Обобщенный пространственно-временной импульсный отклик и модово-частотная передаточная матрица волоконного световода Текст научной статьи по специальности «Физика»

В.И. Адхаяов

ОБОБЩЕННЫЙ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ИМПУЛЬСНЫЙ ОТКЛИК И ВДОВО-ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ МАТРИЦА ВОЛОКОННОГО

СВЕТОВОДА

Понятие импульсного отклика световода и его Фурье-образа - передаточной характеристики - сформировалось к настоящему времени в рамках прямого переноса теории линейных целей на процесс преобразования электромагнитных полей в световодах [1, 2]. В настоящей работе излагаются результаты разработки модели световода как линейного детерминированного модово-частотного фильтра, позволяющие ввести понятие обобщенного пространственно-временного импульсного отклика све-

товода. Показана целесообразность и эффективность применения понятия обобщенного отклика для аналитического описания процессов передачи одно- и двумерных сигналов световодами.

Для описания распределения комплексной амплитуды электромагнитных волн на входном торце световода ТСх, у, 1) используем разложение спектральных составляющих Р Сх, у, 0)> в ряд Карунена-Лоэва по базису собственных мод {фт^п(х, у, со)} с учетом ортогональности этого базиса:

00

У, г) = / ЕАпСо>)фпСх, у, со) е

-00 П

(1)

При этом для упрощения выкладок предполагаем упорядоченность базиса мод (сведение к индексации по одному параметру) и опускаем зависимость мод от продольной координаты ги Амплитудные коэффициенты возбуждения мод определяются соотношением

00

*

Ап(со) = /тх, у, С1>)фп(х, у, со) с1хс!у. (2)

- 00

Отметим, что реально вводимый в световод сигнал, переносимый далее собствен ными модами У, О, отличается от исходного Их, у, О ввиду ограниченно-

сти используемой части полного базиса, соответствующей направляемым модам.

Таким образом, любой входной сигнал в виде распределения комплексной амплитуды у, 1) в предположении неизменности базиса мод {фп} может быть однозначно охарактеризован вектор-функцией коэффициентов возбуждения мод А(ю>. Если световод имеет лишь локальные неоднородности либо протяженные продольные неоднородности, сводимые к локальным, не изменяющим состав мод [3] , то сигнал на выходе световода д(х, у, О может быть представлен в виде разложения, аналогичного (1), то есть соотнесен с вектор-функцией £(о>) в том же базисе собственных мод. В этом случае, если материал световода может считаться линейным и изотропным при используемых уровнях мощности, вектор-функции А* Со) и В(оэ) оказываются связанными линейной матрицей

ВСа)) = НСсо)А(со)

или

вт(а)) = ЕН^Са)) АпСсо) -

п

(3)

Коэффициенты этой матрицы Нп для произвольного числа локальных неоднородно-

к к к стей расположенных в плоскостях (х , у ), расположенных на удалении г друг

от друга, определяются как

апСсо) и рпСса) - коэффициент затухания и постоянная распространения моды с индексом п;

ТрСсо) - интегралы перекрытия мод в каждой конкретной плоскости неоднородности, то есть коэффициенты возбуждения моды д в следующем отрезке световода модой р предыдущего отрезка.

Соответственно, матрица коэффициентов Нр(о)) является передаточной модово-частотной характеристикой световода, однозначно определяющей преобразование произвольного распределения амплитуд поля при его передаче световодом. Определение самих коэффициентов передаточной матрицы НрСсо) может быть соотнесено с

понятием обобщенной 6-функции, равномерно возбуждающей все собственные моды ба зиса {фп(х, у, со)] на всех временных частотах. В этом определении возможно вве дение понятия "обобщенный пространственно-временной отклик световода11, понимае мого как реакция световода на возбуждение обобщенной 6-функцией (единичной век тор-функцией А(о>) ) :

00

Ь(х, у, О = / Е н"(со)фт(х, у, со)е 1а)*ско.

т,п

(5)

Определим с использованием обобщенного импульсного отклика распределение интенсивности поля на выходе световода, возбуждаемого источником излучения, создающим во входной плоскости световода поле 1 (х, у, О без модуляции источника и с его пространственной и временной модуляцией.

Распределение комплексной амплитуды поля на выходе световода, возбуждаемого источником л(х, у, О, в соответствии с соотношениями (1)-(5) представим в виде

д(х, у, 1) =

/ 2 Н*Ссо)1пСсо)фЛСх, у, со)е~1со*с1со, -«> т, п

где

(6)

1п(со) = // Кх, у, со)ф^(х, у, со)с!х<1у,

1(Х/ у, со) = /Кх, у, Ое

-Нсо!

с! 1:.

••со

Измеряемая пространственным фотоприемником (например, регистрируемая фотоэмульсией) интенсивность д1(х, у, I) определится как

9х(х^ у, г) = <д(х, у, 0«д*Сх, у, 0>, (7)

где знаком О обозначено усреднение во времени (считаем фотоприемник линейным, пространственно инвариантным и имеющим оптическую передаточную функцию, равную единице в интересующем диапазоне пространственных частот) . Спектры распределения мгновенной интенсивности и амплитуды связаны (в соответствии с теоремой о свертке) как

(х, у, со) =

2 Н^ (со) I п (со) Фт (х, у, со) т,п

®

2 н1. (-со) I. (-со)ф-- (х, у, со)

1.1 3 > 1

Е Н™(со) 1п(со)фт(х/ у, со)

Е н! (со) I. (со) ф. (х, у, со)

1 г) *

(8)

где знаками ® и * обозначены интегральные операции свертки и корреляции по переменной со.

Соответственно, соотношение (7) приводится к виду

со

9ту, О = < /

— СО

Е Н™(<о) 1п(со)фт(х/. у, со) т,п

Е Н^(со)1з(со)ф.(х, у, со)е"1оЛско >. (9)

Ьз ]

Таким образом, при наличии временной и пространственной когерентности поля, создаваемого источником, то есть наличии корреляции коэффициентов 1к(со), определяемых интегральными соотношениями (6), выражение (9) описывает структуру спекл-поля, формируемого на выходе световода. В частности, для близкого к монохроматическому источника с поперечной корреляционной функцией Г(х, у, ж , у^ и световода со слабой связью мод (Н^(со) = 0 при составляющая суммы в выра-

—124 —

жении (9) с индексами r\r j определится из (б) через изменение корреляционной функции

1 °° i* Gj(x„ у, co0)n,j = — т/н£(со0)ф*Сх, У t о)о>ГСх, у, y^jCx, у, G>Q)Hj* Ч>) dxdydx.dy^ (Ю>

Е - <*> _

где Tg - полная мощность источника, суть нормировка соотношения (10).

В случае некогерентного источника, возбуждающего равномерно моды световода со слабой связью мод или возбуждающего световод с сильной связью мод, выражение (9) сводится к суммированию интенсивностей, формируемых различными модами, без их интерференции в силу обращения в ноль членов Gj(x, у, 0)o)P/rj при . Вследствие этого формируемое поле не имеет тонкой структуры и описывается тривиальным, так называемым равновесным, распределением интенсивности мод.

Дополнительная пространственная модуляция поля источника транспарантом с амплитудным пропусканием s(x; у) не вносит существенных изменений в полученные выражения для распределения интенсивности, требуя соответствующей замены в соотношении (6) и выведенных с его использованием С9)f (10) спектральной функции Кх, у, со) на произведение s(x, у) - ГСх, у, о)> .

Конкретный практический интерес представляет использование предложенного

описания передаточных характеристик световода для случая временной модуляции

« *

источника, создающего поле iíx, у, t) сигналом sCt), и регистрации поля на вы-

и .

ходе световода фотоприемником, интегрирующим по пространству.

Сохраняя ранее введенные обозначения, определим распределение комплексной амплитуды поля на выходе световода:

ю

g(x, у, t) = / Е H¡!J(со) I^(сй)фт(х, у, cd) e~i<otda), (11)

m,п

где

со

InCto> = ISIIU, у, ü)-£) S(E)d^n<x, У/ os) dxdy ; С1 25

— оо

Б Ссо) - спектр сигнала.

С учетом полученного выше выражения для интенсивности поля, регистрируемого пространственным фотоприемником (9), реакция системы излучатель-световод-фотоприемник в пренебрежении зависимостью квантового выхода от ш и неравномерностью

чувствительности по полю принимает вид

00

9l(x,y/t) =<///[ Е Нр(о>) 1^Сш)фт(х^у/<о)]*[Е Н1.Сй))1?(со)ф.Сх,у,йз)]х е "1cot dcod xdy> .(1 3)

II • • I J "

— m,n

— <Z3

Проводя интегрирование по (х, у) с учетом ортогональности базиса модовых функций {фп(х, у, О))}

7/Фп(х, У' ю)ф£(х, у, со) dxdy = '

m

— GO

1 m = n

(14)

0 m¿n '

получаем

gxCt> = < /[Г Hj(o>) I*<u>>]*[2ffl nH^(<o)I®(co)]e"1'03td(o>. (15)

Поскольку модулирующие частоты много меньше частот источника, выражение (15)

приводится к виду

00 00

gxCt) = /sa(t-T>.< /[2 H™<ü)> In(«)]*[E H^(co)I (o>)].H.((o)e"iüJTdwdT>,

m, n m,n ' ф

C16)

где

H ф (о>) - передаточная функция фотоприемника;

-125-

1пСоз) определяется соотношением (6) .

Таким образом, уравнение, описывающее регистрируемую интенсивность, принимает вид интеграла свертки сигнала'по интенсивности 5аСО с импульсным откликом по интенсивности Ь[(0 системы излучаггел ь-световод-фотоприемни к, однозначно определяемым через обобщенную передаточную модово-частотную матрицу

00 »

Ь1(1) = </ [е н"(«)1п<»>]*[е Н^Ссо) 1п<<0)] НфСа)) е"1со1:с!ш>. С17)

В заключение определим конкретный вид импульсного отклика, описываемого соотношением (17) для известного частного случая световода без связи мод и затухания, возбуждаемого некогерентным источником с малым диапазоном излучаемых частот. Если время когерентности источника существенно меньше времени усреднения, импульсный отклик принимает вид

00

ь1(1) = ~ // Е1а(со|)рпехр{-1[<1)1-(Зп(а>|-сд))+еп<со|))2]}с1<о^сог (18)

Е -со П

где

Iа(со) - спектральная плотность мощности источника, являющаяся Фурье-образом функции корреляции;

рп - приведенный коэффициент возбуждения моды (часть общей энергии, переносимой модой п) .

Разложение постоянных распространения 0п((о) в ряд Тейлора в окрестностях о>0 и последующее интегрирование позволяют получить упрощенное выражение

,ct> -Г.--!й

1 ¿л I эав_ С

п ГГП

рпс«>

3pn(cD)

t-z

9ùi

(19)

a*PnCco>

z * 2tiz -

io=co 0 Soi

co=o

о

совпадающее с ранее полученными теоретическими и экспериментальными оценками

[1. М-

Как показывает проведенный анализ, предложенное описание световода при помощи детерминированной модово-частотной передаточной матрицы и обобщенного импульсного отклика позволяет сформировать удобное и адекватное аналитическое представление распределений интенсивности излучения на выходе световода, возбуж даемого модулируемым и немодулируемым источником, и, следовательно, может быть с успехом использовано при решении задач оптимизации передаточных характеристик световодных систем и апостериорной обработки сигналов на выходе световодов как до, так и после фоторегистрации.

Литература

1. Оптика и связь: Оптическая передача и обработка информации» А. Козанне и др. И,: Мир, 19 8 ^ •

2. Волоконная оптика и приборостроение / Под общ. ред. М.М. Бутусова. Л.: Машиностроение, 1987.

t

3. Кривошлыков С.Г., С и с а к я н И.Н. Коэффициенты связи между модами продольно-неоднородных многомодовых градиентных вол моводов. Письма ЖТФ, 1979, т. 5, с. 10.69-10-7.3.

4. V a s s а I I о Ch. IEEE Trans, on Hier. Theor. 1977, v. NTT-25, p. 572.