CC BY
3
Владикавказский математический журнал 2023, Том 25, Выпуск 3, С. 81-88
УДК 541.124+517.9
DOI 10.46698/n3062-4932-2162-c
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ НЕСКОЛЬКИХ ЛИСТОВ#
Л. И. Кононенко1
1 Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Россия, 630090, Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4 E-mail: larak@math.nsc.ru
Аннотация. Рассматривается сингулярно возмущенная система обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром, описывающая задачу химической кинетики. Данная система исследуется с помощью метода интегральных многообразий, который служит удобным аппаратом изучения многомерных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений, позволяющим понижать размерность системы. Интегральное многообразие состоит из листов и при малом параметре е = 0 является медленной поверхностью. Для системы сформулированы прямая и обратная задача. Прямая задача заключается в следующем: по известным правым частям системы найти решение системы или доказать его существование. Обратная задача состоит в нахождении неизвестных правых частей системы дифференциальных уравнений по некоторым данным о решении прямой задачи. Сначала мы рассматриваем вырожденный случай, когда е = 0, при этом имеем некоторые ограничения на размерность медленных и быстрых переменных, на задание правых частей в виде многочленов (здесь степень многочлена равна 1), на количество листов медленной поверхности. Затем переходим к невырожденному случаю е = 0. В случае одного листа медленной поверхности ранее была доказана теорема существования и единственности решения обратной задачи для этого случая. В данной работе рассмотрена система с медленной поверхностью, состоящей из нескольких листов. Доказана теорема существования и единственности решения такой системы. Доказательство опирается на результат, полученный ранее для системы с медленной поверхностью, состоящей из одного листа.
Ключевые слова: обратная задача, обыкновенные дифференциальные уравнения, сингулярно возмущенные системы, листы медленной поверхности, малый параметр, химическая кинетика. AMS Subject Classification: 34E15.
Образец цитирования: Кононенко Л. И. Обратная задача для сингулярно возмущенной системы с медленной поверхностью, состоящей из нескольких листов // Владикавк. мат. журн.—2023.—Т. 25, вып. 3.—С. 81-88. DOI: 10.46698/n3062-4932-2162-c.
1. Введение
Настоящая работа основана на исследованиях, опубликованных в статье [1]. Рассматривается сингулярно возмущенная система обыкновенных дифференциальных уравнений
X(t) = f{x(t),y(t),t,e), ey(t) = g{x(t),y(t),t,e),
x € Rm — медленные, y € Rn — быстрые переменные, f,g — достаточно гладкие функции, t € R, e — положительный малый параметр. Система рассматривается в ограниченной выпуклой инвариантной притягивающей области.
# Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, проект № FWNF-2022-0005. © 2023 Кононенко Л. И.
Для данной системы поставлена обратная задача: по известному решению системы при некоторых условиях надо восстановить правые части системы. Для исследования обратной задачи в [1] были введены некоторые ограничения. Данная работа является обобщением результатов, полученных в [1]; это обобщение связано с ограничением на число листов медленной поверхности.
Работа состоит из краткого обзора уже имеющихся результатов, изложенных в соответствующих статьях, и нового разультата о существовании и единственности решения системы с медленной поверхностью, состоящей из нескольких листов.
2. Прямая задача и метод интегральных многообразий
Пусть m, n € N, X := Rm, Y — область в Rn, T := R, 0 < e0 € R. Положим E := (e € R : 0 < e < e0}, F := C(Xx Yx T x E, Rm), G := C(Xx Yx T x E, Rn).
Рассмотрим задачу P с областью данных Dom P = F x G x E, областью искомых Im P = C 1(T,X) x C :(T, Y) и условием
P((f, g,e), (x,y)) ^ (X(t) = f (x(t),y(t),i,e)' для всех t € T, "J'y'J'K'UJ> \ey(t) = g(x(t),y(t),t,e)
где / € F, g € G, e € E, x € C 1(T,X), y € C 1(T, Y) [2, 3].
Задача P является прямой задачей: по известным правым частям системы находим решение x(t),y(t) системы или доказываем его существование и единственность.
Такая задача P исследуется методом интегральных многообразий [4-8], который служит удобным аппаратом изучения многомерных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений, позволяющим понижать размерность рассматриваемых систем.
В задаче P система распадается на «медленную» и «быструю» подсистемы:
x(t) = /(x(t), y(t), t,e) и ey(t) = g(x(t),y(t),t,e). (1)
Напомним необходимые сведения о методе интегральных многообразий для системы (1).
Гладкая поверхность S в Rm x Rn x R называется интегральным многообразием системы (1), если любая траектория этой системы, имеющая хотя бы одну общую точку с S, целиком принадлежит поверхности S. Формально, если при t = to точка (x(t0),y(t0), t0) € S, то траектория (x(t), y(t), t) целиком принадлежит S.
Если в системе (1) положить e = 0, получим порождающую или вырожденную систему
ж = /(x,y,t, 0), (2)
0 = g(x,y,t, 0). (3)
Уравнение g(x, y, t, 0) =0 задает медленную поверхность. Это уравнение медленной поверхности может иметь одно или несколько решений, каждое из которых задает лист медленной поверхности.
Листы интегрального многообразия медленных движений (или медленного интегрального многообразия) являются уточнением при учете малого параметра e листов медленной поверхности и получаются из них с помощью асимптотического разложения по степеням e:
h(x, t, e) = h0 (x, t) + eh1(x, t) +-----h ek hk (x, t) +----, (4)
где коэффициенты разложения hk(x,t) подсчитываются по рекуррентной формуле, приведенной, например, в [6]:
hk = -B-1
Среди интегральных многообразий системы (1) нас интересуют m-мерные интегральные многообразия (размерность медленных переменных), которые представимы в виде графика вектор-функции y = h(x,t,e).
Выполняется соотношение
lim h(x, t, е) = h0(x, t), £—
где ho(x,t) — функция, график которой является листом медленной поверхности.
Нахождение решения системы (1) сводится к отысканию решения вырожденной системы (2)—(3), получаемой из исходной, если параметр е формально положить равным нулю. Этот факт следует из работ А. Н. Тихонова (например, [9]), в которых доказаны теоремы о предельном переходе к решению вырожденной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Правые части системы (1) являются достаточно гладкими функциями, поэтому удовлетворяют требуемым условиям, в частности, обеспечивают единственность решения.
3. Существование интегрального многообразия медленных движений
В [6] было доказано существование интегрального многообразия для системы (1). Приведем соответствующую теорему.
Пусть для системы (1) выполнены следующие условия:
I. Уравнение g(x,y,t, 0) = 0 имеет изолированное решение y = h0(x,t) при t € R, x € Rm.
II. В области ü0 = {(x, y, t, е) : x € Rm, ||y-h0(x,t)\\ < p, t € R, 0 ^ е ^ е0} функции f, g и h0 равномерно непрерывны и ограничены вместе с частными производными по переменным до (к + 2)-го порядка включительно (к ^ 0).
III. Собственные значения Лi{x,t) (i = 1,... ,п) матрицы || (x,ho(x,t),t,0) подчиняются неравенству Re Xi(x,t) ^ —2y < 0.
Требуется по заданным функциям f (x,y,t,e), g(x,y,t,e) в правой части системы (1) найти x(t), y(t) в некоторой области Q0 или доказать существование решения x(t),y(t).
Теорема 1 (Гольдштейн — Соболев). Пусть выполняются условия I—III. Тогда существует такое е1 (0 < ei ^ е0), что для каждого е € (0, ei] система (1) имеет интегральное многообразие медленных движений y = h(x,t,е), представленное формулой (4) с коэффициентами (5), движение по которому описывается уравнением
x = f {^^(x^^)^^).
Если x(t) — решение этого уравнения, то пара x(t), y(t), где y(t) = h(x,t,е), является решением исходной системы (1), т. е. пара x(t), y(t) есть решение прямой задачи.
В качестве примеров прямой задачи в [7, 8] были рассмотрены две модели из химической кинетики: математическая модель реактора идеального смешения и математическая модель каталитической реакции окисления CO на иридии.
#) _
dhk-i dt
dhp
p=0
dx
f (k-i-p)
В =det( ^(x,ho(x,t),t,0) ) ф 0. (5)
4. Обратная задача (вырожденный случай)
Приведем постановку обратной задачи для системы (1) (вырожденный случай). Для упрощения исследования обратной задачи введены следующие ограничения:
1) рассматривается обратная задача для системы (1) при е = 0, т. е. для вырожденной системы (2)—(3); тесная связь с вырожденной системой мотивирует рассмотрение случая е = 0;
2) функция / в правой части медленной подсистемы системы (1) задается в виде многочлена р-й степени / = ^г+7'<р ЬухгУ7, так как в задачах химической кинетики правые части системы часто являются полиномами, более того, будем рассматривать многочлен первой степени;
3) рассматриваются системы с одной медленной и одной быстрой переменными, т. е. т = п = 1; при этом область изменения переменных
W = ((ж, y) : 0 < ж < а, 0 < y < b, ж + y < 1}; (6)
4) функцию g(x, y, t, e) считаем заданной и удовлетворяющей всем условиям теоремы
0 неявной функции в каждой точке области, в частности, ф о, следовательно, при e = 0 медленная поверхность, уравнение которой g(x, y, t, 0) = 0, задана;
5) медленная поверхность состоит из n листов.
Заметим, что ограничения 1)-4) совпадают с ограничениями, принятыми в [1], и лишь в 5) мы снимаем ограничение на количество листов медленной поверхности. Итак, медленная поверхность задается уравнением g(x, y, t, e) = 0, предполагаем, что оно имеет n решений, каждое из которых задает лист медленной поверхности y = hi(x(t),t),
1 = 1, 2,...,n.
Задача, обратная к P, состоит в нахождении неизвестных правых частей системы дифференциальных уравнений по некоторым данным о решении прямой задачи P. Обратные задачи для различных систем дифференциальных уравнений рассматривались, например, в [10-16].
Будем рассматривать обратную задачу для системы (1) на каждом из заданных листов y = hj(x(t), t), i = 1,2,..., n.
Пусть hi € C 1(R2). Для каждого i рассмотрим задачу Qi с областью данных Dom Qi = R3, областью искомых ImQi = C 1(R)2 и условием
Qi(p,(x,y)) «x«=;™t)+p3y(t)-[y(t) = hi(x(t),t),
где p = (p1,p2,P3) € R3, i = 1, 2,... ,n; x,y € C 1(R), t € R.
В роли данных используются конечные наборы значений функций или их производных, а не всюду определенные функции. Соответствующая корректировка обратной задачи реализуется посредством композиции задачи Q-1 и вспомогательной задачи Ri с областью данных Dom Ri = (R3)3, областью искомых Im Ri = C 1(R)2 и условием
Ri ((t,«i,^i), (x,y)) ^ (X(t1) = X(t2) = ^ X(t3) = a3,
где t,ai,ei € R3, x,y € C 1(R).
В области Ш из (6) имеем следующие ограничения на начальные данные:
0 < та < а} < < 1,
0 < те < в} < ^в, 0 < та < Л} < ^ < 1, 3 = 1,2,3, г = 1,2,..., п.
(7)
По сравнению с формальной обратной задачей Qi 1 композиция Qi 1 о Д» более практична и представляет собой следующую задачу: по данным ¿,а»,в» € М найти коэффициенты р} € М, 3 = 1, 2, 3, для которых существуют функции ж, у € С 1(М), удовлетворяющие условию
ж(^) = а1, ¿(¿2) = а2, ¿(¿3) = а3, ж(*1) = в1, жЖ(^2) = в2, ^¿(^з) = в!, жж(^) = + р2ж(£) + рЗУ(*)> * € М, у(£) = Л»(ж(*),г), г = 1,...,п, £ € М.
В [17] был получен результат об однозначной разрешимости обратной задачи для системы (1) с медленной поверхностью, состоящей из одного листа. Аналогичную теорему мы сформулируем для каждого листа у = Л»(ж, ¿), г = 1, 2,..., п.
Теорема 2. Если ¿, а» € М3 удовлетворяют условию
(8)
Д»
а| Л»(а|^2) а3 Л»(а3, ¿з)
= 0,
то при любых в» € М3 задача Qi 1 о Д» однозначно разрешима для данных (¿, а», в») и ее решение (р1,р2,Рз) = ◦ Д»)8(£, а», в») вычисляется по формулам
р} = Д}/Д», 3 = 1,2,3, г = 1,2,
, п,
(9)
где Д} — определитель матрицы, полученной из приведенной выше матрицы заменой 3-го столбца столбцом в» = (в1,в2, в3)
В [18] был доказан критерий, который позволяет выяснить, в каких случаях существует набор чисел , удовлетворяющий условию теоремы 2.
5. Существование и единственность решения обратной задачи (невырожденный случай)
В [1] был предложен алгоритм, с помощью которого исследовалась обратная задача для системы (1) с медленной поверхностью, состоящей из одного листа, в невырожденном случае (е = 0) с теми же ограничениями на правую часть системы, которые были наложены в вырожденном случае (е = 0). Этот итерационный алгоритм состоит в комбинировании на каждом шаге итерации решения обратной задачи для исследованного случая е = 0 и решения прямой задачи, которое обеспечивается теоремой существования и единственности при е = 0 для каждого листа медленной поверхности.
В данной работе каждый лист медленной поверхности является тем самым одним листом медленной поверхности, для которого был приведен алгоритм в [1], доказана его сходимость, тем самым доказана теорема существования и единственности решения обратной задачи на каждом листе у = Л»(¿(¿), ¿), г = 1,2,..., п.
Обозначим через Ьг константу из принципа сжимающих отображений [19], которая является, по сути, скоростью сходимости алгоритма на г-ом листе медленной поверхности системы (1). В качестве Ь = шах{Ьг}, г = 1, 2,... ,п, мы рассмотрим максимальную скорость сходимости алгоритма на листе, и, учитывая все ограничения (7), аналогичные ограничениям в [1], имеем теорему существования и единственности для сингулярно возмущенной системы с медленной поверхностью, состоящей из нескольких листов.
Теорема 3. Пусть в области Ш, описанной формулой (6), выполняются условия 1)— 5) из раздела 3; имеют место ограничения (7); х,у € С*(М) в системе (1). Если I, аг € М3 удовлетворяют условию
Ьто при любых в € R3 обратная задача для системы (1) (е = 0) имеет единственное решение при L < 1, где константа L = max Li.
Благодарность. Автор выражает благодарность коллегам за помощь в работе и критические замечания, которые были учтены.
1. Кононенко Л. И. Задача идентификации для невырожденной системы дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными // Мат. заметки СВФУ.—2021.—Т. 28, № 2.—С. 3-15. Б01: 10.25587/8УРи.2021.58.21.001.
2. Гутман А. Е., Кононенко Л. И. Формализация обратных задач и ее приложения // Сиб. журн. чист. и прикл. матем.—2017.—Т. 17, № 4.—С. 49-56. Б01: 10.17377/РАМ.2017.17.5.
3. Гутман А. Е., Кононенко Л. И. Обратная задача химической кинетики как композиция бинарных соответствий // Сиб. электрон. мат. изв.—2018.—Т. 15.—С. 48-53. Б01: 10.17377/веш1.2018.15. 006.
4. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике.—М.: Наука, 1963.—512 с.
5. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях.—М.: Изд-во МГУ, 1978.—106 с.
6. Гольдштейн В. М., Соболев В. А. Качественный анализ сингулярно возмущенных систем.— Новосибирск: Изд. Ин-та математики СО АН СССР, 1988.
7. Кононенко Л. И. О гладкости медленных поверхностей сингулярно возмущенных систем // Сиб. журн. индустр. матем.—2002.—Т. 5, № 2.—С. 109-125.
8. Кононенко Л. И. Медленные поверхности в задачах химической кинетики // Мат. заметки ЯГУ.— 2012.—Т. 19, вып. 2.—С. 49-67.
9. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб.—1948.—Т. 22 (64), № 2.—С. 193-204.
10. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа.—М: Наука, 1980.—286 с.
11. Романов В. Г. Обратные задачи для гиперболических систем // Вычислительные методы в мат. физике, геофизике и оптимальном управлении.—Новосибирск: Наука, 1978.—С. 128-142.
12. Романов В. Г., Слинючева Л. И. Обратная задача для линейных гиперболических систем первого порядка // Мат. проблемы геофизики.—Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972.—Вып. 3.—С. 187215.
13. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журнал вычисл. математики и мат. физики.—2004.—Т. 44, № 4.—С. 694-716.
14. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи.—Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009.—458 с.
15. Аниконов Ю. Е. Несколько вопросов теории обратных задач для кинетических уравнений // Обратные задачи мат. физики.—Новосибирск, 1985.—С. 28-41.
16. Голубятников В. П. Обратная задача для уравнения Гамильтона — Якоби на замкнутом многообразии // Сиб. матем. журн.—1997.—Т. 38, № 2.—С. 276-279.
Ai = det =0, i = 1,...,n,
Литература
17. Кононенко Л. И. Задача идентификации для сингулярных систем с малым параметром в химической кинетике // Сиб. электрон. мат. изв.—2016.—Т. 13.—С. 175-180. DOI: 10.17377/semi.2016. 13.015.
18. Gutman A. E., Kononenko L. I. Binary Correspondences and the Inverse Problem of Chemical Kinetics // Владикавк. мат. журн.—2018.—Т. 20, вып. 3.—С. 37-47 (in English). DOI: 10.23671/ VNC.2018.3.17981.
19. Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа.—Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999.— Ч. 1, кн. 2; 2000, Ч. 2, кн. 1.
Статья поступила 5 ноября 2022 г.
КононЕнко Лариса Ивановна
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,
научный сотрудник
РОССИЯ, 630090, Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4 E-mail: larak@math.nsc.ru
Vladikavkaz Mathematical Journal 2023, Volume 25, Issue 3, P. 81-88
THE INVERSE PROBLEM FOR SINGULAR PERTURBED SYSTEM WITH MANY-SHEETED SLOW SURFACES
Kononenko, L. I.1
1 Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the RAS, 4 Ac. Koptyuga Ave., Novosibirsk 630090, Russia E-mail: larak@math.nsc.ru
Abstract. We consider a singularly perturbed system of ordinary differential equations with small parameter, which describes a problem of chemical kinetics. We examine the system by using the method of integral manifolds that serves as a convenient tool for studying multidimensional singularly perturbed systems of differential equations and makes it possible to lower the dimension of the system. The integral manifold consists of sheets; for the small parameter e = 0, it is a slow surface. We formulate the direct and inverse problems for the system. The direct problem is as follows: given the right-hand sides of the system, find a solution to the system or prove its existence. The inverse problem is to find the unknown right-hand sides of the system of differential equations from some data on a solution of the direct problem. First, we consider the degenerate case, in which the small parameter e equals zero, and some restrictions are imposed on the dimension of the slow and fast variables, on the class of the right-hand sides that are assumed polynomial (with degree 1), and on the number of sheets of the slow surface. Then we pass to the nondegenerate case e = 0. In the case of a single sheet of the slow surface, the existence and uniqueness theorem was previously proven for a solution of the inverse problem. In this paper, we consider a system whose slow surface consists of several sheets. We prove an existence and uniqueness theorem for a solution to such a system. The proof is based on the result previously obtained for a system whose slow surface consists of a single sheet.
Keywords: inverse problem, ordinary differential equation, small parameter, slow surface, contraction mapping principle, chemical kinetics.
AMS Subject Classification: 34E15.
For citation: Kononenko, L. I. The Inverse Problem for Singular Perturbed System with Many-Sheeted Slow Surfaces, Vladikavkaz Math. J., 2023, vol. 25, no. 3, pp. 81-88 (in Russian). DOI: 10.46698/n3062-4932-2162-c.
88
KoHOHeHKO H. H.
References
1. Kononenko, L. I. The Identification Problem for a Nondegenerate System of Ordinary Differential Equations with Fast and Slow Variables, Mathematical Notes of NEFU, 2021, vol. 28, no. 2, pp. 3-15 (in Russian). DOI: 10.25587/SVFU.2021.58.21.001.
2. Gutman, A. E. and Kononenko, L. I. Formalization of Inverse Problems and its Applications, Siberian Journal of Pure and Applied Mathematics, 2017, vol. 17, no. 4, pp. 49-56 (in Russian). DOI: 10.17377/ PAM.2017.17.5.
3. Gutman, A. E. and Kononenko, L. I. The Inverse Problem of Chemical Kinetics as a Composition of Binary Correspondences, Sibirskie Elektronnye Matematicheskie Izvestiya [Siberian Electronic Mathematical Reports], 2018, vol. 15, pp. 48-53 (in Russian). DOI: 10.17377/semi.2018.15.006.
4. Mitropolsky, Yu. A. and Lykova, O. B. Integral'nye mnogoobraziya v nelinejnoj mekhanike [Integral Manifolds in Nonlinear Mechanics], Moscow, Nauka, 1963, 512 p. (in Russian).
5. Vasil'eva, A. V. and Butuzov, V. F. Singulyarno vozmuschennye uravneniya v kriticheskikh sluchayakh [Singularly Perturbed Equations in Critical Cases], Moscow, Moscow State University, 1978, 106 p. (in Russian).
6. Goldstein V. M. and Sobolev V. A. Kachestvennyj analiz singulyarno vozmuschennykh sistem [Qualitative Analysis of Singularly Perturbed Systems], Novosibirsk, Sobolev Institute of Mathematics, 1988 (in Russian).
7. Kononenko, L. I. On the Smoothness of Slow Surfaces of Singularly Perturbed Systems, Sibirskii Zhurnal Industrial'noi Matematiki, 2002, vol. 5, no. 2, pp. 109-125 (in Russian).
8. Kononenko, L. I. Slow Surfaces in Problems of Chemical Kinetics, Mathematical Notes of YSU, 2012, vol. 19, issue 2, pp. 49-67 (in Russian).
9. Tikhonov, A. N. On Independence of Solutions to Differential Equations on a Small Parameter, Matematicheskii Sbornik, 1948, vol. 22 (64), no. 2, pp. 193-204 (in Russian).
10. Lavrent'ev, M. M., Romanov, V. G. and Shishatskii, S. P. Nekorrektnye zadachi matematicheskoj fiziki i analiza [Ill-posed Problems of Mathematical Physics and Analysis], Moscow, Nauka, 1980, 287 p. (in Russian).
11. Romanov, V. G. Inverse Problems for Hyperbolic Systems, Vychislitel'nye metody v matematicheskoj fizike, geofizike i optimal'nom upravlenii [Numerical Methods in Mathematical Physics, Geophysics and Optimal Control], Novosibirsk, Nauka, 1978, pp. 75-83 (in Russian).
12. Romanov, V. G. and Slinyucheva L. I. Inverse Problem for Linear Hyperbolic Systems of the First Order, Matematicheskie problemy geofiziki [Math Problems Geophysics], Novosibirsk, Izdatelstvo VTs SO AN SSSR, 1972, no. 3, pp. 187-215 (in Russian).
13. Kozhanov, A. I. Nonlinear Loaded Equations and Inverse Problems, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2004, vol. 44, no. 4, pp. 657-675.
14. Kabanikhin, S. I. Obratnye i nekorrektnye zadachi [Inverse and Ill-posed Problems], Novosibirsk, 2010, 458 p. (in Russian).
15. Anikonov, Yu. E. Some Questions in the Theory of Inverse Problems for Kinetic Equations, Obratnye zadachi matematicheskoj fiziki [Inverse Problems of Mathematical Physics], Novosibirsk, Akad. Nauk SSSR Sibirsk. Otdel., Vychisl. Tsentr, 1985, pp. 28-41 (in Russian).
16. Golubyatnikov, V. P. An Inverse Problem for the Hamilton-Jacobi Equation on a Closed Manifold, Siberian Mathematical Journal, 1997, vol. 38, no. 2, pp. 235-238. DOI: 10.1007/BF02674621.
17. Kononenko, L. I. Identification Problem for Singular Systems with Small Parameter in Chemical Kinetics, Sibirskie EElektronnye Matematicheskie Izvestiya [Siberian Electronic Mathematical Reports], 2016, vol. 13, pp. 175-180 (in Russian). DOI: 10.17377/semi.2016.13.015.
18. Gutman, A. E. and Kononenko, L. I. Binary Correspondences and the Inverse Problem of Chemical Kinetics, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2018, vol. 20, no. 3, pp. 37-47. DOI: 10.23671/VNC.2018.3.17981.
19. Reshetnyak, Yu. G. Kurs matematicheskogo analiza [Mathematical Analysis Course], Novosibirsk, 1999, vol. 1; 2000, vol. 2. (in Russian).
Received November 5, 2022 LARISA I. KONONENKO
Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the RAS,
4 Ac. Koptyuga Ave., Novosibirsk 630090, Russia,
Researcher
E-mail: larak@math.nsc.ru
