = «1, (31)
¿1 (0,р) = 0, 644(1)(1,р) = Р(11) (р), (32)
¿1 (1,р)= С(11), (33)
где Р^1*) = Р1 + с44 (1) щ{1 ,р), 81 = (си%)' + сХ^'о ~ ¿27>о, <?13 = с13 + ^ (е'31+Дв)е'33,
_ ~ <Мз (ёз1+в1б)йз '1 " &2 ез
Задача 2Ь. В случае механического способа нагружения постановка задачи имеет вид: '
(с!33- ¿2 (73г1)' - р26^1 = 82, (34)
(733г'^ - рс*г1 - рЙ273 V ' 1 = 83, (35)
«1(0,р)=0, (0,р)=0, (36)
г'1 (1,р) = 0, с33(1)и' 1(1,р) - ¿273(1)г ' 1(1,р) = , (37)
V 1 (1,р)= С31), (38)
где 82 = С441/. 'о + (с?3йо)' + ¿2 (613 + 615) 633¿о, 83 = P¿27lU0, = ^ + б|3(1)йо(1,р).
Если функция ¿1 известна из решения задачи 2а, а пара функций (V 1, г) из решения задачи 2Ь, тогда можно сформулировать постановки обратных задач 3а и 3Ь.
Задача 3а.
с44и'2 I - р2рй2 = 84, (39)
¿2(0, р) = 0, С44(1)й2(1, р) = Р1(21), (40)
Ü2 (1,p) = Gí2), (41)
2 ~(2*) 1
Задача 3Ь. В случае теплового способа нагружения постановка задачи имеет вид:
где s4 = c*nüo +j¡wi ~ (сип)', = + % (e'13+fB)2, Р[2*] = Р[2) - с44 (l)vi(hp)-
- ¿2 (73W2)' - P2PV2 = S5, (42)
-fclWo + (fow^) - pc*W2 - p¿273v '2 = S6, (43)
Ü2(0,p)=0, W2 (0,p)=0, (44)
-fc3 (1) w'2 (1,p) = Q2, 1З33(1)v'2(1,p) - ¿2l3(1)w'2(1,p) = 0, (45)
W2 (1,p)= F2. (46)
Здесь S5 = -C44U1 + C44V0 - (c13ui) , S6 = p¿27Íüi-
Решение прямых задач 1a, 2a, 3a сводится к решению ИУФ 2-го рода в трансформантах Лапласа и обращении трансформант на основе теории вычетов. Например, ИУФ 2-го рода для решения задачи 3a имеет вид
i i J2(z,p) = Pl2í) +у Ki (z,n,p) J2 (n,p) dn -j S4 (n) dn, (47)
o z
2 i
где r?,p) = -^y ¡min{zM p(0
После нахождения момента второго порядка от напряжения J2(z,p) из решения интегрального уравнения (47) далее вычисляется момент второго порядка от продольного перемещения по формуле: «2 (z,p) = е441(ч) ^ (V>P) df}.
Решение прямых задач 1b, 2b, 3b сводится к решению системы ИУФ 2-го рода в трансформантах Лапласа и обращении трансформант на основе теории вычетов. Например, система ИУФ 2-го рода для решения задачи 2b имеет вид:
i i z
wi(z,p) = У K2(z,<í,p)Wi(<í,p) d? + y K3(z, ^,p)Qi(^,p) d? + J Ko(z,^)s3 (?) d?, (48)
000
1 i i
П^р) = у К4(г,?,р)гё1 (?,р) & + у К5(г,?,р)П1(?,р) & + Р3(1*) (р) -у 82 (?) (49)
0 0 г
где = /от1п{"'?} ад> = +,Г"^
я,р) = ^ = <>Р) =
После решения системы (48), (49) далее находится момент первого порядка от вертикального перемещения по формуле щ(г,р) = Г^й\($,р) + (я,р)) (к-
4. Решение упрощенных обратных задач термоэлектроупругости
Реконструкция неоднородных свойств термоэлектроупругого слоя осуществляется в три этапа.
На первом этапе находятся функции С44, р, и0 из решения обратной задачи 1а, а также функции с33, 73, с*, ^з, -и0, из решения обратной задачи 1Ь.
Схема исследования нелинейных задач такого типа подробно исследовалась в [20, 26, 27] и основывается на построении итерационного процесса. Итерационный процесс стартует с начального приближения йо(г), которое определяется в классе положительных ограниченных линейных функций путем минимизации функционала невязки, вид которого зависит от способа нагружения тела:
а) в случае теплового способа нагружения
«2
Л = I (^о(п) - го(1,Т1))2^п; (50)
«1
б) в случае механического способа нагружения
Ь2
Л = I (Т2) - ио(1,Т2))2 ^ (51)
Ь1
С2
Л = I («3о) (Т2) - ^(1,7-2))2 ^Г2. (52)
С1
Далее находятся поправки к начальному приближению путем решения ИУФ 1-го рода, полученных методом линеаризации обратных задач 1а и 1Ь.
Рассмотрим операторные уравнения в трансформантах Лапласа, полученные в ходе решения обратных задач 1а и 1Ь, когда восстанавливалась одна характеристика при известных остальных:
1
У ¿с4т1) (^Г1°)2 ^ = Р1(о) (б<о)(р) - ¿о (1,р)) , р е [0, ю), (53)
0
1
/¿б33га—1) ^= Р(о) (б3о) (р) - V (1,р)) , р е [0, ю), (54)
о
1
У ¿73га—1) (г'ога—1^2 ¿г = до (^о - го (1,р)) , р е [0, ю), (55)
о
1
ру ¿с*(-1) (4га—^ ¿г = до (*о - го (1,р)) , р е [0, ю), (56)
о
1
-¿2р/¿7з(га—1)^ога—1)гога—1)¿г = до - го (1,р)) , р е [0, ю). (57)
о
После нахождения характеристик 644, р, 633, 7*, с*, 1г3, из решения прямых задач (21), (22) и (24)-(28) находятся функции ¿о, ^о, го, которые необходимы для решения обратных задач 2а и 2Ь.
На втором этапе находятся функции 6*3, ¿1 из решения обратной задачи 2а, а также функций 63, ^1, г1 из решения обратной задачи 2Ь.
Для нахождения функции 6*3 уравнение (21) умножим на й1, а уравнение (31) на йо, проинтегрируем произведения на [0,1], и, рассмотрев их разность, с учетом граничных и дополнительных условий, получим следующее ИУФ 1-го рода:
1 1
/¿6^йГ1М"-1= Р^б« - Р1(1*)с1о) + / 644и'ога—1)¿г, р е [0, ю). (58)
Аналогичным способом получено ИУФ 1-го рода для нахождения функции 7*, которое имеет вид
1
p¿2 /¿7l*(ra—1)Vо™-1)гога—= - ад, р е [0, ю). (59)
На третьем этапе осуществляется идентификация 6*1, ¿2 из решения обратной обратной задачи 3а, а также функций А;1, -и2, г2 из решения обратной обратной задачи 3Ь.
Проводя действия, аналогичные второму этапу, получим следующие ИУФ 1-го рода с гладким ядром:
1 1 ¿6^ (йо™-1^2 ¿г = - Р1(2*)С1о) - ¿2 / ^^ГМ™-^
о
1 1
- е44г/,'о™ 1)г(™ 1)¿г + '1йоП р е [0, ю). (60)
оо
1 1
¿6 (^о™-1^2 ¿г = до^2 - ^2Ро - p¿2 / ^й1га-^о™-1¿г, р е [0, ю). (61)
^о ^ Ч/Л — Ч;и^ 2 о У '11 о
о
Операторные уравнения на конечном временном отрезке получаются путем обращения операторных уравнений в трансформантах на основе теорем операционного исчисления. Например, при нагрузках Р1 (т2) = Н (т2), до (т1) = Н (т1) после обращения уравнений (53), (57) получим следующие операторные уравнения в оригиналах:
1
У ¿б4г:1)А (г,Т2) ¿г = ^с1о) (Т2) - ¿о™-1) (1,Т2)) , Т2 е [61,62], (62) о
1
У ¿63^^2 (г,Т1) ¿г = -(до (Т1) - го™-1) (1,п^ , п е [а1,а2], (63)
где
о
} д2^о™-1) (г, т) д^о™-1) (г, т - п)
= 5Ч --&-
о
о
о
о
о
о
Решение ИУФ 1-го рода является некорректной проблемой, для регуляризации которой применялся метод Тихонова А. Н. с выбором параметра регуляризации по обобщенной невязке [29].
5. Результаты вычислительных экспериментов
Проведены вычислительные эксперименты по поэтапной реконструкции термомеханических характеристик слоя.
На первом этапе термомеханические характеристики 644, р, 633, 7*, 6*, 1г3 восстанавливались путем решение обратных задач 1а и 1Ь на основе итерационного процесса, на каждом этапе которого для нахождения поправок решались ИУФ 1-го рода вида (62). В качестве условий выхода из итерационного процесса выступали: 1) ограничение по количеству итераций (п = 20); 2) достижение соответствующим функционалом невязки (50)-(52) предельного значения, равного 10-6.
В расчетах принято: Р1 (т2) = Р3 (т2) = Н (т2), до (т1) = Н (т1), ¿1 = 0.6, ¿2 = 0.05, ¿3 = 0.04. При решении ИУФ 1-го и 2-го рода методом коллокаций отрезок г е [0,1] разбивался на т = 20 равных частей. В случае теплового нагружения измерение дополнительной информации проводилось в 4-х точках внутри выбранных временных отрезков, а в случае механического нагружения — в 5 точках.
Выяснено, что погрешность реконструкции монотонных функций, восстановленных на первом этапе, во внутренних точках не превосходит 4%; при этом для достижения функционалом невязки (50)-(52) порогового значения требуется не более 6 итераций. В то же время погрешность реконструкции функций 7*, 6* в окрестности г = 0 значительно больше, чем во внутренних точках в связи с тем, что ядра соответствующих операторных уравнений обращаются в нуль при г = 0.
На рисунках ниже представлены результаты реконструкции функций, характеризующие неоднородные термомеханические свойства слоя. При этом сплошной линией изображены точные функции, точками — восстановленные функции.
На первых двух этапах восстанавливались законы неоднородности в виде степенных и экспоненциальных функций, моделирующие реальные свойства ФГ пироматериала. В качестве примера рассмотрен ФГ пироматериал, свойства которого принимают свойства титаната циркония на нижней грани г = 0 и свойства селенида кадмия на верхней грани г = 1. Эффективные безразмерные материальные характеристики слоя определяются по степенному закону вида [30]:
а(г) = 6(1) + (а(2) - а(1)) г5, 8 = 1,2,... (64)
Здесь а(1) — безразмерные свойства титаната циркония, а(2) — безразмерные свойства селенида кадмия, представленные в [31], в — параметр неоднородности.
На рис. 1 показаны результаты реконструкции на первом этапе следующих характеристик: а) 644(г) = 2.5 - 1.7г3; б) 1г3(г) =4 - е2 при [а1,а2] = [0.04,0.48], [61,62] = [0.06, 0.88], 644(г) = 2.45 - 1.60г, ^(г) = 3.05 - 1.55г.
а) б)
Рис. 1. Результаты первого этапа реконструкции термомеханических характеристик слоя:
О - 2
а) С44 (г) = 2.5 - 1.7г3; б) кз (г) =4 - в* .
На рис. 2 изображены результаты восстановления на первом этапе следующих характеристик: а) аз (г) = 1 - 0.74г2; б) 633 (г) = 1 - 0.25 * г4.
а) б)
Рис. 2. Результаты первого этапа реконструкции термомеханических характеристик слоя: а) кз (г) = 1 - 0.74г2; б) к^3 (г) = 1 - 0.25г4.
Для оценки устойчивости предложенного похода решения КОЗ к измерительной ошибке определения входной информации проведено ее зашумление, которое моделируется по формуле
/в (т) = / (т)(1 + вто), (65)
где в — амплитуда зашумления, 7о — случайная величина с равномерным законом распределения на отрезке [-1,1].
Выяснено, что с увеличением амплитуды зашумления погрешность реконструкции всех функций возрастает. Однако даже при 1%-м шуме погрешность реконструкции характеристик на первом этапе не превышает 10%.
На втором этапе восстанавливались функции с*з, с* из решения ИУФ 1-го рода, полученных путем обращения уравнений (58), (59). При этом при решении ИУФ 1-го и 2-го рода методом коллокаций сетка по сравнению с первым этапом измельчалась, а отрезок г € [0,1] разбивался на т =100 равных частей.
На рис. 3 изображены результаты реконструкции следующих характеристик на втором этапе: а) с*з (г) = 1.2 — 0.3г + 3г2; б) с* (г) = 0.7 + 0.2е2 8г. При этом максимальная погрешность реконструкции увеличивалась до 11%, что связано с влиянием накопленной погрешности идентификации на первом этапе.
На третьем этапе восстанавливались гипотетические законы неоднородности с*1, с1 из решения обращенных ИУФ 1-го рода (60), (61) на измельченной сетке при т = 140.
0 02 04 06 08 2 1 0 02 04 06 08 Z 1
a) б)
Рис. 4. Результаты третьего этапа реконструкции термомеханических характеристик слоя: а) cn(z) = 1.4 + sin (0.45nz + 0.2); б) ki (z) = 1.6 - cos (nz).
На рис. 4 представлены результаты восстановления на третьем этапе следующих характеристик: а) с*!(z) = 1.4 + sin (0.45nz + 0.2); б) с* (z) = 1.6 — cos (nz). При этом максимальная погрешность реконструкции увеличивалась до 24%. Это связано с накоплением погрешности идентификации на предыдущих этапах.
6. Заключение
Исследована обратная задача об идентификации материальных характеристик поперечно-неоднородного термоэлектроупругого слоя. С помощью преобразования Фурье двумерная обратная задача для слоя сведена к ряду одномерных задач термоэлек-троупругости относительно усредненных характеристик и их моментов. Представлен трехэтапный подход по идентификации материальных характеристик. После исключения электрического потенциала получено три набора обратных задач, аналогичных задачам для упругого и термоупругого стержня с модифицированными характеристиками. На первом этапе идентификация построена на основе итерационного процесса, на каждом этапе которого определяются поправки законов изменения термомеханических характеристик путем решения ИУФ 1-го рода. Выявлены эффективные для идентификации временные отрезки измерения дополнительной информации. Операторные уравнения для решения обратной задачи на втором и третьем этапах получены методом линеаризации. Проведены вычислительные эксперименты по реконструкции материальных характеристик термоэлектроупругого слоя, как при отсутствии зашумления входной информации, так и при 1%-м шуме. Даны рекомендации по вычислительным аспектам решения обратных задач на каждом этапе. Выяснено, что: 1) погрешность реконструкции монотонных функций во внутренних точках на первом этапе не превосходит 4%; 2) на последующих этапах погрешность реконструкции заметно возрастает, что связано с накоплением погрешности идентификации на предыдущих этапах.
Литература
1. Казарян А. А. Тонкопленочный датчик давления и температуры // Датчики и системы.—2016.— Т. 58, № 3(201).—С. 50-56.
2. Tauchert T. R., Ashida F., Noda N. Developments in thermopiezoelasticity with relevance to smart composite structures // Compos. Struct.—2000.—Vol. 48, № 1-3.—P. 31-38. DOI: 10.1016/S0263-8223(99)00070-7.
3. Rao S. S., Sunar M. Analysis of distributed thermopiezoelectric sensors and actuators in advanced intelligent structures // AIAA Journal.—1993.—Vol. 93, № 7.—P. 1280-1286. DOI: 10.2514/3.11764.
4. Mindlin R. D. On the equations of motion of piezoelectric crystals // Probl. Contin. Mech. SIAM.— 1961.—P. 282-290. DOI: 10.1007/978-1-4613-8865-4_60.
5. Mindlin R. D. Equations of high frequency, vibrations of thermopiezoelectric crystal plates // Int. J. Solid. Struct.—1974.—Vol. 10, № 6.—P. 625-637. DOI: 10.1016/0020-7683(74)90047-X.
6. Ватульян А. О., Кирютенко А. Ю., Наседкин А. В. Плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости // Прикл. мех. и техн. физика.—1996.—Т. 37, № 5.—С. 135-142.
7. Ватульян А. О. Тепловой удар по термоэлектроупругому слою // Вестн. Донского гос. техн. унта.—2001.—Т. 1(7), № 1.—С. 82-89.
8. Соловьев А. Н., Чебаненко В. А., Германчук М. С. Прикладная теория изгибных колебаний пьезоактивного биморфа в рамках несвязной краевой задачи термоэлектроупругости // Соврем. мат. фундам. направл.—2023.—Т. 69, № 2.—С. 364-374. DOI: 10.22363/2413-3639-2023-69-2-364-374.
9. Zhao X., Iegaink F. J. N., Zhu W. D., Li Y H. Coupled thermo-electro-elastic forced vibrations of piezoelectric laminated beams by means of Green's functions // Int. J. Solid. Struct.—2019.—Vol. 156, № 9.—P. 355-369. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2019.04.011.
10. Shen S., Kuang Z. B. An active control model of laminated piezothermoelastic plate // Int. J. Solids and Struct.—1999.—Vol. 36, № 13.—P. 1925-1947. DOI: 10.1016/S0020-7683(98)00068-7.
11. Белоконь А. В., Наседкин А. В. Расчет некоторых типов задач термоэлектроупругости с использованием пакетов ANSYS и ASELAN // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Спец. выпуск.— 2004.—С. 52-55.
12. Wang B. L., Noda N. Design of a smart functionally graded thermopiezoelectric composite structure // Smart Mater. Struct.—2001.—Vol. 10.—P. 189-193. DOI: 10.1088/0964-1726/10/2/303.
13. Ying C., Zhifei S. Exact Solutions of Functionally Gradient Piezothermoelastic Cantilevers and Parameter Identification // J. Intell. Mater. Syst. Struct.—2005.—Vol. 16, № 6.—P. 531-539. DOI: 10.1177/1045389X05053208.
14. Soloviev A. N., Chebanenko V. A., Oganesyan P. A., Chao S. F., Liu Y. M. Applied theory for electroelastic plates with non-homogeneous polarization // Mater. Phys. Mech.—2019.—Vol. 42, № 2.— P. 242-255. DOI: 10.18720/MPM.4222019_11.
15. Ватульян А. О., Нестеров С. А. Динамическая задача термоэлектроупругости для функционально-градиентного слоя // Вычислительная механика сплошных сред.—2017.—Т. 10, № 2.—С. 117-126. DOI: 10.7242/1999-6691/2017.10.2.10.
16. Белянкова Т. И., Калинчук В. В. К моделированию преднапряженного термоэлектроупругого полупространства с покрытием // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела.— 2017.—№ 1.—С. 117-135.
17. Ватульян А. О., Нестеров С. А. Идентификация неоднородных характеристик преднапряженных пироматериалов // Чебышевжий сб.—2018.—Т. 19, № 2.—С. 183-198. DOI: 10.22405/2226-8383-201819-2-183-198.
18. Vatulyan A., Nesterov S., Nedin R. Some features of solving an inverse problem on identification of material properties of functionally graded pyroelectrics // Int. J. Heat Mass Transfer.—2019.—Vol. 128.— P. 1157-1167. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2018.09.084.
19. Ватульян А. О., Нестеров С. А. Коэффициентные обратные задачи термомеханики. 2-е изд., ис-прав. и доп.—Ростов-н/Д.-Таганрог: Изд-во Южного федерального ун-та, 2022.—178 с.
20. Ватульян А. О., Нестеров С. А. Исследование обратных задач термоупругости для неоднородных материалов // Владикавк. мат. журн.—2022.—Т. 24, № 2.—С. 75-84. DOI: 10.46698/v3482-0047-3223-o.
21. Ватульян А. О., Нестеров С. А. Решение обратной задачи об идентификации двух термомеханических характеристик функционально-градиентного стержня // Изв. Саратовского ун-та. Новая сер. Сер. Математика. Механика. Информатика.—2022.—Т. 22, № 2.—С. 180-195. DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-2-180-195.
22. Ватульян А. О., Углич П. С. Реконструкция неоднородных характеристик поперечно-неоднородного слоя при антиплоских колебаниях // Прикладная механика и техническая физика.—2014.—Т. 55, № 3.—С. 149-153.
23. Ватулян А. О., Явруян О. В., Богачев И. В. Идентификация неоднородных свойств ор-тотропного упругого слоя // Акустический журнал.—2013.—Т. 59, № 6.—С. 752-153. DOI: 10.7868/S0320791913060178.
24. Вестяк В. А., Земсков А. В., Эрихман Н. Н. Численно-аналитическое решение обратной коэффициентной задачи термоупругости для пластины // Вестн. Московского авиационного ин-та.— 2009.—Т. 16, № 6.—С. 244-249.
25. Lukasievicz S. A., Babaei R., Qian R. E. Detection of material properties in a layered body by means of thermal effects // J. Thermal Stresses.—2003.—Vol. 26, № 1.—P. 13-23. DOI: 10.1080/713855763.
26. Ватульян А. О., Нестеров С. А. Об одном подходе к идентификации термомеханических характеристик слоистой биологической ткани // Экологич. вест. науч. центров Черноморского экономического сотрудничества.—2016.—№ 2.—С. 29-36.
27. Ватульян А. О., Нестеров С. А. Численная реализация итерационной схемы решения обратных задач термоупругости для неоднородных тел с покрытиями // Вычислительные технологии.— 2017.—Т. 22, № 5.—С. 14-26.
28. Яхно В. Г. Обратные коэффициентные задачи для дифференциальных уравнений.—Новосибирск: Наука, 1990.—304 с.
29. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач.—М: Наука, 1990.—230 с.
30. Raddy J. N., Chin C. D. Thermoelastic analysis of functionally graded cylinders and plates // J. Thermal Stresses.—1998.—Vol. 21.—P. 593-626. DOI: 10.1080/01495739808956165.
31. Babaei M. H., Chen Z. T. The transient coupled thermo-piezoelectric hollow cylinder to dynamic loadings response of a functionally graded piezoelectric // Proc. R. Soc. A.—2010.—Vol. 466, № 2116.— P. 1077-1091. DOI: 10.1098/rspa.2009.0543.
Статья поступила 10 июля 2023 г.
Ватульян Александр Ованесович Южный федеральный университет, заведующий кафедрой теории упругости РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, заведующий отделом дифференц. уравнений РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 E-mail: aovatulyan@sfedu.ru https://orcid.org/0000-0003-0444-4496
Нестеров Сергей Анатольевич
Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, старший научный сотрудник отдела дифференц. уравнений РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 E-mail: 1079@list.ru https://orcid.org/0000-0003-3780-5104
Vladikavkaz Mathematical Journal 2024, Volume 26, Issue 1, P. 68-84
INVERSE PROBLEM OF THERMOELECTRICITY FOR A FUNCTIONALLY GRADED LAYER
Vatulyan, A. O.1'2 and Nesterov, S. A.2
1 Southern Federal University, 8a Milchakov St., Rostov-on-Don 344090, Russia;
2 Southern Mathematical Institute VSC RAS, 53 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia
E-mail: aovatulyan@sfedu.ru, 1079@list.ru
Abstract. The formulation of the inverse problem of identification the variable material characteristics of a transversely inhomogeneous thermoelectroelastic layer, the lower face of which is rigidly pinched, shorted and maintained at zero temperature, and an unsteady load is applied on the upper non-electrodated face. Using the Fourier transform, the two-dimensional inverse problem is reduced to a number of one-dimensional problems similar to those for an elastic and thermoelastic rod with modified characteristics. A step-by-step approach is proposed to identify the material characteristics of the layer. Dimensionless direct problems after applying the Laplace transform are solved on the basis of the apparatus of Fredholm integral equations of the 2nd kind and the conversion of transformants based on the theory of residues. Using the linearization method, operator equations of the 1st kind are obtained to solve the inverse problems at each stage. Computational experiments have been carried out to reconstruct the material characteristics of a thermoelectroelastic layer, both in the absence of noise input information and at 1% noise. Effective time intervals for the identification of additional information have been identified. The analysis of the results of the identification of the thermomechanical characteristics of the layer is carried out.
Keywords: coefficient inverse problem of thermoelectroelasticity, functionally graded pyromaterial, layer, identification, Fredholm integral equation of the 1st kind.
AMS Subject Classification: 74B05, 80A20, 80A23.
For citation: Vatulyan, A. O. and Nesterov, S. A. Inverse Problem of Thermoelectricity for a Functionally Graded Layer, Vladikavkaz Math. J., 2024, vol. 26, no. 1, pp. 68-84 (in Russian). DOI: 10.46698/x5277-2885-8052-p.
References
1. Kazaryan, A. A. Fine-Film Captive Pressure and Temperature, Sensors and Systems, 2016, vol. 58, no. 3(201), pp. 50-56 (in Russian).
2. Tauchert, T. R., Ashida, F. and Noda, N. Developments in Thermopiezoelasticity with Relevance to Smart Composite Structures, Composite Structures, 2000, vol. 48, no. 1-3, pp. 31-38. DOI: 10.1016/S0263-8223(99)00070-7.
3. Rao, S. S. and Sunar, M. Analysis of Distributed Thermopiezoelectric Sensors and Actuators in Advanced Intelligent Structures, AIAA Journal, 1993, vol. 93, no. 7, pp. 1280-1286. DOI: 10.2514/3.11764.
4. Mindlin, R. D. On the Equations of Motion of Piezoelectric Crystals, Problems of continuum Mechanics, SIAM, 1961, no. 7, pp. 282-290. D0I:10.1007/978-1-4613-8865-4_60.
5. Mindlin, R. D. Equations of High Frequency, Vibrations of Thermopiezoelectric Crystal Plates, International Journal of Solids and Structures, 1974, vol. 10, no. 6, pp. 625-637. DOI: 10.1016/0020-7683(74)90047-X.
6. Vatul'yan, A. O., Kiryutenko, A. Y. and Nasedkin, A. V. Plane Waves and Fundamental Solutions in Linear Thermoelectroelasticity, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1996, vol. 37, pp. 727-733. DOI: 10.1007/BF02369312.
7. Vatulyan, A. O. Thermal Shock on the Thermoelectroelastic Layer, Vestnik Donskogo Gosudarstvennogo Tekhnichescogo Universiteta, 2001, vol. 1 (7), no. 1, pp. 82-89 (in Russian).
8. Solov'ev, A. N., Chebanenko, V. A. and Germanchuk, M. S. Applied Theory of Flexural Vibrations of a Piezoactive Bimorph in the Framework of an Uncoupled Boundary-Value Problem of Thermoelect-roelasticity, Contemporary Mathematics Fundamental Directions, 2023, vol. 69, no. 2, pp. 364-374 (in Russian). DOI: 10.22363/2413-3639-2023-69-2-364-374.
9. Zhao, X., Iegaink, F. J. N., Zhu, W. D. and Li, Y. H. Coupled Thermo-Electro-Elastic Forced Vibrations of Piezoelectric Laminated Beams by means of Green's Functions, International Journal of Mechanical Sciences, 2019, vol. 156, no. 9, pp. 355-369. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2019.04.011.
10. Shen, S. and Kuang, Z. B. An Active Control Model of Laminated Piezothermoelastic Plate, International Journal of Solids and Structures, 1999, vol. 36, no. 13, pp. 1925-1947. DOI: 10.1016/S0020-7683(98)00068-7.
11. Belokon, A. V. and Nasedkin, A. V. Calculation of Some Types of Thermoelectroelastic Problems Using the ANSYS and ASELAN Packages, Izvestiya vuzov, Severo-Kavkazskiy region, spetsial'nyy vypusk, 2004, pp. 52-55 (in Russian).
12. Wang, B. L. and Noda, N. Design of a Smart Functionally Graded Thermopiezoelectric Composite Structure, Smart Materials and Structures, 2001, vol. 10, pp. 189-193. DOI: 10.1088/09641726/10/2/303.
13. Ying, C. and Zhifei, S. Exact Solutions of Functionally Gradient Piezothermoelastic Cantilevers and Parameter Identification, Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 2005, pp. 531-539. DOI: 10.1177/1045389X05053208.
14. Soloviev, A. N., Chebanenko, V. A., Oganesyan, P. A., Chao, S. F. and Liu, Y. M. Applied Theory for Electroelastic Plates with Non-Homogeneous Polarization, Materials Physics and Mechanics, 2019, vol. 42, no. 2, pp. 242-255. DOI: 10.18720/MPM.4222019_11.
15. Vatulyan, A. O. and Nesterov, S. A. Dynamic Problem of Thermoelectroelasticity for Functionally Graded Layer, Computational Continuum Mechanics, 2017, vol. 10, no. 2, pp. 117-126 (in Russian). DOI: 10.7242/1999-6691/2017.10.2.10.
16. Belyankova, T. I. and Kalinchuk, V. V. On the Modeling of a Prestressed Thermoelastic Half-Space with a Coating, Mechanics of Solids, 2017, vol. 52, no. 1, pp. 95-110. DOI: 10.3103/S0025654417010113.
17. Vatulyan, A. O. and Nesterov, S. A. Identification of Inhomogeneous Characteristics of Prestressed Pyromaterials, Chebyshevskii Sbornik, 2018, vol. 19, no. 2, pp. 183-198 (in Russian). DOI: 10.22405/ 2226-8383-2018-19-2-183-198.
18. Vatulyan, A., Nesterov, S. and Nedin, R. Some Features of Solving an inverse Problem on Identification of Material Properties of Functionally Graded Pyroelectrics, International Journal of Heat and Mass Transfer, 2019, vol. 128, pp. 1157-1167. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2018.09.084.
19. Vatulyan, A. O. and Nesterov, S. A. Koeffitsiyentnyye obratnyye zadachi termomekhaniki [Coefficient Inverse Problems of Thermomechanics. 2nd ed.], Rostov-on-Don, Taganrog, Southern Federal University Press, 2022, 178 p. (in Russian).
20. Vatul'yan, A. O. and Nesterov, S. A. Study of the Inverse Problems of Thermoelasticity for Inhomogeneous Materials, Siberian Mathematical Journal, 2023, vol. 64, no. 3, p. 699-706. DOI: 10.1134/S0037446623030175.
84
BaTyxbHH A. O., HecTepoB C. A.
21. Vatulyan, A. O. and Nesterov, S. A. Solution of the Inverse Problem of Two Thermomechanical Characteristics Identification of a Functionally Graded Rod, Izvestiya of SaratovUniversity. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2022, vol. 22, no. 2, pp. 180-195 (in Russian). DOI: 10.18500/ 1816-9791-2022-22-2-180-195.
22. Vatul'yan, A. O. and Uglich, P. S. Reconstruction of Inhomogeneous Characteristics of a Transverse Inhomogeneous Layer in Antiplane Vibrations, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2014, vol. 55, no. 3, pp. 499-505. DOI: 10.1134/S0021894414030122.
23. Vatul'yan, A. O., Bogachev, I. V. and Yavruyan, O. V. Identifying the Inhomogeneous Properties of an Orthotropic Elastic Layer, Acoustical Physics, 2013, vol. 59, no. 6, pp. 702-708. DOI: 10.1134/S106377101306016X.
24. Vestyak, V. A., Zemskov, A. V. and Erichman, N. N. Numerical-Analytical Solution of the Inverse Coefficient Problem of Thermoelasticity for a Plate, Vestnik Moskovskogo Aviatsionnogo Instituta, 2009, vol. 16, no. 6, pp. 244-249 (in Russian).
25. Lukasievicz, S. A., Babaei, R. and Qian, R. E. Detection of Material Properties in a Layered Body by Means of Thermal Effects, Journal of Thermal Stresses, 2003, vol. 26, no. 1, pp. 13-23. DOI: 10.1080/713855763.
26. Vatulyan, A. O. and Nesterov, S. A. On One Approach to Identifying the Thermomechanical Characteristics of a Layered Biological Tissue, Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2016, no. 2, pp. 29-36 (in Russian).
27. Vatulyan, A. O. and Nesterov, S. A. Numerical Implementation of an Iterative Scheme for Solving Inverse Problems of Thermoelasticity for Inhomogeneous Bodies with Coatings, Computational Technologies, 2017, vol. 22, no. 5, pp. 14-26 (in Russian).
28. Yakhno, V. G. Obratnyye koeffitsiyentnyye zadachi dlya differentsial'nykh uravneniy uprugosti [Inverse Coefficient Problems for Differential Equations of Elasticity], Novosibirsk, Nauka, 1990, 304 p. (in Russian).
29. Tikhonov, A. N., Goncharskiy, A. V., Stepanov, V. V. and Yagola, A. G. Chislennyye metody resheniya nekorrektnykh zadach [Numerical Methods for Solving Ill-Posed Problems], Moscow, Nauka, 1990, 230 p. (in Russian).
30. Raddy, J. N. and Chin, C. D. Thermoelastic analysis of Functionally Graded Cylinders and Plates, Journal of Thermal Stresses, 1998, vol. 21, pp. 593-626. DOI: 10.1080/01495739808956165.
31. Babaei, M. H. and Chen, Z. T. The Transient Coupled Thermo-Piezoelectric Hollow Cylinder to Dynamic Loadings Response of a Functionally Graded Piezoelectric, Proceedings: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2010, vol. 466, no. 2116, pp. 1077-1091. DOI: 10.1098rspa.2009.0543.
Received Jule 10, 2023
Alexander O. Vatulyan Southern Federal University, 8 a Milchakov St., Rostov-on-Don 344090, Russia, Head of the Department of Theory of Elasticity; Southern Mathematical Institute VSC RAS, 53 Vatutin St., Vladikavkaz 362027, Russia, Head of the Department of Differential Equations E-mail: aovatulyan@sfedu.ru https://orcid.org/0000-0003-0444-4496
Sergey A. Nesterov
Southern Mathematical Institute VSC RAS,
53 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia,
Senior Researcher of the Department of Differential Equations
E-mail: 1079@list.ru
https://orcid.org/0000-0003-3780-5104
