CC BY
43
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
Том VIII
197 7
№ 2
УДК 532.526.5
629.735.33.015.3.025.73
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ И УСЛОВИЯ ОПТИМИЗАЦИИ КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
В. А. Баринов
Приводится способ решения обратной задачи пограничного слоя: определения скорости невязкого течения по заданному распределению величины трения на стенке — с использованием интегрального уравнения импульсов. В качестве примера применения этого способа проводится модификация профиля ИДСА 23012 с целью смещения точки отрыва пограничного слоя при больших значениях коэффициента подъемной силы в область задней кромки.
В случае течений с большими числами Рейнольдса показано, что профили с равномерным распределением давления по поверхности имеют меньшее сопротивление, приводится уравнение предельной огибающей поляр профилей с наименьшим сопротивлением при заданном значении су, рассматриваются качественные условия для характера распределения давления, при которых характеристики крылового профиля будут оптимальными.
1. Наряду с развитием и совершенствованием методов интегрирования прямой задачи теории пограничного слоя (по известному распределению скорости течения на внешней границе определить напряжение трения на стенке) ставится и исследуется обратная задача: по заданному распределению трения на стенке найти зависимость скорости невязкого течения от координаты вдоль обтекаемой поверхности [1, 2]. В указанных работах при решении обратной задачи уравнения пограничного слоя записываются в конечно-разностном виде и на каждом шаге по х при заданном значении трения на стенке путем вариации подбирается такое значение скорости на внешней границе ие, при котором удовлетворяется внешнее краевое условие — (оо)=1. Такой способ решения,
ие
основанный на конечно-разностном методе, является трудоемким, при его практическом применении возникают определенные трудности. В настоящей работе рассмотрим способ решения обратной задачи, основанный на применении интегрального уравнения импульсов.
В прямой задаче теории пограничного слоя уравнение импульсов
«те** и'е
, - 2 —(2 + Я)8** (1)
ах рие ие
дополняется по методу К. К. Федяевского [3] зависимостью величины трения на стенке и формпараметра // = 8*/8** от местных значений толщины потери импульса 8**, ие и и' в виде
= «*)> Н = Н (8**, ие, и'е). (2)
В других методах расчета пограничного слоя уравнение импульсов (1) дополняется другими соотношениями, например, по методу [4]:
"тт — О (8**, ие, Н) ' (3)
по Людвигу — Тиллману, а величина //= 8*/8** определяется из дополнительного дифференциального уравнения.
Обратную задачу теории пограничного слоя предлагается решать с использованием тех же уравнений, только теперь находить из соотношений (2) не величину Тд,, которая задана в обратной задаче, а величину ие, и рассчитывать каким-либо методом, например Рунге — Кутта, систему уравнений
и'е = Ф(1т, 8**, ие), Н = Н(Ъ**, ие, и'), |
(4)
Р«е
— (2 4 Н) 8**. (
ие )
При расчете по методу [4] система уравнений будет состоять из уравнений для 8**' и Н' и'продифференцированного соотношения (3).
Этот прием превращения дополнительного соотношения (2) в определяющее уравнение может быть применен и в случае других методов расчета, основанных на интегральных уравнениях импульсов и энергии, этот прием можно использовать и при расчете обратной задачи теории пограничного слоя для сжимаемого газа.
2. В работах [5, 61 рассматриваются вопросы о создании профиля, на котором реализуется большое значение коэффициента подъемной силы. В средней части верхней поверхности профиля предполагается существование участка с постоянным давлением, в концевой части предлагается реализовать распределение давления, при котором турбулентный пограничный слой находится в предотрывном состоянии. Такое распределение давления определяется приближенным соотношением Стретфорда [7]. Координаты профиля с таким распределением давления по поверхности определяются путем решения обратной задачи профиля.
Рассмотренное в этих работах резкое изменение величины трения от некоторого конечного значения на участке с постоянным давлением до нуля является одним из возможных законов распределения трения. Однако при модификации профиля такой закон изменения величины трения накладывает определенные условия на распределение давления и на координаты профиля, которые могут привести к значительному ухудшению положительных характеристик первоначального профиля. Поэтому представляет интерес случай плавного изменения величины трения от некоторого значения при х — х0 до нуля прил:=1. Такой случай и рассмотрим в
качестве примера применения приведенного выше способа решения обратной задачи теории пограничного слоя.
На фиг. 1, а цифрой 1 показано распределение скорости вдоль верхней поверхности профиля NACA 23012 при угле атаки а =18°, су = 2,24. Здесь з — безразмерная координата вдоль поверхности от передней критической точки, конец хорды соответствует в = 1,12.
ие
1,2 1,0 0А
0,003 0,002 0,001
0 -О,if 0,5 0,6 0,7 0,3 0,9 1,0 s
Фиг. 1
Распределение скорости было определено по методу вихревого слоя [8]. На фиг. 1, б приведены результаты расчета напряжения трения в турбулентном пограничном слое по методу К. К. Федяев-ского [3]. Точка отрыва находится при s = 0,855 (х = 0,72). Для двух других законов распределения трения, обозначенных на фиг. 1 цифрами 2, 3, было подсчитано путем решения системы уравнений (4) распределение скорости невязкого течения, результаты расчета приведены на фиг. 1, а.
Распределение давления на профиле NACA 23012 было изменено на участке s = 0,5 -г-1,12 в соответствии с распределением скорости, обозначенном на фиг. 1, а цифрой 2, и взято в качестве желаемого для нового профиля NACA 23012 bis. Решение обратной задачи для профиля проводилось также по методу вихревого слоя [9]. Результаты расчета приведены на фиг. 2.
На фиг. 3 приведены результаты расчета координаты точки отрыва хотр на верхней поверхности для профилей NACA 23012 и NACA 23012 bis. Видно, что значения хотр для профиля NACA 23012 bis существенно больше, резкое уменьшение хотр происходит при больших значениях су, чем для исходного профиля NACA 23012. Эти расчетные результаты позволяют предположить, что и экспериментальное значение су тах для нового профиля будет выше.
3. В результате расчета трех вариантов, приведенных на фиг. 1, оказалось, что полное сопротивление верхней поверхности, вычис-
N
\ ^s. ^2 i
а)
ленное по соотношению Сквайра и Янга сх = 2
Нч-5
2
мало
меняется, хотя составляющие — сопротивление трения и сопротивление давления — различны. Более того, сх для варианта 3 несколько выше, чем для варианта 2 вследствие более сильного роста толщины потери импульсов 8
* *
■р Пе=5,38-106
_ — —•
К
\
НЛСД 23012 N/104 23012
’0 0,5 1,0 1,5 2,0 Су
Фиг. 3
Поскольку значение 8** на задней кромке зависит от распределения скорости на всей поверхности профиля, естественно поставить вопрос об условиях, когда достигается наименьшее сопротивление. Воспользуемся для этого простой приближенной формулой Шпайделя — Хельмбольда [10]:
0,074
Ие1/5
Г/ \°’8 '
/ “е'5 **) +(/
1-ю 1 х0
и3;5 йх
0,8п
(5)
написанной для случая достаточно больших значений числа Ие или для случая, когда точка перехода фиксируется при х = 0. Здесь ив и «„—безразмерные скорости, отнесенные к их, на верхней и нижней поверхностях соответственно.
Поставим следующую задачу: найти такое распределение скорости ив(х) и ии{х), чтобы при заданном су величина сх была минимальной. Отметим, что
г __ 1 1
Су = \ (Ри — Ри) dx ■=• \ u'l dx— Г и\ dx.
О 0 0
Рассмотрим сначала распределение скоростей на верхней поверхности. Представив интегралы по формуле прямоугольников в виде суммы, поставленную задачу сведем к поиску минимума
N ' N '
J =■ У ЧЪ'Ъ при УСЛОВИИ, что У н2 —с= const, где М — число то-
йг k hi Bk
чек разбиения интервала интегрирования.
Пусть иВк принимают произвольные положительные значения, будем рассматривать их как независимые переменные. Выделим из
N
суммы у и* какой-либо параметр, например ав1, подставив его в " *=i к J, получим функционал от N — 1 переменных:
N , N ,1.75 Л1
«I, = * - 2 и*к, У = (с - S «У + 2 «в*-
fe = 2 \ *=2 / ft = 2
Записывая условие минимума по l-й переменной, получим
-М— 1'ге-2“-1 (с -1 <Г+з-5"? ~а
Bi \ й=2 ■' ‘
отсюда находим
, Л’ , 0,75
И^ = (б’ —2 “bJ =ИВ1-
1 \ А = 2 •'
Таким образом, минимум J достигается в случае равенства всех переменных.
Рассмотрев аналогичным образом нижнюю поверхность и получив то же условие равенства скоростей на нижней поверхности, приходим к выводу; наименьшее сопротивление при заданном сч имеет место при равномерном распределении давления по верхней и нижней поверхностям профиля.
Результаты расчета величины ul=\—pcp (где рср — среднее значение давления) для нескольких профилей с толщинами в диапазоне с = 0,09 0,15 показали, что величина ul зависит от значе-
ния су и с и с некоторым приближением может быть представлена в виде
ul = 1,01 + 1,28 с Н- 0,56 сг (6)
Если задать несколько значений су и решать обратную задачу для профиля при скорости на верхней поверхности по соотношению (6), а на нижней u2a = ul — су, то можно получить серию профилей с наименьшим сопротивлением при заданном су. Огибающая поляр такого семейства профилей имеет вид
сх=~Щ- [(1,01 + 1,28 с + 0,56 с,)хл+ (1,01 + 1,28 с —0,44 су)м].
1\С
На фиг. 4 приведен пример расчета огибающей поляр профилей с минимальным сопротивлением при заданном су для с=0,12и
Яе —30-Ю6. При сравнении с полярой профиля ^СА 23012, сопротивление которого подсчитано по соотношению (5), видно, что сопротивление профиля КАСА 23012 на 5—10% больше мини-
мального.
4. В последнее время исследованиях оптимизации
Пе=30-106
N ЯСД 23 ”7/
и / I
I I I
0 0,005 Сх
Фиг. 4
в ряде работ освещаются вопросы об крылового профиля. Так в работе [11] рассматривается вопрос о профиле, имеющем минимальное сопротивление в ламинарном потоке, в работе [12] сообщается о минимизации коэффициента момента тг путем вариации коэффициентов
полинома, описывающего контур профиля. В работе [13[ оптимизацию профиля предлагается проводить с использованием результатов эксперимента в аэродинамической трубе на модели, контур профиля которой может дистанционно изменяться с помощью встроенного в модель механизма. Результаты эксперимента при вариациях нескольких параметров (толщины профиля, отгиба носовой и хвостовой частей профиля и т. д.) поступают на обработку в ЭЦВМ и по методу градиента определяются их оптимальные величины, т. е. обеспечивающие минимальное сопротивление.
Характерным для работ этого направления является применение прямых задач, т. е. определение тем или иным способом характеристик профиля по исходным данным — координатам профиля. Однако возможен и другой способ оптимизации с использованием обратных задач, когда задается желаемое распределение давления и затем определяются координаты профиля.
Принимая во внимание результаты пп. 1 и 3, можно качественно описать вид эпюры давления, соответствующей оптимальному профилю. Исходя из того, что оптимальный профиль должен иметь малое сопротивление в некоторой окрестности заданного су, возможно меньший коэффициент продольного момента т2, возможно более дальнее положение точки отрыва, возможно меньшее но величине.значение ртт, представим себе „идеальную“ эпюру давления (фиг. 5). Она должна иметь участок 1 в средней части на верхней поверхности с примерно равномерным распределением давления, на участке 2 следует обеспечить безотрывное течение, на участке 3 должно быть повышенное давление с целью уменьшения значения тг, участок 4 необходим для того, чтобы обеспечить некоторый диапазон значений су, где реализуется малое сопротивление.
Конечно, трудно обеспечить все эти условия, особенно если учесть, что имеются и другие требования, например, в отношении
величины су шах профиля. Однако эти условия следует иметь в виду при модификациях профиля — прототипа.
В заключение сделаем два замечания относительно приведенных условий оптимизации. Во-первых, отметим, что они носят качественный характер, что они приведены на основе анализа безотрывного обтекания при условии справедливости соотношения Сквайра — Янга, т. е. для сравнительно небольших значений су^0,4. Окончательное суждение о целесообразности той или иной модификации профиля может быть сделано на основе экспериментальных результатов. Во-вторых, подчеркнем еще раз, что рассматривалось течение несжимаемой жидкости, при наличии скачков уплотнения и волнового сопротивления условия оптимизации должны учитывать особенности сжимаемого течения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Cebeci Т., Keller Н. В. Ап inverse problem in boundary layer flow: numerical determination of pressure gradient for a given wall shear. J. of Computational Physics, vol. 10, N 1, 1972.
2. Carter J. E. Solution for laminar boundary layers with separation and reattachment. AIAA Paper, N 583, 1974.
3. Федяевский К. К., Г и н e в с к и й А. С., Колесников А. В. Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. Л., .Судостроение", 1973.
4. Н е a d М. R. Entrainment in the turbulent boundary layer. ARC
R & M, 3152, 1960. “
5. Liebeck R. H. A class of airfoils for high-lift in incompressible flow. AIAA Paper, N 86, 1973.
6. W о r t m a n F. X. The guest for high-lift. AIAA Paper, N 1018, 1974.
7. Stratford B. S. The prediction of separation of the turbulent boundary layer. J. Fluid Mech, N 5, 1959.
8. Пав ловец Г. А. Методы расчета сечений крыла идеальным несжимаемым потоком. Труды ЦАГИ, вып. 1344, 1971.
9. Павловед Г. А., Самознаев Н. Д. Чесленный метод построения контура крылового профиля по заданному распределению скорости на его поверхности. Труды ЦАГИ, вып. 1271, 1970.
10. Ш л и х т и н г Г. Теория пограничного слоя. М., .Наука”, 1974.
11. Glowinski R., Pironneau О. On the numerical computation of minimum-drag profil in laminar flow. J. Fluid Mech, vol. 72, N 2, 1972.
12. Hicks Raymond М., Vanderpiaats Garret N. Design of lowspeed airfoils by numeriecal optimization. SAE Prepr, N 750524.
13. L e v i n s k у E. S., Schappelle R. H. Airfoile optimization utilizing a remotely controlled flexible model. Phase 1. Low speed wind tunnel test. Convair Division of General Dynamics Techn. Rep. CASD-NSC--74-007, 1974.
Рукопись поступила IjVJ 19/6 г.
