Обоснование выбора определяющих соотношений нелинейной упругости и пластичности для замыкания краевой задачи Текст научной статьи по специальности «Физика»

Дыбрин А.А., Лялин В.Е.

ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ ДЛЯ ЗАМЫКАНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Рассмотрение поведения элементов системы «здание-фундамент-основание» (ЗФО) в рамках линейной теории упругости возможно лишь при определенных ограничениях на уровень внешних нагрузок. Изменение условий эксплуатации сооружения, не предусмотренные первоначальным проектом (надстройка, реконструкция, встраивание в существующую застройку) или изменение свойств материалов (при замачивании грунта, появлении трещин, дефектов в материале кирпичной кладки или железобетонных конструкциях и т.п.), могут вызвать нелинейные эффекты в поведении материалов.

В настоящее время разработано достаточно много математических моделей определяющих соотношений, позволяющих учитывать разнообразные эффекты в механическом поведении материалов. Рассмотрим возможность применения некоторых из них применительно к конкретным материалам системы ЗФО. Модель физически нелинейного упругого материала

В реальных грунтах (песчаных и глинистых) с ростом нагрузки развитие областей пластических деформаций приводит к нелинейности графика «нагрузка-осадка». В случае, когда в материале после полной разгрузки не фиксируются остаточные деформации, т.е. процессы нагрузки и разгрузки идут по одной и той же кривой (рис. 1), или при протекании только активного процесса (нагрузки), - говорят о физически нелинейном упругом теле.

Рис. 1. Диаграмма деформирования физически нелинейного упругого материала

Принимая во внимание, что нагрузка, действующая на сооружение (например, собственный вес), как правило, не снимается и во многих практических задачах нас будет интересовать только активный процесс для описания механического поведения материала под нагрузкой, можно использовать модель изотропного физически нелинейного упругого тела, в которой интенсивность напряжений связана с интенсивностью деформаций зависимостью

3Е*

(1)

2(1 +у)

* *

Здесь V - коэффициент поперечной деформации; Е = (см. рис. 3) - секущий модуль упругости, за-

висящий от достигнутой в данной точке интенсивности напряжений.

Понятия интенсивности напряжений и деформаций занимают центральное место в теории расчета сооружений, так как позволяют установить эквивалентность между сложным напряженно-деформированным состоянием и простым растяжением или сжатием.

[Г

о. = Л— 3^3^ - интенсивность напряжении , (2)

I

2ее - интенсивность деформаций , (3)

sv = t ~ ^‘ja - компоненты девиатора напряжений , (4)

е = sv ~ ^‘js - компоненты девиатора деформаций , (5)

1 —t

3

е = —еи8и - средняя деформация . (7)

3

Эта теория построена на гипотезах [1]:

- направления главных тензоров напряжений и деформаций совпадают;

- объемная деформация е пропорциональна среднему нормальному напряжению о

1 - 2v*

е =---;—о ; (8)

Е

- девиаторы напряжений § и деформаций е пропорциональны

3 = 20 е , (9)

где О - секущий модуль сдвига.

Предполагается, что между упругими постоянными сохраняется связь

. Ее

О =--------- . (10)

2(1 +v )

Так как напряжения в элементах системы ЗФО меняются от точки к точке (неоднородное напряженное состояние), то значения секущих модулей будут также различны в различных точках и V =V (х) . Поэтому, при решении краевых задач с определяющими соотношениями (1) для физически нелинейного упругого тела фактически получаем краевую задачу для неоднородного тела, в каждой точке которого местное значение модуля продольной упругости зависит от интенсивности напряжений в этой точке. Эта зависимость может быть задана графически, таблично или в виде аналитического выражения

Е* =ф(о1) . (11)

Иногда модель физически нелинейного упругого тела используют для описания поведения грунтового основания [ 2].

Модель деформационной теории пластичности

Для учета нелинейных эффектов в грунте, а также в расчетах железобетонных конструкций при кратковременных нагрузках можно использовать и некоторыми авторами применяется деформационная теория пластичности [3, 2, 1 ], в основе которой лежат уравнения, связывающие напряжения и деформации. Эта теория построена на

тех же гипотезах, что положены в основу уравнений физически нелинейного упругого тела плюс гипотеза об отсутствии объемной пластической деформации, но здесь нет однозначной зависимости между напряжениями и деформациями, так как процессы нагружения и разгрузки не совпадают. Интенсивность напряжений здесь есть вполне определенная, не зависящая от вида напряженного состояния функция интенсивности деформаций

ai =Ф(е,.) . (12)

В рамках этой теории связь между девиаторными составляющими тензоров напряжений s±j и деформаций e±j имеет вид [4]

sij = äleij ' (1 з)

а шаровые части этих тензоров связаны упругим законом

а = Кв, (14)

где величина модуля объемного сжатия определяется соотношением

2

К = Х + -и . (15)

3

Оператор öj в выражении (13) зависит от направления процесса (нагрузка или разгрузка). Если процесс происходит активно (нагрузка), то имеет место соотношение, которое чаще всего записывают в форме, предложенной А.А. Ильюшиным [3]

Sj = 2^(1 -®)ву , (16)

где О = CO(ßi) - так называемая функция пластичности Ильюшина, зависящая от интенсивности тензора деформации и определяющаяся экспериментально.

Если же рассматривается пассивный процесс (разгрузка), то соотношения (13) имеют вид

Sj = sj + 2M(e j - ej) , (17)

где ej и sij соответствуют началу протекания процесса разгрузки.

Отсюда видно, что при протекании только активного процесса тензор напряжений является функцией тензора деформаций, поэтому обычно говорят, что соотношение (16) описывает физически нелинейную упругую

среду.

Модель деформационной теории пластичности основана на допущении, что общая деформация материала, вызываемая действующими напряжениями, состоит из упругой и пластической части. При простом растяжении или

сжатии £=£е +£р (рис. 2). Здесь и далее верхние индексы е и р означают соответственно упругость и пластичность.

Из уравнений (12) с учетом того, что пластические деформации протекают без изменения объема материала, можно получить

^=е* +sf , (18)

т.е. интенсивность деформаций равна сумме интенсивностей упругих и пластических деформаций (равенство Генки-Беляева).

Рис. 2. Модель деформационной теории пластичности

Исследованиями [1] установлено, что деформационная теория пластичности приводит к результатам, хорошо согласующимся с экспериментальными в случае малых упруго-пластических деформаций, а также в тех случаях, когда нагружение во всех точках тела близко к простому, то есть когда все компоненты тензора деформаций еу возрастают пропорционально одному параметру.

Теория пластического течения в расчетах грунтового основания

В тех случаях, когда нагружение отличается от простого и является сложным, для решения упругопластических задач целесообразнее использовать теорию течения. Уравнения теории пластического течения устанавливают связь между бесконечно малыми приращениями деформаций и напряжений, самими напряжениями и некоторыми параметрами пластического состояния. Для полноценного учета пластического поведения материала при анализе требуется знание трех критериев: условия начала текучести, закона течения и закона

упрочнения, которые зависят от материала и вида напряженного состояния.

Условие начала текучести или просто условие текучести (если упрочнение материала не учитывается) позволяет определить, когда в материале появляются пластические деформации. Закон течения указывает направление, в котором происходит деформирование материала. Закон упрочнения, применимый к упрочняющимся материалам, описывает, как ведет себя поверхность текучести с ростом деформаций в материале.

Исходными положениями теории пластического течения являются [1]:

- тело изотропно;

- относительное изменение объема мало и является упругой деформацией, пропорциональной среднему давлению:

s = 3Ка или ds = 3Kda ; (19)

- полные приращения составляющих деформации dsц складываются из приращений составляющих упругой деформации dsl и пластической деформации

dsv = dsl + dsp ; (20)

- приращения составляющих упругой деформации связаны с приращениями составляющих напряжений законом Гука

, e 1 , , 3v _ , N

dsu =---{da,,------5uda) ; (21)

u 2G и 1 + v и

- девиатор напряжения s и девиатор приращений пластической деформации dep пропорциональны, т.е.

dep = dis , (22)

Из этого выражения вытекают соотношения (так как ds = 0 ) :

dsp = dXsy (23)

Согласно (20) и (21) получаем полные приращения компонент деформации:

ds = dsl + dis,, = -^(da—3^Æ,-da) + dXs„ . (24)

и и и 2.G и 1 + v и и

являющиеся основными соотношениями теории пластических течений, которые для общего случая были получены Рейсом [5], а для случая плоской деформации Прандтлем [6]. Поэтому их называют уравнениями Пранд-тля-Рейса.

Здесь dl - некоторый бесконечно малый скалярный множитель, связанный с величиной приращения работы пластической деформации dAp соотношением [1]:

dAp

dl = P . (25)

2r,2

Для определения dl нужно располагать критерием разрушения материала, в данном случае условием начала текучести, которое в общем виде может быть записано

fia) = о или/со,) = о . (2 6)

Функции f, входящие в эти соотношения, сохраняют свой вид при любых напряженных состояниях.

Для изотропного тела это условие должно быть симметрической функцией главных напряжений

f (a, a2, a ) = Const = KT (27)

где Кт - константа, связанная с критерием разрушения материала, в данном случае - с пределом текучести. Поскольку основными симметрическими функциями компонент напряжения являются его инварианты, последнее условие может быть представлено также в форме

f [Л(О),IО/з(а)] = KT , (28)

где I (О), I2 (О), !3 (О) - первый, второй и третий инварианты тензора напряжений соответственно:

11(О) = ОИ=О1 +О2 +a3, 1

/2(Л) =2 (ЛЛ ) = -(Л2Л3 + Л3Л1 +^1^з), Г’ (29)

7з(^) = 1(2УЛ,- - 3° у°л°кк + ) = °1°2°3-

Если для материала влияние среднего давления на процесс формоизменения мало, условие текучести для него можно записать в виде

/[/2(5),/з(5)] = Кт , (30)

здесь /2 (5), /3 (5) - второй и третий инварианты девиатора напряжений:

/2(5) = 1 (5 ц5л - 5 а5л ) = -(5253 + 5351 + 5153 х /3(5) = 1(25у5лк5Ь - 35у5л5кк + 5п5л5кк) = 515253■

(31)

Условие текучести (30) для рассматриваемой точки соответствует некоторой поверхности в трехмерном пространстве главных напряжений <УХ ,&2 ,Л или некоторой гиперповерхности в шестимерном пространстве ком-

В теории малых упругопластических деформаций обычно рассматриваются два критерия пластичности: Губе-ра-Мизеса и Треска-Сен-Венана. В некоторых случаях они дают одно и то же условие появления пластических деформаций.

Задавшись условием текучести Губера-Мизеса г =ат , (32)

из выражения (25) получаем dl = dApj 2оО

В этом случае нет однозначной зависимости приращений компонент пластической деформации от компонентов напряжения и их приращений. В практических задачах чаще всего пренебрегают компонентами упругой деформации, отбрасывая их в (24), и для состояния течения рассматривают определяющие соотношения в виде

понент напряжений о у , называемой поверхностью текучести.

dep = dXsij , (33)

тогда множитель dX можно найти, поделив (33) на dt [1]:

6 = А,-. (34)

Отсюда множитель X' можно определить

Х = 6 . (35)

2тт

Здесь ^ - компоненты тензора скоростей деформаций, ^ - интенсивность скоростей деформаций сдвига

6=\! 2(6х ~^У )2 + (6У -£)2 + (6 )2 + 3ЗУ +г3 + Г1з ) • (36)

И тогда определяющие соотношения можно представить так:

6

6 = ~^~йц • (37)

у 2ат у

В общем случае эти уравнения установлены Леви [7] и Мизесом [8], а для случая плоской деформации даны Сен-Венаном [9]. Чаще всего их называют уравнениями Сен-Венана-Мизеса. Очевидно, что скорости деформации 6 не определяются однозначно при задании напряжений; при задании же скоростей деформаций компоненты девиатора напряжения определяются однозначно. Каждому виду условия текучести соответствует

V

определенный вид пластического течения.

Модель пластического течения Друккера - Прагера

Для большинства материалов модуль объемной деформации считается величиной постоянной, но для грунтов установлено [2], что объемная деформация зависит от интенсивности касательных напряжений и от среднего давления, и для описания поведения грунтов в условиях сложного напряженного состояния целесообразно учитывать влияние среднего давления.

Для таких материалов можно использовать модель Друккера-Прагера [10], представляющую собой некоторое обобщение теории пластических течений, в котором упругие деформации опущены, а условие текучести усложнено. По сути - это модификация условия текучести Мизеса, но зависящего от среднего давления для учета увеличения предела текучести материала при всестороннем сжатии.

Прежде всего, здесь в рассмотрение вводится пластический потенциал - скалярная функция напря-

жений, указывающая направление деформирования, и предполагается, что компоненты тензора скорости деформации пропорциональны частным производным от потенциала текучести по компонентам тензора напряжения, т.е. закон течения может быть записан следующим образом:

6 = л~де, (38)

' дТ

где X - согласующий множитель, определяющий величину деформаций, для определения которого надо задать критерий или условие начала текучести. Его удобно принять в форме е(т,) = 0 или записать в виде

Тэкв -ТТ = 0 • (39)

Здесь ъэкв - эквивалентное напряжение, вычисленное по компонентам тензора напряжений, которое можно выразить через инварианты:

=рь (Т)+[72 с^]12' (40)

где I! (Т), 12 (Т) - первый и второй инварианты тензора напряжений соответственно:

11(Т) = Т=Т1 + Т2 + Тз, |

1 (■ (41)

12(т) = -(тт - тт) = -(^з+тзТ + ^з); ]

р - константа материала, учитывающая влияние гидростатического давления и определяемая по формуле 2зт*

р= * ч; (42)

у3(3 - эт*)

Ф - коэффициент внутреннего трения грунта; Тт - предел текучести грунта при одноосном напряженном состоянии, связанный с пределом текучести при чистом сдвиге Тт (то есть, при I(т) = 0 ) зависимостью

(Тт = л/3гт , который в соответствие с рекомендациями [11] определяется по формуле 6с соэ* л/3(3 - эГл *)

где с - коэффициент удельного сцепления грунта.

Условие текучести (39), записанное в виде

е(Т, ) = еС^Т), 12(•?)) = РЬТ) + [12(й)]'12 - Тт = 0 (44)

в пространстве главных напряжений определяет круговой конус (рис. 3), описанный вокруг гексагональной поверхности Кулона - Мора.

Тт =^-----------------------7— , (43)

Рис. 3. Поверхности текучести Друккера-Прагера и Кулона-Мора

Условие (39) позволяет свести объемное напряженное состояние к эквивалентному напряжению, которое сравнивается с пределом текучести, для того, чтобы определить, происходит ли течение материала. Если &экв < аг материал остается упругим, при Ъэкв=&тг в нем возникают пластические деформации. Направление и величина пластических деформаций при этом будут определяться законом течения (38).

Принимая выражение пластического потенциала в виде (39), получаем следующее соотношение между скоростями пластических деформаций и напряжениями:

( Т ( Т I Л

¿„=л^Я- = л J <4-

dQ д(12 (sЖ dQ д( 1Х (а))

д( 1г (s))

(

= л

да,.

да,.

(45)

д Q

д(Ц (ст))

_______ _дЯ_,

д(/2 (5)) ^ ^д(I, (а))

Подставляя в (44) выражение (45), определяющие соотношения среды Друккера-Прагера получаем в виде: ( \

Еу=Л

2^2 (•*)

-ßsv

(46)

Коэффициент X можно определить, возводя в квадрат выражения (46); проделав это, получим:

ёуёу =Л2(о.5 + ЗР2), (47)

откуда

Д1)

л/0.5 + 3ß2

(48)

Относительное пластическое изменение объема при этом равно

<9 = £.. = ъхр .(49)

Данный закон течения может быть ассоциированным (когда пластический потенциал равен функции течения) или неассоциированным. Упрочнение в данной модели отсутствует.

420 с.

Расчет конструкций на упругом основании. -

480 с.

пластичности:

Учеб. пособие.

М. : Изд-во

ЛИТЕРАТУРА

1. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969.

2. Горбунов-Пассадов М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И.

М.: Стройиздат, 1984. - 679 с.

3. Ильюшин А.А. Пластичность. - М.: Гостехиздат, 1948. -

4. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и Моск. ун-та, 1995. - 366 с.

5. Рейс Э. Учет упругой деформации в теории пластичности // Теория пластичности. - М.: Изд-во иностр. лит., 1948. - С. 206-222.

6. Prandtl L. Spannungsverteilund in plastischen Körpern // Proceedeedings of 1-st International congress f applied mechanics. Delft, 1924. Р. 43-54.

7. Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых телах за пределами упругости // Теория пластичности. - М.: Изд-во иностр. лит., 1948.

8. Мизес Р. Механика твердых тел в пластическом деформированном состоянии // Теория пластичности. -М.: Изд-во иностр. лит., 1948. - 432 с.

9. Сен-Венан. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости // Теория пластичности. - М.: Изд-во иностр. лит., 1948.

10. Drucker D.C., Prager W. Soil mechanics and plastic analysis or limit design. Quarterly of applied mathematics. V.10. № 2, 1952.

11. СНиП 2.02.01-83. Основания зданий и сооружений. - М.: Стройиздат, 1985. - 41 с.