Обращение и описание некоторых потенциалов с Lp-плотностями в неэллиптическом случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

Функциональный анализ

УДК 517.983

ОБРАЩЕНИЕ И ОПИСАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ С ¿р-ПЛОТНОСТЯМИ В НЕЭЛЛИПТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ

А. В. Гиль, А. И. Задорожный, В. А. Ногин

Южный федеральный университет,

Факультет механики, математики и компьютерных наук,

344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а.

E-mails: gil-alexey@yandey.ru, simon@rsu.ru, vnogin@math.rsu.ru

Строится обращение обобщенных потенциалов Стрихарца с особенностями ядер на конечном объединении сфер в Rn с плотностями из пространства Ьр,

1 < р < 2 и из пространства Харди Н1 в неэллиптическом случае, когда их символы вырождаются на множестве меры нуль в Rn. Даётся также описание рассматриваемых потенциалов в терминах обращающих конструкций.

Ключевые слова: свёртка, осциллирующий символ, мультипликатор, обобщённая. функция.

Введение. Рассматривается оператор свёртки

Mj<p = m$*<p (1)

с ядром, имеющим степенные особенности на конечном объединении сфер:

= ei(\y\)(r\ - \У? + 1Ф~1 х ... х 6>s_i(|y|)х х rb - М2 + Ы)^-1в3(\у\)(1 - |y|2)f-\ (2)

где Р = (/?!, . . . ,fjs), Pj > 0, 1 ^ j ^ S, S ^ 2, 0 < П < г2 < ... < Г3-1 <rs = 1. Здесь Oj(r) — гладкие функции, 9j{rj) ф 0, 1 ^ j ^ s.

Операторы вида (1) возникают при решении задачи Коши для волнового уравнения (см. [1-3]). (Нр — Я9)-оценки для этих операторов, 0 < р ^ q < оо, были получены в [4].

Методом аппроксимативных обратных операторов (АОО) строится обращение потенциалов (2) с плотностями из пространства Lp, 1 ^ р ^ 2 и из пространства Харди Н1 в неэллиптическом случае, когда их символы вырождаются на множестве меры нуль в М”. Даётся также описание образов

Mq(Lp) и М$(Н1) в терминах обращающих конструкций.

Алексей Викторович Гиль (к.ф.-м.н.), ст. преподаватель, каф. дифференциальных и интегральных уравнений. Анатолий Иванович Задорожный (д.ф.-м.н., проф.), зав. кафедрой, каф. дифференциальных и интегральных уравнений. Владимир Александрович Ногин (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. дифференциальных и интегральных уравнений.

1. Предварительные сведения. Введём следующие обозначения: (-Р/)(£) =

= /(£) = / /(х)е^ХЛх — преобразование Фурье функции /; (-^_1/)({) =

= /(£) = (2тг)-га(^/)(-{) - обратное преобразование Фурье; Е°(Мга) = {/ : /(ж) = <^(ж), <£>(ж) € Ь1(Мга)} — винеровское кольцо; 5 — класс Шварца быстро убывающих гладких функций; — пространство обобщённых функций медленного роста; Со(Мга) = {/:/€ С'(Мга), /(оо) = 0} — пространство непрерывных функций, исчезающих на бесконечности; = гю£ * ср — интеграл Гаусса—Вейерштрасса, где 10е(ж) = (47Г£г)—тг/2е— (гие(£) = е~£^2)-, Ф, Ф —

пространства П. И. Лизоркина: Ф = {ф € Я : (01/ф)( 0) = 0, \и\ = 0,1,...}, Ф = {<р € 5 : ф € Ф}.

Через Н1 = _/?1(Мга) обозначим множество всех ¿»'-распределений таких,

что

/+(ж) = вир |(/*<ре)(ж)| еЬ1,

0<£<с©

где <£> е 5 И / (^(ж)сгж ф 0, <р£(х) = е~п(р(§) И (/ * <£>е)(ж) = {¡,<Ре(х - •)).

Положим Ц/Ця1 = ||/+1к1 (см- [5, с. 269]).

Пусть У — произвольное замкнутое множество в М™. Через Фу обозначим класс всех функций из 5, которые исчезают вместе со всеми своими производными на V:

Фу = Ш) € 5 : Окф(0 = 0, £ € У, \к\ = 0,1,2,... }.

Через Фу обозначим класс прообразов Фурье функций из Фу: Фу = = ^“1( Фу).

Пространства Фу и Фу были введены и изучены С. Г. Самко (см. [6, §3]).

Теорема 1 [6, с. 50]. Пусть / € Ь1(М.п). Если 9хк9 ¡)Хк € Ир(Шп) при

каком-нибудь 1 < р ^ 2 для всех т = 1,2,... ,п и любых к\,..., кт, то /(ж) € Е°(Мга).

Теорема 2 [4]. Пусть ^ > 0, 1 3 в, (Зо = шт{Д,..., Д,}. Имеют

место следующие соотношения:

1) оператор мЦ ограничен из Ьр в Ья, 1 < р ^ д < оо, тогда и только тогда, когда

11 1 п 11 п 1

- + - ^ 1,--------< Д) или - + - ^ 1,----------------^ р0 + (п - 1);

р д р д р д р д

2) оператор мЦ ограничен из Ь1 в Ьд тогда и только тогда, когда

1-А) < - < 1; я

3) оператор мЦ ограничен из Н1 в Н1.

2. Основные результаты. Воспользуемся идеей обращения потенциалов с символами т?(£) = (2тг)гг/22^-11^|1_/3_гг/2^-1+п/2(1С1) из [7].

Обращение потенциала / = Мд<р, <р € Ьр, 1 ^ р ^ 2, в неэллиптическом случае, когда глее: ш^(^) = о| = 0, будем строить в виде

в {ЬР) {Ь2) в

<3>

где

Te,e,sf = F~l (mö(£) е'£|?|2 /(|m?(0|2 + ^)) * /> (4)

me(0 = [ Pn l0i(p)(r\- p2 + i0)ßl 1 x Jo

... х в3-\{р){г23_1 - р2 + гО)^-1 16|5(р)(1 - р2)^1 1 (1р [ ег(р?'ст) ¿а.

Следующая теорема даёт обращение потенциалов Мд<р, <р € Ьр, 1 ^ ^ 2.

Теорема 3. Пусть <р € Ьр, 1 ^ р ^ 2. Тогда

{т]м]<р) {х) = ¡р(х), (5)

где тЦ — оператор (3).

Доказательство. Из теоремы 1 следует, что оператор (4) — оператор свёртки с суммируемым ядром. Рассуждения будем основывать на равенстве

(т?£,гм?^)(ж) = (УУе<р)(х) - е, 5 > О, (6)

где

Мв,е^ = (П8,е/0) * /, / (|т?(£)|2 + ^

Для функций ^ е Ф равенство (6) проверяется переходом к образам Фурье. Это равенство распространяется по ограниченности на все пространство 1/, 1 < р ^ 2, с учетом того, что операторы в обеих частях (6) ограничены из £р в при некотором 7 > 0, где

L\ = {/0*0 : [ l JVJ

\f(x)\dx

< оо

(1 + \х\у/

В случае р = 1 равенство (6) выполняется в смысле Ф;:

{Т?,е,бМ!<Р,и>) = (W£v - i5Nle>sWe<p,u), соеФ. (7)

Из (7) следует, что

{х) = (ад {х) - г5 {х) + Р{х), (8)

где Р(х) — некоторый многочлен. Так как функции [Т^ £ (ж), (УУ£<р) (х)

и (ж) принадлежат пространству Ь1, Р(ж) = 0 в (8).

С учётом того, что при е -> 0 по ^-норме или почти всюду,

формула (5) будет следовать из равенства

Нт 5

(М0,е,бЩ<Р)(Х)

0.

(9)

Докажем (9). Применяя равенство Парсеваля, получаем

—£1£1‘

52е 2

2 (27Г)Г

т^)(о о (ю)

при 5 —>- 0, с учётом того, что

—а|€|'

Ит

52е 2

т?(014 + 52

Предельный переход (10) обосновывается применением мажорантной теоремы Лебега с учетом оценки

-а|€|'

$ге Т / ( |т^({)|4 + ^2 ) ) (ИЗД(£)

Є и.

Здесь существенным являлся тот факт, что € Ь2, если Кроме того, учтено, что функция

1ІІІ:

Щ(Ое 2

гпв(0

+ г<5

является 2-мультипликатором. □

Описание образа (1Р), 1 ^ р ^ 2, даёт следующая теорема.

Теорема 4. Пусть /? = (/?!,..., Д,), /3^ > 0, 1 ^ < в и 1 ^ р ^ 2. Тогда

М;

^(17) = {/ Є ^ : Г// Є I/}

где — оператор (3), д — произвольное число, 1 ^ д ^ 2, такое, что оператор Мд ограничен из Ьр в Ья.

Доказательство. Вложение

(П)

вытекает из теоремы 2. 46

Докажем вложение

м](Ьр) =) {/ € V : Т1/ € V1) ,

обратное к (11). Пусть функция со € 5 такова, что с2(£) = 0 в некоторой

окрестности множества V = {{ : гпд(\£\) = 0} (следовательно, ш € Фу). Имеем

- - - ---= (ЬР) (Ь2) - —=

(мЦтЦМ = (Т^,мЦи>) = (ИшИш (12)

где Мд — оператор свёртки с символом гпд(|£|). С учётом (12) и того факта, что сходимость по Ьр норме предполагает сходимость в Фу, получаем

= Ит (Ит Т~Це &$, мЦш) = \\т\\т{т]е &1,м]ш) =

гг13

где ±()£ь — мультипликаторныи оператор с символом

е £|?| ] / ( \т^(0\2 ~г5 ) .

Далее имеем

(т£,й меш)(х) = (№еш){х) + гй(Л/£\ ¡Жеш){х), е, 5 > 0, (14)

где г — ограниченный в Ь2 оператор, порождаемый 2-мультипликатором

I ^|т^(0|2 •

Равенство (14) проверяется переходом к преобразованиям Фурье.

С учётом (13) и (14) получаем

(МдТд /,и)) = 1ш1</, + Ит (15)

Докажем, что

Ит(/, = 0. (16)

Так как (Ще € Фу,

= (2тг)-га</,г№(^ е,ИМ>,

где преобразование Фурье /, понимаемое в смысле Ф;, совпадает с преобразованием Фурье в пространстве Lq , ^ + ^7 = 1 (в соответствии с теоремой

Хауссдорфа—Юнга).

Применяя неравенство Гёльдера, будем иметь

I - I -ff e~£q^2 \uj(f)\q 1 «

\(f,i5F(NÜ£SWsuj))\^ 6\\f\\J / ^ .

[jRn K(oi2* j

Заметим, что интеграл в правой части (17) конечен, так как £?(£) = 0 в некоторой окрестности множества V.

Переходя в (17) к пределу при 5 —> 0, получаем (16).

Из (15) и (16) следует, что

{mJtJ f, ш) = lim (/, Wеш) = <f,u>). (18)

£—>0

Переходя к завершающему этапу доказательства, для заданной функции ш € S выберем последовательность {wjv}, uJn € Фу, такую, что w/v({) обращается в нуль в некоторой окрестности множества V и

(Lq/) (Со)

lim ojn = w, 1 < q ^2 и lim ojn = oj

N—УСО N—УСО

(возможность выбора такой последовательности доказана в [6, §3]).

Из (18) вытекает, что (MqTq f, üün) = (/, зд)- Переходя в этом равенстве к пределу при N —у оо на основании мажорантной теоремы Лебега, получаем

(/,w) = {MjTjf,u), ш е S, откуда следует, что /(ж) = (мЦт]/)(ж) для почти всех х € М™. □

3. Обращение и описание потенциалов Mgtp с Н1 -плотностями. Обращение потенциала / = Mq<p, <р € Н1 в неэллиптическом случае будем строить в виде

где TqeS определяется равенством (4).

Теорема 5. Пусть ір Є Н1. Тогда

М^(Я1) = {/ЄЯ1:Г//ЄЯ1},

где Tg —оператор (19).

Доказательство теоремы 5 проводится по той же схеме, что и доказательство теорем 3 и 4.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Strichartz R. S. Convolutions with kernels having singularities on a sphere // Trans. Amer. Math. Soc., 1970. Vol. 146. Pp. 461-471.

2. Гиль А. В., Ногин В. А. Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими символами// Владикавк. матем. журн., 2010. Т. 12, №3. С. 21-29. [Gil А. V., Nogin V. A. Estimates for some potential-type operators with oscillating symbols// Vladikavkaz. Mat. Zh., 2010. Vol. 12, no. 3. Pp. 21-29].

3. Гиль А. В., Ногин В. A. Hp — Hq оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими символами // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион, 2010. №5. С. 8-13. [Gil A.V., Nogin V. А. Нр — Hq estimates for some potential-type operators with oscillating symbols// Izv. vuzov. Sev.-Kav. Region, 2010. no. 5. Pp. 8-13].

4. Гиль А. В., Задорожный А. И., Ногин В. А. Оценки для некоторых операторов свёртки с особенностями ядер на сферах// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. №2(23). С. 17-23. [Gil А. V, Zadorozhnyi A.I., Nogin V. A. Estimates for some convolution operators with singularities of their kernels on spheres // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2011. no. 2(23). Pp. 17-23].

5. Miyachi A. On some singular Fourier multipliers // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo., Sect. 1 A, Math., 1981. Vol. 28, no. 2. Pp. 267-315.

6. Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростов, ун-та, 1984. 208 с. [Samko S. G. Hypersingular integrals and their applications. Rostov-na-Donu: Izd-vo Rostov. Un-ta, 1984. 208 pp.]

7. Nogin V.A., Luzhetskaya P. A. Inversion and description of the ranges of multiplier operators of Strichartz-Peral-Miyachi-type // Fractional Calculus & Applied Analysis, 2000. Vol. 3, no. 1. Pp. 87-96.

8. Stein E. M. Harmonic Analysis: Real-variable Method, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton, NJ.: Princeton Univ. Press, 1993. 695 pp.

Поступила в редакцию 03/VIII/2011; в окончательном варианте — 22/XI/2011.

MSC: 45E10; 35L05

INVERSION AND CHARACTERIZATION OF SOME POTENTIALS WITH THE DENSITIES IN Lp IN THE NON-ELLIPTIC CASE

A. V. Gil, A. I. Zadorozhnyi, V. A. Nogin

Southern Federal University,

Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Science,

8a, Mil’chakova str., Rostov-on-Don, 344090, Russia.

E-mails: gil-alexey@yandey.ru, simon8rsu.ru, vnogin8math.rsu.ru

We construct the inversion of generalized Strichartz potentials with singularities of the kernels on a finite union of spheres in Rn with densities from, space Lp, 1 < p < 2 and Hardy space H1 in the non-elliptic case, when its symbols degenerate on a set of zero measure in Rn. We also give the description of these potentials in terms of the inverting constructions.

Key words: convolution, oscillating symbol, multiplier, distribution.

Original article submitted 03/VIII/2011; revision submitted 22/XI/2011.

Alexey V. Gil (Ph. D. (Phys. & Math.)), Senior Lecturer, Dept, of Differential and Integral Equations. Anatoliy I. Zadorozhnyi (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept, of Differential and Integral Equations. Vladimir A. Nogin (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Differential and Integral Equations.