CC BY
6
2024 Теоретические основы прикладной дискретной математики № 65
УДК 519.719.1 DOI 10.17223/20710410/65/2
ОБОБЩЁННЫЕ ТОЖДЕСТВА МЕДИАЛЬНОСТИ И ПАРАМЕДИАЛЬНОСТИ ДЛЯ СИЛЬНО ЗАВИСИМЫХ ОПЕРАЦИЙ
А. В. Черемушкин
Академия криптографии РФ, г. Москва, Россия
E-mail: [email protected]
Доказываются аналоги теорем о решении обобщённых тождеств медиальности и иарамедиальности квазигрупп применительно к случаю сильно зависимых бинарных операций. Показано, что алгебры медиальных и парамедиальных сильно зависимых бинарных операций допускают описание, аналогичное случаю квазигрупп. В то же время ко-медиальные и ко-парамедиальные алгебры бинарных операций уже могут содержать нелинейные бинарные операции.
Ключевые слова: n-арные квазигруппы, сильно зависимые операции, парамеди-альпые операции.
MEDIAL AND PARAMEDIAL GENERAL IDENTITIES FOR STRONG
DEPENDANCE OPERATIONS
A. V. Cheremushkin
Academy of Cryptography of the Russian Federation, Moscow, Russia
We consider general functional medial and paramedial equations with four object variables. We give analogous of khown results with quasigroup operations for a class of strong dependable operations. As a consequence of these results, an analogous linear representation for every operation of a binary algebra satisfying one of these hyperidentities is obtained. Nevertheless, co-medial and co-paramedial algebras may have nonlinear binary operations.
Keywords: n-ary quasigroup, strong dependent operation, medial and paramedial operations, linear representation.
1. Необходимые определения
Пусть n ^ 0 k ^ 2 и X = {0,1,... ,k — 1}, Функция k-значной логики (n-арная операция иа множестве X) f : Xn ^ X называется сильно зависимой, если для всех i = 1,..., n найдётся фиксация мех переменных, кроме xi; при которой полученная после фиксации функция становится подстановкой по xi. Если при фиксации любых n — 1
переменной, то n-арный группоид (X, f) называется п-квазигруппой. Если n = 2 и f = * — ассоциативная бинарная операция с единицей, то (X, *) называется моноидом. Произведению подстановок а/3 соответствует запись
авх = в (а(х)).
В работах автора [1-3] показано, что многие известные результаты, формулируемые
n
переносятся на случай сильно зависимых операций, В данной работе продолжаются эти исследования и показано, что для сильно зависимых п-арных операций с условием парамедиальноети также имеет место результат, полностью аналогичный доказанному для п-квазигрупп.
Группоид (X, •) с бинарной операцией х • у = ху называется медиальным (парамедиалъным), если выполнено тождество
(ху)(ми) = (хм)(уг>) ((ху)(мг>) = (г>у)(мх)).
Строение медиальных и парамедиальных квазигрупп и некоторых их обобщений описано в работах [4-8], В [9, 10] показано, что для случая сильно зависимых функций имеют место аналогичные описания.
Теорема 1 [9, теорема 3], Любая конечная медиальная бинарная сильно зависимая операция (•) может быть представлена как линейная операция вида (1), у которой автоморфизмы £1, £2 удовлетворяют уеловию £^2 = £2£ь
Теорема 2 [10, теорема 5], Любая конечная парамедиальная бинарная сильно зависимая операция (•) может быть представлена как линейная операция вида (1), у
£1 , £2 £12 = £22 Бинарная сильно зависимая операция (•) на множестве X называется линейной, если найдутся коммутативный моноид (X, о) и обратимый эле мент Ь € X, такие, что при некоторых автоморфизмах £1 ,£2 моноида (X, о) выполняется тождество
х • у = £1х о £2у о Ь. (1)
2. Обобщённые тождества медиальности и парамедиальноети
Рассмотрим теперь обобщённые тождества медиальности и парамедиальноети, которые имеют соответственно вид
/1(/2(х,у),/э(и,^)) = /4(/б(х,и),/в(у,^)); (2)
/1(/2(х,у),/э(и,^)) = /4(/5(^,у),/6(и,х)). (3)
Решение обобщённых тождеств медиальности и парамедиальноети для случая бинарных квазигрупп приведено в работах [11-14].
Целью настоящей работы является доказательство того, что для случая сильно зависимых функций имеют место аналогичные утверждения, отличающиеся только тем, что в них термин «группа» следует заменить на термин «моноид». Рассмотрим сначала случай обобщённого тождества медиальности. Лемма 1. Пусть (X, о)—моноид. Если выполнено тождество
а(х) о в(у) = 7(у) о ОД,
где а, в, 7, ^ _ некоторые подстановки, то операция о коммутативная.
Доказательство. Пусть е0 — нейтральный элемент моноида (X, о). Подставляя в это тождество элементы хо,уо, удовлетворяющие равенствам а(хо) = в(уо) = е0; получаем
а(х) = 7(уо) о ¿(х), в(у) = 7(у) о ¿(хо),
где 7(уо) и ¿(хо) должны быть обратимыми элементами. Отсюда
7(уо) о ¿(х) о 7(у) о ^(хо) = 7(у) о ^(х).
Произведём замену переменных 7(у0) ◦ ^(ж) = т, 7(у) о $(ж0) = г:
т о г = г о #(ж0)-1 о 7(у0)-1 о т.
При т = г = е0 получаем 7(ж0)-1 о $(у0)-1 = е0, откуда т о г = г о т. Коммутативность для произвольных т, г вытекает из взаимной однозначности соответствия (ж, у) м (т, г), ■
Теорема 3. Последовательность (/1,...,/6) сильно зависимых функций па конечном множестве X является решением обобщённого тождества медиальности (2) в том и только в том случае, когда существуют коммутативный моноид (X, о) и биек-ции а1,..., «8, такие, что
/1(ж,г) = а5Ж о ае^, /2(ж, у) = а-1(«1ж о «2у), /з(и,1) = а-1(ази о «41), Л(г,у) = атг о а8у, Д(ж,и) = а-1(«1ж о «зи), /б(у,1) = а-1(«2у о «41),
Доказательство. Обозначим функцию, стоящую в левой и правой части тождества (2), через ^(ж,у,и,1), Поскольку эта функция допускает четыре простые декомпозиции с наборами переменных {ж, у}, {и,1}, {ж, и} и {у,1}, то все переменные функции ^ эквивалентны. По теореме 6(1) из [15] каноническая декомпозиция этой функции должна иметь вид о-разложения а1(ж^1) о а2(жг2) о а3(жг3) о а4(ж^4), где (X, о) — моноид; а* — подстановки на множестве X, 1 ^ я ^ 4 {ж^, ж*2 , ж*3 , ж*4} = {ж,у,и,1},
о
ция функции может быть получена путём доразбиения бесповторных декомпозиций, стоящих в левой и правой частях тождества (2), то для порядка переменных возможны два варианта:
«1(ж) о «2 (у) о «з (и) о «4(1) = в1(ж) * в2(и) * вз(у) * ^4(1),
где моноиды (X, о) и (X, *) в силу теоремы 7(1) из [15] должны быть связаны соотношениями вида ж * у = ж о а о у либо ж * у = у о Ь о ж при некоторых обратимых элементах а, Ь моноида (X, о),
В первом случае получаем тождество
«1 (ж) о «2 (у) о «з(и) о «4(1») = в (ж) о а о в2(и) о а о вз(у) о а о ^4(1).
Заменив, где это необходимо, подстановки в(.) о а на вО достаточно ограничиться рассмотрением тождества
«1 (ж) о «2 (у) о «з(и) о «4(1) = в (ж) о в2(и) о вз(у) о ^4(1).
Выберем значения ж = ж0 и V = 10 так, чтобы «1 (ж0) = «4(10) = е0 — единичный элемент моноида (X, о). Тогда
«2(у) о «з(и) = в1(ео) о в2(и) о вз(у) о в4(ео).
о
Во втором случае аналогично получаем тождество
«1(ж) о «2 (у) о «з(и) о «4(1) = ^4(1) о вз(у) о в2(и) о в1(ж).
Выберем значения у = уо и и = ио так, что бы а2(уо) = «з(ио) = е0, тогда
а1(х) о «4^) = в4(^) о вз(ео) о в2(ео) о в1 (х).
о
Теперь по теореме 7(1) из [15] получаем, что достаточно рассмотреть случай, когда левая функция из тождества (2) допускает каноническую декомпозицию вида
/1(/2(х,у),/з(и,^)) = а1(х) о а2(у) о «з(и) о а4(^). (4)
Подставляя в это тождество значения и = ио и v = такие, что а3(ио) = а4(^о) = е0, получаем
/l(/2(x,У),/з(uо,Vо)) = а1(х) о а2(у).
Поскольку в правой части стоит сильно зависимая функция, то унарная операция /1(^,/з(ио,^)) = а5(и>) должна быть подстановкой, удовлетворяющей равенству
/2(х,у) = а-1(а1х о а2у)■
Аналогично рассуждая, получаем, что унарная операция /1(/2(хо, уо),ад) = а6(эд) также является подстановкой и удовлетворяет равенству /з(и, V) = а-1(ази о Возвращаясь к равенству (4), убеждаемся, что /1(х,г) = а5х о а6г. Рассматривая правую часть тождества (2), аналогично получаем при некоторых подстановках а7 и а8 равенства
/5(х, и) = а-1 («1х о ази), /6(y,v) = а-1(«2у о а4v), Д(г,у) = «7^ о «8у.
Теорема доказана, ■
Получим аналогичное описание для тождества парамедиальноети. Теорема 4. Последовательность (/1,...,/6) сильно зависимых функций на конечном множестве X является решением обобщённого тождества парамедиальноети (3) в том и только в том случае, когда существует коммутативный моноид (X, о) а1 , . . . , а8
/1(х,г) = «5х о «6^, /2(х,у) = а-1(«1х о «2у), /з(u,v) = а-1(ази о а4v), Д(г,у) = «7^ о «8у, /5^,у) = а-1(а4V о «2у), /6(и,х) = а-1(«зи о «1 х).
Доказательство. Поступаем аналогично. Так как все переменные функции, стоящей в левой и правой частях тождества (2), эквивалентны, то по теореме 6(1)
о
«1(х,1) о«2(хг2 ) о«з(хгз) о«4(х,4 ), ГДв (X, о) — МОПОИД; «г — ПОДСТаНОВКИ На МНОЖвСТВв X,
1 ^ Ъ ^ 4, {хг1, хг2 , хгз , хг4 } {х,у,и,'^?}*
о
цня функции может быть получена путём доразбиения некоторой бесповторной декомпозиции, то из тождества (2) следует, что для порядка переменных возможны два варианта:
«1(х) о «2 (у) о «з(и) о «4^) = в1^) * в2(у) * вз(и) * в4(х),
где моноиды (X, о) и (X, *) в силу теоремы 7(1) из [15] могут быть связаны соотношениями вида х * у = х о а о у либо х * у = у о Ь о х при некоторых обратимых элементах а, Ь моноида (X, о).
В первом случае получаем тождество
«1 (ж) о «2(у) о «з(и) о «4(1) = ^1(1) о а о в2(у) о а о вз(и) о а о ^4(ж).
Заменив, где это необходимо, подстановки в(.) о а на в'О); достаточно ограничиться рассмотрением тождества
«1 (ж) о «2 (у) о «з(и) о «4(1) = £1(1) о в2(у) о вз(и) о в4(ж).
Выберем значения у = у0 и и = и0 так, чтобы «2(у0) = «з(и0) = е0 — единичный элемент моноида (X, о), тогда
«1 (ж) о «4(1) = ^1(1) о в2(ео) о вз(ео) о в4 (ж).
о
Во втором случае аналогично получаем тождество
«1 (ж) о «2 (у) о «з(и) о «4(1) = в4(ж) о вз(и) о в2(у) о £1(1). Выберем значения ж = ж0 и 1 = 10, такие, что «1(ж0) = «4(10) = е0, тогда
«2(у) о «з(и) = в4(ео) о вз(и) о в2(у) о в1(ео).
о
По теореме 7(1) из [15] получаем, что достаточно рассмотреть случай, когда левая функция из тождества (2) допускает каноническую декомпозицию вида
/1(/2(ж,у),/з(и,1)) = «1(ж) о «2(у) о «з(и) о «4(1). (5)
Подставляя в это тождество значения и = и0 и 1 = 10, такие, что «з(и0) = «4(10) = ео, получаем
/1(/2(ж,у),/з(и0,10)) = «1(ж) о «2(у).
Поскольку в правой части стоит сильно зависимая функция, то унарная операция /1(т,/з(и0,10)) = «5(т) должна быть подстановкой, удовлетворяющей равенству
/2(ж,у) = «-1(«1ж о «2у)-
Аналогично рассуждая, получаем, что унарная операция /1(/2(ж0,у0),т) = «6(т) также является подстановкой и удовлетворяет равенству /з(и, 1) = «-1(«зи о «41), Возвращаясь к равенству (5), убеждаемся, что /1(ж,г) = «5ж о Рассматривая правую часть тождества (2), полностью аналогично получаем при некоторых подстановках «7 и «8 равенства
/5(1, у) = «-1(«41 о «2у), /б(и, ж) = «-1(«1ж о «зи), /4(г,у) = о «8у. Теорема доказана, ■
Замечание 1. В работе [16] исследован вопрос об однозначности решения тожде-
( /1 , . . . , /6 )
но, что набор (+, «1,..., «8), с помощью которого описываются эти функции, определяется по ним неоднозначно. Например, при любом автоморфизме 9 абелевой группы (X, +) последовательность (+, 9«1,..., 9«8) определяет то же решение. Для получения однозначного (канонического) вида решения достаточно зафиксировать произвольный элемент а € X, который будет играть роль нейтрального элемента для изоморфного представления (X, *,а) группы (X, +, 0), и потребовать, чтобы «1а = «5а = «7а = а. Аналогичный результат справедлив и для сильно зависимых функций.
3. Применение к алгебрам двуместных функций
Приведём несколько следствий. Пусть : X2 ^ X — множество двуместных функций, Рассмотрим несколько обобщённых функциональных тождеств, в которых участвует две функции /, д
(a) / ^^у^д^^ = д(/(х,и),/ (у^ (medм%),
(b) / (g(x,У),g(u,v)) = д(/(v,У),/(и,х)) (paramedlallty),
(c) / ^^у^д^^ = / (g(x,u),g(y,v)) (со-те<ИаШу),
/ (д(х, у), д(и, v)) = / (g(v, у), д(и, х)) (со-рагате<ИаШу).
Определение 1. Пусть ^ С Если для любых /, д € ^ выполняется тождество (а), то алгебра (X, ^) называется медиальной; если тождество (6), то —парам,едиальной] если тождество (с), то — ко-медиальнощ если тождество то— ко-парамедиальной.
Алгебры с квазигрупповыми операциями исследованы в работах [13, 14, 17, 18] и др. Описание всех таких алгебр для случая бинарных квазигрупповых операций приведено, в частности, в работе [6], Показано, что для всех случаев алгебры состоят только из операций, допускающих линейные представления. Например, для случая медиальных бинарных квазигрупповых операций справедлива
Теорема 5 [17, теорема 1], Если алгебра (X, ..., Л.т}), где ..., Нт — бинарные квазигруппы, является медиальной, то существует абелева группа (X, +), такая, что
Л,г(х,у) = «¿х + вгу + Сг, где , вг _ автоморфизмы группы (X, +), сг € ^ и
аiвj = вз «¿, «¿«3 = «¿, вгвз = вз вг ПРИ ВСех Ъ, ] = 1,... ,т.
Группа (X, +) определена однозначно с точностью до изоморфизма.
Заметим, что в [19] описаны алгебры, удовлетворяющие тождествам вида ( а) и (6), в которых применены всевозможные перестановки переменных в правой части,
В данной работе, в отличие от обычного определения, предполагается, что функ-/, д / = д
мы попадаем в условия теорем 1 и 2, из которых следует, что все функции в алгебре
должны иметь соответствующее линейное представление. Если же исходить из того, /=д
алгебры с функциями, не имеющими линейного представления.
Покажем, что из теорем 3 и 4 для алгебр сильно зависимых бинарных операций в случаях (с) и (ё) следует аналогичное описание. Нам потребуется описание групп автотопий коммутативных моноидов.
Лемма 2.
1) Группа автотопий Atp (о) коммутативного моноида (X, о) состоит из преобразований вида
(«,в,7) = (£,£,£)(Яа,Яь,Яе) = (£Яа ,£Яь,£ЯС),
где £ € А^(о) — некоторый автоморфизм и а, Ь € X — обратимые элементы, с = а о Ь, или иначе
7_1(«х о ву) = £-1(£ (х) о а о £ (у) о Ь о с-1) = х о у. Если е € X — единица моноида, то («(е),в(е),7(е)) = (а,Ь,с),
2) Если для коммутативного моноида (X, о) и преобразований изотопии («¿,$,7*)) г = 1, 2, выполняется тождество
7-1(«1ж о в1у) = 7—1 («2ж о в2у),
то для некоторого автоморфизма £ € Аи t(о) и обратимых элем ептов а, Ь € X и с = а о Ь выполнено равенство
(«1,^1,71) = (^^О^^Ю^^Ъ) = (£^«2,^2,^72), или в другой форме
Мж),01(у),71 (*)) = (£(«2(ж)) о а,£(в2(у)) о Ь,£М*)) о с).
Доказательство получается как следствие теоремы 3 из [15]. Напомним, что каждая компонента автотопии моноида (X, о) является квазиавтоморфизмом, т. е. представи-ма в виде ^(ж) о Ь при некотором автоморфизме моноида ^(ж) и обратимом элементе Ь € X, Все квазиавтоморфизмы моноида образу ют группу Но1(о), являющуюся
(о)
элементов моноида.
Теорема 6. Если алгебра (X, {Кь..., Кт}), где ..., Кт — сильно зависимые бинарные операции, является медиальной, то существует коммутативный моноид (X, о), такой, что
К* (ж, у) = «¿ж о ву о с, где в г — автоморфизмы мо ноида (X, о) с* € X и
«¿в = в. «г, = «¿, в*вз = в. вг, К (с*, С*) = К* (с. , с. )
при всех 1 ^ г,^ ^ т. Моноид (X, о) определён однозначно с точностью до изоморфизма.
Доказательство. Пусть /, д € {К1,..., Кт} — произвольная пара функций, удовлетворяющая тождеству (а). Применим к этому тождеству теорему 3. Имеем
/ = /1 = /5 = /6 д = /2 = /з = /4
/(ж, у) = «5ж о «6у = а-1(а1ж о «зу) = 1(«2ж о «4у), д(ж, у) = а-1(а1ж о «2у) = «-^^ж о «4у) = «7ж о «8у.
Значит, изотопии («^«^с!), («1,«з, «7) и («2,«4,«8) лежат в одном смежном классе по группе автотопий моноида (X, о) (здесь через 1с1 обозначено тождественное отображение). Отсюда по лемме 2 получаем, что при некоторых автоморфизмах £1,£2 справедливы равенства
(«1,«з,«7) = (6,6, 6X^1 ,Яь1 ,Яв1 )(«5, «6, 1с1) = (£1^1 «5,^1^61 «6, £1^1), («2, «4, «8) = (£2,6,6)(Да2 ,ДЬ2 , ЛезЭ^^е^с!) = (£2^2«5, £2^2«6, £2^2).
Аналогично получаем, что при некоторых автоморфизмах £з,£4 справедливы равенства
(«1,«2,«5) = (£з^аз «7 ,£з^аз «8,£зЛаз ),
(«з, «4, «б) = (£4^4«7,£4^4«8^4^).
Отсюда «7 = £1ЯС1, «8 = £2#С2, «5 = £эЯа3, «6 = £4^4, Причём
«1 = £1^а1 «5 = £3 ^аз «7, «2 = £2 ^а2 «5 = £3^аз а8,
«3 = £1 Дь1 «6 = £4 Да4 «7, «4 = £2 Яь2 «6 = £4^а4 «8,
или иначе
аз £зЯ аз С1, «2 = £2 Да2 £зД аз £зД аз С2 >
«3 = £1^Ь1 £4^а4 = £4^Ь4 £1ДС1, «4 = £2 ^Ь2 £4^а4 = £4^Ь4 £2^С2 .
Отсюда, вычисляя значение этих биекций на единичном элементе, получаем
а1 = СЪ Ь1 = e, £1£3 = £3£1,
а2 = С2, Ь2 = е, £2£3 = £3£2,
а3 = С1 о Ь4, £1£4 = £4£1, а4 = С2 о Ь4, £2 £4 = £4 £2.
(6)
Таким образом, «1,..., «8 € Но1(о) — квазиавтоморфизмы моноида (ф, о).
Осталось привести полученные представления к виду, приведённому в формулировке теоремы 6, Введём новые обозначения для автоморфизмов, участвующих в за-/д
/(х, у) = «5х о «бу = £3#азх о £4^а4у = £3х о £4у о а3 о а4 = «1х о в1у о с1, д(х, у) = «7х о «8у = £1^01 х о £2ЯС2у = £1х о £2у о С1 о С2 = «2х о в2у о с2,
«1 = £3 «2 = £1 в1 = £4 в2 = £2 с1 = с3 о с4 с2 = с1 о с2
автоморфизмов из (6) можно переписать в виде
«1«2 = «1, в2«1 = «1в2, «2в1 = в1«2, в1 в2 = в2в1. При этом должно выполняться /(с'2,с'2) = д(с1,с1), ■
Теорема 7. Если алгебра (X, ..., Л.т}), где ... ,Л,т —сильно зависимые бинарные операции, является парамедиальной, то существует коммутативный моноид (X, о), такой, что
Л,г(х,у) = «¿х о вгу о Сг, где «г, вг — автоморфизмы мопоида (X, о) сг € X и
«гвз = «звг, вг«3 = вз«г, «г= взвг, ^(Сг, Сг) = Л-г(в,-, С,')
при всех 1 ^ Ъ, ^ ^ т. Моноид (X, о) определён однозначно с точностью до изоморфизма.
Доказательство. Пусть /, д € ..., Л,т} — произвольная пара функций. Она должна удовлетворять тождеству (6), Применим к этому тождеству теорему 4, Имеем
/ = /1 = /5 = /6 д = /2 = /3 = /4
/(х, у) = «5х о «6у = «-1(«4х о «2у) = «-1(«3х о «1у), д(х, у) = «-1(«1х о «2у) = «-1(«3х о «4у) = «7х о «8у.
Значит, изотопии (а5,аб,1с!), (а4,а2, а7) и (аз,а^ а8) лежат в одном смежном классе по группе автотопий моноида (X, о). Отсюда по лемме 2 получаем, что при некоторых автоморфизмах 6, £2 справедливы равенства
(а4,а2,а7) = (£1, £1, бХЯ^, Я^, Яс1)(а5,аб,1(1) = (бЯ^ «5,6^2аб,6Яс1),
(аз,а1,ав) = (£2, £2,6)(Л«2, Яь2, Лс2)(а5,аб,1(1) = (£2^2«5,^2^62«5,^2^02).
Аналогично получаем, что при некоторых автоморфизмах £3,£4 справедливы равенства
(аЬ«2,«5) = (£зЯ«э«7,£заз,£зЯсз), («3, «4, «б) = (£4^4«7,£4^64«8, £4^04). Тогда а7 = бЯ^, а = £2#с2, «5 = £зЯсз, «б = £4Яс4, причём
а1 = £зЯ«з С1 = £2Я&2 £4ЯС4 , а2 = £1Я«2 С4 = £зЯ6з £2ЯС2 ,
аз = £2Я«2 £зЯ сз _ а.4 £1 я С1, а4 = £1Я«1 £зя
сз = £4Я64£2ЯС2 .
Вычисляя значения этих биекций на единичном элементе моноида, получаем
С1 о аз = С4 о 62, £з£1 = £2£4,
С4 о а2 = С2 О 6з, £1£4 = £з£2,
Сз о а2 = С1 О а4, £2£з = £4£1,
Сз о а1 = С2 о 64, £1£з = £4£2.
(7)
Таким образом, а ь ..., а8 являются автоморфизмами моноида (ф, о).
Осталось привести полученные представления к виду, приведенному в формулировке теоремы 7:
f (х, у) = о азу = £зЯсзх о £4Яс4у = £зх о £4у о сз о С4 = а1х о в1у о с1, #(х, у) = а7ж о а8у = £1^1 х о £2Яс2у = о £2у о С1 о С2 = а2>х о в2у о с2,
где а1 = £з, а'2 = £1; в1 = £4; в2 = £ъ с1 = сз о с4, С2 = с1 о с2. Теперь равенства (7) можно переписать в виде
а^а! = в1в2, а2в1 = а1в2, в2а1 = в1а2>, а'^ = в2в1.
Необходимость выполнения равенства ^(с^,с^) = Л-Дс^-, с^) очевидна, ■
Перейдём к рассмотрению тождеств ко-медиальности и ко-парамедиальности. Вначале приведем критерий для свойства квазиавтоморфизма.
Лемма 3. Пусть ф : X ^ X —биекция и (X, о) — коммутативный моноид. Тогда тождество
ф(х о у) о ф(е) = ф(х) о ф(у)
выполняется в том и только в том случае, когда ф(х) = а(х) о 6 при некотором автоморфизме а € Аиt(о) и обратимом элементе 6 моноида (X, о).
Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем необходимость. Единица моноида является обратимым элементом. Покажем, что ф(е) — также обратимый элемент моноида (X, о). По условию ф(х о у) о ф(е) = ф(х) о ф(у), причём ф —биекция. Выберем у0 так, что ф(уо) = е. Тогда
ф(х о уо) о ф(е) = ф(х).
Справа стоит подстановка, значит, слева тоже должна быть подстановка. Поэтому 0(e) должен быть обратимым элементом.
Рассмотрим «(х) = 0(х) о 0(e)-1, Имеем
«(х о у) = 0(х о у) о 0(e)-1 = (0(х) о 0(у) о 0(e)-1) о 0(e)-1 = «(х) о «(у).
Значит, « — эндоморфизм моноида (X, о) С другой стороны, 0(х) = «(х) о 0(e) — биекция. Поэтому а должен быть автоморфизмом, ■
Утверждение 1. Если f, g — сильно зависимые бинарные операции, удовлетворяющие тождеству (с) ко-медиальноети, то существует коммутативный моноид (X, о), биекции «^обратимые элементы 6, c G X и автоморфизм моноида С € Au t^), такие, что
f (x,y) = о ау g(x,y) = а-1(вх о Д-^-1^.
( X, о )
Доказательство. Имеем f = f1 = f4 и g = f2 = f3 = f5 = f6, или
f (x, у) = «5X о «6У = «7X о а8у, g(x, у) = а-1(а1х о а2у) = а-1(а3х о а4у) = а-1(а1х о а3у) = а-1(а2х о а4у),
при этом
f (g(x, у),g(u, v)) = а1х о а2у о «3u о «4v, f (g(x, u), g^, v)) = а1х о «2u о а3у о «4v.
Поэтому для выполнения тождества ко-медиальноети необходимо, чтобы а2 = а3.
Из совпадения функций следует, что преобразования изотопии (a5,a6,id) и («7,«8,id), а также (а1,а2,а5) (а3,а4,а6) (а1,а3,а7) и (а2,а4,а8) лежат в одних
( X, о )
что при некоторых автоморфизмах ^, С2, С3 справедливы равенства
(«1, «2, «5) = (£1Raiаз,£1Дб1 а4,£1ДС1 «б) = ^R««1,^2^62«3^2^«7) =
«3 «2, Сз Ri>3 «4, Сз RC3 «8 ), («5, «6, id) = (R„4«7, Rb4«8, id), а4 о 64 = e.
Отсюда
«1 = C1R«1 «з = С2 R«2 «1 = Сз^а3 «2, «2 = СА «4 = C2Rb2 «3 = СзЯь3 «4,
«5 = C1RC1 «6 = C2RC2 «7 = C3RC3 «8 = R«4 «7,
«6 = Rb4 «8.
Заметим, что:
— «1 = C2R«2 откуда ß2 = e, С2 = e;
— «5 = R„4«7 = C2R2 «7, откуда С2 = id, <24 = C2;
— «5 = £1#C1 Rb4 «8 = СзДС3 «8, откуд а 64 о C1 = C3, С1 = Сз;
— «2 = C1Rb1 «4 = СзЯь3«4, откуда 61 = 63;
— «3 = откуд а 62 = e.
Таким образом, а1 = £1Яаза2, аз = а2, а4 = Я-1£11а^ а5 = £1ЯС1 а, а значит,
f (х, у) = а5х о азу = ^Я^азх о азу, д(х, у) = а1-1(а1х о а2у) = а-^Я^а2х о а2у) = = аЦ1(азх о а4у) = а-^х о Я-^-^у).
При этом
f (д(х, и), д(у, V)) = (а1х о а2и) о (азу о а4^) = £1Яаза2х о а2« о а2у о Я-1 £-^2^.
После замены обозначений а2 = в аб = а, £1 = £ с1 = с, аз = а, 6з = 6 получаем требуемые равенства
f (х, у) = £Ясах о ау = £Ясах о ау, д(х, у) = (£Яса)"1(£Я„звх о ву) = а-1(вх о Я-1 £-1ву).
Заметим, что функция д должна удовлетворять условию
а"1Яс-1£-1(£Я„вх о ву) = а-1(вх о Я--1£-1 ву),
или после замены переменной ву' = Я-1£-1ву
а-1Я-1£-1(Я„вх о £Яьву') = а-1(вх о ву').
Отсюда следует, что должно выполняться равенство с = а о 6, что вытекает из того, что тройка (Я„в,£Я6,£Яс) должна быть автотопией операции о.
Окончательно получаем, что левая часть тождества (с), имеющая вид
f (д(х, и), д(у, V)) = £Яса((£Яса)-1 (£Я„вх о в«)) о а(а-1(ву о Я--1£-») = = (а1х о ви) о (азу о а4V) = £Яавх о ви о ву о Я-1£-1в^,
должна, очевидно, совпадать с выражением в правой части этого тождества, ■
Теорема 8. Если алгебра (X, д}), где ^ д — сильно зависимые бинарные операции, является ко-медиальной, то существует коммутативный моноид (X, о), биек-ция а, автоморфизмы моноида € А^(о) и обратимые элементы т, / € X, такие, что
f (х, у) = £ах о ау о т, д(х, у) = а-1(^х о £-1^у о /).
Моноид (X, о) определён однозначно с точностью до изоморфизма; а и £ при некоторых 8, с € X удовлетворяют тождеству
£(ах о в) = а(£х о с).
Доказательство. Пусть для функций ^ д выполнено тождество (с). Рассмотрим второе тождество, отличающееся от (с) порядком следования функций:
дС/ (х,у^ (и,^)) = д^(х,и)^ (у^)).
Согласно утверждению 1, левая и правая части тождества должны иметь вид
д^(х,у^(и,^)) = а-1(в(£Ясах о ау) о Я-1£-1в(£Ясаи о а^ g(f (х,и),У (у^)) = а-1(в(£Ясах о аи) о Я-1£-1в (£Ясау о а^)).
Поэтому при ЯС1 Сх = х' это тождество можно записать в виде
в (ах' о ау) о Я-1^(СЯсаи о ау) = в (ах' о аи) о Я-^^в (СЯсау о ау). (8)
При ах0 = ау0 = е и и0 го условия Я-1С-1в(СЯсаи0) = е получаем
в(ау) = й о Я-1^-1 в(СЯсау), (9)
где элемент й = ваи0 должен быть обратимым, так как слева стоит подстановка. Подставляя ау0 = аи0 = е, получаем тождество
в(ах' о ау) о Я-1С-1в (СЯсаиО) = в (ах') о Я-1С-1в(СЯс ау).
Используя равенство (9), преобразуем это тождество к виду
в (ах' о ау) о й-1 о в (аи0) = в (ах') о й-1 о в(ау),
где после замены переменных г = ах', ад = ау и сокращения й-1 получаем тождество
в (г о ад) о в(е) = в (г) о в (ш).
В силу леммы 3 биекция в является квазиавтоморфизмом. Пусть в(х) = ф(х) о Н, ф Е Аи1;(о), Н € X, Тогда тождество (8) можно записать в виде
ф(ах' о ау) о Н о Я-1 С-1ф(СЯсаи о ау) о Н = ф(ах' о аи) о Н о Я-1С_1ф(СЯсау о ау) о Н.
ф
дество
(ах' о ау) о Д-1^-1(СДсаи о ау) = (ах' о аи) о Д-1^-1(СЯсау о ау).
Выберем х' = хО так, чтобы ах0 был обратимым элементом. Тогда это эквивалентно равенству
ау о -1(СДсаи) = аи о Д-1С_1(СДСаУ),
или
ау о С-1(£Ясаи) = аи о С-1(СЯсау). Зафиксируем и = и0 так, чтобы £-1(£Ясаи0) = е:
ау = азд о С-1(СДсау).
Поскольку а является подстановкой, элемент ау0 должен быть обратимым. Обозначая 5 = (ау0)-1, получаем
ау о 5 = С-1(СДсау)
при некотором 5 Е X, или иначе
С(ауо 5) = а(Су о с).
Следовательно,
f (х, у) = СЯсах о ау = С (ах о о ау = С(ах) о ау о С (в),
^(х,у) = а_1(фх о Д-1С_1фу) = а_1(фх о С-1фу о С_1#_1).
Обозначая т = С (в) I = С-1 ф&-1, получаем необходимый вид функций из условия теоремы, ■
Пример 1. Покажем, что в теореме 8 обе операции Д и д могут быть нелинейными, Пусть X = Z2 рассматривается как пряма я сумма Z3 + Z3 групп с операцией покоординатного еложения; £(х) = хА —линейное преобразование, задаваемое матри-
цСЙ А = (2 ;) и являйся а„Т„морфп:!мом групп, (23, +). В „1Й :Иппсп £
имеет вид (00)(11, 22)(01, 21, 20, 02,12,10). Пусть подстановка а является транспозицией (11, 22). Она удовлетворяет равенству а£ = £а, но не является автоморфизмом группы Z3, так как её координатные функции а(х1,х2) = (х1,х'2) описываются нелинейными уравнениями
х1 = х1 — х1х2(х1 + х2), х'2 = х2 — х1х2(х1 + х2).
а
равенство а(12) + а(00) = а(11) + а(01) (см, лемму 3), Рассмотрим бинарные квазигрупповые операции
f (х,у) = £ах + аУ, д(х,у) = а-1(х + £-1 у).
Они не являются линейными, но удовлетворяют обоим тождествам ко-медиальноети:
f (д(х,у),д(и,^)) = f (g(x,u),g(y,v)), g(f (х,У),д (и,^)) = g(f О^^ (у^)).
Действительно, после подстановки в них операций Д и д получаем тождества
а-1£а(х + £-1у) + (и + £-1^) = а-1£а(х + £-1и) + (у + £-1^), а-1((£ах + ау) + £-1 (£аи + аг>)) = а-1((£ах + аи) + £-1(£ау + аг>)),
которые в силу перестановочности автоморфизма £ и биекции а можно преобразовать соответственно к виду
£х + у + и + £-1^ = £х + и + у + £-\ а-1(а£х + ау + аи + а£-1г>) = а-1(а£х + аи + ау + а£-1^).
Полностью аналогично рассматривается случай тождества ко-парамедиальноети. Утверждение 2. Если Д, д — сильно зависимые бинарные операции, удовлетворяющие тождеству ((!) ко-парамедиальности, то существует коммутативный моноид (X, о), биекции а, в> обратимые элементы а, с € X и автоморфизм моноида £ € Аи 1^(о), такие, что
f (х,у) = £Ясах о аУ,
д(х,у) = а-1(Я-1£-1вх о ву).
Моноид (X, о) определён однозначно с точностью до изоморфизма. Доказательство. Имеем f = Д = Д4 и д = f2 = f3 = Д = fб, или
f (х, у) = а5х о азу = а7х о а8у, д(х, у) = а-1(а1х о а2у) = а-1(а3х о а4у) = а-1(а4^ о а2у) = а-1(а3х о а1у).
Значит, изотопии («5,«6^) и («7,«8,idX а также (ai,a2,a5) («3,«4,«6), («4,02,^7) и («3, а1, «8) лежат в одном смежном клаеее по группе автотопий моноида (X, о). Отсюда по лемме 2 получаем, что при некоторых автоморфизмах f",f2,f3 справедливы равенства
(ai,a2,a5) = (fiR«i «3,6^ «4,6^ Оз) = «4^2^62 «2^2^ «7) =
«3«3, f3Ri>3«1, f3RC3
(a5, «6, id) = (Я«4a7, Rb4a8, id), a4 о b4 = e.
Тогда a5 = a6 = a8Rb4, причём
«i = fiRai «3 = f2 R«2 «4 = «3Ra3 f3, «2 = f1Rbi a4 = f2Rb2 a2 = f3Rb3 «Ъ a5 = f1Rci «6 = f2RC2 a7 = a8RC3 f3.
Значит, fiRai = ai = «4, f2 = id, «2 = e,
«i = fiR«i «3, «2 = CiRbi ai, «5 = ^iRCi «6. Подставим функции f и g в исходное тождество:
f (x, y) = «5x о «6У = flRCi«6Ж о «6У, g(x,y) = «""(«ix о «2y) = (fiR*«6^(«ix о fiRi«iy) = = ^""^x о «4y) = («6)-1 (Я"^"1«^ о «iy), f (g(v, y), g(u, x)) = «5«"1 («"V о «2y)) о a6(a"1(a3u о «4x)) = = («"V о «2y) о («3u о «4x) = «"V о Rbi«"y о R-^f"1«^ о «"x.
При = ß, «6 = f" = f, Rcifu = u', C" = c, a3 = « получаем требуемый вид операций, ■
Теорема 9. Если алгебра (X, {f, g}), где f, g — сильно зависимые бинарные операции, является ко-парамедиальной, то существует коммутативный моноид (X, о), би-екция автоморфизмы моноида f, ф G А^(о) и обратимые элементы m, l G X, такие, что
f (x, y) = f«x о «y о m,
g(x,y) = о ^y о l).
( X, о ) « f
торых s, c G X удовлетворяют тождеству
f («x о s) = «(fx о c).
f, g
рим второе тождество, отличающееся от (d) порядком следования функций
g(f (x,y),f (u,v)) = g(f (v,y),f (u,x)),
где, согласно утверждению 2,
g(f (x,y),f (u,v)) = «"ЧЯ"^"1^ (fRc«x о «y) о ß(fRc «u о g(f (v,y),f (u,x)) = (fRc«v о «y) о ß (fRc«u о «x)).
При £ЯСи = и' получаем
Я-1£-1в(£Ясах о ау) о в(аи' о аг) = Я-1£-1в(£Ясаг о ау) о в(аи' о ах). (10)
При ауо = е, аи0 = е тождество (10) принимает вид
Я-1£-1 в (£Ясах) о в(аг) = Я-1£-1в(£Ясаг) о в (ах),
при г0 из условия Я-1£-1в(£Ясаг0) = е получим
Я-1£-1в (£Ясах) о й = в (ах), (11)
где й = в (аг0) должен быть обратимым элементом. Полагая аи0 = ев тождестве (10), получаем
Я-1£-1в (£Ясах о ау) о в(аг) = Я-1£-1в(£Ясаг о ау) о в (ах),
после замены Яс£х = х' с использованием равенства (11) тождество (10) будет иметь следующий вид:
Я-1£-1в(ах' о ау) о Я-1£-1в(£Ясаг) о й = Я-1£-1в(£Ясаг о ау) о Яа-1£-1в(ах') о й. Обозначим ф = Я-1£-1в,аг' = £аЯсг, Тогда последнее равенство принимает вид
ф(ах' о ау) о ф(аг') о й = ф(аг' о ау) о ф(ах') о й. Сокращая па й и полагая аг' = е, получаем
ф(ах' о ау) о ф(е) = ф(ау) о ф(ах'). фв
Пусть в(х) = —(х) о К, — € Аи^о), К € X, Тогда тождество (11) можно записать в виде
Я-1£-1—(£ЯСах) о К о —(аг) о К = Я-1£-1^(£Ясаг) о К о -(ах) о К. Сокращая константы и используя свойство автоморфизма —, получаем тождество
Я-1£-1(£Ясах) о аг = Я-1£-1(£Ясаг) о ах,
что эквивалентно
£-1(£Ясах) о аг = £-1(£Ясаг) о ах. Фиксируя переменную г значением г0 так, что бы £-1(£Ясаг0) = е, имеем
£-1(£Ясах) о аг0 = ах.
Так как в правой части стоит подстановка, то элемент аг0 обратим и выполнение этого тождества эквивалентно выполнению тождества
ах о в = £-1(£Ясах),
где в = (аг0)-1, или иначе
£(ах о в) = а(£х о с), или аЯ5£х = £Ясах, Следовательно,
Д (х, у) = £Ясах о ау = £ (ах о в) о ау = £(ах) о ау о т,
д(х,у) = а-1(Я-1£-1-х о -у) = а-1(£-1-х о -уо
где т = £(з), I = £-1—а-1, ■
4. Свойство перестановочности степеней
В работе [20] D, С, Murdoch заметил, что медиальные группоиды обладают свойством перестановочности степеней (palintropic property). Ранее для медиальных группоидов использовался термин entropoid, а свойство медиальноети называлось entropie property и определялось так: для всех x, e, z, w G G если x * y = z * w, то x * z = y * w. Теорема 10 [20, теорема 10], Для любых элементов x,y G X медиального группоида (X, *) и всех m, n ^ 1 выполнены равенства
(x * y)n = xn * yn, (xn)m = (xm)n
*
го определения xn = xn-1 * x возможны и другие определения степени, отличающиеся способом расстановки скобок в последовательности x * x * * x. Каждое скобочное
n
выражение можно обозначить как степень xA элемепта x, показатель A которой записан в виде формального алгебраического выражения над натуральными числами
A
степенным индексом, (power index). Например, степенной индекс A = (2 + 1)-3 + (1 + 2)2 соответствует следующему скобочному выражению:
((((x * x) * x) * ((x * x) * x)) * ((x * x) * x)) * ((x * (x * x)) * ((x * (x * x)) * (x * (x * x)))) .
Степенные индексы A и В называются эквивалентны ми, если xA = xB для всех x G X, Множество классов эквивалентности индексов образует алгебру (Z; +, ■) с двумя бинарными операциями
xA+B = xA * xB, xA-B = (xA)B,
которую I. M. H. Etherington [21] назвал логарифметикой (logarithmetic).
Заметим, что в силу теоремы 10 операция умножения в записи степенного индекса коммутативна и ассоциативна, хотя операция сложения в общем случае не является ни коммутативной, ни ассоциативной. При этом закон дистрибутивности сложения относительно умножения сохраняется, В [21] доказано, что если вместо обычных степеней рассматривать произвольные скобочные выражения (степенные индексы), то для медиальных группоидов свойство перестановочности степеней оказывается справедливым и в общем случае.
Теорема 11 [21, теорема 10], Пусть A и В — произвольные степенные индексы, x, y G X (X, *)
(x * y)A = xA * yA, (xA)B = (xB)A (12)
Покажем, что равенства (12) выполняются и в случае двух бинарных операций f (x,y) = x о y и g(u,v) = u * v на множестве X, удовлетворяющих обобщённому тождеству медиальноети (а). Обозначим степени относительно каждой из операций следующим образом:
x{n} = (((x о x) о x) о ... о x)x = x{n-1} о x,
y[m] = (((y * y) * y) * ... * y)y = y[m-1] * y.
Будем также обозначать степенные индексы как {A} и [В] для степеней, вычисленных
о*
Теорема 12. Пусть ^Б - произвольные степенные индексы. Для любых группоидов (X, о) и (X, *), удовлетворяющих обобщённому тождеству медиальности, для любых элементов х,у € X выполнены равенства
(х * у){А} = х{А} * у{А}, (х{А})[в] = (х[В])
Доказательство. Каждый степенной индекс А можно записать в виде формального алгебраического выражения над натуральными числами с использованием символов некоммутативной операции сложения и коммутативной операции умножения.
А
чая в зависимости от последней операции в записи степенного индекса: А = Ах + А2, А = Ах • А2. Докажем второе равенство. По предположению индукции это равенство выполняется для степенных индексов Ах и А2, Имеем:
[В]){А}
(х * у){А}
х * у){А1-А2} = 1М{А2}
(х * у){А1})1
х{А1}* у{А1}){А2} =
х{А1}){А2} о(у{А1}){А2} =
х{А1}){А2} * (у{А1}){А2} = = х{А} * у{А}.
Аналогично рассматривается первый случай.
Второе равенство доказывается с использованием первого, только теперь надо рассмотреть четыре случая в зависимости от последних операций в записи степенных АБ
А = Ах + А2, Б = Бх + Б2, А = Ах • А2, Б = Бх • Б2.
В случае, когда обе операции — сложение (+), имеем: х{А})[В =
{А1+А2})[в1+в21 = [В1+В2 ] [В1]
х{
(х{А1} о х{А2 ЛВ1 ]
* (х{А1} о х{А2 ЛВ1]
[В 2]
{А1^ [В1 ] о (х^) [В1^ * ( (х{А1}) [В2] о (х{А2})
;[В2])
ДВ2Г
[В1]){А1^ (х[В1]){А2}
[В1]){А1+А2К (х[В2
х
х[В1+В2
хИ){А}
*х
{А1+А2}
*х {А1+А2}
[В2]){А1}
х
{А2}4
Остальные три случая рассматриваются аналогично. ■
Свойство перестановочности степеней оказывается удобным для построения протокола Диффи — Хеллмана, В [22] для построения протокола предложено рассматривать произвольные скобочные выражения на медиальных квазигруппах. Теорема 12 позволяет построить протокол типа Диффи — Хеллмана, в котором каждый из участников выполняет вычисления с использованием своей бинарной операции. Сначала
они договариваются об образующем элементе a G X, Каждый участник выбирает своё скобочное выражение. Затем они обмениваются сообщениями
A ^ B : a{A}, A ^ B : a[B].
Общий ключ вычисляется по формулам
k = (a{A})[B] = (a[B){A}.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черемушкин А. В. Аналоги теорем Глускина — Xoccv и Малышева для случая сильно зависимых и-арных операций // Дискретная математика. 2018. Т. 30. №2. С. 138-147.
2. Черемушкин А. В. Теорема Поста для сильно зависимых и-арных полугрупп // Дискретная математика. 2019. Т.31. №2. С. 152-157.
и
сб. 2020. Т. 211. №2. С. 141-158.
4. Toyoda К. On axioms of linear functions // Proc. Imp. Acad. Tokyo. 1941. V. 17. P. 221-227.
5. Ыётес P. and Kepka T. T-quasigroups (Part I) // Acta Univ. Carolinae. Math. Phis. 1971. V. 1. P. 39-49.
6. Ehsani A. Representation of the medial-like algebras // TACL 2013. N. Galatos, A. Kurz, and C. Tsinakis (eds.). EPiC Ser. 2013. V.25. P. 64-67.
7. Cho J. R., Jezek J., and Kepka T. Paramedial groupoids // Czechoslovak Math. J. 1999. V. 49. No. 2. P. 277-290.
и
Asian-Europ. J. Math. 2014. V. 7. No. 1. P. 1450020-1-1450020-17.
и
тематика. 2020. Т. 32. №2. С. 112-121.
и
математика. 2024. Т. 26. №3. С. 115-126.
11. AczelJ., Belousov V. D., and HossuM. Generalized associativity and bisymmetrv on quasigroups // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1960. V. 11. No. 11-2. P. 127-136.
12. Nazari E. and Movsisyan Y.M. Transitive modes // Demonstratio Math. 2011. V. 44. No.3. P. 511-522.
13. Ehsani A. Linear representation of algebras with non-associative operations which are satisfy in the balanced functional equations //J. Phvs. Conf. Ser. 2015. V. 622. Article 012037.
14. Ehsani A., KrapezA., and Movsisyan Y. Algebras with parastrophicallv uncancellable quasigroup equations // Buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova. Matematica. 2016. No. 1. P. 41-63.
15. Черемушкин А. В. Бесповторная декомпозиция сильно зависимых функций // Дискретная математика. 2004. Т. 16. №3. С. 3-42.
16. Sokhatsky F. and Kirka D. Canonical decompositions of solutions of functional equation of generalized medialitv // XII Intern. Algebraic Conf. Ukraine, 2019. P. 107-108.
17. Ehsani A. On medial-like functional equations // Math. Problems of Computer Sci. 2021. V. 38. P. 53-55.
18. Ehsani A. and Movsisyan Y. Linear representation of medial-like algebras // Comm. Algebra. 2013. V. 41. No. 9. P. 3429-3444.
19. Ehsani A., Krapez A., and Movsisyan Y. Algebras with Medial-Like Functional Equations on Quasigroups. https://arxiv.org/abs/1505.06224. 2015.
06o6mëHHbie TOKflecTBa MeflviajibHOCTM m napaMeflnajibHoc™
39
20. Murdoch D. C. Quasi-groups which satisfy certain generalized associative laws // Amer. J. Math. 1939. V. 61.2. P. 509-522.
21. Etherington I. M. H. Groupoids with additive endomorphisms // Amer. Math. Monthly. 1958. V. 65(8P1). P. 596-601.
22. Gligoroski D. Entropoid Based Cryptography. IACR Cryptologv ePrint Archive 2021/469. https://eprint.iacr.org/2021/469. 2021.
REFERENCES
1. Cheremushkin A. V. Analogues of Gluskin — Hosszii and Malvshev theorems for strongly dependent n-arv operations. Discrete Math. Appl., 2019, vol.29, no.5, pp.295-302.
2. Cheremushkin A. V. Teorema Posta diva sil'no zavisimvkh n-arnvkh polugrupp [Post's theorem for strongly dependent n-arv semigroups]. Diskretnava Matematika, 2019, vol.31, no. 2, pp. 152-157. (in Russian)
3. Cheremushkin A. V. Partially invertible strongly dependent n-arv operations. Sb. Math., 2020, vol.211, no. 2, pp. 291-308.
4. Toyoda K. On axioms of linear functions. Proc. Imp. Acad. Tokyo, 1941, vol. 17, pp. 221-227.
5. Nëmec P. and Kepka T. T-quasigroups (Part I). Acta Univ. Carolinae, Math. Phis., 1971, vol. 1, pp. 39-49.
6. Ehsani A. Representation of the medial-like algebras. TACL 2013, N. Galatos, A. Kurz, and C. Tsinakis (eds.). EPiC Ser., 2013, vol.25, pp.64-67.
7. Cho J. R., Jezek J., and Kepka T. Paramedial groupoids. Czechoslovak Math. J., 1999, vol. 49, no. 2, pp.277-290.
8. Ehsani A., Movsisyan Y., and Arslanov M. A representation of paramedial n-arv groupoids. Asian-Europ. J. Math., 2014, vol.7, no. 1, pp. 1450020-1-1450020-17.
9. Cheremushkin A. V. Medial strongly dependent n-arv operations. Discrete Math. Appl., 2021, vol.31, no. 4, pp. 251-258.
10. Cheremushkin A. V. Paramedial'nye cil'no zavisimve n-arnve operatsii [Paramedial strong dépendance n-arv operations]. Diskret. Math., 2024, vol.26, no.3, pp. 115-126. (in Russian)
11. AczélJ., Belousov V. D., and Hossu M. Generalized associativity and bisvmmetry on quasigroups. Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 1960, vol. 11, no. 11-2, pp. 127-136.
12. Nazari E. and Movsisyan Y.M. Transitive modes. Demonstratio Math., 2011, vol.44, no.3, pp.511-522.
13. Ehsani A. Linear representation of algebras with non-associative operations which are satisfy in the balanced functional equations. J. Phvs., Conf. Ser., 2015, vol.622, Article012037.
14. Ehsani A., Krapez A., and Movsisyan Y. Algebras with parastrophicallv uncancellable quasigroup equations. Buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova. Matematica, 2016, no. 1, pp.41-63.
15. Cheremushkin A. V. Repetition-free decomposition of strongly dependent functions. Discrete Math. Appl, 2004, vol. 14, no. 5, pp. 439-478.
16. Sokhatsky F. and KirkaD. Canonical decompositions of solutions of functional equation of generalized medialitv. XII Intern. Algebraic Conf., Ukraine, 2019, pp. 107-108.
17. Ehsani A. On medial-like functional equations. Math. Problems of Computer Sci., 2021, vol. 38, pp. 53-55.
18. Ehsani A. and Movsisyan Y. Linear representation of medial-like algebras. Comm. Algebra, 2013, vol.41, no. 9, pp. 3429-3444.
19. Ehsani A., Krapez A., and Movsisyan Y. Algebras with Medial-Like Functional Equations on Quasigroups. https://arxiv.org/abs/1505.06224. 2015.
40
A. B. HepeMyLUKMH
20. Murdoch D. C. Quasi-groups which satisfy certain generalized associative laws. Amer. J. Math., 1939, vol. 61.2, pp. 509-522.
21. Etherington I. M. if. Groupoids with additive endomorphisms. Amer. Math. Monthly, 1958, vol. 65(8P1), pp. 596-601.
22. Gligoroski D. Entropoid Based Cryptography. IACR Cryptologv ePrint Archive 2021/469. https://eprint.iacr.org/2021/469, 2021.
