CC BY
66
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012 Геология Вып. 4 (17)
УДК 550.831
Обратная задача гравиметрии с использованием производных поля и их конечно-разностных аналогов
П.А. Миненко, Р.В. Миненко
Криворожский национальный университет, 50086, Кривой Рог, пр. Гагарина, 54. E-mail: cdpu@cdpu.edu.ua
(Статья поступила в редакцию 12 октября 2012 г.)
Рассмотрена проблема и установлены границы надежного вычисления производных дискретно заданного поля. Разработаны соответствующие методические приемы, теоретические методы и практические рекомендации, которые улучшают качество решения обратных задач гравиметрии, в том числе с использованием конечно-разностных формул для измеренного и теоретического поля.
Ключевые слова: гравиметрия, обратная задача, производная поля, конечно-разностная формула.
Вычисление вторых производных Vxz ,
Vzz гравитационного потенциала V по дискретно измеренным с шагом b значениям его первой производной Vz является задачей некорректной [1,4]. Это связано с тем, что разность значений поля в двух точках
dVz(Xj)Т Vz(Xj G b)fi Vz(Xj fi b)
равна
2bVxz(Xj )
лишь в некоторых точках
Xj на профиле. В остальных точках мы имеем в общем виде равенство
dVz(Xj G *j)Т Vz(Xj G b)fi fi Vz(Xj fi b) Т 2bVXz(Xj G j, (1)
где *j - неизвестные величины.
Это несовпадение часто приводит к большим ошибкам вычисления производных, что является недостатком метода.
Цель настоящей работы - установление пределов надежного вычисления производных дискретно заданного поля и разработка соответствующих методических приемов, теоретических методов и практических рекомендаций, улучшаю-
щих качество решения обратных задач (ОЗ) гравиметрии .
Методы решения задачи. Образуем относительную разность правой и левой
частей уравнения (1) при ^j Т 0, подставив в него решение прямой задачи для по-лубесконечного стержня:
^2(Х])^2(Х]) Т (Vг(Х] С Ь) н
Н VZ(XJ н Ь) н 2bVxz(Xj))/Vz(Xj); (2)
К-.е
где Vz(XJ) Т —; (3)
Rij(Xj Н Xl,h)Т ((Xj Н X,)2 С ^),/2;
к - гравитационная постоянная; — и е - аномальная плотность и сечение стержня; (X, ,0,И) - координаты расположения верхнего торца стержня.
В результате из уравнения (2) получим
./dVz(XJ), Т ( 2b(XJ Н ^) С
( т/ , у ^Т (---------;------2е (4)
Vz(XJ) (RІJ(XJ Н Xl,h))2
Rij(xj fi Xt,h) Rij(Xj fi Xt,h)
Rij(Xj G b fi Xi,h) Rij(Xj fi b fi Xvh)
) .
© Миненко П.А., Миненко Р.В., 2012
Разделив (4) на 2Ь , вычислим
интервалы изменения модулей
относительных погрешностей определения производной на профиле вдоль оси Х при различном соотношении Ь^ ( см. таблицу) .
Интервалы изменения модулей
относительных погрешностей вычисления
по дискретным значениям поля силы тяжести
Отношение параметров Ь/Ъ Модуль погрешност /Л и для модели стержня, % Модуль /Л погрешности для модели шара, %
3 10 - 272 50 - 570
2 10 - 156 40 - 340
1 1,0 - 42 5 -100
0,5 ,5 7, 1 0, 1 - 18
0,25 0,1 - 1,0 сч" - 0,
Из таблицы следует, что только за счет шага дискретизации Ь производная У^ вычисляется по абсолютно точным измерениям поля с очень большими ошибками в разных точках профиля наблюдений. На этом основании рассматриваемая задача считается некорректной. Если в поле еще
/Л
добавить погрешности его измерения 1 j в миллигалах (мГ ал), то максимальные
/Л
ошибки возрастут на 300 1j/(kb/h) %.
При точности съемки 0,1 мГал для параметров таблицы соответственно получим добавки к погрешностям ^: 1,5; 2,3; 4,5; 9; 18%. Следовательно, при большом шаге дискретизации Ь повышением точности съемки или усреднением измеренных значений поля существенно уменьшить некорректность задачи вычисления производной У^ невозможно. При малом шаге Ь эта задача решается хорошо, а при среднем - удовлетворительно. Поэтому имеет смысл использовать усреднение поля или локальную аппроксимацию поля полиномом 4-го порядка, например, на участке из
7 точек профиля. В этом случае постоянный и линейный члены полинома в каждой точке Хj равны
а0 j Т (7т j Й nj )/21; аи Т (397tj Й 49pj)/(1512b); (5) і Т 3
где mj Т Л gj 0 і;
і Т -3
tj Т gj 6 1 Й gj Й 1 0 2(gj 6 2 Й Й gjЙ 2 ) 0 3(gj6 3 Й gjЙ 3); nj Т gj61 Й gjЙ1 6 4(gj62Й Й gjЙ 2 ) 6 9(gj6 3 Й gjЙ 3); pj Т gj61 Й gjЙ1 6 8(gj6 2 Й
Й gjЙ 2) 6 27(gj6 3 Й gjЙ 3);.
Аналогично для 5 точек профиля получим
а0 j Т (3,4тj Й nj)/7;
а1у Т (13tj Й 3,4pj )/(14,4Ь); (6)
і Т 2
где mj Т Л gj 6 і;
і Т -2
tj Т gj 6 1 Й gj Й1 6 6 2(gj6 2 Й gjЙ 2); п]Т gJ61Й gjй 16 4(gJ6 2Й gjй 2);
Ру Т gj61 Й gjЙ1 6 8(gj6 2 Й gjЙ 2);.
Полученные по формулам (5)-(6) аппроксимации можно повторить, например, по формулам
ао,у,2Т (7mjЙ пу)/21;
аи,2 Т (1^у Й 3,4ру)/(14,4Ь); (7)
і Т 2
где mj Т Л aj 6 і;
і Т -2
tJ Т aJ 6 1 Й aJ Й1 6 2(aJ 6 2 Й aJ Й 2);
ПУ Т а]61 Й ajЙ1 6 4(а]62Й ajЙ2);
Ру Т aj61 Й aJЙ1 6 8(aJ6 2 Й aJЙ 2);.
Для малых и средних шагов дискретизации величина а1^,2 представляет собой довольно точное значение производной У^ (с ошибкой до 3-5%).
При больших параметрах Ь^ методы, базирующиеся на формулах (5)-(7), непригодны. Однако в этом нет необходимости, поскольку при малом
влиянии на Vxz погрешностей поля в решении обратных задач можно использовать разностную формулу
dVz(XJ) I g(Xj С Ь) Й ^Х]) I t ( -1,а^Х] С d) Й а^х})), (8)
где - аномальная плотность (АП) блоков интерпретационной модели (ИМ); a,j(XJ) - геометрические коэффициенты
решения прямых задач гравиметрии.
Аналогично решается обратная задача по вертикальному приращению поля:
dVz(Xj,Zj)I g(Xj,Zj)Й g(Xj,Zj Й Н)I I (-^(К;^)Й alj(Xj,,Zj Й Н)), (9)
где g(Xj’Zj Й Н) - поле силы
тяжести, пересчитанное вверх на высоту
Н.
Во многих отчетах вместо карт поля силы тяжести и каталогов пунктов измерения поля приведены карты среднего вертикального градиента поля (9) или карты трансформаций Саксова-Ниггарда, разностная формула для которых имеет вид УXJ,YJ) I g(XJС 2,7;)Й
Й g(XJС1^) С g(XJ,YJС2) Й
Й g(XJ,YJС1) С g(XJй 2,YJ) Й
Й g(XJй 1,7^ С g(XJ,YJй 2^ Й
Й g(XJ,YJй 1) I ( --i,aj(XJс2,YJ) Й
Й alJ(XJс 1,YJ) С aiJ(XJ,YJс2) Й
Й alJ(XJ,YJс 1) С alJ(XJй2^) Й
Й alJ(XJй 1,YJ) С aiJ(XJ,YJй 2) Й Й aij(Xj,YjЙ 1)). (10)
Вычисленные по формулам (9)-(10) трансформанты поля имеют высокую разрешающую способность при решении ОЗ гравиметрии (рис. 2, 3, 4). По таким же схемам решаются и ОЗ магнитометрии.
Апробация методов решения задачи выполнена на примере решения ОЗ по карте конечно-разностных трансформаций поля силы тяжести (рис.1) Александровского участка Большого Кривбасса (УКЩ), вычисленных по левой части формулы (10), а на рис. 2 - 4 приведены решения ОЗ гравиметрии для этой карты, причем, на рис. 3 дано решение линейной ОЗ по плотности блоков ИМ в соответствии с правой частью разностной формулы (10). На рис. 2 и 4 приведены решения нелинейной ОЗ по глубинам до блоков ИМ в соответствии с правой частью той же разностной формулы (10). Линейная и нелинейная ОЗ выполнены экстремальным методом совместного поиска для каждого блока ИМ на каждой итерации АП и глубин расположения горизонтальных границ раздела блоков с наибольшим скачком плотности [2,3]. На карте поля (рис. 1), в ее западной и центральной части, находятся две интенсивные положительные аномалии с максимумами более 1 мГал.
Между положительными аномалиями расположена отрицательная аномалия с амплитудой -0,6 мГал. Общая область всех трех аномалий окаймлена соответствующим трансформанте поля минимумом -0,2 мГал.
Поле восточной части карты представлено мозаикой знакопеременных локальных аномалий интенсивностью от -0,4 до
0,2 мГал. На стадии качественной интерпретации можно предположить наличие блоков с высокой положительной и отрицательной аномальной плотностью. Однако по результатам количественной интерпретации (рис. 2 и 3) установлено, что западная и центральная аномалии с максимальными амплитудами более 1 мГал большей частью созданы выступами коренных горных пород кристаллического
фундамента до 20 м, хотя они имеют более высокую АП от 0,04 до 0,11 г/см3.
Между этими выступами находится впадина с горными породами более низкой АП - от -0,04 до -0,06 г/см3. Более того, глубина впадины достигает 215-265 м (рис. 4). Но АП горных пород в ней практически не меняется с глубиной, хотя под выступом она заметно
возрастает - до 0,14 - 0,16 г/см3 на глубине 265 м (карта плотности третьего слоя в статье не приведена). Центральный выступ с востока окаймлен впадиной глубиной 165-215 м (рис.2 и 4) с почти нулевой АП (рис.3). По краям карты выявлено несколько локальных впадин глубиной от 165 до 315 м с АП от -0,04 до -0,12 г/см3.
Карта сЮ(х,у) +0, 0 мгл 2
Рис.1. Карта трансформанты измеренного поля силы тяжести, мГал
Н2 грав.совместно 1г=6.0нТ и 0,021 мгл
Рис.2. Результаты решения нелинейной обратной задачи гравиметрии: карта изогипс кровли второго слоя ИМ, м
Рис.3. Результаты решения линейной обратной задачи гравиметрии: карта изоденс аномальной плотности второго слоя ИМ, г/см3
НЗграв. совместно ЭИ 4г=0,210 мгл
Рис.4. Результаты решения нелинейной обратной задачи гравиметрии: карта изогипс кровли третьего слоя ИМ, м
Остатки гравитационного поля Совместно Юитер. 1г=б:0нТ и 0,021 мгл
Рис.5. Карта остаточной трансформанты поля силы тяжести, полученной после решения обратной задачи гравиметрии, мГал
Выводы
1. Обратные задачи гравиметрии необходимо решать с применением конечно-разностных формул с использованием измеренных значений поля.
2. Обратные задачи гравиметрии следует решать экстремальными методами одновременного поиска на каждой итерации глубин и наибольших скачков плотности на границах блоков интерпретационной модели.
Перспективы дальнейших исследований
Следует расширить спектр новых конечно-разностных трансформаций поля, более эффективных по затратам компьютерного времени, но не снижающих качества решения ОЗ.
Высокое качество подбора источников аномалий подтверждается картой остаточной составляющей трансформанты поля (рис. 5), полученной после решения ОЗ. Невязка (среднеквадратическое отклонение) между измеренным и вычисленным полем равна 0,021 мГал. Таким образом, использование конечно-разностных трансформаций поля (9)-(10), освобожденных от влияния постоянного регионального фона, позволяет более точно выполнить решение обратных задач известными методами. Однако это достигается за счет увеличения от 2 до 8 раз затрат времени на вычисления. Для представленных в статье обратных задач геологическая эффективность от повышения качества их решения существенно выше, при этом экономия затрат компьютерного времени выходит на второй план.
Библиографический список
1. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики/ СО АН СССР. Новосибирск, 1962. 92 с.
2. Миненко П. А. О поисках избирательных
экстремальных решений обратной задачи магнитометрии при исследованиях на кристаллическом фундаменте// Науковий вісник Національного гірничого
університету. Днепропетровск. 2006. №9. С.39-44.
3. Миненко П. А. Методы и критерии оптимизации устойчивых решений обратной задачи глубинной морской гравиметрии// Науковий вісник Національного гірничого університету. Днепропетровск, 2007. №11. С. 83-91.
4. Тихонов А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 286 с.
Return Problems of Gravimetry with use of Derivatives of Discretely Set Field and Their Certainly-Different Formulas
P.A. Minenko, R.V. Minenko
The Krivoy Rog National University, 50086, Krivoy Rog, Gagarin prosp., 54 E-mail: cdpu@cdpu.edu.ua_
The problem of the borders for reliable calculation of derivatives of discretely set field is considered. Corresponding methodical receptions, theoretical methods and practical recommendations which improve quality of the decision of return problems of gravimetry, including, certainly-different formulas for the measured and theoretical field are developed.
Key words: gravimetry, return problem, derivative of field, certainly-different formula.
Рецензент - доктор физико-математических наук А.С. Долгаль
