CC BY
6ОБОГАЩАЮЩАЯ СИСТЕМА ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ НАУЧНОГО МИРОВОЗЗРЕНИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПРОИЗВОДНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Аннотация
Актуальность статьи обусловлена тем, что важнейшим направлением процесса обучения математике является формирование научного мировоззрения обучающихся в ходе их познавательной деятельности. Цель статьи состоит в том, чтобы показать, что обогащающая система задач при изучении производной функции служит эффективным средством формирования обобщенной системы научных знаний и убеждений. Подтверждается, что обогащающая работа над задачами с применением производной элементарной функции способствует улучшению таких качественных характеристик мировоззрения обучающихся, как системность и целостность, обобщенность и доказательность, логическая последовательность и применимость полученных знаний.
Ключевые слова
система знаний и убеждений, обогащающая система задач, производная функции
АВТОРЫ
Забелина Светлана Борисовна,
кандидат педагогических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва zabelina_sb@mail.ru
Шилова Зоя Вениаминовна,
кандидат педагогических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва zoya_shilova@mail.ru
Введение
Через систему взглядов, убеждений и идеалов человек выражает свое отношение к окружающей действительности, продолжая ее познание. Взгляды и убеждения служат ведущими структурными единицами мировоззрения, процесс формирования которых труден и продолжителен во времени. Существуют два уровня познания: научное, теоретическое и обыденное, повседневное. На уровне обыденного сознания индивид менее глубоко воспринимает явления объективного мира. Научное сознание представляет собой систему знаний и убеждений, выражающихся в понятиях, суждениях, теориях, гипотезах. В процессе мышления не столько упорядочиваются и систематизируются данные чувственного опыта, сколько происходит их анализ, классификация, обобщение, отражение существующих форм и связей объективной реальности в обобщённой абстрактной форме, что позволяет познать законы действительности более глубоко, раскрыть сущность познавательного процесса. В реальной жизни уровни познания взаимосвязаны, поэтому крайне необходимо в ходе обучения предметным знаниям, опираясь на обыденное сознание обучающихся, поднимать и развивать мышление до уровня научного. Математическая деятельность по существу пред-
ставляет собой многоплановый процесс решения задач, а математика сама часто используется в качестве своеобразного языка для описания многих практико-ориенти-рованных задач и методов их решения. Дидактически правильная логическая организация учебного материала, методически обоснованная система задач, различные подходы к решению одной и той же задачи или доказательство одних и тех же фактов на различных этапах обучения при освоении различных содержательных модулей составляют средство формирования научного мировоззрения обучающихся.
Различные подходы методологические или методические к истолкованию известных уже фактов особенно воздействуют на познавательную активность обучающихся, способствуют развитию научного сознания. Например, на первых занятиях с первокурсниками по математическому анализу, касаясь обобщения школьных знаний о свойствах и графиках элементарных функций, уместно рассмотреть связи между определениями и теоремами, показать их возможную взаимозаменяемость. Прямая пропорциональность может определяться как функция вида у = кх, тогда утверждение о равенстве отношений пар соответственных значений аргументов становится теоремой о свойстве этой функции. Если же это свойство считать определением, то первое утверждение нуждается в доказательстве.
Точно также обстоит дело с задачами. Обращение к задаче с привлечением различного математического аппарата вместе с дидактическими функциями выполняет важные интегративные мировоззренческие функции.
Методология и результаты исследования
Решение математической задачи запускает процесс познания, как умственный творческий процесс получения, освоения, постоянного обновления комплекса знаний, необходимых обучающемуся. Выполняемые при этом действия направлены на поиск нужной информации, на ее структурирование, на выполнение знаково-символь-ных действий, на выбор способов решения задачи. Совокупность указанных действий определяют как универсальные познавательные действия. Обогащающая система задач рассматривается нами как такая система задач, которая в единстве с освоением учебной информации и целенаправленного формирования универсальных познавательных действий направлена на формирование научного мировоззрения обучающихся. Обогащающая система задач удовлетворяет следующим требованиям:
- способствует достижению целей усвоения предметных знаний;
- соответствует предметному содержанию на заданном уровне обучения;
- способствует активизации познавательной деятельности обучающихся и повышению степени ее самостоятельности;
- способствует формированию интегративных мировоззренческих качеств.
Рассмотрим обогащающую систему задач при изучении производных элементарных функций, демонстрирующую широту применения аппарата производной, меняющую ценность решаемых задач. Задачи в большей степени насыщаются функциональной идеей, при их решении раскрывается возможность использования аппарата производной в различных ситуациях, что в итоге приводит к формированию целостности, системности знаний и убеждений. Любое математическое знание «проходит длительный путь развития от первых идей, связанных с рассмотрением частных примеров, до окончательно формализованного и строго сформулированного определения. Этот процесс можно проследить и на понятиях, с которыми связан математический анализ и, в частности, дифференциальным исчислением» [1, с. 47].
Обогащающая система задач имеет общее требование о доказательстве неравенств. Опишем объединяющую идею решения задач, помещенных единый блок.
Идея решения.
Требуется доказать неравенство /"(x) > g(x) при условии, что области определения функций /(х) и $(х) совпадают и эти функции дифференцируемые на их области определения. Составим новую функцию
Л(х) = /(х) -#(х).
Выясним, при каком значении х составленная функция обращается в нуль. Пусть это будет при х = а. Теперь найдем производную функции Л(х) и определим знак производной справа и слева от точки х = а. Если при х < a ft'(x) < 0, то функция Л(х) на промежутке (-^;а) монотонно убывает, значит на этом промежутке /(х) > ^(х).
Задача 1.
Докажите, что неравенство выполняется для всех действительных значений неизвестной х:
ех > 1 + х.
Решение.
Составим функцию Л(х) = ех - (1 + х).
Найдем производную функции Л(х). Её производная равна:
Л'(х) = е* - 1.
Заметим, что ft'(x) < 0 при х < 0, ft'(x) > 0 при х > 0, ft'(x) = 0 при х = 0.
Следовательно, функция Л(х) слева от нуля убывает, а справа от нуля - возрастает. Поскольку в точке х = 0 значение функции Л(х) равно нулю, то во всех остальных точках области ее определения функция Л(х) будет положительна. Тогда будем иметь, что ех - (1 + х) > 0 для всех значений х, кроме нуля.
А значит и ех > 1 + х для всех действительных значений х.
Заметим, что решение предложенной задачи другим способом весьма затруднительно для обучающихся.
Задача 2.
Докажите, что неравенство выполняется для всех действительных значений неизвестной х:
1 3
sinx > х —X3.
6
Решение.
Составим функцию Л(х) = sinx - (х — я3). Отметим, что при х = 0 значение функции Л(х) равно нулю. Найдем производную функции Л(х). Её производная равна:
ft'(x) = cosx - 1 +1 х2 = 1 х2 - 2 (sin-)2 = 2(- - sin-)(- + sin-).
v y 2 2 v 2J v2 2 2 2
Л'(х) >0 при 0 < x < -.
1
Функция Л(х) = sinx - (х -^х3) монотонно возрастает на промежутке
0 < х < -.
2
13
Следовательно, sinx > х —х
6
Задача 3.
Докажите, что неравенство выполняется для всех действительных значений неизвестной х > 0:
2х + - > л/х. 8
Решение.
При х = 0 неравенство справедливо. Составим функцию Л(х) = 2х + - - //х.
Найдем производную функции Л(х). Её производная равна Л'(х) = 2 —.
4 /х3
Производная обращается в нуль при х = —.
1
Заметим, что Л'(х) < 0 при 0 < х < —, значит, функция Л(х) монотонно убывает
1
на промежутке 0 < х < —.
1
Заметим, что Л'(х) > 0 при — < х, значит, функция Л(х) монотонно возрастает
1 ^
на промежутке — < х.
1
При х = — функция Л(х) принимает наименьшее значение, равное нулю. Во всех остальных точках области определения функция Л(х) положительная. Следовательно, 2х + - > //х.
8
Ценность решения задачи состоит в том, что функция не была монотонной на промежутке х > 0. Этот факт усложняет решение проблемы задачи, поскольку план решения выходит за рамки предложенной общей идеи. Поэтому обучающимся при решении этой задачи рекомендуется получить дополнительные сведения о характере изменения исследуемой функции.
Задача 4.
Докажите, что неравенство выполняется для всех действительных значений неизвестной х > 1:
5х - 5 < х5 - 1 < 5х5 - 5.
Решение задачи приводить не будем, заметим лишь необходимость проведения доказательств соответствующих двух неравенств с использованием выше описанной идеи.
Задача 5.
Докажите, что неравенство выполняется для всех действительных значений неизвестной х:
2х4 + 1 > 2х3 + х2.
Задача включается в обогащающую систему задач, поскольку при решении обнаруживается затруднение в определении знака первой производной построенной функции. В этом случае приходим к осознанию применить вторую производную функции. Решение.
Составим функцию Л(х) = 2х4 + 1 - 2х3 - х2.
Найдем производную функции Л(х). Её производная равна:
Л'(х) = 8х3 - 6х2 - 2х.
Найдем критические точки из уравнения:
8х3 - 6х2 - 2х = 0. х1 = 0,х2 = 1,х3 = -0,25.
Найдем вторую производную функции Л(х). Её вторая производная равна:
Л"(х) = 24х2-12х-2. Л"(-0,25) > 0,Л"(0) < 0 ,Л"(1) < 0.
125
При х = -0,25 значение функции равно —. При х = 0 значение функции равно 1. При х = 1 значение функции равно 0.
При х стремящемся в функция Л(х) стремиться в То есть функция Л(х) при всех х положительна, кроме х = 1, и лишь в точке х = 1 равна 0. Это и доказывает неравенство.
Заключение
Рассмотренная обогащающая система задач при изучении производной функции раскрывает тесные связи между идеями алгебры и начал анализа, элементарной и высшей математикой, способствует развитию широты взглядов на применение методов решения задач, формирует новые мировоззренческие качества личности обучающегося.
ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ
1. Гнеденко, Б. В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. - М.: Просвещение, 1982. 144 с.
2. Бибиков П.В.. Неравенства в задачах - М.: МЦНМО, 2020. 104 с.
Svetlana B. Zabelina,
Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow, Russia zabelina sb@mail.ru Zoia V.Shilova,
Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow, Russia zoya shilova@mail.ru
Enriching system of tasks as a means of forming a scientific worldview in the study of derivatives of elementary functions
Abstract. The relevance of the article is due to the fact that the most important direction of the process of teaching mathematics is the formation of the scientific worldview of students in the course of their cognitive activity. The purpose of the article is to show that the enriching system of tasks in the study of a derivative function serves as an effective means of forming a generalized system of scientific knowledge and beliefs. It is confirmed that enriching work on tasks using the derived elementary function contributes to the improvement of such qualitative characteristics of the students' worldview as consistency and integrity, generality and evidence, logical consistency and applicability of the knowledge gained.. Keywords: a system of knowledge and beliefs, an enriching system of tasks, derivative of the function.
