Обратная теорема о среднем для уравнения Гельмгольца Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 3, № 3, 1998

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Ю. М. Григорьев Новосибирский государственный университет, Россия e-mail: grigyum@hydro.nsc.ru

В. В. наумов Якутский государственный университет, Россия

On the basis of a new proof of the theorem of the mean its converse is proved for the Helmholtz equation.

Классическая теорема о среднем для гармонических функций допускает обращение и, тем самым, полностью характеризует решения уравнения Лапласа [1]. Для ряда уравнений и систем уравнений эллиптического типа имеются аналоги прямых теорем о среднем (см. [1-6]). Для однородных уравнений статической теории упругости установлены обратные теоремы о среднем [3, 6, 7]. Для некоторых уравнений других типов также имеются аналоги прямых и обратных теорем о среднем [см. 1, 6-8 и ссылки в них]. Значение таких теорем возрастает в связи с их применением при численном решении краевых задач методом Монте — Карло [5, 6]. В данной работе на основе нового доказательства прямой теоремы доказана обратная теорема о среднем для уравнения Гельмгольца.

Ниже пользуемся следующими обозначеними: Rn — n-мерное евклидово пространство, n = 2, 3, ...; r, q, R G Rn; q = r + R; R = |R|; UR(r) С Rn — шар радиуса R с центром в

__n

точке r, SR(r) — его граничная сфера; UR(r) — замыкание UR(r); SR = 2nn/2Rn-1 /Г(^) —

площадь сферы SR(r); dSe — векторный элемент поверхности SR(r) в точке q, направленный по внешней нормали n; dSe = |dSJ = Rn-1du, где du — скалярный элемент поверхности единичной сферы u; dVe — элемент объема в точке q; A, Ag, Ar — операторы Лапласа, дифференцирующие по компонентам векторов r, q, R соответственно; С — символ компактного включения; Jv (z) — функция Бесселя 1-го рода, |argz| < п;

I(r,R) = SR ju(Q)dSe — (1)

ЯR (r)

сферическое среднее. Свойства интеграла (1) известны, в частности, он удовлетворяет уравнению Эйлера — Пуассона — Дарбу: ARI(r,R) = AI(r,R). Для удобства сформулируем используемые нами свойства сферического среднего в виде леммы (см. [1], с. 694).

Лемма 1. Пусть П С Rn — произвольная область, u С С2(П), UR(r) С П. Тогда интеграл (1) дважды непрерывно дифференцируем по совокупности переменных (r,R) в

© Ю. М. Григорьев, В. В. Наумов, 1998.

некоторой окрестности точки (гД), причем дифференцирование можно ввести под знак интеграла:

(г,Л) = ^ /Д^)^; Дд/(г,Л) = ^ ^Мв^,

ид(г) Ид (г)

Д/(r,R) = Sr j^eu(Q)dSe. (2)

2л(г)

Приведем известную теорему о среднем для уравнения Гельмгольца. Теорема 1[1, с. 289]. Пусть u G С2(П) — решение уравнения

Ди(г) + k2u(r) = 0, r G П cRn (3)

с произвольным комплексным k = const / (-œ, 0). Тогда для любого шара UR(r) С П справедливо равенство

2аГ(а + 1) JkRR-u(r) = SR ^u(q)dS„ a = П - 1. (4)

Новое доказательство. Пусть условия теоремы выполнены. Введем вспомогательную функцию a(R) G C2 как решение задачи

Дка(Я) + k2 a(R) = 0, a(0) = 1, a'(0) = 0. (5)

Легко проверить, что эта задача имеет единственное решение

a(R) = 2аГ(а + 1) JkRR. (6)

Введем также функцию g(r, R)

g(r, R) = u(r)a(R) - Sr ju(Q)dSe. (7)

2л(г)

Из (5) и (7) видно, что g(r, 0) = 0. По лемме 1, g G C2 и, с учетом (3), получим:

д k2 Г

dRg(r R) = u(r)a/(R) - — u(q)dve.

ur(t)

д

Отсюда ясно, что dRg(r, 0) = 0. Снова используя лемму 1 и (3), а также (4), имеем:

k2

Д^(г, R) + k2g(r, R) = u(r^a(R) + — iu(q)dS,+

SR(r)

k2 f

+k2u(r)a(R) - — ®u(q)dSe = 0. У

2л(г)

Итак, д(г, Л) является решением следующей задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения:

д

Д^(г, Л) + к2£(г, Л) = 0, £(г, 0) = —2(г, 0) = 0.

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 17

В силу единственности ее решения д(г, Я) = 0, т. е.

п(г)а(Я) = ®п(д)(Бв. (8)

Бк ]

Ед(г)

Формула (8) с учетом (6) совпадает с (4), что и требовалось доказать.

Примененная выше техника позволяет доказать и обратную теорему о среднем. Теорема 2. Пусть О С 'Я.п — произвольная область, п € С2(О). Если для каждой точки г € О существуют такое число Я0 = Яо(г) > 0 и его некоторая окрестность е, что для всех Я € е выполняются включение ик(г) С О и соотношение (4), то функция п(г) является решением уравнения Гельмгольца (3) в О.

Доказательство. Согласно условиям теоремы, в произвольной точке г € О справедливо соотношение (8) для всех Я € е, причем а(Я) является решением задачи (5). Применяя к интегралу (8) лемму 1, имеем:

а(Яо)Ап(г) = ф Авп(д)(Бв, п(г)Дкаа(Яо) = Ф Авп(д)(Бв.

БКа ] БКа ]

Еда (г) ^Ла (г)

Отсюда, используя (5), получаем равенство

а(Я0)[Ап(г) + к2п(г)] =0.

Допустим, кЯ0 не совпадает ни с одним из нулей ^а функции Тогда из этого равен-

ства с учетом (6) имеем

Ап(г) + к2п(г) = 0.

Если же кЯ0 совпадает с одним из то в силу изолированности нулей функций Бесселя найдется число Я1 = Я0 с окрестностью е1 С е такое, что а(Я\) = 0 и, повторяя вышеприведенные рассуждения, снова получим

Ап(г) + к2п(г) = 0.

В силу произвольности г € О теорема доказана.

Лемма 2. Пусть О С 'Я.п — произвольная ограниченная область и функция п € С0(О). Если для каждой точки г € О существует такое число Я0 = Я0(г) > 0, что при всех Я < Я0 функция п(г) удовлетворяет свойству (4) среднего значения, то п € Сте(О).

Доказательство проводится небольшой модификацией стандартной методики с использованием техники усреднения (см. [9], с. 213). Возьмем О' С О. По лемме Гейне— Бореля найдется такое число Я0 = Я0(О') > 0, что для всех г € О' и Я < Я0 для функции п(г) будет выполнено равенство (4), причем без ограничения общности можно считать, что кЯ0 < где — первый нуль функции Бесселя ■]а^). Зададим произвольное малое число е > 0, е < Я0 и рассмотрим в точке г € О' \ О'2е, где О'2е — пограничная полоска, свойство среднего

п(г)а(Я) = — ® п(о)(Бв. (9)

Бк ] Ед(г)

Пусть ^£(|г — ф|) = ие(Я) — усредняющее ядро с радиусом усреднения е (см. [9], с. 29). Обе части равенства (9) умножим на Бк^е(Я)(Я и проинтегрируем по Я от 0 до е:

п(г) у а(Я)Бкше(Я)(Я = у ^п(о)йБ,^е(Я)йЯ = уп(^)^£(Я)(Уе

0 0 Ед(г) ие(г)

Вне шара Ц£(г) усредняющее ядро = 0, поэтому, обозначая

£

J а(Я)£дие(Я)^Я = С (е), о

имеем

С(е)и(^ = Jи(е)ие(Л)^, Уг е П' \ П'2е.

п

Отсюда следует, что и е С\ П'2е) и, так как е произвольно мало, то и е Сте(П'). В силу же произвольности П' С П следует, что и е Сте(П). Лемма 2 доказана. Из леммы 2 и теоремы 2 следует

Теорема 3. При условиях леммы 2 функция и е С0(П) является решением уравнения Гельмгольца (3) в П.

Замечание 1. Предложенный подход можно распространить и на случай неоднородного уравнения Гельмгольца.

Замечание 2. В монографии [6] (с. 21, 22) доказана сильная обратная теорема для уравнения (3) при некоторых ограничениях на область П и значения к2. В доказанной выше обратной теореме 2 нет таких ограничений, она является не сильной, но и не слабой.

Авторы благодарны рецензенту за замечания, улучшившие содержание статьи.

Список литературы

[1] Курант Р. Уравнения с частными производными. Мир, М., 1964.

[2] Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. Гостехиздат, М., 1952.

[3] Diaz J. B., Payne L. E. On a mean value theorem, and its converse, for the displacements in the theory of elastisity. Portugaliae mathematica, 17, Fasc. 4, 1958, 123-126.

[4] Наумов В. В. Теоремы о среднем для уравнения гармонических колебаний упругого тела. В "Динамика сплошной среды", вып. 82, ИГИЛ СО АН СССР, Новосибирск, 1987, 147-153.

[5] Сабелъфелъд К. К. Методы Монте-Карло в краевых задачах. Наука, Новосибирск, 1989.

[6] Sabelfeld K. K., Shalimova I. A. Spherical means for PDEs. VSP, Utrecht, 1997.

[7] Bramble J. H., Payne L. E. Some converses of mean value theorems in the theory of elastisity. J. of Mathemat. Anal. and Appl., 10, No. 3, 1965, 553-567.

[8] Половинкин И. П. К теореме о среднем для волнового уравнения. Неклассические уравнения математической физики. Новосиб. гос. ун-т, 1993, 50-62.

[9] Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. Высшая школа, М., 1977.

Поступила в редакцию 11 июня 1997 г., в переработанном виде 31 января 1998 г.