CC BY
2УДК 528.3
ОБОСНОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ВЗАИМНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ ПРИБОРОВ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПОСТОЯННОЙ ПОПРАВКИ ЭЛЕКТРОННОГО ДАЛЬНОМЕРА
канд. техн. наук, доц. С.Д. КРЯЧОК; канд. воен. наук, доц. И.И. БОХАНОВ; Л.С. МАМОНТОВА (Черниговский национальный технологический университет, Украина)
Обосновывается точность определения постоянной поправки электронных дальномеров в условиях наклонной местности для безбазисного створного способа. Учтены отклонения среднего штатива в плане и по высоте относительно створной линии крайних штативов. Разработана математическая модель и выполнено моделирование для электронных дальномеров с заданными параметрами точности. В результате моделирования получены значения допустимых смещений среднего штатива в плане и по высоте, величины допустимых неравенств плеч на станции, число приемов определения постоянной поправки для расстояний от 10 до 100 м.
Ключевые слова: постоянная поправка электронного дальномера, электронный тахеометр, измерение расстояний.
Для определения постоянной поправки электронного дальномера (дальше - постоянной поправки) при отсутствии базиса можно использовать безбазисный створный способ [1; 2]. Для его реализации устанавливают в створ на одной высоте три штатива. Производят измерение линии £13 электронным тахеометром между крайними штативами, а с крайних штативов - на средний, получают значения £12 и £,2.
Величина постоянной поправки с определяется по следующей формуле [2]:
с = -^12 -^32. (1)
Однако, согласно исследованиям [3], в данном способе не обязательно устанавливать приборы на одной высоте, достаточно установить их на одной линии, даже наклонной. Поэтому можно использовать как горизонтальную местность, так и местность со значительным уклоном. Отражатель на среднем штативе может быть немного смещен в плане и по высоте относительно створной линии крайних штативов. Тогда линии £12 и £,2 проектируются на замыкающую линию (створную) £13 по закону косинуса, который для малых углов близок к единице, а сами проекции близки по величине самим линиям. Ставится задача определения допустимого смещения среднего штатива в плане и по высоте относительно створной линии крайних для безбазисного створного способа определения постоянной поправки.
Исследовательская часть. На рисунке 1 показано пространственное положение линий, измеренных на станции определения постоянной поправки.
В точках 1, 2, 3 наклонной площадки устанавливаются штативы с подставками, к которым поочередно крепятся электронный дальномер и отражатель на высоте инструмента \, /2, /3. В точках 1', 2', 3' измеряются расстояния 812, 832, 813.
На рисунке 1 показаны линии, содержащие постоянную поправку с в неявном виде, то есть = + с. Линия 813 имеет угол наклона У13, превышение к13 относительно горизонта инструмента
точки 1'. Линия 82 имеет угол наклона у12, превышение к12 относительно точки 2'' и горизонтальный угол Ь1 относительно З°3. Линия 83°2 образует горизонтальный угол Р3 относительно линии Б[3, угол наклона У32, превышение Н32 относительно точки 2°. Точки 2°п, 2'п, 2"п - проекции точек 2°, 2', 2" на вертикальную плоскость 1', 3", 3', проходящую через линию 813. Проекциями линий 812, 83°2 на вышеуказанную плоскость являются отрезки 812 и 83'2; ДГ - смещение в плане среднего штатива относительно створа крайних. Отрезок (2'п - В) равен смещению по высоте Дв среднего штатива относительно линии З°3. Отрезок ДВ - проекция Дв на перпендикуляр (2'п - А) к линии 81°3.
Очевидно, что смещения ДГ и Дв приведут к погрешности Дс формулы (1), которая имеет строгое решение для расположения всех штативов на одной линии. В этом случае значение погрешности постоянной поправки равно
Дс = с - с, (2)
где с - значение постоянной поправки при наличии смещений; с - значение постоянной поправки при отсутствии смещений.
Смещения ДГ и Дв приводят к возникновению пространственного треугольника 1', 2', 3' (см. рис. 1), у которого стороны 812 и 832 будут всегда больше, чем их значения при отсутствии смещений. Поскольку указанные стороны входят в формулу (1) с отрицательным знаком, то при неизменном значении 813 имеем с < с, а их разность Дс < 0. Поэтому Дс является систематической погрешностью.
В случае если центральный штатив расположен посредине, средняя квадратическая погрешность (СКП) определения постоянной поправки по формуле (1) равняется
т, = * \т\ + 2т
+2mS , (3)
где ms , ms - СКП измерения расстояний S13 и S12 соответственно.
Для известной формулы точности электронных дальномеров mS = амм + Ьмм • SKM и S13 < 100 м, mSij » а , а mc » >/3а, согласно (3).
Погрешность измерения лини с учетом погрешности определения постоянной поправки и отсутствия Дс составляет m'S m\ + m2 . Чтобы mc не влияла на точность m'S, необходимо соблюсти следую-
1 тт „1
щее условие: mc = — mS . Для минимальных измеряемых расстояний mS » а, тогда mc = — а .
Как видно, реальная точность определения постоянной поправки mc а больше требуемой. Поэтому необходимо выполнить N приемов ее определения, получить среднее значение постоянной
1
поправки сср с точностью mc =— а . Тогда
m2
N = , (4)
"2р
что составит 27 приемов после подстановки соответствующих значений.
Если ограничить смещения среднего штатива предельными значениями ДГр, ДВр, а также менять расположение среднего и крайнего штативов в каждом приеме случайным образом, то модуль Дс
тоже будет изменяться случайным образом в пределах от нуля до предельного значения ДСпр, а значение Дс в приемах будут независимы. Тогда распределение модуля среднего значения Дс будет стремиться к
к I
нормальному с математическим ожиданием Ьс = ™ [4].
Точность измерения линии в этом случае определяется по формуле Бьенэме [4]:
т =7 т1 + тс + ЪС. (5)
Чтобы тс и Ъс не влияли на точность измерения линий, необходимо соблюсти условие:
J
2 2 1 1
m + b = — m,, = — a . c 3 S 3
В свою очередь, чтобы значительно не увеличивать число приемов, ставится условие ничтожного =1
влияния величины b =— m .
c 3 Сср
Тогда
a ^
mc = , (6)
Сср V10
2
Ac =--= a . (7)
3V10
Для определения предельных значений отклонений среднего штатива по высоте Aприменен
метод имитационного моделирования с использованием программного средства Microsoft Excel. В качестве исходной математической модели использована формула (2), где в качестве c можно принять конкретное число. Однако была использована математическая модель-компаратор, позволяющая проконтролировать правильность вычисления расстояний Sij [3]:
c = S.2C0S V,2COS b + S32COS V32COS P3 - S13 C0S V13 . (8)
COS v13 - COS v12 COS Pj - COS v32 COS b3
Исходными данными для реализации математической модели-компаратора (8) являются: S
13'
А Г , А В , с.
Г ПР У ВПР у
Так как устанавливать средний штатив в створ крайних в плане легче, чем по высоте, то принимается А Гр = 0,03 м, что соответствует возможному перемещению подставки прибора относительно центра
отверстия головки штатива.
Принимается, что угол наклона v13 линии S13 соответствует наклону местности, а средний штатив
устанавливается посредине на расстоянии S° = Sn/2 = (1'- B), но со смещением в плане на АГр.
Вводится система координат, где за ось абсцисс принято направление 1' - 3" (см. рис. 1); за ось ординат - перпендикуляр к горизонтальной плоскости створа линии Sn; за ось аппликат - вертикаль точки 1', направленная в надир.
Для расчета необходимых значений элементов математических моделей (8), (1) и (2) использованы следующие формулы:
s; = s• cosV13, s; = s• sinvn, = 7^)ЧлГ~, z2.= hl2 = s; -аВш, S; = V(d;,)2+% ,
X3' = S;3 cos v13, Y3' = 0, Z3'= Snsin v13, S3°2 = ^(X3, - X2 )2 + (Y3, - Y2-)2 + (Z3' - Z2' )2
v13
^^ = Sj - с.
(9)
Для данных значений , у13 , АГр, с подбираются такие значения АВр, которые в результате вычислений по формулам (9), (8), (1) и (2) позволяют получить значение Ас, не превышающее А%р,
рассчитанное по формуле (7).
Математическое моделирование выполнено для электронного дальномера с точностью измерения расстояний т5 = 2 мм + 2 мм • £, км и постоянной поправкой с = -40 мм. Согласно формулам (6) и (7), тс = 0,632 мм, АСпр = 0,4216 мм.
Число приемов N вычислялось по формуле (4), а тс - по формуле (3) для каждого значения расстояний 513 и 512 = 513 /2 . Определялось допустимое смещение А5 среднего штатива относительно центра створа крайних вдоль линии 5°3, что соответствует половине величины неравенств плеч среднего штатива на станции.
Результаты имитационного моделирования приведены в таблице.
Значения параметров определения постоянной поправки в зависимости от значений 513 и у13
N3 ^13 10 м 20 м 30 м 40 м 50 м 60 м 70 м 80 м 90 м 100 м
0° Двлт, М 0,034 0,057 0,073 0,086 0,098 0,108 0,117 0,126 0,134 0,142
А5, м ±0,7 ±1,2 ±1,8 ±1,5 ±1,4 ±2,4 ±3,7 ±2,9 ±3,5 ±1,4
5° Дв„, м 0,034 0,057 0,073 0,087 0,098 0,108 0,118 0,126 0,134 0,142
А5, м ±0,8 ±1,4 ±2,2 ±3 ±2,5 ±3,5 ±4,7 ±4,4 ±5,2 ±4,5
10° Двпр, м 0,035 0,058 0,074 0,088 0,099 0,110 0,119 0,128 0,136 0,144
А5, м ±0,4 ±1,1 ±2,0 ±1,0 ±2,8 ±1,0 ±3,2 ±2,7 ±3,8 ±2,8
тс 3,49 3,51 3,53 3,56 3,58 3,60 3,63 3,65 3,67 3,70
N 31 31 32 32 32 33 33 34 34 35
Реком. Двщ,, м 0,033 0,057 0,073 0,086 0,098 0,108 0,117 0,126 0,134 0,142
Анализ данных таблицы позволяет сделать следующие выводы. Величины предельного вертикального смещения по высоте АВр в зависимости от расстояния 513 при изменении угла наклона линии от
0 до 10° увеличились всего на 1...2 мм. Окончательно все значения АВр приведены к наклону 0° (рекомендуемое АВпр). При этом АВ уменьшено до 0,033 мм для 513 = 10 м, чтобы значение А5 было в пределах 1 м. Тогда предельное неравенство плеч на станции составляет ±2. Число приемов N, которое в случае Ас = 0 составляло бы от 28 для 513 = 10 м и 31 - для 513 = 100 м, согласно формуле (3) увеличилось до 31.35 в зависимости от длины замыкающей. Поэтому рекомендуемыми расстояниями для определения постоянной поправки являются 10.50 м, для которых N = 31...32.
График значений АВ в зависимости от 513 показан на рисунке 2.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Рисунок 2. - Зависимость ав от расстояния ^13
Представленный график аппроксимируется полиномом ABp =-8 -10 6 SM2 +1,98 -10 3 SM + 0,0178 (м) с показателем достоверности аппроксимации R = 0,996 . Полином используется для вычисления значений AВр в зависимости от конкретных значений S13 на станции.
Для расчета точности определения постоянной поправки в зависимости от измеренных значений АГ и ab на станции использована упрощенная формула, полученная на основе выражения (8) разложением в ряд функции cosn с точностью до второго члена разложения [5]:
А г
С = Sn — S12 - S32 + —
2 ( 1 1 Л
1 1
-+ —
SS
V 12 32 У
(а; )
2 (1 1 ^
2
- + -SS
V 12 32 У
(10)
Контролировать допуски АГ, А В можно: в плане - боковым нивелированием с СКП порядка 2 мм, по высоте - геометрическим нивелированием с использованием нивелира типа Н3, обеспечивающим СКП определения превышения 2,0 мм для расстояний до 100 м [5]. Значение АВ »Ав определяется косвенным образом через превышения h12 и h32. Величина (В-2°п) = S°l3 sinv13 = h12 +Ав при условии, что (1'-В) = (В - 3') = S°3 (см. рис. 1). Тогда h32 = (2П - 2'п) = (В- 2П) + АВ = h12 + 2АВ. Кроме того, h12 + h32 = h13. В этом случае 2h12 + 2А В = h13, откуда
Ав = ^ - hl2. (11)
Дифференцирование выражения (10) с учетом (11) и S12 » S32 » S13/2 позволяет получить формулу определения СКП постоянной поправки:
А2 а2
mc = 4ml + 2ш22 + 4-f (4m¿ + <) + 16-f m2r. (12)
S13 S13
Для минимальных расстояний и соответствующих им значений АВр и АГпр, приведенных в таблице, коэффициенты при третьем и четвертом слагаемых формулы (12) на несколько порядков меньше коэффициентов при m^ и m^ . Поэтому mc в одном приеме рассчитывается по формуле (3), что и было сделано выше.
В случае определения постоянной поправки электронного тахеометра можно воспользоваться его горизонтальным и вертикальным кругами. Для этого измеряется горизонтальный угол Р1(см. рис. 1) и вертикальный угол в направлении на точку 3' и точку 2'. Этот угол близок к вертикальному углу Av1, что следует из следующих соображений.
h tgv
Ясно, что Av1 = v13 — v'2 (см. рис. 1). Поскольку tgv'2 = 12 =-— , то для малых углов b1
1- 2и cos р1
v12 »v12. Тогда Av1 »v13 — v12. Поэтому измеряется практически вертикальный угол Av1.
Из рисунка 1 видно,что
Аг = S¡2 cos v12 sin b1 » S12 cos v12 sin b1, и АВ = (1' — ^)tgAv1 = [(1' — В) — Авпр • sinv13 ] tgAv1.
S° S S
Для значений АBp (см. табл. 1), малых по сравнению с (1'—В) = получится Af ^-^3tgAv1.
C учетом приведенного выше выражение (10) примет вид
С = S13 S12 S32 + "2
( ! ! V е2 А -+ —
SS
V 12 32 yv
S2
S122 cos2 v12 sin2 b1 + -j3 tg2Av1
(13)
+
После дифференцирования (13) и с учетом £12 » 532 получим формулу СКП определения постоянной поправки для случая определения внестворного положения среднего штатива электронным тахеометром:
+ 2ml +Ат
S12 О2
(
At
Р
2 b
tg *12 2~+ Ctg b~T
Р
+ 4-
У
(AB )4 m2 Av sin2 2Av1 p2
(14)
где тп, тАп, тр - СКП измерения тахеометром углов наклона, вертикальных и горизонтальных углов соответственно.
Для тп = тАп = тр = 10" и параметров формулы (14), рассчитанных согласно данным таблицы, слагаемое формулы (14), приведенное в квадратных скобках, на несколько порядков меньше сумы двух предыдущих. Поэтому СКП постоянной поправки электронного тахеометра определяется по формуле (3).
Заключение. В результате проведенного исследования выполнено обоснование точности определения постоянной поправки электронных дальномеров для безбазисного створного способа с учетом вне-створного положения среднего штатива в плане и по высоте для наклонной местности. Предложена математическая модель и выполнено моделирование для электронного дальномера с заданными параметрами точности, в результате которого получены: величины допустимых смещений среднего штатива относительно линии крайних в плане и по высоте; величины допустимых неравенств плеч на станции; число приемов определения постоянной поправки для расстояний от 10 до 100 м.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ворошилов, А.П. Определение постоянной поправки дальномера электронного тахеометра / А.П. Ворошилов // Геопрофи. - 2005. - № 4. - С. 46-47.
2. Крячок, С.Д. До визначення постшно! поправки електронних вiддалемiрiв / С.Д. Крячок // Вкник геодезп та картографи. - 2015. - № 2. - С. 4 -7.
3. Крячок, С.Д. Розроблення просторово! математично! моделi постшно! поправки електронних вiддалемiрiв / С.Д. Крячок, Л.С. Мамонтова // Вюник Чершпвського держ. технолопчного ун-ту. Серiя «Техшчш науки». - 2015. - № 1 (1). - С. 118-125.
4. Войтенко, С.П. Математична обробка геодезичних вимiрiв. Теорiя похибок вимiрiв / С.П. Войтенко. -Ки!в : КНУБА, 2003. - 216 с.
5. Справочник по инженерной геодезии / под общ. ред. Н.Г. Видуева. - Киев : Вища школа, 1978. - 376 с.
Поступила 25.04.2016
2
mc =
m
S
13
SUBSTANTIATION OF THE PARAMETERS OF MUTUAL LOCATION OF THE INSTRUMENTS AT THE STATION OF DETERMINE OF CONSTANT CORRECTION OF ELECTRONIC RANGEFINDER
S. KRYACHOK, I. BOHANOV, L. MAMONTOVA
Substantiation of the accuracy of determining constant corrections for electronic rangefinder's on sloping terrain for instrumentation, located in line, done. Taken into account the deviations of the average tripod in plan and in height relative to the middle of the line, connecting extreme tripods. The mathematical model and simulation for electronic rangefinders with the given parameters of the accuracy developed. As a Result of simulation modeling received: allowable displacement of the middle tripod in plan and in height; acceptable inequalities of shoulders at the station; the number of ways to determine the constant correction for distances from 10 to 100 m.
Keywords: constant correction of electronic rangefinder, electronic total station, measuring distances.
