Обобщённые 312-избегающие перестановки и преобразование Лемера Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

10 ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2017

Секция 1

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.1 DOI 10.17223/2226308X/10/1

ОБОБЩЁННЫЕ Э12-ИЗБЕГАЮЩИЕ ПЕРЕСТАНОВКИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕМЕРА

Л. Н. Бондаренко, М. Л. Шарапова

Рассматривается преобразование Лемера введённых И. Гесселем и Р. Стенли перестановок (ГС-перестановок). Доказано, что итерация преобразования Лемера множества всех ГС-перестановок порядка r ^ 1 приводит к множеству всех 312-избегающих ГС-перестановок порядка r, что даёт новую характеризацию этих перестановок. Показано, что статистики rise и imal на множестве 312-избегающих ГС-перестановок порядка r имеют одинаковые распределения. Найдено простое соотношение, связывающее обращение производящей функции многочленов На-раяны порядка r с обращением экспоненциальной производящей функции многочленов Эйлера порядка r.

Ключевые слова: ГС-перестановки, преобразование Лемера, 312-избегающие ГС-перестановки, статистики rise и imal, многочлены Эйлера, многочлены На-раяны, производящая функция, обратная функция.

В [1] для изучения некоторых статистик на группе перестановок Sn множества [n] = {1,..., n} использовано преобразование Лемера. В [2] это преобразование применяется к ГС-перестановкам порядка r мультимножества {1r,... , nr}, r ^ 1, введённым И. Гесселем и Р. Стенли в [3].

ГС-перестановкой порядка r называется слово а = а1... агп над алфавитом [n], все буквы которого, стоящие между любыми двумя вхождениями символа s Е [n], не меньше этого s. Мощность множества &П всех таких перестановок задаётся соотношением |еПг) | = 1 ■ (r +1) ■... ■ (r(n -1) +1).

Определение 1. Пусть все символы слова ш = ш\... шт — целые положительные числа. Тогда его преобразованием Лемера l назовём слово 1ш = 1ш1... 1шт, в котором 1 Шг = #{j : ш^ < шг, 0 ^ j ^ i — 1, ш0 = 0}, i Е [m].

Определение 1 шире использованных в [1, 2] и позволяет рассматривать для слова ш итерацию преобразования Лемера, т.е. степени 1kш, k ^ 1. Определяя также число подъёмов пве(ш) = #{i Е [m] : шг-1 < шг, ш0 = 0}, для ГС-перестановок порядка r нетрудно получить следующее утверждение.

Лемма 1. rise(a) = rise(1kа), k ^ 1, а Е ©Пг), т.е. число подъёмов в ГС-перестановке порядка r не изменяется при применении к ней k раз преобразования Лемера.

Пример 1. Степени 1kа, k =1, 2, 3, 4, а = 3344551122 Е в^2), имеют вид 3344551122 —Ч 1133551133 —Ч 1133551155 —Ч 1133551177 —Ч 1133551199, а число подъёмов во всех словах равно четырём.

8

Прикладная дискретная математика. Приложение

(г)

Следует также отметить, что преобразование Лемера l задает биекцию &П) на

6 (г)

П .

Как и в [4], о G &Пг) назовём 312-избегающей ГС-перестановкой порядка r, если

не существует тройки индексов i, j, k, i < j < k, для которых верно неравенство Oj <

~ (г)

< о* < ог, а множество всех таких перестановок обозначим Sn .

Теорема 1. ГС-перестановка о G (3Пг) тогда и только тогда, когда 1о = l2о.

Доказательство. Достаточность: если ГС -перестановка о G &П), то из определения 1 следует, что 1о = 12о. Аналогично, необходимость: если 1о = 12о, то ГС-перестановка о G (3Пг). ■

Следствие 1. 1&Пг) = 1п-1&Пг), n ^ 3.

—(г) (г)

Доказательство. Отметим, что при n = 1, 2 имеем &П) = &П). Если ГС-перестановка о G &Пг), то все ГС-перестановки из &П+1, полученные из нее с помощью алгоритма генерации ГС-перестановок порядка r ([2, 3]), также не входят в &П++1. Поэтому по индукции при n ^ 3 для о = 3г 4г ... пг 1г 2г g &Пг) получаем 1n 1о G 1&Пг), но 1п-2о G 1&Пг), а применение теоремы 1 даёт 1&Пг) = 1n—1&П), n ^ 3, так как 1п-1&Пг) = 1k&Пг), k ^ n - 1. ■

Пример 2. Для пояснения следствия 1 дополнительно к примеру 1, в котором о = 3344551122 G &52), покажем действие преобразования Лемера на ГС-перестановки 2233441155 G &52) и 2233551144 G &52):

2233441155 —->• 1133551199 и 2233551144 1133551177 1133551199.

Таким образом, теорема 1 и следствие 1 дают новые характеризации множества &П ) всех 312-избегающих ГС-перестановок порядка r с помощью преобразования Лемера.

Число подъёмов rise^) = #{i G [rn] : ог-1 < ог, оо = 0} в слове о G &П) позволяет определить числа Эйлера A^k = #{о G &Пг) : rise(о) = k} порядка r, для которых справедливо следующее рекуррентное соотношение [2]:

Ark = ¿ok, АПг+1,к = kAnrk + (rn - k + 2)A£k_1, k G Z, n ^ 0, (1)

где символ Кронекера ¿j равен 1 при i = j и 0 при i = j. Применение (1) для многочленов Эйлера АПг) (t) = Y^ A^Tk tk порядка r приводит к формуле

k=1 '

A0T)(t) = 1, Anr+1(t) = (rn +1)tAnr)(i)+ t(1 - t)AAnr)(i), n ^ 0, где Dt = d/dt — оператор дифференцирования, причём АП

°(1) = 1&Пг)|.

В [2] с помощью (1) показано, что A^k = #{о G &Пг) : imal(о) = k}, где статистика imal(о) = |{1о1,... , 1огп}| —число различных символов в слове 1о, о G &Пг), использована при r =1 в [1] и была введена Д. Дюмоном.

Следует отметить, что распределения статистик rise и imal на множестве &Пг) при n > 3 не совпадают. В силу же результатов леммы 1 и теоремы 1 статистики rise и imal на множестве &Пг) имеют одинаковые распределения, т.е. rise^) = imal^), о G &Пг).

Теоретические основы прикладной дискретной математики

9

) n '""'i )

В [4] рассматриваются многочлены Нараяны An (t) = £ A„fc ífc порядка r, где

~ fc=1 A^k = G SПг) : rise(a) = k}, которые описываются следующим соотношением:

•4^) = n SC )(™ = mb((r :1)n

причём для производящей функции этих многочленов

= A(r)(í,u) = £ ^(t) un

n=1

получена обратная ей функция

u = A(r)(í,v)-1 =

(V + + 1)г'

Для экспоненциальной производящей функции многочленов Эйлера порядка г

A(r)(t,u) = £ A>r)(t) ЦП

n=1

авторами доказана формула, задающая обратную ей функцию

Г dz

u

A(r)(t,v)-1

/о (z + t)(z +1)r

Сравнение выражений (2) и (3) приводит к следующему неожиданному результату. Теорема 2. Имеет место равенство Ai(r)(í,v)-1 = vDvA(r)(t,v)-1, где Dv = d/dv.

В заключение отметим, что теоремы 1 и 2 и следствие 1 показывают важность выделения в Sn) подмножества 4П ) 312-избегающих ГС-перестановок порядка r.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фоата Д. Распределения типа Эйлера и Макмагона на группе перестановок // Проблемы комбинаторного анализа: сб. статей. М.: Мир, 1980. С. 120-141.

2. Бондаренко Л. Н., Шарапова М. Л. Параметрические комбинаторные задачи и методы их исследования // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2010. №4 (16). С. 50-63.

3. Gessel I. and Stanley R. P. Stirling polynomials //J. Combinatorial Theory. Ser. A. 1978. V. 24. P. 24-33.

4. Бондаренко Л. Н., Шарапова М. Л. Обобщённые многочлены Нараяны и их q-аналоги // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2016. №9. С. 6-8.

v

v