CC BY
13
Системный анализ. Моделирование. Транспорт. Энергетика. Строительство _Экономика и управление_
2. Прогноз социально-экономического развития Российской Федерации на 2010 год и на плановый период 2011 и 2012 годов [Электронный ресурс] : прогноз Минэкономразвития России от 21.08.2009. URL : http://www.economy.gov.ru/
ш
wps/wcm/connect/ economylib/mert/welcome/ economy/macroeconomy/ administmanagementdi-rect/doc1219319991073 (дата обращения 21.08.2009).
УДК 656.2.02 Ревва Павел Сергеевич,
аспирант кафедры «Изыскания и проектирование железных дорог» ДВГУПС,
тел. 89144130557, e-mail: [email protected] Шварцфельд Вячеслав Семенович, д. т. н., профессор, заведующий кафедрой «Изыскания и проектирование железных дорог» ДВГУПС,
тел. 89145415320, e-mail: [email protected]
ОБОСНОВАНИЕ РАЗВИТИЯ СЕТИ ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ В МАЛООСВОЕННЫХ РЕГИОНАХ
P.S. Revva, V.S. Shvartsfeld
RATIONALE FOR THE DEVELOPMENT OF RAILWAY NETWORK IN UNDERDEVELOPED REGIONS
Аннотация. В статье приводятся результаты исследований, связанных с нахождением рациональной топологии (остова) сети железных дорог в малоосвоенных районах.
Ключевые слова: проектирование железных дорог, теория графов, минимальный остов.
Abstract. The article presents the results of research related to finding a rational topology of the railway network in underdeveloped regions.
Keywords: design of railways, graph theory, minimum spanning tree.
Согласно стратегии развития железнодорожного транспорта в Российской Федерации до 2030 года, принятой в июне 2008 года, одним из основных положений социально-экономического роста страны является необходимость снижения территориальных диспропорций в развитии инфраструктуры железнодорожного транспорта, улучшения транспортной обеспеченности регионов и развития пропускных способностей железнодорожных линий. Кроме того, в данном документе одним из основных направлений научных исследований указана разработка математической модели развития инфраструктуры железнодорожного транспорта и разработка комплексных решений реконструкции инфраструктуры железнодорожного транспорта [1]. Исходя из этого, авторами было принято решение о поиске новых либо совершенствовании существующих методов проектирования железнодорожных сетей в малоосвоенных регионах.
В основу данного исследования было положено представление сети железных дорог в виде графа, состоящего из множества вершин (станций), соединенных между собой ребрами (перегонами). Такая модель была использована многими исследователями. Теория графов, являясь частью дискретной математики, имеет большую теоретическую базу для решения различных задач, которые можно соотнести с задачами проектирования на железнодорожном транспорте. Например, при проектировании сети железных дорог в малоосвоенных регионах с большим количеством месторождений полезных ископаемых необходимо найти такой облик будущей сети, который бы позволил соединить их минимальным количеством перегонов, имеющих в сумме максимальное или минимальное значение какого-либо параметра (длина, стоимость, возможный грузооборот и т. д.) [2]. Часто бывает невозможно заранее предсказать, как лучше объединить данные месторождения. Возможно, выгодней будет провести между ними магистральный ход и соединить с ним каждое месторождение либо объединить месторождения в самостоятельную сеть, которую уже соединять с магистральным ходом. Однако при большом количестве возможных перегонов, перебор всех вариантов облика будущей сети и выбор из них наиболее подходящего может потребовать значительных временных затрат. В теории графов данная задача называется нахождением минимального остова и имеет несколько алгоритмов решения. Одним из них является алгоритм Джозефа
иркутский государственный университет путей сообщения
Крускала [3]. Если в данной задаче необходимо найти облик сети с минимальной протяженностью, то алгоритм будет иметь следующий вид:
1. Перегоны сортируются по возрастанию длины (если необходимо найти максимальное значение суммарного параметра, то сортировка выполняется по убыванию).
2. Все месторождения считаются принадлежащими разным сетям.
3. Каждый перегон в отсортированном списке по порядку проходит проверку следующего условия: перегон должен соединять месторождения, принадлежащие разным сетям.
• Если условие выполняется, то перегон добавляется в окончательный вариант сети, а вершины, которые он соединяет, считаются принадлежащими одной сети.
• Если условие не выполняется, значит, добавление этого перегона является излишним и он пропускается.
4. Алгоритм заканчивается после проверки последнего по порядку перегона либо если количество перегонов в окончательной сети равняется Ып = Ым - 1, где Ым - количество месторождений.
Рассмотрим работу данного алгоритма на примере расчетной модели, которая представлена на рис. 1.
Рис. 1. Расчетная модель сети
В данной модели имеется 7 станций и 12 перегонов с заданной длиной. Так как в данном примере необходимо найти вариант сети с минимальным суммарным значением параметра, то необходимо отсортировать список перегонов по возрастанию протяженности. Отсортированный список представлен в табл. 1. После сортировки ребер назначаем, что каждое месторождение принадлежит сети с номером, соответствующим номеру месторождения. То есть первое месторождение принадлежит сети № 1, второе - сети № 2 и т. д.
Т а б л и ц а 1 Отсортированный список перегонов
№№
10
11
12
Длина перегона, км
3
4
Номера месторождений
5-6
2-3
3-4
3-7
2-5
5-3
1 -5
6-7
1 -2
4-7
1 -6
2-4
Далее необходимо по очереди проверить каждое ребро и сделать вывод о необходимости его добавления в окончательную сеть. Если условие выполняется, то оба месторождения считаются принадлежащими к сети с наименьшим номером. Результаты данного расчета представлены в табл. 2.
Т а б л и ц а 2 Добавление перегонов в итоговую сеть
№№
10
11
12
Перегон
5-6
2-3
3-4
3-7
2-5
5-3
1 -5
6-7
1 -2
4-7
1 -6
2-4
Объединяемые сети
5 и 6
2 и 3
2 и 4
2 и 7
2 и 5
2 и 2
1 и 2
1 и 1
1 и 1
1 и 1
1 и 1
1 и 1
Результат
Добавляем перегон
Добавляем перегон
Добавляем перегон
Добавляем перегон
Добавляем перегон
Не добавляем
Добавляем перегон
Не добавляем
Не добавляем
Не добавляем
Не добавляем
Не добавляем
Результатом расчетов будет являться сеть общей протяженностью 26 км, представленная на рис. 2.
Рис. 2. Итоговая сеть
1
2
3
4
4
4
5
6
5
6
7
8
6
9
7
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Если бы в данной расчетной модели все перегоны имели разные длины, то данная сеть была бы единственным возможным вариантом минимальной протяженности. Однако, учитывая, что в данной модели имеются перегоны одинаковой длины, некоторые из которых не используются в итоговой сети, то возможно существование альтернативных сетей протяженностью 26 км, но имеющих другую структуру. Такие альтернативные сети могут оказаться более выгодными при последующих сравнениях, поэтому необходимо найти все возможные варианты сети с наименьшей протяженностью.
В рассмотренном примере перегоны с одинаковой протяженностью рассматриваются в том порядке, в котором они оказались в результате сортировки. Для того чтобы найти все возможные варианты отсортированного списка, необходимо перегоны равной длины выделить в отдельные локальные списки (табл. 3).
Т а б л и ц а 3
Разделение ребер на локальные списки
№ Длина Номера
списка перегона, км месторождений
1 3 5 - 6
4 2 - 3
2 4 3 - 4
4 3 - 7
3 5 2 - 5
5 5 - 3
4 6 1 - 5
6 6 - 7
5 7 1 - 2
7 4 - 7
6 8 1 - 6
7 9 2 - 4
После этого находятся все возможные последовательности перегонов в каждом /-м локальном списке, количество которых будет равняться
N = !, (1)
где Ыр - количество перегонов в списке.
Так как списки, в которые входит всего один полигон, не имеют альтернативных комбинаций, то количество вариантов отсортированного списка будет зависеть только от количества локальных списков и количества перегонов, входящих в каждый из них. Общее количество вариантов итогового списка будет равняться
N = N • N2 •... • Ып, (2)
где п - количество локальных списков, содержащих более одного полигона.
В данном примере имеется четыре локальных списка и общее количество вариантов итогового списка будет равняться
N = 3!-2!-2!-2! = 48 .
Рассчитав каждый из этих вариантов по алгоритму Крускала, можно обнаружить, что в случаях, когда перегон 5-3 рассматривается раньше перегона 2-5, итоговая сеть имеет структуру, отличную от первоначально найденной (табл. 4). Данный альтернативный вариант структуры представлен на рис. 3.
Т а б л и ц а 4
Расчет одного из альтернативных списков
№№ Перегон Объединяемые сети Результат
1 5 - 6 5 и 6 Добавляем перегон
2 3 - 7 3 и 7 Добавляем перегон
3 2 - 3 2 и 3 Добавляем перегон
4 3 - 4 2 и 4 Добавляем перегон
5 5 - 3 5 и 2 Добавляем перегон
6 2 - 5 2 и 2 Не добавляем
7 6 - 7 2 и 2 Не добавляем
8 1 - 5 1 и 2 Добавляем перегон
9 1 - 2 1 и 1 Не добавляем
10 4 - 7 1 и 1 Не добавляем
11 1 - 6 1 и 1 Не добавляем
12 2 - 4 1 и 1 Не добавляем
Рис. 3. Альтернативный вариант структуры сети
Таким образом, определив все возможные варианты сети наименьшей длины, можно проводить их взаимное сравнение по другим параметрам (стоимость, сроки строительства, грузооборот и т. д.).
При нахождении всех возможных вариантов сети наименьшей длины с помощью данного алгоритма потребуется меньше вычислений, чем если бы были составлены все возможные варианты остовов с последующим их расчетом и сравнением их суммарной длины. Тем не менее, расчет даже небольшого количества альтернативных вариантов является трудоемким процессом, который можно упростить, используя средства вычислительной техники, в частности программу «Остов ЖД»
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
(рис. 4), разработанную в рамках проводимых исследований.
Рис. 4. Вид программы «Остов ЖД» и результат расчета
Программа имеет следующий принцип действия:
1. Пользователь вводит количество вершин (станций) и ребер (перегонов) в заданной сети.
2. Создается таблица с количеством строк, равным указанному количеству ребер, в которой для каждого ребра вводятся номера соединяемых им вершин и критерий (длина, стоимость и т. д.), необходимый для поиска остова сети железных дорог.
3. В пункте меню «Условие» выбирается тип искомого остова: минимальный или максимальный (по умолчанию - «Минимальный остов»).
4. При нажатии кнопки «Расчет» программа проверяет возможность соединения всех вершин в одну сеть заданными ребрами. Если это невозможно, то программа выдаст соответствующее сообщение в поле «Результат».
5. Если возможно соединить все вершины заданными ребрами, то в поле «Результат» появится информация о том, какое суммарное значение параметра должен иметь искомый остов, сколько существует различных вариантов структуры такого остова, и будет выведена структура каждого варианта.
Данная программа сокращает время поиска вариантов структуры минимального или максимального остова в заданной сети, проводя все необходимые расчеты. Кроме того, выявляются варианты с одинаковой структурой. На экран выводятся только варианты остова, имеющие различные структуры.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Стратегия развития железнодорожного транспорта в Российской Федерации до 2030 года : утв. распоряжением правительства Российской Федерации 17.06.2008г.
2. Поиск кратчайшей связывающей сети железных дорог в регионе : проблемы и перспективы изысканий, проектирования, строительства и эксплуатации российских железных дорог / В. С.Шварцфельд, В. В. Баранова, А. Е. Кононен-ко, В. В. Кулигин. Иркутск : материалы всерос. науч.-практ. конф. (10 - 11 октября 2007 г. Иркутск). Т. 2. Иркутск : Изд-во ИрГУПС, 2007. С.18-22.
3. Дехтярь М. И. Основы дискретной математики [Электронный ресурс] : интернет-институт информационных технологий. Интуит.ру. 2007. 264 с. URL : http://www.intuit.ru/ depart-ment/ds/discrmath/n/Lhtml. (дата обращения 12.03.2012).
