CC BY
26
УДК 111.82+116+1(091)Зенон
DOI 10.24147/1812-3996.2020.25(1).74-77
ОБОСНОВАНИЕ КОСВЕННОЙ НЕРАЗРЕШИМОСТИ АПОРИИ ЗЕНОНА «АХИЛЛ» ПОСРЕДСТВОМ НАГЛЯДНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
В. М. Шкарупа
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Аннотация. Для обоснования неразрешимости апории Зенона «Ахилл» автор прибегает к помощи модели Клейна наглядного представления неевклидовой геометрии, согласно которой неравным и в то же время уменьшающимся отрезком в евклидовом пространстве соответствуют равные отрезки в неевклидовом. Однако такое обоснование по необходимости носит лишь характер видимости, обратной стороной которой оказывается двусмысленность неявно используемого Зеноном принципа Парменида о тождестве мышления и бытия.
Информация о статье
Дата поступления
23.12.2019
Дата принятия в печать
04.02.2020
Дата онлайн-размещения 15.05.2020
Ключевые слова
Зенон, апории, движение, апория «Ахилл», модель Клейна
JUSTIFICATION OF INDIRECT INSOLUBLE ACHILLES APORIA BY VISUAL REPRESENTATION OF THE NON-EUCLIDEAN GEOMETRY
V. M. Shkarupa
Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Article info
Received
23.12.2019
Accepted
04.02.2020
Available online 15.05.2020
Abstract. To justify the insoluble aporia of the Achilles, the author uses Klein's model of visual representation of non-Euclidean geometry, according to which unequal and at the same time diminishing segments in the Euclidean space correspond to equal segments in the non-Euclidean one. However, this justification, by necessity, is only the nature of appearance, the reverse of which is the ambiguity of the implicitly used principle of Parmeni-des on the identity of thinking and being.
Keywords
Zeno, aporia, movement, Achilles aporia, Klein model
Как известно, над разрешением апорий Зенона бились лучшие умы философов, математиков и логиков на протяжении всего времени, что существуют эти апории, т. е. на протяжении тысячелетий, однако решения, во всяком случае удовлетворительного, такого, чтобы было общепринятым, до сих пор не найдено - в противном случае они были бы переквалифицированы в софизмы или, на худой конец, получили бы статус паралогизмов.
А рельсы-то, как водится, У горизонта сходятся...
Из песни
Для обоснования косвенной неразрешимости посредством наглядного представления неевклидовой геометрии (через структуру евклидовой) обратимся к анализу одной из четырех апорий, связанных с движением, а именно к апории «Ахилл и черепаха». Рассмотрим вначале суть противоречия, возникающего при специфическом подходе Зенона к толкованию «соревнования» в беге таких «спортсменов», как самого быстроногого воина греческого войска Ахилла и самого медленного животного - черепахи.
Представим себе, что Ахилл погнался за черепахой, когда та была на некотором расстоянии от него. Казалось бы, что он должен за очень короткое время настичь ее. Но не тут-то было, как указывает Аристотель, Зенон воздвигает перед Ахиллом непреодолимую границу, суть которой заключается в том, что Ахилл устремляется не к самой черепахе (что было бы вполне естественно), а к тому месту, где она была в момент старта (что выглядит довольно-таки искусственно, но именно такие условия рассмотрения ситуации формулирует Зенон); и так повторяется неоднократно, а точнее, до бесконечности, если вслед за Зеноном принять бесконечную делимость пространства, т. е. трактовать его в геометрическом смысле как континуум (см., напр.: [1, с. 56; 2, с. 302304]). Итак, в самой постановке задачи уже изначально содержится ее неразрешимость, заключающаяся в том, что нас заставляют для ее решения сосчитать бесконечность, что было бы, как выразился Ф. Энгельс, чудом сосчитанной бесконечности.
Надо сказать, при скорости Ахилла, равной удвоенной скорости черепахи V = 2Уч), апория «Ахилл» не только по существу (принципиально), но и формально совпадает с другой апорией Зенона, называемой «Дихотомией» (деление пополам; правда, с некоторой незначительной оговоркой), согласно которой мы должны в результате рассуждения прийти к выводу, что движение не только неосуществимо (как процесс), но оно даже не может начаться.
Сам Зенон приходит к неутешительному выводу о невозможности движения как такового. И здесь мы должны согласиться с тем, что вследствие этого Зенон полагает, что движение есть не что иное, как феномен, принадлежащий миру иллюзий (небытию, на нашем языке; это замечание существенно, ибо, как я дополнительно скажу об этом ниже, для парменидовского языка, который использует Зенон, отрицание движения оказывается некорректным), так как, согласно его учителю Пармениду, мышление и бытие тождественны, а, стало быть, существует только то, что в принципе является мыслимым: движение немыслимо, значит, движение не существует. В философской литературе указывается, что это не случайно. «Трудности выражения движения в логике понятий носят принципиальный характер. Уже апории Зенона свидетельствуют о невозможности описания движения непротиворечивым образом» [3, с. 144] «По каждой из зеноновских апорий предложено много различных решений. В истории философии, логики и точных наук неоднократно возвращались к обсуждению проблем непрерывности и
прерывности, отображения движения в понятиях, трудностей разрешения противоречий парадоксальных положений, сформулированных античным философом. Но пока ни по одной апории нет общепринятого способа разрешения возникающих в апории противоречий» [1, с. 47]. Однако, замечу в скобках, странно, что такой продвинутый в логике мыслитель, как Бертран Рассел, в своей «Истории западной философии» даже словом не обмолвился о существовании апорий Зенона, хотя учителю его Пармениду посвящена в ней целая глава [4, кн. 1, гл. V].
Цель же и данной статьи отнюдь не заключается в том, чтобы наконец предъявить миру долгожданное разрешение неразрешимого парадокса; задача ее, безусловно, скромнее - всего лишь дать возможную интерпретацию того, почему невозможно разрешить один из парадоксов мышления, связанного с попыткой представить движение в понятиях.
Итак, интересную и, по сути, неожиданную интерпретацию апории «Ахилл» можно получить, если обратиться к проблеме наглядности неевклидовых геометрий. Ганс Рейхенбах, анализируя ее, обращается к модели неевклидовой геометрии, предложенной Клейном, - внутренняя область круга может быть использована для наглядного представления геометрии Больяи - Лобачевского, а именно: «Между хордами этого круга имеют место те же отношения, что и между прямыми линиями геометрии Лобачевского, до тех пор пока мы ограничиваем себя внутренней областью данного круга» [5, с. 68]. При таком представлении выявляется одна любопытная деталь, которую я и собираюсь использовать для интерпретации парадокса. Равные расстояния, скажем, в геометрии Лобачевского, в евклидовом отображении представляются как все более и более уменьшающиеся при продвижении к окружности, так что на хорде оказывается расположено бесконечное количество таких «равных» отрезков [5, с. 69]. И таким образом получается, что Ахилл пробегает, а черепаха проползает каждый раз не уменьшающиеся, а совершенно равные отрезки пути, который вследствие этого стремится не к пределу (как это имеет место в евклидовом пространстве), а к бесконечности (в пространстве Лобачевского). Надо при этом, правда, отметить, что их скорости все время возрастают в последнем случае, в случае пространства Лобачевского, с каждым отрезком становясь все больше и больше, вплоть до бесконечности (опять же при условии, что время течет неизменно при переходе от одной геометрии к другой), что, впрочем, не отвечает требованиям теории относительно- 75
сти Эйнштейна, однако если не совершать предельного перехода, то теория относительности будет к нам снисходительна.
Можно указать еще на одну аналогию конгруэнтности, связанную с представлением бесконечного в конечном - перспективное схождение параллельных линий. С этим перекликается феномен детского восприятия перспективы, описанный Рейхенбахом: так, дети «не способны идентифицировать статичную картину конгруэнтности удаленных предметов с конгруэнтностью предметов, расположенных поблизости. Дети видят параллельные обводы улицы как объективно сходящиеся и, когда доходят до конца улицы, не могут понять, что это то же самое место, которое они видели издалека» [5, с. 75]. И еще одно важное замечание Рейхенбаха, касающееся метода Клейна и относящееся к нашему подходу в интерпретации апории Зенона: «Только до тех пор, пока метод Клейна идентифицируется с процессом отображения, данный пример не является представлением геометрии Лобачевского. Однако можно приспособиться к иной конгруэнтности, т. е. рассматривать как конгруэнтные те части хорды, которые, говоря евклидовым языком, становятся все меньше и меньше по мере приближения к периферии. В этом смысле картина Клейна является подлинно наглядным представлением геометрии Лобачевского» [5, с. 77].
Еще раз повторюсь, данный подход никоим образом не претендует на то, чтобы как-то разрешить или попытаться представить до некоторой степени разрешенным апорию Зенона «Ахилл». Я всего лишь стремлюсь показать гносеологическую (или когнитивную, но отнюдь не логическую) относительность любого парадокса, т. е. мы можем подобрать такую интерпретацию, при которой по видимости парадокс исчезает. В нашем случае, т. е. в случае апории «Ахилл», видимость исчезновения парадоксальности достигается довольно искусственным способом -соответствующей подгонкой параметров перехода между евклидовой и неевклидовой геометриями, связанной в том числе и с соотношением скоростей Ахилла и черепахи. Парадоксальность также не исчезает и в другом, расхожем, или психологическом,
смысле этого слова, а именно в невозможности, необычности случившегося, т. е. парадоксальность того, что Ахилл не может догнать черепаху, и в этой интерпретации остается незатронутой.
При таком подходе можно было бы, манипулируя параметрами перехода, даже сию парадоксальность усилить - хотя куда уж усиливать абсурдность немочи Ахилла! - и изобразить дело так, что Ахилл не только не будет приближаться к черепахе, но, наоборот, будет от нее удаляться.
Почему я выше заметил, что отрицание Зено-ном движения оказывается некорректным с точки зрения того учения, которое он и защищает с помощью искусственно сформулированных ситуаций? Как уже говорилось, главный принцип учения Пар-менида провозглашает тождественность мышления и бытия, на основе которого Зенон и доказывает отсутствие движения. Однако он не заметил двусмысленности опоры на этот принцип - его ведь в данном случае можно перевернуть и утверждать следующее: движение невозможно, оно не существует (в силу логической противоречивости следствий из допущения его существования), но в силу того, что мы помыслили это небытие, оно автоматически приобретает статус бытия, т. е. движение существует реально, а не только как иллюзия.
Но вернемся к нашему способу обоснования и сделаем выводы, следующие из него. Во-первых, неразрешимость апории «Ахилл» внешне показана как видимость при использовании модели Клейна, касающейся проблемы наглядности неевклидовых геометрий: предложено рассматривать при соответствующих условиях перехода от неевклидовой геометрии к евклидовой неравные отрезки в евклидовом пространстве и соответствующие бесконечному приближению Ахилла к черепахе, который никогда ее при этом не достигает (ибо, говоря математическим языком, мы не совершаем предельного перехода); во-вторых, обнаружена некорректность использования Зеноном одного из двух возможных и равных толкований принципа Парменида о тождестве мышления и бытия применительно к вопросу о существовании либо несуществовании движения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. М. : Наука, 1975. 720 с.
2. Гурина М. Философия : учеб. пособие. М. : Республика, 1998. 540 с.
3. Философский словарь / под ред. И. Т. Фролова. 7-е изд., перераб. и доп. М. : Республика, 2001. 719 с.
4. Рассел Б. История западной философии : в 2 т. Новосибирск : Изд-во Новосиб. ун-та, 1994. Т. 1. 464 с.
5. Рейхенбах Г. Философия пространства и времени / пер. с англ. М. : Прогресс, 1985. 344 с.
76 -
Herald of Omsk University 2020, vol. 25, no. 1, pp. 74-77
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Шкарупа Владимир Михайлович - доцент, кандидат философских наук, доцент, кафедра философии, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: ShkarupaVM@omsu.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Шкарупа В. М. Обоснование косвенной неразрешимости апории Зенона «Ахилл» посредством наглядного представления неевклидовой геометрии // Вестн. Ом. ун-та. 2020. Т. 25, № 1. С. 74-77. DOI: 10.24147/1812-3996.2020.25(1).74-77.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Shkarupa Vladimir Mikhailovich - Docent, Candidate of Phylosophical Sciences, Docent, the Department of Philosophy, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: ShkarupaVM@ omsu.ru.
FOR GTATIONS
Shkarupa V. M. Justification of indirect insoluble Achilles aporia by visual representation of the non-euclidean geometry. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2020, vol. 25, no. 1, pp. 7477. DOI: 10.24147/1812-3996.2020.25(1).74-77. (in Russ.).
