Обработка экспертной информации в задачах принятия решений в условиях нечеткой неопределенности Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.81

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРТНОЙ ИНФОРМАЦИИ В ЗАДАЧАХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕЧЕТКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Е.В. Гринева, М.Г. Матвеев

В статье обсуждается алгоритм обработки экспертной информации задач принятия решений с нечеткими переменными с помощью метода, основанного на теории нечетких множеств

Ключевые слова: экспертные оценки, принятие решений, нечеткие переменные

Решения многих задач принятия решений опираются на информацию, полученную от экспертов. Эффективность использования этой информации непосредственно зависит от формализации и обработки экспертной информации. Данные, поступающие от экспертов, могут содержать не полностью определенную информацию. Неопределенность может

формализоваться либо в рамках вероятностной парадигмы, либо в терминах теории нечетких множеств. Последнее, как правило, преобладает в силу того, что эксперты, оценивая признаки и выражая свои знания, используют в рамках профессионального языка лингвистические

значения этих признаков.

Лингвистическая экспертная информация формализуется нечеткими высказываниями,

отношениями, числами, что часто оказывается предпочтительней вероятностного подхода, так как зачастую позволяет получать аналитические зависимости, необходимые для решения задач.

В этом случае большинство задач принятия решений сводятся к типовым задачам: решения систем уравнений, математического

программирования, оптимального управления с нечеткими параметрами или переменными.

Одним из основных источников денежных средств, направляемых на развитие производства или расширение бизнеса, являются инвестиции. Инвестор, вкладывая капитал в развитие фирмы или предприятия, вынужден действовать в условиях неопределенности, так как в современных условиях нестабильности как отечественной, так и зарубежных экономик, инвестирование связано с риском неполучения прибыли. Риск может быть вызван непредвиденным снижением спроса, увеличением издержек производства и обращения производимой продукции, неблагоприятным изменением цены на произведенную продукцию и многими другими факторами, влияющими на размер дохода от реализации продукции. Умение правильно распределять денежные средства между инвестируемыми предприятиями позволит инвестору не только избежать значительных

Гринева Елена Валерьевна - ВГУ, соискатель, e-mail: grineva- [email protected]

Матвеев Михаил Григорьевич- ВГУ, д-р техн. наук, e mail: [email protected]

неоправданных потерь, но и получить максимально возможную прибыль.

Решение этой задачи может иметь ряд особенностей. Так, применение традиционных методов формирования оптимального

инвестиционного портфеля основано на ряде теоретико-вероятностных предположений,

относительно величин доходностей активов инвестиционного портфеля. Применение теоретиковероятностного подхода далеко не всегда позволяет получить статистическое обоснование

характеристик случайных величин инвестиционного портфеля (функция распределения, моменты). Кроме того, теоретико-вероятностное представление величин доходности активов не позволяет получать аналитических зависимостей, необходимых для решения задач оптимизации портфеля.

Альтернативным вариантом учета

неопределенности могут служить экспертные оценки, формализуемые на основе теории нечетких множеств, которая в ряде случаев позволяет устанавливать требуемые аналитические зависимости [1].

Ещё одной важной особенностью инвестиционного рынка может являться зависимость рисков при оценке доходности инвестируемых средств от размера инвестиций. Такое предположение основано на том, что в реальной практике объем вклада инвестора может оказывать влияние на доходность акций и уровень риска за счет различий в правах и степени участия инвестора в управлении предприятием. Установить аналитический вид такой зависимости не представляется возможным.

Возможным подходом к оценке такой зависимости может быть использование теории нечетких множеств. Например, можно задать эту зависимость в виде изменений носителя нечеткого числа в зависимости от объема инвестиций.

Рассмотрим задачу распределения инвестиционных средств между несколькими предприятиями с целью получения прибыли в течение ряда последующих лет [2]. При этом известна экспертная информация о прибыли, которую инвестор может получить с единицы вложенных средств на каждом из предприятий, которую сложно представить в виде вероятностных закономерностей. Она может быть определена

экспертным путем, и аппарат описания экспертных оценок может быть только нечеткие переменные.

В этом случае решение задачи может рассматриваться в классе задач нечеткого математического программирования.

Пусть совокупный размер инвестиционного капитала ограничен величиной d.

Введем обозначения:

x - размер инвестиционных вложений в i-е

i

предприятие (i = ); a - прибыль инвестора

ij

от вложения единицы денежных средств в j-й год (j = 1,2,...,m) с i-го предприятия;

У - доход инвестора от дивидендов,

j

получаемых от инвестирования в j-й год.

Тогда распределение доходов по годам будет определятся выражением

У = Ax .

Задачу получения максимума прибыли рассмотрим на примере вложения инвестиций в два предприятия (n=2) при расчете прибыли за один год (m=1). Задача примет вид задачи линейного программирования с нечеткими параметрами

функции цели:

y = a-^Xy + ajXj ^ max, (1)

с ограничениями Xj + X£ = d,

X > 0, x^ > 0.

где a. - нечеткий параметр, а d - четкое

значение инвестиционных средств, которые инвестор планирует вложить в предприятия. Пусть d = 10. Тогда все допустимые решения могут лежать на отрезке АВ, показанном на «рис 1».

Рис. 1. АВ - область допустимых решений.

Оценим параметры а^, представив прибыль с

единицы вложений в виде нечетких треугольных чисел с функциями принадлежности ^.

Рассмотрим функции принадлежности нечеткого параметра .

Для первого предприятия, если инвестиции составляют 0 < * < 5, то функция принадлежности

будет Н (а, *)= (01 + 0.01(* - 3);0.2;0.3 + 0.1(* - 3)).

Г рафический вид такой

принадлежности показан на «рис. 2».

А (а)

функции

0.12 0.2

а

оз

0.5

Рис. 2. Функция принадлежности при 0 < * < 5 .

В случае если размер инвестиций в первое предприятие составляет 0 < * < 5, то возможность

получения прибыли до трех раз больше, чем возможность уменьшения прибыли.

Для первого предприятия, если инвестиции составляют 5 < * < 10, функция принадлежности

будет 1*2 (а, *)= (0.1 + 0.01(* - 3);0.2;0.3 + 0.1(* - 3))

Графический вид такой функции принадлежности показан на «рис. 3».

Рис. 3. Функция принадлежности при 5 < * < 10

В случае, если 5 < * < 10, возможность

получения прибыли до пяти раз больше, чем возможность уменьшения прибыли.

Для второго предприятия, если инвестиции составляют 0 < х^ < 5, функция принадлежности

будет

Н (а, *2) = (0.1 + 0.0125* -1);0.25;0.4 + 0.05* -1)).

Графический вид такой функции принадлежности показан на «рис.4».

Рис. 4. Функция принадлежности при О < х2 < 5 .

В случае если 0 < х2 < 5,

возможность

получения прибыли до трех раз больше, чем возможность уменьшения прибыли.

Для второго предприятия, если инвестиции составляют 5 < * < 10, функция принадлежности

будет

Н4(а, *2) = (0.1 + 0.025(*2 - 5);0.25;0.4 + 0.5* - 5))

Графический вид такой функции

принадлежности показан на «рис. 5».

0.1 0 2 025 0.4 й.8

Рис. 5. Функция принадлежности при 5 < < 10.

В случае если 5 < ^ — 10,

возможность

получения прибыли более чем в три раза больше возможности уменьшения прибыли.

Одним из подходов к решению такой задачи является переход от нечеткости к соответствующей задаче интервального программирования. Для этого, используя понятие X -уровней, на основе которого осуществляется переход от одной задачи нечеткого программирования к конечной совокупности задач интервального линейного программирования.

Выберем конечное число X -уровней: X €= (0;

0.25; 0.5; 0.75; 1).

Для нахождения решения исходной задачи, для

вычисления нечетких использовать формулу:

чисел

а.

і

будем

__ ц>а

а. = ц і

/ а • ц. (а,х. )йа

/ ц. (а, х. ~)йа

ц>а і

(2)

функции

как среднее значение принадлежности на каждом X -уровне.

Из-за ограниченного совокупного размера инвестиций рассмотрим два варианта распределения инвестиций в два предприятия:

1)

Если 0 — хі — 5, то 5 < х2 —10;

2) Если 5 < * < 10, то 0 < *2 < 5.

3)

Рассмотрим каждый из этих вариантов.

Первый вариант распределения инвестиций 0 < * < 5, 5 < *2 < 10.

Используя формулу (2), выразим общий доход

У( ^, *2 ,х).

Придавая X конкретные значения, получим для каждого X -уровня задачу линейного программирования. Результаты решения задачи, то есть максимальное значение функции утах, *1 и

Таблица 1

Размер инвестиций и максимальный доход при

5 < х^ — 10

а -уровень х1 х2 У тах

0 0 10 4.37

0,25 0 10 4.18

0,5 0 10 3.75

0,75 0 10 3.16

1 0 10 2.51

Второй вариант распределения инвестиций

5 < х —10,

Результаты решения задачи для этого варианта распределения инвестиций приведены в «табл. 2».

Таблица 2

Размер инвестиций и максимальный доход при

5 < х —10,

0 — х^ — 5.

а -уровень х1 х2 У тах

0 10 0 3.87

0,25 10 0 3.68

0,5 10 0 3.25

0,75 10 0 2.66

1 5 5 2.26

Применяя метод дефаззификации, для каждого варианта получим максимальный доход:

Если 0 < * < 5 и 5 < *2 < 10, то Утах = 312

Если 5 < * < 10 и 0 < *2 < 5, то утах = 2 72

Таким образом, у инвестора есть возможность оценить максимально возможную прибыль Утах с

соответствующими степенями уверенности X и соответствующим размером денежных средств, вложенных в каждое предприятие *1 и *2 .

Теперь рассмотрим задачу распределения инвестиционных средств без учета неоднородности доходности, используя те же исходные данные.

Для первого предприятия функция принадлежности будет *5(а) = (0.1;0.2;0.3), ее

графический вид показан на «рис. 6».

Рис. 6. Функция принадлежности прибыли для первого предприятия.

Для второго предприятия функция принадлежности будет * (а) = (0.1;0.25;0.4), ее

графический вид показан на «рис. 7».

х2 на каждом а -уровне приведены в «табл 1».

Рис.7. Функция принадлежности прибыли для второго предприятия.

Решая задачу, получим следующий результат. Размер инвестиций и максимальный доход для первого варианта распределения инвестиций * = 0 = 10 у ____= 2.5.

соответственно равны x1

2

max

Размер инвестиций и максимальный доход для второго варианта распределения инвестиций

соответственно равны х1 = 5,

у = 2.25 7max

Сравнивая результаты решения этих задач, следует отметить, что наибольший доход мы получаем, учитывая неоднородность доходности.

Теперь рассмотрим задачу нахождения такого распределения инвестиционных средств * между

несколькими предприятиями, при котором будет обеспечен желаемый доход при ограниченном совокупном размере инвестиционного капитала

*1 + *2 = 10 и конкретном значении уровня значимости X . В отличие от предыдущей задачи, вместо максимизации целевой функции придадим ей определенное значение с определенной степенью уверенности.

Например, рассмотрим первый вариант распределения инвестиций 0 < < 5,

5 < х2 < 10,

и пусть желаемый доход у = 4, а

уровень значимости а = 0.75. Тогда, решая систему уравнений и неравенств:

У (*1, *2,075) = 4

х + х2 = 10 0 < х^ < 5 5 < х2 < 10

(3),

получим решение: х1 = 005

Решение этой задачи совпадает со значениями в таблице 1 решений предыдущей задачи.

Рассмотрим ещё одну задачу — задачу нахождения такого распределения инвестиционных средств * между несколькими предприятиями, при

котором будет обеспечен желаемый доход при максимальном уровне значимости X, при

ограниченном

совокупном

инвестиционного капитала х1 + х2 =10.

размере

Например, рассмотрим второй вариант распределения инвестиций, когда 5 < ^ < 10,

0 < х2 < 5. Пусть желаемый доход у = 3.25.

Тогда получим задачу линейного программирования с ограничениями:

а(х^,х2) ^ max (4)

у (хх, х2 ,а) = 3.25 х + х2 = 10 5 < х^ < 10 0 < х2 < 5

Получим решение: х = 10, х2 = 0, (X = 0.5,

что совпадает со значениями в таблице 2 решений первой задачи.

Литература

1. Душкин Р. В. Методы получения, представления и обработки знаний с НЕ-факторами. — 2011. — 115 с.

2. Матвеев М.Г. Решение задач линейного программирования с нечеткими параметрами / Современная экономика: проблемы и решения. №1, 2012.

Воронежский государственный университет

PROCESSING OF EXPERT INFORMATION IN PROBLEMS OF THE DECISION MAKING IN THE CONDITIONS OF INDISTINCT INDETERMINACY E.V. Grineva, M.G. Matveev

In article the algorithm of processing of expert information of problems of a decision making is discussed with indistinct variables by means of a method based on the theory of indistinct sets.

Key words: expert estimates, decision making, indistinct variables.