CC BY
50
УДК 528.4
С. И. Жилин, Т. В. Байкалова
Обработка неравноточных инженерно-геодезических измерений нестатистическими методами
S.I. Zhilin, T.V. Baikalova
Processing Engineering Geodetic Measurements of Unequal Accuracy Using Non-Statistical Methods
Описывается опирающаяся на метод центра неопределенности технология расчета интервалов позиционной неопределенности плановых координат по неравноточным косвенным измерениям. В отличие от традиционного статистического описания позиционной неопределенности доверительными интервалами предложенный подход позволяет для тех же целей получать гарантированные интервальные оценки.
Ключевые слова: неравноточные геодезические измерения, косвенные измерения, позиционная неопределенность, гарантированные интервальные оценки, метод центра неопределенности.
The paper describes a technique of estimation of positional uncertainty intervals for plane coordinates using indirect geodetic measurements of unequal accuracy. The technique is based on uncertainty center method. Unlike traditional statistical description of positional uncertainty which uses confidence intervals, the proposed approach allows to obtain guaranteed interval estimates for the same purposes.
Key words: geodetic measurements of unequal accuracy, indirect measurements, positional uncertainty, guaranteed interval estimates, uncertainty center method.
Введение. При проведении измерений каждый результат должен сопровождаться информацией о его погрешности, и тем самым указывается интервал его неопределенности [1, 2]. При вероятностностатистическом подходе к описанию погрешностей средств и результатов измерений в качестве интервала неопределенности используется доверительный интервал с заданным уровнем доверительной вероятности. Долгое время считалось, что случайные погрешности приборов или результатов измерений распределены нормально. Однако по мере накопления данных о фактических распределениях погрешностей стало очевидным, что они весьма разнообразны и очень часто далеки от нормального [3, 4]. Большое разнообразие законов распределения погрешностей обусловливает практическую сложность определения доверительных значений погрешностей [4, 5]. В этой ситуации нестатистический подход [6, 7] к интервальному оцениванию погрешностей измерений может служить одним из способов, позволяющим преодолеть эти сложности, поскольку не требует знания распределения ошибки, а лишь ее ограниченности.
Задачи инженерной геодезии состоят в оценке истинных значений и указании погрешностей оценок тех или иных геометрических характеристик инженерных объектов по совокупности разнородных и неравноточных измерений. Основным математическим инструментом построения такого рода
оценок является обобщенный метод наименьших квадратов [8, 9].
В работе описывается опирающийся на метод центра неопределенности [7] подход к построению гарантированных интервальных оценок позиционной неопределенности координат инженерно-геодезических объектов по измерениям различной точности на примере измерений плановых координат стоек опор линий электропередач (ЛЭП).
Нестатистическое оценивание позиционной неопределенности стоек опор ЛЭП. Предлагаемая технология расчета интервалов позиционной неопределенности разработана в ходе работ по межеванию земельных участков под опорами ЛЭП, которые предусматривали определение координат с указанием оценок неопределенности для угловых точек основания каждой опоры в местной прямоугольной системе координат. Основание опоры представляет собой прямоугольник ABCD с известными размерами, определяемыми типом опоры.
Основным инструментом определения плановых координат опор ЛЭП являлся измерительный комплекс Trimble GPS 4600 LS, позволяющий достичь точности измерения плановых координат
0,02 м.
Условия съемки не всегда допускали проведение прямых измерений. Поэтому в некоторых ситуациях приходилось прибегать к косвенным измерениям, используя дополнительные средства измерений (ру-
* Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала Высшей школы (2009-2011 гг.)» (проект №2.2.2.4/4278).
Схема косвенных измерений координат стоек опоры ABCD
летка, тахеометр и т.д.). Использовалась схема косвенных измерений.
При невозможности прямого измерения с помощью вР8-комплекса координат одной из точек А или В (см. рис.) прямоугольники неопределенности
их координат Я( А) = |^ хА, ха уА, уА ^ и
Я(В) = хВ, хв ^ х ув, уВ ^ отыскиваются по совокупности следующей информации. вР8-измерения координат производятся в точках Я и Б, которые выносятся от точек А и В в направлениях -АВ и АВ на расстояния АЯ и ВБ соответственно. Расстояния АЯ и ВБ измеряются с помощью геодезической рулетки. Точки Я и £ устанавливаются в створе с точками А и В либо с помощью тахеометра, либо «на глаз». Для каждого вида измерений известны предельные ошибки:
єр - ошибка измерения размеров основания опоры;
- ошибка измерения координат точек Я и Б; єг - ошибка измерения расстояний с помощью рулетки;
є1 - предельное отклонение точек А и В от прямой Я и Б;
єа - ошибка угловых измерений. Указанные знания и данные позволяют сформировать следующую систему ограничений на допустимые значения координат:
АВизм -єр < йїяг(А, В) < АВизм + ер ,
АЯизм -ег < сИзг(А, Я) < АЯизм + ег,
В£изм -Єг < (В, £) < ВБизм + ег,
R , изм
R
изм
изм изм . „
yR -SK < yR < yR +S;
изм
*S
изм
U3M U3M , „
ys -Sg <ys <ys + Sg
-Sj < lineRS (A) < Sj, -Sj < lineRS (B) < Sj,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
cosea < cosZ(BA, AR) < cos0, (10)
cosea < cos Z(AB, BS) < cos0, (11)
где индекс изм обозначает значения соответствующих величин, полученные при измерениях;
dist(U, V) = (xv - xV )2 + (yv - yV )2 - расстояние
между точками U и V; lineUV (P) = axP + byP + c, a = (y>V - Уи )fd , b = (Xu - Xv )/d , c = XVyu - XuyV^ , d = yj(yV - yu )2 + (xu - xV )2 - значение канонического уравнения прямой, проходящей через точки U и V, в точке P; и, наконец, cos Z(UV, PQ) =
uV • PQ
= dist(U,V)• dist(P,Q).
Ограничения (1)-(3) соответствуют измерениям рулеткой, (4)-(7) - GPS-измерениям, (10)-(11) -измерениям углов, а (8)-(9) определяют «коридор», в который укладываются точки A, B, R, S. Сформировать и вовлечь в вычисления две последние группы ограничений одновременно удавалось не всегда, поскольку они дублируют друг друга в некотором смысле и соответствующие им измерения редко проводились одновременно для одной и той же опоры.
Очевидно, что способ выноса точек R и S, указанный выше, не принципиален и аналогичные схемы обработки данных могут быть построены и для прочих вариантов выноса (например, для случая, когда точки R и S расположены по одну и ту же сторону от опоры).
Нижние (верхние) границы интервалов неопределенности координат точек A и B возможно отыскать путем решения задач
xA ^ min(max), (12)
yA ^ min(max), (13)
xB ^ min(max), (14)
yB ^ min(max) (15)
при ограничениях (1)-(11).
Вычисленные границы интервалов неопределенности координат точек А и В наряду с данными о размерах основания опоры позволяют сформулировать задачу определения интервалов неопреде-
ленности координат точек C и В:
xC ^ min(max), (16)
yC ^ min(max), (17)
хВ ^ min(max), (18)
уВ ^ min(max). (19)
xA < xA < XA , (20)
Уа < Уа < Уа , (21)
xB < xB < XB , (22)
yB < Ув < Ув , (23)
ABU3M -sp < dist(A,B) < ABU3M + sp, (24)
BCU3M -sp < dist(B, C) < BCU3M + sp, (25)
СВизм -sp < dist(C, В) < CBU3M + sp , (26)
ВАизм -sp < dist(В, A) < DAU3M + sp, (27)
ACU3M -sp < dist(AC) < ACU3M +sp, (28)
BBU3M -sp < dist(B, В) < ВВизм + sp . (29)
Следует заметить, что уравнения (1)-(15) и (16)-(29) являются задачами нелинейного программирования, в то время как при использовании «классического» метода центра неопределенности приходится
иметь дело лишь с задачами линейного программирования. Тем не менее в силу своей выпуклости они могут довольно просто решаться с помощью подходящих программных инструментов, реализующих те или иные методы оптимизации. В частности, в настоящей работе использовалось стандартное средство решения задач оптимизации с нелинейными ограничениями системы МайаЪ - функция /ттсвп.
Численный пример. Ниже приведен пример численных результатов расчета интервалов неопределенности для координат стоек одной из опор.
Исходные данные по опоре:
1. вР8-измерения координат точек в местной системе координат (в метрах):
Я = (7788,905; 7276,036); Б = (7769,764; 7259,235).
Предельная ошибка измерений: е? = 0,02 м.
2. Расстояния, измеренные рулеткой:
АЯ = 9,05 м; ВБ = 8,22 м.
Предельная ошибка измерений: ег = 0,05 м.
3. Размеры основания опоры (тип У39):
АВ = ВС = СВ = ВА = 8,10 м.
Предельная ошибка измерений: ер = 0,005 м.
4. Предельная угловая ошибка выноса точек Я и Б в створе АВ «на глаз»: еа = 1'.
Интервалы позиционной неопределенности стоек опор А, В, С, В, полученные в результате решения задач (1)-(15) и (16)-(29) для указанных исходных данных, приведены в таблице.
Расчетные интервалы неопределенности координат стоек опоры
Точка Интервал неопределенности Ширина интервала
x, м У, м x, м У, м
А [7782,045; 7782,104] [7270,014; 7270,059] 0,059 0,045
В [7775,939; 7776,007] [7264,665; 7264,719] 0,068 0,053
C [7781,208; 7781,432] [7258,567; 7258,648] 0,224 0,081
В [7787,358; 7787,450] [7263,848; 7264,056] 0,097 0,208
Заключение. Таким образом, в случаях, когда известны предельные погрешности каждого вида измерений, поиск интервалов неопределенности для искомых величин, оцениваемых на основе косвенных неравноточных инженерно-геодезических измерений, может проводиться путем формулирования отношений между измеренными величинами в виде системы неравенств и постановки необходи-
мых задач оптимизации в отношении полученной системы ограничений. Такой нестатистический подход может служить альтернативой (или дополнением) к классическому вероятностно-статистическому методу обработки измерений - методу наименьших квадратов, для обоснованного применения которого необходим предварительный этап анализа и выбора класса распределений ошибки измерений.
Библиографический список
1. Иванников Д.А., Фомичев Е.Н. Основы метрологии 2. Метрология и электрорадиоизмерения в телеком-
и организации метрологического контроля: учеб. посо- муникационных системах: учебник для вузов / под ред.
бие. - Н. Новгород, 2001. В. Нефедова. - М., 2001.
3. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. - Л., 1985.
4. Орлов А.И. Часто ли распределение результатов наблюдений является нормальным? // Заводская лаборатория. - 1991. - Т. 57, №7.
5. Эльясберг П.Е. Измерительная информация. Сколько ее нужно, как ее обрабатывать? - М., 1983.
6. Вощинин А.П., Бочков А.Ф., Сотиров Г.Р. Метод анализа данных при интервальной нестатистичес-
кой ошибке // Заводская лаборатория. - 1990. - Т. 56, №7.
7. Оскорбин Н.М., Максимов А.В., Жилин С.И. Построение и анализ эмпирических зависимостей методом центра неопределенности // Известия АлтГУ. - 1998. - №1.
8. Инженерная геодезия: учебник для вузов /
Е.М. Клюшин, М.И. Киселев, Д.Ш. Михелев, В.Д. Фельдман; под ред. Д.Ш. Михелева. - М., 2001.
9. Яковлев Н.В. Высшая геодезия: учебник для вузов. - М., 1989.
