ОБОБЩЕННЫЙ ПИД-РЕГУЛЯТОР ДВУХМАССОВОЙ СИСТЕМЫ С НАИБОЛЬШИМ ЗАПАСОМ УСТОЙЧИВОСТИ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Научный вестник НГТУ. - 2013. - № 3(52)

УДК 621.321

Обобщенный ПИД-регулятор двухмассовой системы с наибольшим запасом устойчивости

А.Н. КОРЮКИН

Для двух массовой системы выписаны явные формулы наиболее устойчивого по Гурвицу обобщенного ПИД-регулятора (числитель его передаточной функции - квадратный трехчлен; знаменатель - линейный с единичным старшим коэффициентом). Сила приложена только к одной из масс; наблюдаем за отклонением той же массы.

Ключевые слова: модальный синтез, регуляторы пониженного порядка, устойчивость по Гурвицу, ПИД-регу-лятор, наибольший запас устойчивости, наибольшая степень устойчивости.

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] исследуется устойчивость двух массовой системы с обобщенным ПИД-регулятором. Это задача синтеза регулятора пониженного порядка. Цель - найти наибольшую степень устойчивости. Данное исследование является продолжением работы [1] и развивает ряд идей работы [2]. Обозначения из [1] могут быть использованы без оговорок и пояснений. Цель - получить формулы обобщенного ПИД-регулятора, обеспечивающего наибольшую степень устойчивости.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

По определению передаточной функции регулятора, u = Gce , где u - вход; e = v - y -невязка, рассогласование; v - задание; y - выход. Передаточная функция обобщенного ПИД-

регулятора имеет вид Gc = (a05 + a^s + a2 ) / (s + b) = a0s + r + Г2 / (s + b),

где Г1 = a - büQ , Г2 = a2 - ba1 + b a0 . (1)

По аналогии с ПИД-регулятором a0 , r , Г2 назовем коэффициентами дифференциальной, пропорциональной и интегральной составляющей.

Цель работы - найти явные формулы наиболее устойчивого обобщенного ПИД-регуля-тора, т. е. найти параметры b, ao , r , Г2 . Эти формулы зависят от входа и выхода (2 случая). Согласно теореме из [1] каждый из них разобъется на два подслучая: T > 4 и T < 4, где T = t -1 ; t - параметр объекта, определенный в [1], от которого зависит единственная связь коэффициентов характеристического полинома. В итоге нужно будет рассматривать 4 случая. Сначала лучше вывести явные формулы в зависимости от параметров объекта pi , где i = 0,1,2,3 [1], а уже потом специализировать формулы в зависимости от входа и выхода.

* Статья получена 3 сентября 2012 г. Повторно после исправления 20 марта 2013 г.

Работа выполнена по заданию Министерства образования и науки по проекту «Исследование предельных точностей оптических методов измерения параметров движения и мехатронных методов управления движением и разработка новых робототехнических и электромеханических систем». Тем. план, проект № 7.559.2011, гос. рег. номер НИР № 01201255056.

Коэффициенты обобщенного ПИД-регулятора выражаются через исходные в работе [1] коэффициенты Ь, а^ , выражающиеся по формулам (14) из [1] через параметры объекта

Р1 (I = 0,1,2,3) и через коэффициенты Су характеристического полинома /(5) (у = 1,..,5).

Интересно, что как при входе 1 и выходе 1, так и при входе 2 и выходе 2 параметр объек-

2

та Рз - Р1Р2 + Р1 одинаково выражается через исходные параметры объекта (массы и жестко-

22

сти): Рз - Р1Р2 + Р1 =-П1П2^2 (п - обратные к массам; - жесткости). Теперь из формулы (18) из [1] получим формулу для параметра Т:

Т = 1 -1 = (-Р3 + Р1Р2 )/ Р12 -1 = (-Р3 + Р1Р2 - Р12 ) / Р12 = п1п2к2 / Р12 .

Отсюда

Р3 - Р1Р2 + Р12 =-ТР12. (2)

Исследование наилучшей устойчивости движения сводится к изучению полинома F (S) [1], полученного из характеристического полинома изменением масштаба времени. Поэтому в формулах для параметров регулятора имеет смысл заменить коэффициенты характеристического полинома на коэффициенты полинома F(S): Су = К уЛ] , где К у - коэффициент полинома F(S) при степени 5 - у; Л = - единица измерения корней, зависящая от параметров объекта.

Через коэффициенты полинома F^) выразим параметр Ь: в знаменателе правой части первого из равенств (14) из [1] сделаем замену (2), а в числителе - замену Су = КуЛ] .

^ л2 тг ^ ^ ^ ^ , - р-\К3 Л3 + К5 Л5 К^Лр2

При этом Л2 = р1 . Для К = К1 - К3 + К5 получим Ь =—— 3 5 1 1 -

ТР12

=- К1 - К3 + К5 = - КЛ

=- т Р12 =-т ■

Во всех остальных равенствах (14) из [1] в знаменателях правых частей используется параметр ро . Из его определения в зависимости от входа и выхода (равенства (8), (9) из [1]) следует, что этот параметр обратен наблюдаемой и управляемой массе М = 1/ Ро . Для выражения параметра ао в знаменателе правой части второго из равенств (14) из [1] сделаем заме-

ны

Ро = 1/М, (2), а в числителе - замену С = К уЛ] . Получим

У У

а = М - Р1С3 + С1(-Р3 + Р1 Р2) + С5 = М Р\С1 - Р1С3 + С5 + С1(-Р3 + Р1Р2 - Р12 ) = 0 Р2т Р12Т

М Р12К1Л -Р1К3Л3 + К5Л5 + К1Л(-Р3 + Р1Р2 -Р12) = МКЛ5 + К^Тр2 = МЛ(К+К 4

Р12Т Р12Т Iт

Аналогично из последнего из равенств (14) из [1] получим

= М Р3К1Л3 + Р2 К 5 Л5 - К3 Л3 Р3 - Р1К5 Л5 = МЛ3 Р3( К1 - К 3) + К5 (Р2 - Р1) Л2 =

2 Тр2 Тр2

= М43 Р3(К1 -К3 + К5) + К5(-Р3 + Р1Р2 - Р12) = МЛ3 Р3К + К5ТР1 = м(Р3-К + Л3К51 Тр2 Тр2 IТЛ 51

Итак,

Ь = - АК / Т, а0 = М4СК + К / Т), а = М(К2Л2 - р2), а2 = М (К5Л3 + р3К/(ТА)) . (3)

Теперь выразим коэффициенты пропорциональной и интегральной составляющих регулятора:

тх = М(Т2К2Л2 -Т2р2 + Л2КК1Т + Л2К2)/Т2 ; Г2 = М (Т 3К5 Л4 + Т 2 р3 К + Л4 КТ 2 К2 - Л2 КТ 2 р2 + Л4 К 2 К1Т + Л4 К 3)/(Т 3 Л). (4)

2. НАИБОЛЕЕ УСТОИЧИВЫИ ПОЛИНОМ F(Я) ПРИ Т>4

В случае Т > 4 для обобщенного ПИД-регулятора наилучшая устойчивость не достигается, но к ней можно приближаться на четырехкратных корнях на правой вертикали (теорема из [1]). Рассмотрим полином

F(Я) = (Я - г)(Я +1)3(Я +1 - х) = Я5 + (-г + 4 - х)Б4 + (-3х - 4г + гх + 6)Я3 +

+ (4 - 3х + 3гх - 6г)Б2 + (-4г + 3гх - х + 1)Я + гх - г

(х > 0 - произвольное положительное число). Полином имеет корни г , -1 + х, и трехкратный корень -1. Единственная связь коэффициентов этого полинома: -4 + Т + 2х + 2гх = 0. Разрешим ее относительно г:

г = -1 - (Т - 4) / (2х) . (5)

Из последнего равенства при Т > 4, х > 0 получим г < -1. Значит, полином F(Я) зависит от параметра х > 0; для коэффициентов этого полинома выполнена единственная связь для обобщенного ПИД-регулятора; при уменьшении х правая вертикаль полинома приближается к -1 (правый корень полинома - это -1 + х).

Итак, одно параметрическое семейство этих полиномов для обобщенного ПИД-регу-лятора при Т > 4 обеспечивает приближение к пределу устойчивости (уменьшая х, мы приближается к пределу устойчивости).

Подставляя (5) в коэффициенты полинома F (Я), получим

К1 = (Т - 4) / (2х) + 5 - х, К 2 = 2(Т - 4)/х - Т/2 +12 - 4х, К3 = 3(Т - 4)/х +16 - 3Т/2 - 6х;

К4 = 2(Т-4)/х-3Т/2 +11 -4х , К5 = (Т-4)/(2х) + 3 -Т/2-х . (6)

Эти коэффициенты разложены в ряд Лорана. Выразим теперь параметр

К = К -К3 + К5 = -2(Т-4)/х-8 + Т + 4х. (7)

3. НАИБОЛЬШАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ Т >4

Из равенств (3), (4), (6), (7) найдем коэффициенты регулятора, приближающего при Т > 4 к пределу устойчивости:

Ь = Л(2(Т - 4) / х + 8 - Т - 4х) / Т ; а0 = МЛ((Т - 4)2 / х + 4(3Т - 4) - 2(Т - 4)х)(2Т) ;

М

Г1 =--2

2Т 2

( 2 Л2(Т - 4)3 Л2(5Т - 16)(Т - 4)2 + Л2Т + 2Т 2 ------+176Л Т + 2Т Р2 -

V х2 х

-44Л2Т2 + Л2Т3 - 256Л2 + 2Л2(5Т - 16)(Т - 4)х + 8Л2(Т - 4)х2 );

г2 =-

М

Т 3 Л

Л4(Т - 4)\ . Л4(Т - 4)4 -2----+ 6---

-2(Т-4)(2Л4Т3 -Т2р3 + Л2Т2р2 -43Л4Т2 + 192Л4Т-288Л4)/х +

+(-8Л2Т2 + Л2Т3)р2 + (8Т2 -Т3)р3 + (8)

+2048Л4 + Л4Т4 - 49Л4Т3 + 488Л4Т2 -1664Л4Т +

+(8Л4Т3 -1152Л4 -172Л4Т2 - 4Т2р3 + 768Л4Т + 4Л2Т2р2)х +

+ 24 Л4(Т - 4)2 х2 +16 Л4(Т - 4) х3 ).

Полиномы в правых частях равенств (8) разложены в ряд Лорана.

Для входа 1 и выхода 1 формулы для параметров Т, А через исходные параметры объекта получаются из равенств (20) из [1] (ведь Т = t -1):

Л = Тк 2 / т2 , Т = т2 / т1.

(9)

Из последнего равенства видно, что для входа 1 и выхода 1 условие Т > 4 превращается в т2 > 4т1 . Теперь коэффициенты регулятора из равенств (8) с помощью равенств (9), (8) из [1] специализируем для входа 1 и выхода 1:

Ь =12

( т9 - 4т> „ ^ 1 1к9

I 2-1 + 8т1 - т2 - 4т1х I- ^ ;

I х ) т^ т2

а0 =-

2т0

(4т1 - т2 )2

- 4т1 (-3т2 + 4т1) + 2т1 (4т1 - т2 ) х

Г =

2т3

к2 (4т1 - т2) к2 (16т1 - 5т2 )(4т1 - т2)

-3к2т3 -176^тт, + 42к0т,т9 + 256кптл - 2т3к - 2к^т -

221

2 1 2

21

21

21

22 - (4т1 - т2 )(16т1 - 5т2)х + 8к2т1 (4т1 - т2)х );

г2 = -2к|(т2 -4т1)((т2 -4т1)(-1/х +1) + 2т1х)3(т2/к2)1/2 .

Так как Т = t -1, то для входа 2 и выхода 2 формулы для параметров Т, А через исходные параметры объекта легко получаются из равенств (21) из [1]:

Л =4(к2 + к1)/т1 , Т = (т1/т2)(к2/(к2 + к1))2 . (10)

Из последнего равенства видно, что для входа 2 и выхода 2 условие Т > 4 превращается

22

в т^ > 4(т2(к1 + к2) ). Теперь коэффициенты обобщенного ПИД-регулятора из равенств (8) с помощью равенств к = к1 + к2 , (10), (9) из [1] специализируем для входа 2 и выхода 2:

Ь =-

1

2-

2 2 т^2 - 4к т

22

+ 8к т2 - т^ - 4к т2 х

11 9 9 9 99 9

а0 =--—- ((4т2к2 - т1к^ )2 / х - 4т2к2 (4т2к2 - 3т1к2) +

2 т1к|к2

+2т2к2(4т2(к1 + к2)2 - т^)х)^к / т1;

х

х

1

х

1

2

2

х

х

х

1

л =—

2 т?к24к

9 о о

2(4т2к2 - тк2)3 2 х2

-(16т2к2 -5т1к|)(4т2к2 -т^2)2 /х + +3840т2к!2к4 + 256т|к1б - 176т2к14т1к| --704т|к13т1к2 -1056т|к12т1к4 - 704т|к1к|т1 + +42т2к12т12к4 + 84т2к1к|т12 - 3т13к| + 256т3к| +

+1536т|к15к2 + 3840т|к14к-2 + 5120т|к13к| + +1536т|к1к| -176т|к|т1 + 42т2к|т12 - 2т13к|к1 --2т2к2(4т2к2 - т1к|)(16т2к2 - 5т^к|)х + 8т|к4(4т2к2 -т^)х2 ^ ;

л2 = 2(т1к| - 4т2к2) / (т^) х ((т1к| - 4т2к2 )(1/ х -1) - 2т2к2х)3 (т1 / к)1/2.

1

4. НАИБОЛЕЕ УСТОИЧИВЫИ ОБОБЩЕННЫЙ ПИД-РЕГУЛЯТОР ПРИ Т<4 НЕЗАВИСИМО ОТ ВХОДА И ВЫХОДА

По теореме из [1] для обобщенного ПИД-регулятора при Т < 4 наилучшая устойчивость движения достигается на пятикратных корнях полинома ^(Я). Рассмотрим полином F(Я) с пятикратным корнем х :

F(Я) = (Я - х)5 = Я5 - 5Я4х + 10Я3х2 - 10Я2х3 + 5Ях4 - х5.

Коэффициенты этого полинома:

К1 = -5х, К2 = 10х2 , К3 = -10х3 , К4 = 5х4 , К5 = -х5 . (11)

Связь 1 + Т - К2 + К4 = 0 коэффициентов полинома:

1 + Т - 10х2 + 5х4 = 0. (12)

22

Эту связь можно переписать в виде (х -1) = (4 - Т) / 5 . Правая часть последнего равенства неотрицательна (ведь Т < 4). Согласно теореме из [1], при Т < 4 и при наилучшей устойчивости движения х < -1, а поэтому

х2

-1 > 0, х2 -1 = л/ (4 - Т )/5 , х = 1 + 7(4-Т )/5 . (13)

Вычислим параметр

К = К1 -К3 + К5 =-5х +10х3 -х5 = х(40х2 -24 + Т)/5. (14)

3 5

Последний полином получен как остаток при делении полинома -5х + 10х - х на полином от х из левой части связи (12). Значит,

К = х(40(х2 -1) +16 + Т)/5 = х(16 + Т + 40^/(4-Т)/5)/5 .

Из первого из равенств (3) получим формулу для вычисления параметра Ь в зависимости от пятикратного корня х и независимо от входа и выхода:

Ь = -АК /Т = -Ах(40(х2 -1) +16 + Т) / (5Т) = -Ах(16 + Т + 40^/(4-Т)/5) /(5Т).

Выведем формулу для коэффициента а0 дифференциальной составляющей регулятора в зависимости от пятикратного корня х и независимо от входа и выхода. Из второго из равенств (3) и из равенств получим

«»= Ш\ к + к) = f(к+KT) = f

( Í ПТ^Л )

4 - T

16 + T + 40,.'

5 . -

V V /

- 5xT

= МЛх(16 - 24Т + 40,/(4 - Т )/5) / (5Т) = 8МЛх(2 - 3Т + 5^(4 - Т )/5) / (5Т).

Выражая в равенствах (3) коэффициенты полинома F (S) из равенств (11), получим формулы параметров Ь, а1 обобщенного ПИД-регулятора в зависимости от пятикратного корня х и независимо от входа и выхода:

Ь = -Л(-5х +10 х3 - х5)/Т ; а0 = МЛ(-5хТ - 5х +10 х3 - х5)/Т ;

а1 = М(10х2р1 - р2); а2 = М(-х5р2Т + р3(-5х + 10х3 - х5))/(ТЛ). (15)

Выведем формулу для коэффициента г пропорциональной составляющей регулятора в

зависимости от пятикратного корня х и независимо от входа и выхода. Из г = -Ьа0 + а1 и из

2

(15) получим Г( = MRl / Т , где

R1 = р1х10 - 20р1х8 + (110р1 + 5р1Т)х6 +

(16)

+(-100Р1 - 50Р1Т)х4 + (10Т 2Р1 + 25Р1Т + 25р1)х2 - Т2р2.

Правая часть равенства (16) - полином от х. При этом х является корнем полинома четвертой степени из левой части связи (12). Значит, полином от х из правой части равенства (16) можно заменить на остаток при делении этого полинома на полином от х из левой части связи (12): Д1 =Й1 х2 +р1 , где

а1 = 25(113Т - 352)(Т - 4)Р1 ; Р1 = ^^Т2 - 72Т - 256)р - Т2Р2 .

Теперь

R1 = а,(x2 -1) + aj +Pj = а1Л/(4-T)/5 +aj +Pj

2 4 - T 1 2 2

или Rl = — (352-113T)(4-T)pj+ -(512 + 82T2 -336T)p1 -T2p2 ;

r = M

^ 2 /4 - T 1 O ry ^

— (352 - 113T)(4 - T)PJ— + 5(512 + 82T2 - 336T)p - T2P2

(17)

2

Выведем формулу для коэффициента r2 . Из Г2 = - + b % и из равенств (15) получим r2 = -MxR2 / (T3A), где

R2 = p2x14 - 30p2x12 + (315p2 + 5pfT)x10 + (-1300pf -100p^T)x8 + +(10 pj2T 2 +1575p2 + 550p2T )x6 + +(T3p2 - 750p2 - pT2p2 -100pj2T2 + T2p3 - 500p2T)x4 + +(50pj2T2 - 10T2p3 +10p{T2p2 +125p2T +125pj2)x2 + 5T2p3 - 5p{T2p2.

Правую часть последнего равенства рассмотрим как полином от х и поделим с остатком на полином четвертой степени из левой части связи (12). Тогда R2 будет равно этому остатку.

Для упрощения записи в этом остатке сделаем замену р3 = р\ Р2 - (1 + Т)ру (последнее равенство очевидным образом получается как из равенства (18) из [1], так и из равенства (2). Получим

R2 = 1024р-2 (Т - 4)2 ((Т - 9)х2 +1 + Т) /125.

Так как при этом

(Т-9)х2 +1 + Т = (Т-9)(х2 -1) + 2Т-8 = (Т-9)^(4-Т)/5 + 2(Т-4), то R2 = -1024р2(4-Т)2((9-Т(4-Т)/5 + 2(4-Т))/125 ;

г2 = 1024Мхр1А(4-Т)2((9-Т)^(4-Т)/5 + 2(4-Т))/(125Т3). (181)

Итак, получены формулы для параметра Ь и коэффициента дифференциальной составляющей регулятора:

Ах

Ь =--

5Т

16 + Т + 40ч|—-—

8МАх

а0 =

5Т

4 - Т

2 - 3Т + 5/

(19)

а также формулы для коэффициентов пропорциональной (17) и интегральной (18) составляющей регулятора - при Т < 4 в зависимости от наиболее устойчивого пятикратного корня х, и независимо от входа и выхода.

5. НАИБОЛЕЕ УСТОИЧИВЫИ РЕГУЛЯТОР ПРИ Т <4

Рассмотрим случай вход 1 и выход 1. Согласно (9) Т = т2 / т^. Теперь условие Т < 4 приобретает смысл т2 < 4т! (вторая масса не очень тяжелая по сравнению с первой массой).

В равенствах (19), (17), (18) сделаем замену М = т1 (наблюдаемая масса), а также Р1 = / т2 , Р2 = (^ + k2)/ т1 + k2 / т2 (формулы (8) из [1]); выразим параметры А , Т через массы и жесткости по формулам (9). В итоге

Ь =-

т>

5т2

16 + т2 + 400 т1

1 1

Л

8т

2 /

а0 = —

5т2

2-3 т2 + 50 т1

Л

Г = ——(2k2m1(4m1 - т2)(352т1 -113т2)0 +

25 т3

3 3 2 2 3

+5(-5т2k1 + (512т1 + 77т2т1 - 336т1 т2 - 5m2)k2));

1024 т^|(4т1 - т2)2

125

т^

(2(4т1 - т2) + (9т1 - т2)0) х-2-

k2

где х = 1 + 7(4т1 - т2) / (5т1) (из равенства (13) выразили параметр х через массы и жесткости ); 0 = -у/(4 - Т) / 5 = ^(4т1 - т2) / (5т1) .

Теперь рассмотрим случай вход 2 и выход 2. Согласно (10) Т = (т1 / т2)^ / k) .

22

Условие Т < 4 приобретает вид т^ < 4m2k .

х

х

2

В формулах (19), (17), (18) используется параметр ^(4 - Т) /5 = ^ Т(5£2да2) = q /k , где q = ^(^к^т^—т^к^^Т^Зт^) . Теперь из равенства (13)

выразим параметр х через массы и жесткости: х = —^ 1 + д/(4к2т2 - т1к|)/(5к2т2) . В равенствах (19), (17), (18) сделаем замену М = т2 (наблюдаемая масса), а также р = к / т1, Р2 = к / т1 + к2 / т2 (формулы (9) из [1]); выразим параметры А , Т через массы и жесткости по формулам (10): А = ^к / т1 , Т = (т1 / т2)(к2 / к)2 . В итоге

2 2 2 2

1 16т2к + тлк2 + 40ат2к 8 2т2к — 3т1к2 + 5ят2 к

Ь = —--2-^->-; яо = - т2—2-^->-;

5 т^2 5 т1к2

Г! = (385кт2т12к4 — 1680к ^т^ — 25т3к| + 2560к 5т| +

2 2 2 2 3 4

+2т2(4т2к — т1к2)(352т2к — ПЗт^ )д)/25т1 к2 ;

1024 т2(4т2к2 — т^2)2 ,2 ,2ч 2 2ч

Г2 = ^7" 2 4 6 1 (2к(4т2к2 — т1к22) + ^к2 — т^^, 125 т1 к2

где q = ^(4к2т2 — т^!)/5т2 ; х = —^/Т+дУк ; = х^кТщ ; к = к1 + к2 (сумма жесткостей).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе найдены явные формулы наиболее устойчивого обобщенного ПИД-регулятора. Сначала выведены явные формулы в зависимости от параметров объекта р1 , где I = 0,1,2,3 [1], а уже потом эти формулы специализированы в зависимости от входа и выхода (2 случая). Согласно теореме из [1] каждый из них разобъется на два подслучая: Т > 4 и Т < 4, где Т = t — 1; t - параметр объекта, определенный в [2], от которого зависит единственная связь коэффициентов характеристического полинома.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Корюкин А.Н. Наибольший запас устойчивости для одноканальной двухмассовой системы с обобщенным ПИД-регулятором / А.Н. Корюкин // Научный вестник НГТУ. - 2012. - № 4(49). - С. 178-185.

[2] Воевода А.А. Оптимизация расположения полюсов системы автоматического управления с регулятором пониженного порядка / А.А. Воевода, А.В. Чехонадских // Автометрия. - 2009. - Т. 45. - № 5. - С. 113-123.

Корюкин Анатолий Николаевич, кандидат физико-математических наук, докторант кафедры автоматики Новосибирского государственного технического университета. Основные направления научных исследований -ассоциативные некоммутативные кольца и теория автоматического управления. Имеет более 40 публикаций. E-mail: koryukin@sibmail.ru

A.N. Koryukin

The generalized PID-regulator of the two-mass system with the greatest stock of stability

For the two mass systems obvious formulas are written out the generalized PID-regulator steadiest on Gurvits (the numerator of its transfer function is a square trinomial; the denominator is linear with single senior coefficient). The force is applied only to one of masses; we watch a deviation of the same weight.

^y words: modal synthesis, regulators of the lowered order, stability according to Gurvits, PID-regulator, the greatest stock of stability, the greatest degree of stability.