CC BY
45
УДК 528.15
ОБОСНОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ ГРАВИМЕТРИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА
КРЮКОВ А.М.
Проведен сравнительный анализ методов синтеза структур, принципов реализации и характеристик фильтров нижних частот гравиметра. Обоснована целесообразность использования рекурсивного цифрового фильтра нижних частот Баттерворта в составе гравиметрического комплекса.
В настоящее время отмечается возрастание интенсивности научных разработок, направленных на повышение гравиметрической изученности территории Украины, что объясняется расширением областей применения информации о значениях ускорения силы тяжести g. Значительное увеличение производительности гравиметрической съемки может быть достигнуто при реализации измерений g на борту подвижных автомобильных шасси непосредственно в движении при допустимом среднеквадратическом отклонении (СКО) погрешности измерения порядка 0,1 — 0,5 мГал [1].
Измерения g на подвижном основании сопровождаются помехами, обусловленными знакопеременными инерционными возмущающими ускорениями со стороны шасси. Амплитуда возмущающих ускорений достигает значений, на несколько порядков превышающих диапазон изменения полезного сигнала Ag на маршруте. В связи с этим для обеспечения требуемой точности измерений в движении необходимо применение фильтра нижних частот (ФНЧ), реализуемого аппаратно либо программно в реальном времени.
Известны два метода определения структуры и параметров ФНЧ. При использовании первого метода задается узкий класс линейных систем, среди которых осуществляется поиск системы с оптимальной передаточной функцией. Таким образом, вид передаточной функции в этом случае известен, искомыми являются лишь ее параметры. Второй метод предусматривает поиск частотной характеристики, обеспечивающей минимум одного из главных
показателей качества ФНЧ—дисперсии а 2 погрешности фильтрации.
Среди систем заданной структуры оптимальным сочетанием быстродействия и погрешности фильтрации применительно к гравиизмерениям на автомобильном подвижном основании обладает Ф НЧ Баттерворта 3 -го порядка [2], передаточная функция которого имеет вид
^ (Тр + 1)(2 р2 + Tp +1), (1)
где т — постоянная времени ФНЧ.
При синтезе ФНЧ по критерию минимума погрешности фильтрации частотную характеристику, обеспе-
чивающую минимум а 2 , дает решение уравнения Винера—Хопфа. Частотная характеристика оптимального фильтра (ОФ) W(jo) определяется через спектральные плотности полезного сигнала SAg (o) и
сигнала помехи Sy (o), представляемые в виде дробно-рациональных функций круговой частоты o [3]:
Wф (jo) = -
SAg (o)
SAg (а) + Sy (а) ■
Для спектральных плотностей полезного сигнала [4] и сигнала помехи [5] частотная характеристика
Wф (jo) ОФ принимает вид
Wф (jo)
1
1 +
So4
P(o)
где P(o)
CV5
(2+vу) ’
S , C ,Y — интегральные характеристики помехи и полезного сигнала, v — скорость движения шасси.
Таким образом, порядок ОФ зависит от порядка модели полезного сигнала и весьма высок (10-го порядка и выше), что усложняет физическую реализацию весовой функции фильтра.
Анализ структуры и точностных характеристик ФНЧ заданной структуры и ОФ позволяет сделать следующие выводы:
1. Существенный недостаток любого ОФ — зависимость его структуры от априорной информации о полезном сигнале и помехе. Гравиметр, оснащенный ОФ, эффективен лишь при наличии детальной информации о моделях полезного сигнала и помехи. В то же время использование гравиметра, оснащенного ФНЧ заданной структуры, позволяет получить достоверные результаты при наличии относительно грубых моделей возмущений и полезного сигнала, т. е. в геодезически неизученных заранее районах.
2. При реализации оптимальных алгоритмов может быть достигнуто СКО погрешности фильтрации порядка 0,01 — 0,05 мГал. Однако в данном случае затраты на реализацию оптимальных алгоритмов лишены смысла, так как помимо погрешности фильтрации существуют другие трудно исключаемые составляющие погрешности, на порядок ее превосходящие: температурная погрешность, ошибки стабилизации основания. СКО погрешности фильтрации на уровне 0,1 — 0,2 мГал, обеспечиваемое фильтрами заданной структуры, может считаться вполне приемлемым.
Рассмотренные обстоятельства позволяют сделать вывод об отсутствии необходимости в использовании оптимального алгоритма фильтрации при применении гравиметрического комплекса на автомобильном шасси в геодезически неизученных заранее районах.
При реализации ФНЧ в виде цифрового устройства самостоятельный интерес представляет решение задач синтеза и анализа характеристик рекурсивного и нерекурсивного цифровых фильтров (ЦФ).
При синтезе рекурсивного ЦФ применение билинейного z -преобразования к передаточной функции (1) позволяет получить выражение для дискретной передаточной функции
РИ, 1997, № 1
21
H (z)=K
1 + z-1
l_ti z-
p +1
1 + 2 z _1 + z“ 2 2 2 ’ P - 1 -1 P-P -1 -2
--------z---------z
p2 + p +1 p2 +p +1
где к =
(1 + p)p2+P +1)
; p = 2Tfd;
fd —частота дискретизации входного сигнала x(n) цифрового фильтра.
ЦФ Баттерворта 3-го порядка выполняется в виде последовательного соединения субфильтров 1-го и
2-го порядков. Операторы z-1 и z-2 реализуются в виде задержки сигнала на 1 и 2 интервала дискретизации (1/ fd и 2 / fd ). Процесс фильтрации реализуется при выполнении 6 операций сложения и 4 операций умножения за один цикл обработки информации.
Нерекурсивный ЦФ может быть получен посредством вычисления коэффициентов ряда Фурье для
его частотной характеристики н (eja) и использованием этих коэффициентов в качестве импульсной характеристики h(n) фильтра. Поскольку искомая импульсная характеристика является бесконечной, что делает ЦФ физически нереализуемым, а непосредственное усечение ряда Фурье приводит к возникновению эффекта Гиббса, сходимостью ряда h(n) управляют, используя весовую последовательность w(n) конечной длины (так называемое окно). При этом формируется последовательность hw (n) = h(n) • w(n), равная нулю за пределами интер-N -1 N -1
вала------— < n < —-— , а в качестве искомой им-
2 2 ’
пульсной характеристики ЦФ используется физически реализуемая последовательность j(n), которая
N-1
равна задержанной на —2— последовательности
hw (n). При использовании окна Кайзера, имеющего минимум энергии спектра за пределами некоторой заданной частоты, искомая импульсная характеристика нерекурсивного ЦФ принимает вид [6]
sin(® 2 tdn)
j(n) = „ t n wk(n), 0 < n < N -1,
®2td n
где a2 — верхняя граница полосы пропускания ЦФ;
wk (n) — весовая функция окна Кайзера; td = 1/ f d .
При использовании свойства симметрии импульсной характеристики ЦФ
j(k) = j(N - 1 - k)
значения выходного сигнала y(n) нерекурсивного ЦФ определяются путем вычисления прямой свертки во временной области:
N-1
y(n) = £ j(k)[x(n-k)+x(n-N+1+k)]+jl N+1] xl n- ■N+1J. k=0 v 2 ' v 2 '
Для реализации нерекурсивного ЦФ требуется
N +1
—2— ячеек памяти для хранения коэффициентов и
N +1 ячеек для хранения со сдвигом значений входных отсчетов. Структура нерекурсивного ЦФ
N +1
содержит —2— умножителей, а количество операций сложения равно N -1. Числовая оценка показывает, что для различных сочетаний условий движения число n отсчетов импульсной характеристики находится в диапазоне 101 — 401.
Сравнительный анализ характеристик рассмотренных ЦФ позволяет сделать следующие выводы:
1. Нерекурсивные ЦФ характеризуются высокой степенью линейности фазовых характеристик, всегда устойчивы и физически реализуемы. В нерекурсивных структурах легко минимизируются шумы округления результатов арифметических операций. Но такие ЦФ требуют большего, чем рекурсивные, числа членов для обеспечения острого среза АЧХ, что приводит к снижению быстродействия и громоздкости алгоритма реализации.
2. Рекурсивные фильтры позволяют обеспечить крутой срез АЧХ за счет на порядок меньшего числа членов, что является определяющим достоинством с точки зрения последующей технической реализации устройства в реальном времени. Кроме того, рекурсивные ЦФ требуют меньшего объема оперативной памяти для хранения массивов переменных. Незначительное превышение погрешности округления рекурсивного ЦФ может быть парировано увеличением разрядности представления информации, что не является принципиальным ограничением при программной реализации фильтра на ЭВМ.
Таким образом, при создании гравиметрического комплекса, функционирующего на борту автомобильного шасси, наиболее целесообразным является использование рекурсивного ЦФ.
Литература: 1. Абрамов Ю.А. и др. Состояние и пути развития гравиизмерений на подвижном основании. Харьков: ЦНТИ “Поиск”.— 1989.— 27 с. 2. Абрамов Ю.А. и др. Состояние и перспективы развития частотной фильтрации при гравиизмерениях на подвижном основании. Харьков: ЦНТИ “Поиск”.— 1991.— 27 с. 3. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука.— 1968.— 464 с. 4. Волков А. С. Моделирование полезного сигнала в задаче оптимальной фильтрации в морской гравиметрии // Линейная фильтрация в задачах динамической гравиметрии. М.: Изд-во Московского ун-та.— 1985.— С. 41-49. 5. Абрамов Ю.А., Крюков А.М. Математические модели возмущений, действующих на автомобили, и меры по их ослаблению // Автомобильный транспорт. Вып. 27. К.: Техника.— 1990.— С. 66-71. 6. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир.— 1978.— 848 с.
Поступила в редколлегию 22.12.97.
Крюков Александр Михайлович, канд. техн. наук, старший научный сотрудник Харьковского военного университета. Научные интересы: метрология и измерительная техника, гравиметрия, обработка измерительной информации. Увлечения: компьютер, английский язык. Адрес: Украина, Харьков, ул. Деревянко, 22а, кв.6, тел. 33-06-69.
22
РИ, 1997, № 1
