CC BY
11ISSN 0868-5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2013, том 23, № 2, c. 47-55
=МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ
УДК 535.5.511:531.7
© А. И. Семененко, И. А. Семененко
ОБОСНОВАНИЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИ НЕКОРРЕКТНОЙ ОБРАТНОЙ
ЗАДАЧИ ЭЛЛИПСОМЕТРИИ. 2. О РЕШЕНИИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ НА МНОЖЕСТВЕ НАБОРОВ УГЛОВ ПАДЕНИЯ СВЕТОВОГО ПУЧКА
Рассмотрен способ решения математически некорректной обратной задачи эллипсометрии, основанный на использовании некоторого множества наборов углов падения светового пучка на образец. Показано, что решение обратной задачи на множестве наборов углов падения приводит к относительной простоте и надежности процесса решения, а также к большой точности, с которой определяются все четыре параметра отражающей системы со сверхтонкой пленкой. Предложенный способ решения позволяет преодолеть существенные трудности, возникающие, из-за сверхмалой толщины пленки, и в идеальном случае, когда отсутствуют экспериментальные ошибки, но применяется традиционный подход к решению обратной задачи относительно всех 4 параметров однослойной отражающей системы.
Кл. сл.: эллипсометрия, поляризационные углы, математически некорректная обратная задача, критерий, оптимальное решение, численный эксперимент, сверхтонкая пленка, подложка, оптические постоянные
ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Новый подход к решению математически некорректной обратной задачи эллипсометрии, предложенный в работе [1] и развитый в ряде последующих работ (см., например, [2]), основан на использовании измерений поляризационных углов ^ и А, отвечающих некоторому набору углов падения светового пучка на образец. Это является необходимым условием для успешного применения метода. Однако, как показывает анализ, проведенный в работе [3], выбор комплекса углов падения светового пучка не может быть произвольным. Угловой комплекс должен обеспечивать правильный предельный переход к идеальному случаю, когда отсутствуют экспериментальные ошибки в используемых поляризационных углах ^ и А, а отражающая система является строго однослойной. Для идеального случая при точно заданных оптических параметрах подложки величины
d и n ,
mm min '
(1)
определяющие параметры пленки в точке абсолютного минимума функционала обратной задачи, имеют одинаковые значения для любого углового комплекса, и эти значения совпадают с точными значениями ^)4гц и («)4гц параметров пленки
dmin = (d)tru ' nmin = (nLr
(2)
Эта особенность идеальной ситуации может быть записана в виде следующих функциональных соотношений:
dmm(a) = const, «min(«) = const, (3)
dmm(a) = (d L^ nmi» = (n)^ (4)
в которых параметр а определяет комплекс углов падения светового пучка (см. [3]), принимая любые возможные значения. В то же время оптимальные значения
dopt и nopt
(5)
толщины и показателя преломления пленки при тех же точно заданных параметрах подложки совпадают с величинами (1), а значит, и с точными значениями ^ )4гц и (п)4ги параметров пленки не на всех комплексах углов падения светового пучка. Это означает, что предельный переход к идеальному случаю
opt ^ (dXru, nopt ^ (n)
opt
(6)
при использовании методов решения математически некорректной задачи реализуется не для любого углового комплекса. В работе [3] на ряде
примеров показано, что существует только один угловой комплекс, на котором реализуется предельный переход (6). Вводя для параметра а , соответствующего этому основному угловому комплексу, обозначение а0, перепишем выражения (6), определяющие предельный переход к идеальной ситуации, в более конкретной форме:
«орЛао) ^ (йХг^ «ойЮ ^(п)
'opt ^
(7)
Без учета описанных свойств угловых комплексов возможны ошибки в определении параметров отражающей системы, дополняющие ошибки, обусловленные погрешностями в измерении поляризационных углов ^ и А, а также отклонениями от модели однослойного образца. Такого рода ошибки при произвольном выборе углового комплекса возникают и в идеальной ситуации, т. е. они носят универсальный характер. От них можно избавиться только при правильном выборе основного комплекса углов падения светового пучка. Однако правильный выбор основного углового комплекса связан с изучением некоторого множества угловых комплексов. При этом возникают дополнительные возможности в решении математически некорректной обратной задачи эллипсо-метрии.
В работе [3] подробно описаны основные положения методики, предназначенной для выбора основного углового комплекса. Суть этой методики сводится следующему. Обратная задача решается на некотором множестве угловых комплексов. При этом решение разбивается на два этапа. На первом этапе обратная задача решается относительно оптических параметров подложки п0 и к0. Решением будут те значения этих параметров, которые обеспечивают минимальный разброс величин ётт и птш, определяемых в точке абсолютного минимума функционала 50, по угловым комплексам множества. На втором этапе по значениям оптических параметров подложки, обеспечивающим указанную минимизацию, для каждого углового комплекса находятся оптимальные значения йор1 и пор1 параметров пленки. Основным
будет тот угловой комплекс, для которого выполняются соотношения
opt т
opt
(8)
множестве угловых комплексов позволяет избежать ошибок, обусловленных неправильным выбором основного комплекса. Кроме того, использование множества угловых комплексов приводит к дополнительным возможностям в решении обратной задачи. Прежде всего это касается определения оптических параметров п0 и к0 подложки, особенно коэффициента поглощения. Прежний подход к решению математически некорректной обратной задачи эллипсометрии сталкивается с некоторыми трудностями в определении коэффициента поглощения подложки. Однако приведенная в работе [3] схема решения обратной задачи на множестве угловых комплексов нуждается в более детальной разработке. Это связано с тем, что выбор оптических параметров подложки, при котором реализуются условия (3), не является однозначным. По этой причине, а также ввиду некоторой неопределенности в отношении структуры поверхности реальных объектов для детальной разработки метода целесообразно использовать численный эксперимент с моделированием экспериментальных ошибок в поляризационных углах. Данная задача является основной целью настоящей работы. При этом для выявления в чистом виде некоторых закономерностей будет рассмотрен также и идеальный случай.
1. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ НА МНОЖЕСТВЕ УГЛОВЫХ КОМПЛЕКСОВ ДЛЯ ИДЕАЛЬНОГО СЛУЧАЯ
Идеальный случай рассмотрим на примере численного эксперимента для той же модели однослойной отражающей системы, что и в предыдущих работах. Параметры системы имеют значения
й = 2.50 нм, п = 1.50;
п0 = 3.865,
к0 = 0.023.
(9) (10)
Если соотношения (8) не выполняются ни для одного углового комплекса множества, то данное множество необходимо расширить. Найденный описанным способом основной угловой комплекс одновременно определяет и параметры й и п, совпадающие с указанными в (8) величинами.
Таким образом, решение обратной задачи на
Длина световой волны определяется значением Л = 632.8 нм. Изучается идеальный случай, поэтому экспериментальные ошибки не моделируются и рассчитанные поляризационные углы строго соответствуют параметрам (9) и (10) однослойной системы. Будем предполагать, что неизвестны все 4 параметра данного отражающего объекта. В этом случае из-за сверхмалой толщины пленки, несмотря на идеальную ситуацию, возникают значительные трудности в решении обратной задачи относительно всех параметров системы. Главная особенность этого случая, как показано в работе [4], состоит в том, что конечный результат решения обратной задачи в значительной степени определяется выбором начальной точки по показателю преломления п пленки и практически не зависит
ии •
п
тт
от выбора начальных значений остальных параметров. Это проявляется в том, что в процессе решения обратной задачи параметр п сначала несколько удаляется от своего начального значения, а затем возвращается к нему, оставаясь до окончания вычислительного процесса в непосредственной близости от него. Что касается остальных параметров, то их конечные значения фактически определяются выбором начального значения параметра п. Причем характер данного процесса остается неизменным при любом выборе начального значения показателя преломления пленки. Таким образом, при определении полного набора параметров отражающей системы со сверхтонкой поверхностной пленкой особенности обратной задачи обусловлены не только экспериментальными ошибками в поляризационных углах и неточным выбором модели системы. Они имеют место и в идеальном случае, когда нет ошибок ни в эксперименте, ни в выборе модели. И связано это со сверхмалой толщиной пленки. По этой причине к решению обратной задачи для рассматриваемого в настоящей работе идеального случая целесообразно подходить с тех же позиций, что и для случая с экспериментальными ошибками в поляризационных углах. В этом случае использование идеальной ситуации поможет более четко проследить закономерности, имеющие место при решении обратной задачи на множестве угловых комплексов.
Рассмотрим приведенное в работе [3] множество комплексов углов падения светового пучка на образец, в котором Ыу углов каждого комплекса определяются соотношениями
Р0И =
(РоЬ + (7 - т 7 = 1,...,(Ыу - 2); (Ро[Ы/ - 2] + 7 = (Ыу -1); (11)
Ро у
+ а,
7 = N
Ро[1], ..., роЫ -1]
(12)
сохраняется для всех комплексов, меняется только за счет переменного параметра а конечный угол
Р0[Ыу ]. Постоянные величины из соотношений (11) определим значениями
р0Ь = 50.50°, h = 2.00°, Ь = 1.00°,
= 74.00°, Ы, = 14.
(13)
р0 у = 74.00 ,
Меняя значения параметра а , а значит, и конечного угла р0[Ыу ], мы изменяем и угловой
комплекс, для которого в работе [3] принято обозначение F(а). Ограничимся рассмотрением множества угловых комплексов
М = №Д..., F (а7)}, (14)
где
а1 = 0.00; а2= 0.20; а3 = 0.25; а4 = 0.30; а5 = 0.35; а6 = 0.40; а7 = 0.50.
(15)
где р0Ь и р0у + а — это начальный и конечный углы каждого комплекса; h — шаг прохождения от угла р0[1] к углу р0[Ыу - 2]; ^ — шаг от угла
Р>[Ыу - 2] к углу Р0[Ыу -1]. Параметры Р0Ь, Р0у, h, Ь и Ыу имеют одни и те же значения для каждого углового комплекса, переменным является только параметр а . Это означает, что последовательность углов
Оптимальные значения параметров пленки
«'ор^Х ПрДа) (16)
в работе [3] определены на угловых комплексах множества (14) при точно заданных параметрах п0 и к0 подложки. В этой ситуации каждая из кривых (16) пересекает одну из соответствующих прямых (3), (4) в одной точке а = а0, определяя точные значения параметров пленки (см. (7) и (8)). Однако обратная задача, разбиваясь на два этапа, решается относительно всех параметров отражающей системы. На первом этапе она решается относительно оптических параметров п0 и к0 подложки. Что касается параметров пленки, то на первом этапе они не подлежат определению, хотя на самом деле, определив параметры подложки, мы вплотную подходим к определению параметров пленки. Тем не менее разбиение на два этапа имеет определенный смысл.
На первом этапе для параметров пленки интерес представляют только их значения (1) в точке абсолютного минимума функционала 50, а также оптимальные значения (5). При этом как минимальные, так и оптимальные значения параметров пленки определяются для каждого углового комплекса множества М (см. (14)), причем при произвольных в общем случае значениях параметров подложки. Точнее, значения параметров подложки предварительно принимаются такими, чтобы соответствующие минимальные значения параметров пленки не казались слишком уж нереальными. Прежде всего это относится к выбору показателя преломления п0 подложки. В этих условиях, чтобы найти оптимальные значения параметров подложки, необходимо прежде всего выяснить основ-
ные свойства минимальных и оптимальных значений параметров пленки, связанные с характером их зависимости от параметров подложки. Это очень важный момент, поэтому остановимся на нем подробнее.
1.1. Основные свойства минимальных и оптимальных значений параметров пленки
Рассмотрим две точки. Одна из них
(dmm, «mJ (17)
образована минимальными значениями, а вторая
(dopt, «„pt) (18)
оптимальными значениями параметров пленки. Из предыдущих работ следует, что точка (17) очень подвижна даже при слабом изменении показателя преломления подложки. В то же время точка оптимальных значений (18) обладает ограниченной подвижностью. Это обеспечивает переход точки минимума через точку оптимальных значений с последующим расхождением этих точек. Такая особенность данных точек и ее использование для решения математически некорректной обратной задачи в сжатой форме описаны во введении к работе [3]. Однако здесь необходимо сделать существенное уточнение, связанное в первую очередь с поведением составляющих каждой из точек (17) и (18) при изменении не только показателя преломления, но также и коэффициента поглощения подложки. Имея в виду модель отражающей системы (9) и (10), остановимся сначала на поведении величин dmin и nmin, соответствующих какому-то одному угловому комплексу. Основной вклад в изменение величины nmin вносит показатель преломления n0 подложки. Например, при любом значении коэффициента к0 из интервала
к0 е (0.00,0.040) (19)
изменение показателя «0 в пределах интервала
«0 е (3.864,3.866) (20)
сказывается на величине nmin значительно сильнее, нежели изменение коэффициента к0 в пределах интервала (19) при любом фиксированном значении параметра «0 из интервала (20). Более того, для случая сверхтонкой пленки (9) выход параметра n0 за пределы интервала (20), как правило, приводит к явно нереальным значениям величин dmin и «min. Относительно величины dmin можно сказать, что вклад параметров «0 и к0 в изменение данной величины сравним, хотя большую роль
играет все-таки параметр п0. Что касается оптимальных значений dopt и пор1, то их зависимость от параметров п0 и к0 подложки носит другой характер. Произвольно меняя параметры п0 и к0 в пределах интервалов (19) и (20), мы наблюдаем для каждого углового комплекса, весьма малое изменение величины пор4, в основном оно проявляется лишь в четвертом знаке после запятой. А вот величина dopt более подвижна. При любом
заданном значении коэффициента к0 из интервала (19) влияние показателя п0 на данную величину также незначительно. Однако при фиксированном в пределах интервала (20) значении п0 наблюдается заметное влияние коэффициента к0 на изменение величины dopt. Используя отмеченные свойства минимальных и оптимальных значений параметров пленки, рассмотрим процесс определения оптимальных значений параметров подложки.
Процесс определения оптимальных значений параметров подложки начинается с выбора начального значения показателя преломления п0 подложки. Основное требование при этом сводится к тому, чтобы выбранное начальное значение приводило к физически разумным значениям величин dmln и пт1п. В рассматриваемом случае это обеспечивается выбором параметра п0 в пределах интервала (20). После этого устанавливается набор значений коэффициента поглощения к0. В качестве такого набора, например, выбираем
к0= 0.015, 0.020, 0.022, 0.023,
0.024, 0.026, 0.030. (21)
Затем для каждого значения к0 из набора (21) рассматривается процесс движения к точке абсолютного минимума функционала . Этот процесс определяет, причем для всех угловых комплексов из множества (14), минимальные значения dmln и пт1П, а также оптимальные значения dopt и по^ .
В целях наглядности для минимальных и оптимальных значений параметров пленки введем следующие функциональные зависимости
^1п (Р(а, ); П0,К0 ), Пт1п (Р(а, ); П0,К0 ), (22)
dopí ( Р(аг ); П0,К0 ) , Пр ( Р (аг X П0,К0 ) ,
i = 1, 2,..., 7. (23)
Выражения (22) и (23) показывают зависимость минимальных и оптимальных значений параметров пленки от угловых комплексов при заданных
значениях показателя преломления п0 и коэффициента поглощения к0 подложки. Причем прежде всего задается начальное значение показателя п0, при котором последовательно фиксируются значения коэффициента к0 из набора (21). При этом для каждой пары (п0, к0) минимальные и оптимальные значения параметров пленки находятся для всех угловых комплексов множества (14). Иначе говоря, функциональные зависимости (22) и (23), найденные расчетным путем, определяют совокупность минимальных и оптимальных значений параметров пленки, соответствующих паре (п0, к0), в которой параметры п0 и к0 задаются указанным выше способом.
В идеальном случае обратная задача может решаться с использованием двух разных подходов. Один из них основан на преимущественном использовании минимальных значений «т1п и пт1П, во втором же подходе основную роль играют оптимальные значения «ор4 и пор4 параметров пленки. Рассмотрим оба подхода.
1.2. Первый подход к решению обратной задачи
В этом подходе основную роль играют минимальные значения параметров пленки. В связи с этим введем величины
^«тт (П0, коХ ^Птт (П0, коХ (24)
определяющие для каждой пары (п0, к0) разброс минимальных значений параметров пленки по угловым комплексам множества (14). Величины (24) очень важны для установления оптимальных значений параметров подложки, а затем и оптимальных значений параметров пленки. Поэтому рассмотрим основные свойства этих величин. Эти свойства связаны с существованием некоторого граничного значения (к0)^ для коэффициента поглощения подложки. Для величин (24) относительно данного граничного значения имеют место следующие соотношения:
^тт (п0, к0) = 0 пРи к0 = (к0)дг, ^тт (П0, ко) * 0 при К0 * Юдг
(25)
(26)
ношений (25) и (26) устанавливается расчетным путем. Для этого фиксируется начальный параметр п0, и последовательно проверяются на предмет выявления нулевых значений величин (24) значения параметра к0 из набора (21). Значение параметра к0, при котором величины (24) обращаются в нуль, определяет граничное значение (к0)гг. Это граничное значение, определяемое в
процессе решения обратной задачи, в идеальном случае совпадает с точным значением коэффициента поглощения подложки
(Ое- = (коХги.
(27)
и аналогично для второй величины из (24)
5птп(nо, ко) = 0 при К0 = (ко)дг ,]
^Пт1п (П0, ко) * 0 при К0 * (К0)¡г ]
В данных выражениях отличие величин (24) от нуля увеличивается с удалением параметра к0 от его граничного значения. Справедливость соот-
Однако данное граничное значение в стадии его определения в какой-то степени зависит от выбора начального значения параметра п0 и плотности набора (21), т. е. первоначально оно определяется не по нулевым, а по некоторым минимальным ненулевым значениям величин (24). А это
означает, что в этом случае для пары (п0,(к0)¡г)
величины «тт и пт1п имеют некоторый отличный от нуля разброс по угловым комплексам. Неточность, связанная с дискретностью набора (21), очевидно, устраняется легко, если задается конкретная допустимая величина этой неточности. И тогда можно считать, что для уточненной пары
(п0,(к0)г) величины «т1п и пт1п имеют одинаковые значения на всех угловых комплексах множества (14). Но эти значения в общем случае не совпадают с точными значениями параметров пленки, причем такое несовпадение при выборе начального значения п0 из интервала (20) может быть весьма значительным. В такой ситуации задача состоит в том, чтобы приблизить параметр п0 к его точному значению и одновременно уточнить граничное значение (к0) г, а вместе с ним (см.
(27)) и коэффициент поглощения к0 подложки.
Для уточнения параметра п0 используем значения функционала 50 в точке абсолютного минимума этого функционала. Значение функционала, достигнутое на начальной стадии, когда граничное значение (к0)гг определяется при произвольном
выборе в пределах интервала (20) параметра п0, обозначим S0Ь. Величина S0Ь зависит от углового комплекса множества (14), и определяться она должна по своему минимальному значению на одном из комплексов при значении коэффициента поглощения
ко = (ко)
0'
(28)
Фиксируя указанное в (28) значение к0, изменяем, начиная от начального значения, параметр п0 таким образом, чтобы функционал при выполнении условия
^ < ^ (29)
монотонно уменьшался. В результате при некотором значении параметра п0 и значении (28) коэффициента к0 достигается некоторое минимальное значение , соответствующее одному из угловых комплексов. Значение параметра п0, при котором заканчивается процесс уменьшения функционала £0, обозначим п0е. После этого, фиксируя параметр п0
П = П
(30)
уточняем и граничное значение (к0)г . Для этого
используется изложенная выше процедура. Процесс уточнения граничного значения (^0)гг сопровождается дальнейшим уменьшением величины функционала S0. Очевидно, при фиксировании параметров подложки на значениях, определяемых уточненными величинами (к0)г и п0е, на всех угловых комплексах достигаются нулевые значения величин 3тп (п0, ^0) и 5nmm(n0, К0) . А Это
означает, что всем угловым комплексам множества (14) в этом случае соответствуют одинаковые значения dmm и птт. И поскольку в данной ситуации функционал S0 достигает наименьшего значения, то процесс по определению параметров подложки можно считать завершенным. Параметры подложки в этом случае определяются уточненными величинами (к0) и п0е (см. (28) и (30)).
В принципе они могут сколь угодно мало отличаться от своих точных значений (10). В такой ситуации минимальные значения dmln и пт1п, одинаковые для всех угловых комплексов, определяют практически точные значения (9) параметров пленки. Как уже отмечалось [4], даже в идеальном случае отражающей системы со сверхтонкой пленкой возникают значительные трудности в определении всех 4 параметров этой системы. Эти трудности обусловлены использованием традиционного подхода к решению обратной задачи. В то же время изложенный здесь подход к решению обратной задачи, использующий множество угловых комплексов, позволяет успешно решить данную задачу. И здесь очень важно, что если основной интерес представляет именно идеальный случай или же очень близкий к нему, то нет необходимости в определении оптимальных значений
dopt и пор параметров пленки. Однако нас интересует переход к реальному случаю, поэтому необходимо вспомнить об оптимальных значениях параметров пленки. Среди угловых комплексов множества (14) существует такой комплекс, которому отвечают оптимальные значения параметров пленки, практически, совпадающие с найденными минимальными значениями dmln и пт1п, а значит, и сточными значениями параметров пленки. Существование такого основного комплекса подтверждает правильность результатов, полученных в рамках изложенного здесь подхода.
1.3. Второй подход к решению обратной задачи
В данном подходе основную роль играют оптимальные значения параметров пленки. Приведенные в подразделе 1.1 функциональные зависимости (23) определяют совокупность оптимальных значений параметров пленки, соответствующих паре (п0, к0), в которой параметры п0 и к0 задаются указанным выше способом. Совокупность оптимальных значений при заданной паре (п0, к0) находится для всех угловых комплексов множества (14). При этом составляющая пор1. этой совокупности весьма слабо зависит от параметров п0 и к0 подложки. Что касается составляющей dopt, то при заданном параметре к0 она слабо зависит от параметра п0, но заметно меняется с изменением величины к0.
Как и в первом подходе, фиксируется начальный параметр п0, и последовательно задаются значения параметра к0 из набора (21). Будем исходить из того, что существует угловой комплекс из множества (14), которому на одной из пар (п0, к0) соответствуют оптимальные значения, практически совпадающие с точными значениями параметров пленки
dopt (Р(а, X П0,К0 (dХ^ nopt (Р(а, X П0,К0 )~ (пХш.
(31)
Рассмотрим обратный процесс, когда по оптимальным значениям (31) рассчитываются путем соответствующей минимизации функционала S0 значения п0 и к0. При этом расчет идет для всех угловых комплексов множества (14), включая и тот, на котором выполняются соотношения (31). Значения параметров подложки, найденные таким путем, обозначим
(32)
Очевидно, в идеальном случае разброс по угло-
^0шт , РаССЧИТаН-
вым комплексам величин п
0шт ' 0шт
ных по оптимальным значениям (31), практически равен нулю
(33)
Ишп * 0 ^0шт * 0-
Однако мы не знаем заранее, на каком угловом комплексе и на какой паре (п0, к0) значений параметров подложки реализуется описанный процесс. Эта проблема решается следующим образом: задается пара (п0, к0) . Для нее по оптимальным значениям, соответствующим одному из угловых комплексов, рассчитываются, причем для всех угловых комплексов, значения п0ш1п и к0ш1п параметров подложки и определяется разброс 8п0шт и 8к0шш этих значений по угловым комплексам. Этот процесс при заданной паре (п0, к0) повторяется для каждого углового комплекса множества (14). В результате получаем совокупность значений
{(¿n0mln, ^0ш1п)}.
(34)
В этой совокупности каждая пара, определяя разброс величин п0ш1п и к0шт по угловым комплексам множества (14), соответствует одному из угловых комплексов этого множества. Из совокупности (34) выбирается та пара значений, которая определяет минимальный разброс величин п0ш1п и к0ш1п по угловым комплексам. Тем самым выбирается и соответствующий угловой комплекс, а значит, и отвечающие ему оптимальные значения dopt и пор1. Совокупность значений (34) находится для каждой пары (п0, к0) из числа рассматриваемых пар, и для каждой такой пары определяется угловой комплекс, на котором реализуются оптимальные значения dopt и пор1, обеспечивающие минимальный разброс величин п0ш1п и к0шш по угловым комплексам. В итоге, сравнивая результаты, полученные для всех пар (п0, к0), находим из их числа главную пару. Ей отвечает основной угловой комплекс с оптимальными значениями dopt и пор1 , обеспечивающими наименьший (из
общего числа минимальных разбросов) разброс величин п0ш1п и к0ш1п по угловым комплексам. В идеальном случае этот наименьший разброс, отвечающий основному угловому комплексу главной пары (п0, к0), стремится к нулю
Кшп ^ 0:
5к0шп ^ 0.
(35)
На этом заканчивается решение обратной зада-
чи для идеального случая с использованием второго подхода. Это решение реализуется на основном угловом комплексе главной пары, определяя оптимальные значения параметров подложки и пленки, практически совпадающие для выбранной отражающей системы с точными значениями (9) и (10). Здесь необходимо сделать следующее уточнение. Параметры пленки очевидно определяются оптимальными значениями (31) на основном угловом комплексе главной пары (п0, к0). Что касается параметров подложки, то они находятся по значениям п0ш1п и к0шт, отвечающим основному угловому комплексу главной пары (п0, к0)
П0 = П0ш1п , К0 = ^0шт. (36)
Возникает вопрос, связанный со значениями параметров главной пары (п0, к0). Как и в первом подходе, в процессе решения они уточняются. Однако главное уточнение касается коэффициента поглощения к0 и параметра а, определяющего основной угловой комплекс. Уточнение показателя преломления п0 носит подчиненный характер. Величина п0 подстраивается к процессу уточнения параметров к0 и а , связанному с использованием описанной выше обратной процедуры. Это связано со слабой зависимостью оптимальных значений параметров пленки от показателя п0. Мы не будем подробно описывать процесс уточнения величин к0 и а . Отметим только, что он подобен процессу уточнения параметров п0 и к0, подробно описанному в предыдущем подразделе, но уже без использования величины функционала 50.
Важно также отметить, что на основном угловом комплексе наблюдается правильный предельный переход. При таком переходе минимальные значения dшln и пш1п, одинаковые для всех угловых комплексов главной пары (п0, к0), совпадают с оптимальными значениями dopt и по^ на основном угловом комплексе. Причем эти минимальные значения рассчитываются по найденным значениям параметров подложки (см. (36)) путем минимизации функционала 50. Это тот момент, который является общим для обоих подходов к решению обратной задачи.
2. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ НА МНОЖЕСТВЕ УГЛОВЫХ КОМПЛЕКСОВ ДЛЯ РЕАЛЬНОГО СЛУЧАЯ
Реальный случай рассмотрим на примере однослойной отражающей системы с параметрами (9) и (10). Поляризационные углы этой системы рас-
считаны для угловых комплексов множества (14). Моделирование экспериментальных ошибок в поляризационных углах носит случайный характер. При этом максимальные отклонения (в ту или другую сторону) поляризационных углов от их точных значений определяются величинами и г)0. Для этих величин принимаем значения
£0 =Ъ = 10 мин. (37)
Ошибки в поляризационных углах, обусловленные значениями (37), в эллипсометрии относятся к разряду больших ошибок. Причем их роль значительно возрастает в связи со сверхмалой толщиной пленки.
В настоящей работе мы не ставим задачу доведения численного эксперимента, основанного на моделировании экспериментальных ошибок, до конкретных чисел. Распределение "экспериментальных" ошибок при заданных величинах £0 и г)0 может быть самым разным. По этой причине мы ограничимся здесь общими результатами проведенного анализа.
2.1. Общие результаты анализа
Сразу отметим, что первый подход к решению обратной задачи для рассматриваемого случая в связи с принятыми здесь большими "экспериментальными" ошибками в поляризационных углах не может быть использован. Эти ошибки при точно заданном параметре п0 и при любых значениях параметра к0 из набора (21) приводят, причем на всех угловых комплексах, к следующим значениям величин dmln и п1п1п:
dmm > 4.00 нм, nmШ < 1.20. (38)
Неравенства (38) очевидно указывают на выраженную математическую некорректность обратной задачи в рассматриваемом случае. В этих условиях необходимо дать оценку двум разным подходам к решению обратной задачи.
Значения величин dmln и птп, определяемые неравенствами (38), подавляют отмеченные для первого подхода закономерности в поведении данных величин. Поэтому попытки использования первого подхода к решению обратной задачи наталкиваются на значительные трудности. Эти трудности связаны с подбором оптических параметров подложки, прежде всего показателя преломления п0. Такого рода трудности можно было бы обойти, обратившись к обратному процессу, ведущему от оптимальных значений dopt и пор1
к параметрам подложки п0 и к0. Но это уже выход на второй подход к решению обратной задачи.
В связи с этим остановимся на характере зависимости оптимальных значений dopt и пор1 параметров пленки от оптических параметров подложки. Для рассматриваемого случая эта зависимость остается практически такой же, как и в описанной выше идеальной ситуации. Оптимальное значение порУ для любого углового комплекса очень слабо
зависит от параметров п0 и к0 подложки. В то же время оптимальное значение dopt при заданном коэффициенте поглощения к0 также слабо зависит от показателя п0, но заметно меняется с изменением величины к0. Отличие от идеального случая проявляется только на величине параметров dopt и порУ. Если параметр порУ практически не меняется при уходе от идеальной ситуации, то dopt, наоборот, изменяется заметно.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы не останавливаемся здесь на деталях, связанных с решением обратной задачи для реального случая. Отметим только, что в рассматриваемом случае, когда "экспериментальные" ошибки в поляризационных углах приводят к выраженной математической некорректности обратной задачи, второй подход к решению обратной задачи полностью оправдывает себя. Это проявляется не только в относительной простоте процесса решения, но и в большой точности, с которой определяются все 4 параметра отражающей системы. Однако необходимо обратить внимание на главную причину таких результатов. Основные преимущества рассмотренного способа решения математически некорректной обратной задачи в первую очередь связаны с привлечением множества угловых комплексов, т. е. множества наборов углов падения светового пучка на образец. В работе, посвященной исследованию реальных образцов со сверхтонкими пленками, процесс решения обратной задачи на множестве угловых комплексов будет рассмотрен детально.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Семененко А.И., Семененко И.А. // Научное приборостроение. 2010. Т. 20, № 4. С. 132-142.
2. Семененко А.И., Семененко И.А. // Научное приборостроение. 2012. Т. 22, № 1. С. 44-51.
3. Семененко А.И., Семененко И.А. // Научное приборостроение. 2012. Т. 22, № 4. С. 30-37.
4. Семененко А.И., Семененко И.А. // Научное приборостроение. 2011. Т. 21, № 1. С. 103-113.
Украина, г. Сумы (Семененко А.И.) Контакты: Семененко Альберт Иванович,
8еш199@уаМех.ги
Первый Московский государственный медицинский
университет им. ИМ. Сеченова (Семененко И.А.) Материал поступил в редакцию 31.10.2012
FEASIBILITY AND PRACTICAL SUPPLEMENT OF SOLUTION METHODS FOR MATHEMATICALLY INCORRECT INVERSE PROBLEM OF ELLIPSOMETRY.
2. ON SOLUTION OF INVERSE PROBLEM ON MULTIPLE SET OF LIGHT BEAM ANGLE OF INCIDENCE
1 2 A. I. Semenenko , I. A. Semenenko
lSumy, Ukraine
2I.M. Sechenov First Moscow State Medical University
The method for the mathematically incorrect inverse task of ellipsometry, based on the use of some set of sets angles of incidence of a light bunch on the sample is considered is discussed. It was shown, that the solution of the inverse task on set of angles of incidence results in a relative simplicity and reliability of the process of solution, and also to increased accuracy with which all four parameters of reflecting system with a super thin film are defined. The offered method of the solution allows to overcome the essential difficulties arising, because of a midget thickness of a film, and in an ideal case when there are no experimental errors, but the traditional approach to the solution of an inverse problem concerning all 4 parameters of single-layered reflecting system is used.
Keywords: ellipsometry, polarization angles, mathematically incorrect inverse problem, criterion, optimum solution, numerical experiment, super-thin film, ground, optical constants
