CC BY
20
УДК 517.948
ОБОСНОВАНИЕ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА, ИСПОЛЬЗУЮЩЕГО ДОПОЛНИТЕЛЬНУЮ АПРИОРНУЮ ИНФОРМАЦИЮ О РЕШЕНИИ
О.В. Григорьева
SUBSTANTIATION OF THE NUMERICAL METHOD WHICH USES AN ADDITIONAL A PRIORI INFORMATION ABOUT THE SOLUTION
O.V. Grigorieva
Во многих обратных задачах математической физики имеется дополнительная априорная информация о точном решении, которую необходимо использовать для качественного улучшения приближенного решения. В настоящей работе предлагается один из возможных методов решения данного класса задач, позволяющий учесть дополнительную априорную информацию в виде данного конуса и принадлежности решения данному конусу.
Ключевые слова: операторное уравнение, некорректно поставленная задача, гильбертово пространство.
There is additional a priori information about the exact solution useful for qualitative improvement of the approximate solution in many inverse problems of the mathematical physics. In this article one of the possible methods for the solution of this class problem, which allows for the additional a priori information in the form of the cone and belonging of the solution to this cone, is given.
Keywords: an operational equation, an improperly posed problem, Hilbert space.
1. Постановка задачи
Пусть I! . /•’ и V - гильбертовы пространства, А - инъективный линейный ограниченный оператор, отображающий С/ в ^, а Ь - линейный замкнутый оператор с областью определения с и и множеством значений
причем 0(Ь) = и .
Обозначим через К выпуклое замкнутое множество из и такое, что для любых иеК и Хе[0;1] Хи е К, и предположим, что КглО(Ь)ф0 .
Рассмотрим операторное уравнение первого
рода
Аи = /,иеи,/е/7 (1)
и предположим, что при / = /о существует решение и0 уравнения (1), которое принадлежит множеству К п, /)(/, ), но точное значение /о нам неизвестно, а вместо него даны /5 е Е и 8>0 такие, что
||/5-/оИ. (2)
Требуется, используя априорную информацию . 8, /)(/.) и К, построить приближенное решение и5 уравнения (1).
Метод решения поставленной задачи будет заключаться в сведении ее к вариационной задаче [1,2]
inf |Щи - Уб|2 + а||м||2 + аЩи||2 : и е D^L) сл ,
а > 0. (3)
2. Обоснование метода (3)
Лемма 1. При любых значениях /5 е F и а > 0 вариационная задача (3) разрешима.
Доказательство. Так как К nD(Z) Ф 0 , то числовое множество для любого а > 0
G“ = {(||и||2 +Щи||2|а+Щи-/5||2 :и e_D(Z)nirj
не пусто и ограничено снизу числом 0.
Из ограниченности снизу множества G“ следует существование нижней грани
inf |Щи -/5||2 + а||и||2 +аЩи||2 :и eZ}(Z)n^rJ.
Из определения нижней грани следует существование минимизирующей последовательности \ип} с D(Z) п К такой, что
IK - л f + а (||ии ||2 + \Lun f ) ->
—^ inf |Щи -/5||2 +а^||и||2 +||1м||2|: u е Z)(Z)nirj. (4)
Grigorieva Olga Vladimirovna - postgraduate student of South Ural State University; zvezdolya@mail.ru
Григорьева Ольга Владимировна аспирант, ЮжноУральский государственный университет, zvezdolya@mail.ru
Из (4) следует ограниченность последовательностей {ип} и {Ьип} , а ввиду гильбертовости пространств и , V и их слабая предкомпактность.
Таким образом, существует подпоследовательность {иП/1 такая, что
->■й при к —>■<», (5)
nk
Lu
nk
->v при к —^ go.
(6)
Так как оператор Ь линеен и замкнут, то из (5) и (6) следует, что й е 0(Ь)с\К и
у=Ы. (7)
Из линейности и ограниченности оператора А и соотношения (5) следует, что
Au
nk
а из (8), что
->Ай при к —>со,
- /5 —^>Ай - /5 при к -> со,
(8)
(9)
Из (5)-(7) и (9) по свойству нормы слабого предела следует, что
а||м||2 < Ит a|knJ| ,
к—><х>
а < Пт а ||Lw
k—>со
nk I
|Им-/5||2 < 1нп|ии% -/г
(10)
(11)
(12)
k—>со
Складывая почленно соотношения (10)—(12), получаем
Щм-/5||2 +а||м||2 + а||£й||2 <
■^{1ИМи*-^ЧкГЧК!2}- (13)
Из (4) и (13) следует, что й является одним из решений вариационной задачи (3). Тем самым лемма доказана.
Лемма 2. Решение вариационной задачи (3) единственно.
Доказательство. Если /5 = 0, то единственным решением вариационной задачи (3) будет й = 0.
Предположим, что /5 Ф 0 и задача (3) имеет два различных решения щ и й2, и рассмотрим
й, + щ
элемент II = -
2
■. Тогда будут выполняться сле-
дующие соотношения:
а||м|| = — ущ + и2,щ + и2 ) = ос и „ м2 а и „ м2 а , „ „ ч
= — |К || +-|Ы| +-{и1’и2)’
(14)
\\Ай - /512 = 1\Ащ - /512 + ±\\Ай2 -/512 +
1
(16)
Так как
И, + гь
2(мі,м2)<|
2(1й1,1й2)<||1й1||2+||1й2||2,
а
2(ЛЙ, -/8,ЛЙ2 -/5) <\\Айх -/5||2 + Щй2 -/5||2 ,
то, складывая почленно соотношения (14)—(16), получаем, что
и2 /цл||2
1И"-/б|2 +a(lHI2+IMII2)^
^ ^(|И«1 - /б ||2 + а (IIй! ||2 + IIій! f))
+ ЩАй2 - fs ( + « (||«2 f + \\Ьй2 ||2 ))
(17)
Ввиду того, что \\АЩ~ЛІ
м2
+ а ш, +а м, =
\\ы
м2
= м|Щм-/5||2 +а||м||2 +а||ім||2 :м e^TnD(Z)|,
a
\\Ай2 -/s||2 + ос ||гї21|2 +oc||Zm2||2 =
= м|Щм-/5||2 +а||м||2 +oc||Zm||2 :и eKdD(L)|, на основании (17) получим, что \Ай- /5||2 +а||м||2 +а||ім||2 =
= inf |Щм -/5||2 +а||м||2 +
+а||ім||2 :и є . (18)
Из (18) следует, что
и, • \\щ
(йі,й2) =
(Ьщ,Ьй2) = || • ||ім21
(19)
(20)
{Ащ /8,Ай2 Щ\Ай2 /5||. (21)
Из (14)—(16) и (19)—(21) следует, что
+а(Ш¥ +\\Щ?) =
- (дІИмі -/s||+2ІИ«2 -/s|j +
+а (ЦЙ! І + \й21)2 +а(||1м1|| + \Ьй2 ||)2 a из (22), что
||й1 + М21 = |йі|| + ||й2І’
+ Lu2 і = І Ьщ І +1 Lu2 і
(22)
(23)
(24)
\\Ащ+Ай2 2_/д| —/5і + Щм2 _/д||. (25) Так как гильбертовы пространства II, і7 и V строго выпуклы, то из (23)-(25) следует существование чисел и /о таких, что
2
2
И2 — ,
(26)
(27)
Л - Х2Айъ Х2 ^ 0.
Из (26) и (27) следует, что
||2 + а \Рщ ||21 + (Хх - Х2 )2 ||2 =
= а ||м] ||2 + а ||ХМ] ||2 + (1 - Х2 )2 Щй] ||2 . (28)
Теперь рассмотрим семейство элементов {г/и |, 0 < ц < 1, определяемых формулой
й^=уШу+{\-у^й2, 0<ц<1. (29)
Тогда из (29) будет следовать, что \\А% ~ Л1|2 + а (||мц ||2 + \Ьи^ ||21 =
= (ц + \ (1 - ц))2 а(||й||2 + \Рщ ||21 +
+ (|а + Х1(1-|а)-Х2)2||Лм1||2, 0<ц<1. (30)
Из (28) и (30) следует, что для ц = 1/2 при условии
щ Ф й2
1И«-/5||2 + а ||м||2 +а \\ь4 <
< \ Ащ - /51|2 + а ||м] ||2 + а Ц^М] ||2 , что противоречит определению точки щ. Таким образом, щ = й2, и лемма доказана.
В дальнейшем решение задачи (3) обозначим через и“ и определим оператор Ра, отображающий Рви формулой
Р*Л=«1 (31)
Теперь исследуем непрерывность оператора Ра на всем пространстве Р. Для этого наряду с задачей (3) рассмотрим аналогичную задачу
ш!" |||^м -/б(и)|2 +а||и||2 +а||Хм||2 :и е £>(Х)п^г|,
а > 0. (32)
Из лемм 1 и 2 будет следовать существование и единственность решения и“ (и) задачи (32).
Лемма 3. Если /5 , {/5 (и)} и /5 (и) -> /5
при и->■<», то ||и“(и)-и“|| +||1м“(и)-1м“|| ->0
при П —>■ СО .
Доказательство. Предположим противное. Тогда существуют число е0 > 0 и подпоследовательность \пк [ такие, что для любого к
||м8 (^)_М5а|| + \1иъ{пк)~1иъ || ^80- (33)
Пусть и{] е /)(/,) г, /\ . Тогда для любого и справедливо неравенство
^ 1Им0 - л («)||2+а К ||2 + а ||ігі
(34)
Из (34) следует ограниченность последовательностей |м“ (и)| и |Хм“ (и)|. Таким образом, без ограничения общности можем считать, что
и5 (пк)^ї
(35)
Ри*(пк)^у. (36)
Так как оператор Р линеен и замкнут, то из (35) и (36) следует, что й е £>(£) гч К и
у=1м. (37)
Из (35) следует, что
Аи^ (пк)~ Л(пк)^Ай ~ Л- (38)
Из (35)-(38) по свойству нормы слабого предела следует, что
|\Ай - Л ||2 ^ Ит 11^1 м“ (пк) - Л (Ч
к—но11
а||м|| < Итак(п,г
» со 11
а||ім|| < Ит а £и“ (пк) .
к^> со Н II
(39)
(40)
(41)
Складывая почленно (39)—(41), получаем, что \Ай -/б||2 +а||м||2 +а||Хм||2 <
< Ит |||^м5а(%)-/5(^)||2 +
+ а||м5 {пк)\ +а||^м5 Ю|| ]• (42)
Далее из определения элемента и“ (лк) следует, что для любого к выполняется соотношение
|лм“ (^)-/5(и^)| +а||м5“(^)|| +а||ім5а(^)| <
«, чІ|2 И ||2 и ||2
Аи& Уб )|| +а||м8 II +а||^'м8 II = (43)
а из (43), что
«н2 н п2 н н2
^4и“-/5 +а и“ +а 1и“ >
> Ит{|Ли“ (пк)-Л{ч)\ +
+ а||м5 (пк)\ +а|км“ (пк
(44)
Так как й е !){!,)п К , то из (42), (44) и леммы 2 следует, что
й = и“ (45)
и
1|2
\Ай~Л\
м2
+ а \\и\\ +а \\ьи\\ =
\ь
и2
= Ига (|ии“ (пк)-Л(>
к->со ^11
а|М“ («і)||2+а||ім5 {Пк)\\
(46)
2
2
0
Из (35)-(38) и (46) следует, что
(47)
|Хм“ (/% )|| —> ||Хм|| при к —» со. (48)
Ввиду гильбертовости пространств С/ и К из соотношений (35)-(37), (47) и (48) следует, что
• со
(49)
(50)
а из (45), (49) и (50), что
||м8 {пк)~и5 | +||^м8 {пк)~^и5 | ->0 При £^00, что противоречит (33) и доказывает лемму.
Лемма 4. Пусть а > 0 и {аи} с (0;оо), а м“ и
м“и - соответствующие решения задачи (3). Тогда
сс„ ^ а т . т сс ,
м5 и —> м5 , а Ьи5 п —> шъ при аи —> а .
Доказательство. Предположим противное. Тогда найдутся число е0 > 0 и подпоследовательность |аПк | такие, что для любого к
Ьи"к -Ьиї
>є0.
(51)
Из определения иъ "к следует, что для любого к
-/5
+ а
щ
+ а
щ
ЦАи&~1&\ + °Ч Ы +апЛ1и 5
|2
(52)
Из (52) следует, что
Ііт
к-> со
^ 1|у4ї/д —-/б І і “ЬОсЦХМд її .
(53)
а из (53) ограниченность последовательностей |мди* | и |^Мди* |. Таким образом, последовательности |м5 "к | и |Ьиъ 41 слабо предкомпактны.
Без ограничения общности можем считать,
что
Ьи&щ -»у при к -»с
(54)
(55)
Так как оператор Ь линеен и замкнут, то из (54) и (55) следует, что й є 0(Ь}г\К и
у = Ьй. (56)
Ввиду линейности и ограниченности оператора А из (54) следует, что
Аих
_/б -/5.
(57)
Из (54)-(57) по свойству нормы слабого предела следует, что
, 2
а||м||2 < Ит а
к-> со
пк
а ||іг5|2 < Ит а
к—>со
пк
Luc•
1И«-/б||
к—» СО
(58)
(59)
(60)
Складывая почленно соотношения (58)-(60), получаем, что
\Ай- /5||2 +а||м||2 + а||ій||2 <
< Ит
к-> со
Аи5пк -/
+а
пк
пк
+ а
пк
Lu
пк
Из (53), (61) и леммы 2 следует, что й =и“, а также, что
Щм-/5||2+а||м||2+а||іг5||2 =
(61)
(62)
= Ит
к-> со
Аи5пк -/
+а
пк
+ а
пк
Lus.
Из (58)-(60) и (63) будет следовать, что
2 2 21
Аи“И* -/5 +% +% І& ь
—> Цім || при к —» со.
Из (54)-(56), (64), (65) будет следовать, что
а„, л Их к —» И
1м5и* ->1Й,
а из (62), (66) и (67)
, 2
-Ы
(63)
(64)
(65)
(66) (67)
—> 0 при к —>■ оо,
(68)
что противоречит (51) и доказывает лемму.
Введем обозначение
Фз (а) = ||^м5 “/зЦ '
Из (68) и леммы 4 следует, что
ср5 (а) е С(0;оо). (69)
Лемма 5. Пусть К выпуклое замкнутое множество из и такое, что для любых значений ие К и X е [0; 1] Уме. К и К п/)(/,) Ф 0 . Тогда
выполняются соотношения Ит ф5 (а) = ||/5||2 и
Итср5 (а) = р2[/8^(5(1)п1)].
и
2
2
2
2
2
и
2
2
2
и* * -г/
2
2
и
2
2
2
г/
2
2
и
2
пк (X
и к -и
и
Доказательство. Так как для любого а > О
|^4и“-/5| +а|м“| + а|£и“| < то из (70) следует, что
Ф8(аИ/б||2
а
К + \1иь
- /511
(70)
(71)
(72)
Из (72) следует, что для любого в > 0 существует
II ||2
значение а =
такое, что при а > а
(73)
Из (73) следует, что и8 —>0 при а—>со, а
Ф8(а)^||/б|2 •
Пусть б > 0 достаточно малое число. Тогда существует элемент мо е /)(/,)Г; К такой, что
Цлйо - /51|2 < р2 [/5 ,А (О(I) п К)] +1. (74)
Выберем значение ос такое, чтобы
6
а
||мо|| +||імо||
<-
2
(75)
Из (74) и (75) будет следовать, что для любого значения а < а
1|2
<
Ф5(а)“|^м5 /б||
<Щм0-/5||2+а ||мо|| +||імо|| <Р2[/5^(Д(і)пГ)] + є.
(76)
Из (76) следует, что
Нтф5(а)<р2[/5,Л(£>(1)пГ)]. (77)
а^О 1- -1
Так как и“ е п К , то для любого а > 0
Ф5(а)>р2[/5^(Д(1)пГ)]. (78)
Из (78) следует, что
1ппф5(а)>р2[/5,^(£»(1)пА:)]. (79)
а^-0
Из (77) и (79) следует, что
1ипф5 (а) = р2[/5^(Д(1)пА:)] .
Тем самым лемма доказана.
Теорема 1. Пусть р[/5,^(£)(1)п^)] >8 . Тогда существует единственное значение а такое, что ф5 (а) = 5 .
Теорема 2. Если выполнены условия, сформулированные выше, то
а( 8) о г\
иь к ! ^ и0 при 6 —^ 0.
Литература
1. Васин, В.В. Некорректные задачи с априорной информацией / В.В. Васин, А.Л. Агеее. - Екатеринбург: УИФ «Наука», 1993. - 264 с.
2. Иванов, В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. - М.: Наука, 1978.
Поступила в редакцию 23 июня 2010 г.
2
2
2
2
2
2
2
