CC BY
32
УДК 539.3
Обобщенное уравнение теплопроводности с дробной производной Капуто-Фабрицио для термоупругого цилиндра с температурно-зависимыми свойствами
A.E. Abouelregal1'2, A.H. Sofiyev3,4, H.M. Sedighi5, M.A. Fahmy6,7
1 Университет Джуфа, Аль-Курайят, 75911, Саудовская Аравия 2 Университет Мансура, Мансура, 35516, Египет 3 Стамбульский коммерческий университет, Стамбул, 34445, Турция 4 Азербайджанский государственный экономический университет, Баку, 1001, Азербайджан 5 Университет Шахида Чамрана в Ахвазе, Ахваз, 61357-43337, Иран 6 Университет Умм Аль-Кура, Джамум, Мекка, 25371, Саудовская Аравия 7 Университет Суэцкого канала, Исмаилия, 41522, Египет
В настоящей статье предложена обобщенная двухтемпературная термоупругая модель, основанная на уравнении теплопроводности с дробными производными и фазовыми запаздываниями. Для построения модели использован дробный дифференциальный оператор Капуто-Фабрицио, который позволяет решить проблему сингулярного ядра, свойственную обычным дробным моделям. С помощью предложенной модели исследован отклик изотропного цилиндра с переменными свойствами и границами на постоянные термические или механические нагрузки. Предполагается, что упругий цилиндр находится в постоянном магнитном поле и под непрерывным воздействием источника тепла. Определяющие дифференциальные уравнения в частных производных записаны в безразмерной форме и решены методом преобразования Лапласа в совокупности с численным обратным преобразованием. Подробно рассмотрено влияние интенсивности источника тепла и параметра дробного порядка на термические и механические характеристики. Для проверки достоверности полученных результатов были проведены сравнительные исследования с использованием различных термоупругих моделей.
Ключевые слова: двухтемпературная теория, дифференциальный оператор Капуто-Фабрицио, теплопроводность, источник тепла
DOI 10.55652/1683-805X_2022_25_6_135
Generalized heat equation with the Caputo-Fabrizio fractional derivative for a nonsimple thermoelastic cylinder with temperature-dependent properties
A.E. Abouelregal1,2, A.H. Sofiyev3,4, H.M. Sedighi5,6, and M.A. Fahmy7,8
1 Department of Mathematics, College of Science and Arts, Jouf University, Al-Qurayyat, 75911, Saudi Arabia 2 Department of Mathematics, Faculty of Science, Mansoura University, Mansoura, 35516, Egypt 3 Coordination of General Courses, Istanbul Ticaret University, Istanbul, 34445, Turkey 4 Scientific Research Center for Composition Materials, Azerbaijan State Economic University, Baku, 1001, Azerbaijan 5 Mechanical Engineering Department, Faculty of Engineering, Shahid Chamran University of Ahvaz, Ahvaz, 61357-43337, Iran 6 Drilling Center of Excellence and Research Center, Shahid Chamran University of Ahvaz, Ahvaz, 61357-43337, Iran 7 Department of Mathematics, Jamoum University College, Umm Al-Qura University, Jamoum, Makkah, 25371, Saudi Arabia 8 Department of Basic Sciences, Faculty of Computers and Informatics, Suez Canal University, Ismailia, 41522, Egypt
In the current paper, a generalized thermoelastic model with two-temperature characteristics, including a heat transfer equation with fractional derivatives and phase lags, is proposed. The Caputo-Fabrizio fractional differential operator is used to derive a new model and to solve the singular kernel problem of conventional fractional models. The suggested model is then exploited to investigate responses of an isotropic cylinder with variable properties and boundaries constantly exposed to thermal or mechanical loads. The elastic cylinder is also assumed to be permeated with a constant magnetic field and a continuous heat source. The governing partial differential equations are formulated in dimensionless forms and then solved by the Laplace transform technique together with its numerical inversions. The effects of the heat source intensity and fractional order parameter on the thermal and mechanical responses are addressed in detail. To verify the integrity of the obtained results, some comparative studies are conducted by considering different thermoelastic models.
Keywords: two-temperature theory, Caputo-Fabrizio differential operator, thermal conductivity, heat source
© Abouelregal A.E., Sofiyev A.H., Sedighi H.M., Fahmy M.A., 2022
1. Введение
Значимость математических моделей с производными дробного порядка обусловлена их большей применимостью по сравнению с традиционными моделями [1-3]. Развитие аппарата дробного исчисления дало возможность изучения решений нелинейных систем с дробным оператором, тем самым расширило список аналитических или вычислительных методов для численного моделирования [4-6]. Многие дробные дифференциальные операторы, такие как операторы Римана-Лиувилля, Капуто и Хильфера, используют в различных динамических системах и дифференциальных уравнениях [7, 8]. Однако эти операторы имеют степенное ядро, накладывающее ограничение на решение физических задач. Для решения этой проблемы был предложен [9] альтернативный оператор Капуто-Фабрицио с производными дробного порядка, имеющими экспоненциальное ядро.
Интерес исследователей к применению этого инновационного метода вызван несингулярностью ядра дробной производной Капуто-Фабрицио. Кроме того, оператор Капуто-Фабрицио идеально подходит для моделирования некоторых практических задач, подчиняющихся теории экспоненциального затухания. Этот подход может быть использован при изучении электромагнитных систем, тепловых сред, алкоголизма, частных динамических задач, течения жидкости в резервуаре и механизмов перехода к турбулентным течениям [10-12]. Хорошо известно применение метода для прогнозирования отклика раковых клеток на терапию, активности иммунных клеток в отношении опухолей в иммунологии, а также для моделирования материалов с различными эффектами памяти формы и вязкоупругими характеристиками [13, 14].
Классическая связанная теория термоупругости, предложенная Био [15], основана на определяющем уравнении теплопроводности, которое учитывает бесконечные скорости распространения тепловых волн. Однако это не имеет физического смысла. Чтобы устранить ограничения классической теории, было разработано несколько модифицированных моделей термоупругости с конечной скоростью распространения тепловых волн, известных как вторичные звуковые волны. Эти обобщенные теории включают теорию Лорда и Шульмана [16], Грина и Линдси [17] и модели Грина и Нагди [18, 19]. Для того чтобы учесть в двухфазном уравнении теплопроводности микро-
структурные эффекты, возникающие при теплообмене, в закон теплопроводности Фурье были введены два фазовых запаздывания [20-22]. С помощью интегрирования возможных эффектов макроскопических запаздываний в ответ на температурный градиент и тепловой поток на основе предыдущих моделей [23] в рамках двухэтапной микроскопической модели было получено реалистичное описание микроскопического поведения системы при теплопереносе.
Двухтемпературная теория термоупругости является неклассической термоупругой моделью упругих материалов. Ключевым отличием этой теории является температурная зависимость. Chen и Gurtin [24] предложили новую теорию для сложных структур, в которых термодинамическая температура и температура, связанная с проводимостью (далее температура проводимости), не совпадают. В работе [25] Chen и др. обобщили эту модель на упругие структуры. В результате были разработаны модели теплопроводности деформируемых материалов, учитывающие температуру проводимости и термодинамическую температуру. В предложенной модели уравнение теплопроводности содержит дополнительное выражение, включающее лапласову производную температуры проводимости по времени, которая соответствует эквивалентной температуре проводимости в пространстве Лапласа, найденной из уравнения движения. Через температуру проводимости и ее изменение можно определить внутреннее напряжение, тепловой поток и энтропию. В рамках термоупругих моделей Warren и Chen [26] изучили распространение волн и показали, что разница между двумя температурами равна тепловому потоку, а если теплового потока нет, то эти температуры равны. Quintanilla [27, 28] разработал ряд двухтемпературных моделей термоупругости. Термоупругое поведение оболочек при неравномерном и нелинейном повышении температуры исследовано в работах [29-31].
Теплопроводность — это способность материала проводить тепловую энергию от одной части к другой. В механических и физических задачах очень важен анализ теплопроводности при относительно высоких температурах, например при теплоизоляции зданий и электронных устройств, а также при испытаниях материалов. Теплопроводность не является постоянной величиной, а зависит от нескольких факторов, в особенности от изменения температуры. Исследования показали, что температура по-разному влияет на теплопро-
водность различных материалов, особенно на теплопроводность за счет свободных электронов [32]. Для изучения этого влияния было разработано несколько термоупругих моделей на основе различных теорий, моделей и методов, позволяющих анализировать тепловые свойства упругих материалов [33-36].
В течение последних нескольких лет развивается теория магнитоупругости. Например, в гете-роструктурах, состоящих из нескольких ферромагнетиков, решеточный и магнитный порядки могут быть эффективно связаны. Магнитные характеристики материалов, используемых в спинк-тронных устройствах, можно регулировать через растяжение. Кроме того, расширение и упругие свойства гибких магнитных материалов могут изменяться под воздействием внешнего магнитного поля. В гибких магнитных материалах существуют различные типы связи магнитной системы с решеткой кристалла. Спин-орбитальное взаимодействие модифицирует орбитали, при этом межатомное расстояние изменяется в направлении стягивания магнитного поля.
Уравнение теплопроводности в термомеханических моделях основано на законе Фурье. В этом случае вектор теплового потока соизмерим с градиентом температуры. Однако одним из математических следствий этого утверждения является мгновенность тепловых волн. Это невозможно с физической точки зрения и противоречит теории причинности. Для решения этих несоответствий во второй половине девятнадцатого века были предложены альтернативные модели теплопроводности. В настоящей работе сделана попытка разработать новую модель дробной теплопроводности с применением дробного оператора. В основе модели лежит концепция дробной производной Капуто-Фабрицио, которая введена для решения проблемы сингулярного ядра, свойственного обычным дробным моделям.
Разработанная модель применена для термоупругого цилиндра круглого сечения, в осевом направлении которого течет тепловой поток. Задача обобщенной дробной термоупругой модели с фазовыми запаздываниями решена с учетом влияния зависимости теплопроводности от температуры. Полуаналитический подход с использованием интегральных преобразований Лапласа применен для изучения изменения температуры, радиального перемещения и термических напряжений внутри упругого тела. Для теплофизических полей в пространстве изображений Лапласа выполнены
обратные преобразования методом, описанным в [37]. Теоретическая модель была использована при моделировании характеристик меди в качестве конкретного примера. Получены результаты для различных дробных порядков, и проведено сравнение с результатами других термоупругих моделей. Изучены эффекты в простой и сложной средах.
2. Основные предположения и определяющие уравнения
Рассмотрим термоупругий изотропный однородный сложный материал. Основные определяющие уравнения в рамках обобщенной двухтем-пературной термоупругой модели имеют вид
Ту = Хеи5- + 2№ц - Л
(1)
где X, ц — постоянные Ламе; Ту — тензор напряжений; 0 = Т - Т0 — изменение температуры; Т — абсолютная температура; Т0 — температура окружающей среды; у = (3Х + 2ц)аг — параметр связи; 5у — дельта-функция Кронекера; е^ — кубическая дилатация; е.у — тензор деформации, который задается выражением 1
= ,. + у X
(2)
где и. — компоненты перемещения. Уравнение движения имеет вид
Т1}, у + я, = й,, (3)
где Я. — сила, действующая на тело. Таким образом, уравнение (1) можно переписать как
(X+^)и} у + - уе. + я, = ри,, (4)
где р — плотность материала. Модифицированный закон Фурье, лежащий в основе модели с двухфазным запаздыванием, предложенный Теои [20], имеет вид
н + '.7? = -*('+,#9' (5)
где т. — фазовое запаздывание теплового потока; К — теплопроводность; т0 — фазовое запаздывание градиента температуры. Уравнение энергии имеет вид
рс §+Т0 = - Н,. + в, 01 01
(6)
где С — удельная теплоемкость; в — источник тепла.
Дробное исчисление может использоваться для моделирования множества физических задач в разных областях. Реальная система может обладать эффектами памяти формы, предыстории, а
также нелокальными эффектами, которые часто трудно объяснить с помощью целых производных. Существует множество теоретических исследований с использованием аппарата дробного исчисления, а также дробных дифференциальных уравнений [1-14]. Большинство предыдущих исследований в этой области основано на использовании дробных производных Римана-Лиувилля или Капуто. Однако существует проблема определения этих производных, связанная с сингулярностью ядра в конечной точке определенного интервала. Для решения этой проблемы были введены некоторые типы дробных производных с разными определениями. Основные различия между определениями дробных производных заключаются в концепциях введения ядер, которые необходимы для адекватного описания реальных процессов.
В настоящей работе в новую модель теплопроводности введено понятие дробной производной Капуто-Фабрицио с экспоненциальным ядром. Дробная производная Капуто по времени порядка а имеет вид
' У(т)
D(a>Y (t ) = J-
-dÇ.
(7)
о Г(1 -а)( X Ч) Уравнение (7) справедливо для ае(0, 1), 7еЯ1(0, Ь), Ь > 0. Заменив ядро 1/(Х - ^)а на функцию в~а(1-а)) и Г(1 - а) на (1 - а), можно описать дробную производную по времени для оператора Капуто-Фабрицио:
D^Y (t ) =— JY (Ç)e(1-a )t dÇ,
1 -a 0
(8)
X > 0,0 <а< 1. Из определения очевидно, что для постоянной функции У(Х) Б^У(X) = 0, как и в обычной производной Капуто. Ключевое отличие настоящей модели от традиционных определений состоит в отсутствии сингулярности ядра при X=Видно, что при а = 1 применима классическая производная первого порядка, т.е.
Нш[£>х(а)У (X)] = У (X). (9)
Известно, что преобразование Лапласа играет важную роль при работе с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Из нового определения дробной производной имеем
дБ(а)у (X)] = *£[£[У^)]] - У (0) .
(10)
5 + а(1 -5)
Согласно уравнению (4), в рамках обобщенной модели термоупругости Лорда-Шульмана с оператором Капуто-Фабрицио определяющий закон
для теплового потока запишем следующим образом:
Н + т0 Д(а)Н = - К (У0 + хе Д(а )У9). (11) Объединив уравнения (6) и (11), можно получить линейную форму уравнения теплопроводности с дробным оператором Капуто-Фабрицио:
дгкк
(1 + TD°) [?Ce f + T у^
dt
-в
(14)
= (1 + те Dt(a))(V.( KVe)). (12)
Gurtin [24, 25] предположил, что параметр проводимости ф связан с термодинамической температурой 0 выражением
9-e = bV29, (13)
где b > 0 отражает разницу температур. Закон теплопроводности Фурье, разработанный Tzou [20], был модифицирован следующим образом: dH
H="K lV*+Te^r
Определяющий закон для теплового потока, включающий градиент температуры проводимости, основанный на операторе Капуто-Фабрицио, может быть записан как
H + xqDt(a }H = - K (V9+xe D(a }V9). (15)
Подставив H из уравнений (6) в (15), получим модифицированное уравнение теплопроводности с фазовыми запаздываниями и дробной производной по времени Капуто-Фабрицио:
de „ de,
(1 + TqDt(a))| pCe^- + Toу^-Q
kk
dt
dt
= (1 + xe Dt(a))( V.( K VVq>)).
(16)
3. Частные случаи
Модифицированное уравнение теплопроводности с дробной производной Капуто-Фабрицио (16) можно отнести к следующим категориям различных термоупругих теорий.
3.1. Термоупругие модели
- Классическая термоупругая модель при т0 = тд = Ь = 0, а ^ 1.
- Термоупругая модель Лорда-Шульмана при те = Ь = 0, тд > 0, а ^ 1.
- Термоупругая модель с двухфазным запаздыванием при тд, Те > 0, Ь = 0, а ^ 1.
3.2. Дробные термоупругие модели
- Дробная термоупругая модель с одним временем релаксации при 0 < а < 1, те = Ь = 0, тд > 0.
- Дробная термоупругая модель с фазовыми запаздываниями при 0 < а < 1, т., т0 > 0, Ь = 0, а ^ 1.
Более того, при Ь > 0 уравнение теплопроводности (16) можно считать определяющим уравнением обобщенных моделей термоупругости и двухтемпературных дробных моделей термоупругости.
Существует множество применений ферромагнитных компонентов, в том числе в датчиках, приводах, двигателях и трансформаторах. Их главное преимущество заключается в том, что они достигают высокого уровня намагниченности при относительно низком магнитном поле. Это свойство является следствием динамической микроструктуры магнитного домена и роста внешних нагрузок. Электромагнитные уравнения Максвелла можно записать в виде [38, 39]
Е = -^0
д
еиг1 Ь = ^ еиг1 Е = -ц0— Ь,
дХ
ди
(17)
h = еиг1(и хБ), Ь = 0,
-хБ
vдx у
где Ь, Е — индуцированное магнитное и электрическое поле соответственно; J — плотность тока; Б — магнитное поле; ц0 — магнитная проницаемость [40]. Напряжение Максвелла Му задается следующим образом [38, 39]:
Му = М£Л + ВЛ-вк\ 5У. ]. (18) Сила Лоренца я. может быть записана как
Я = ц,( J хБ). (19)
4. Постановка задачи
Объектом настоящего исследования является изотропный длинный цилиндр с радиусом а (рис. 1). Цилиндр имеет однородную изотропную связанную структуру. На границы цилиндра действует аксиальный линейный тепловой поток, окруженный постоянным аксиальным магнитным полем Б = (0, 0, В0). Исследование выполнено в цилиндрической системе координат (г, Т), где ось т является продольной осью цилиндра. По условию симметрии функции состояния связаны только с расстоянием г и временем Х, так что все переменные состояния ограничены, когда г стремится к бесконечности. Таким образом, компоненты перемещения могут быть определены как
иг = и (г, Х), и% (г, Х) = и2 (г, Х) = 0. (20)
Ненулевые термические напряжения и объемное расширение можно выразить следующим образом:
ди
Тгг = 2ц—— + ^ -уе, дг
Т„= 2ц и + № -уе,
Ттт = Ж -уе,
0 ди и 1 д (ги) S =-+ — = --
(21)
(22)
(23)
(24)
дг г г дг Уравнение движения в цилиндрических коорди натах запишем в форме
д 2и
дТ 1
+ -(Тгг - %) + Яг = р—2 дг г дХ2
(25)
При условии действия магнитного поля Б из уравнений Максвелла (17) следует
Ь = -В0
1 д (ги)
0,0,-V г дг у
Г яс Л
J = В,
V
0,® ,0
дг
(26)
у
ди
Е = Ц0В02 0, ,0 V дХ у
Таким образом, из уравнений (18), (19), (26) получим
дs
Яг = хБ)г =Ц0 в02—, дг
(27)
Мгг =Ц0 Bо2e,
где Мгг — радиальное напряжение, предложенное Максвеллом [41, 42].
В общем случае температурные градиенты зависят от теплопроводности материалов. Коэффициент теплопроводности К можно получить для ограниченных температурных диапазонов, которые напрямую зависят от изменения температуры. Повышение температуры некоторых материалов изменяет их тепловые свойства, которые ли-
Рис. 1. Схематичное изображение рассматриваемой задачи (цветной в онлайн-версии)
нейно зависят от температуры е в определенном диапазоне. Поэтому при рассмотрении любого повышения температуры е используют следующие линейные соотношения для коэффициента теплопроводности К [41]:
К = к0(1 + К^0),
0 (28)
Се = Се0 (1 + Кх0),
где к0, Се0 — теплопроводность и удельная теплоемкость при Т0; К\ — малая величина, указывающая на влияние отклонения температуры.
Используя уравнения (13), (28), оценим зависимость теплопроводности и удельной теплоемкости материалов от температуры:
K _ £„(1 + K1(Ф - ЬУ2ф)) * ^(1 + К1Ф),
Ce = Ce0 (1 + К1(ф - ЬУ2ф)) * Ce0 (1 + К1Ф). Выполним следующие преобразования [42]: 1 Ф
Ф = — J (1 + K£)d С,
k0 0 1 0
©=—J (1С.
k.
(29)
(30)
00
(31)
Подставляя уравнения (29) в (30), получим Ф = Ф+1К1Ф2,
1 2
© = 0 + - К,02. 2 1
Введение оператора V в обе части уравнений (30) дает
к^Ф = ^ф,
k0V© = K V0.
(32)
В результате повторного применения оператора к уравнениям (32) имеем
k0V 2Ф = V- (K Vф), k0V 2© = V- (K V0).
(33)
Выполним дифференцирование второго уравнения (30) по времени X:
а©
50
Kn — _ K—.
(34)
8X дX
Подставляя уравнения (33), (34) в (16), получим:
V 2Ф + т0 0<;а)ф 2Ф)
= 1(1 + т Л^^ + ^Ч! + т_Я<в))—. (35)
к д 8X К д г 8X
где к — константа, относящаяся к коэффициенту диффузии материала:
К(Ф) = К0
k _-
PCe (Ф) PC<
Кроме того, учитывая уравнения (33), выполним аппроксимацию уравнения (13):
ф-© = bV2Ф. (36)
Тогда основное уравнение (25) запишем в следующем виде:
Х + 2Ц + Ц0 H(
2 Л
5S _ У 50 + 5 U 5r р 5r 5t2
Используя уравнения (31), получим
Я + 2ц ц0 H,
2
5S
У
50 52U
5r р(1 + K10) 5r 5t2
(37)
. (38)
При условии |0/Т0| 1 и с помощью (31) уравнение движения (38) можно переписать в виде
8 = у 8© + д2и
8г р 8г 8X2
^ Я + 2ц ц0H2 ^
(39)
Используя безразмерные переменные
{r', U'} _ С°{Г, U}, t'
-0t
{0', ф', ©', Ф'} _!{01ф1©©1ф1, K'_ T0K1, (40)
b'_-0- b,{Tj, м'}_
Pc0 {Tjj, Mrr}
2 : Pc0
|A,+ 2ц
можно получить следующие определяющие уравнения (опуская штрихи):
V2Ф + т0 Д(а)^2Ф)
_ (1 + т л(а)) 5© + в(1 + т ^
5S 5r
5t
5 2S
5©
5t
-- a.
? —T- _ a1-
2 5t2 1 5r
2
ф-©_bV2Ф,
T„. _5r + (1 -2p2)U-0,
5r r
U + (1 - 2P2)U _0,
r 5r
_
Tzz _ (1 - 2P2)S -0,
где
P2
ц
Я + 2ц'
,E _
Ttf2
2 v ' 1 P C0Ce
a _-
a _ -
Pc02
2 _ 2 2 ' "0 c0 + a.
a
Ц0 H 0
УTl
P
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
e0
^0 + "0 V р
Введем в уравнения (41) и (42) новую функцию у, задаваемую формулой
и запишем
U = ^, dr
VzO + Te £>t(a)(VzO)
^t , 8 ■ ^ ■ ^0)VV,
(48)
8e
= (1 + x0A(a)) ^ + s(1 + XqA(a)) V2
V 2w = a2 + a,e. 2 8t2 1
5. Решение задачи
При t=0 примем начальные условия
(49)
(50)
U 0 = 0 = -
It=о 8r
el 0 = 0 = »
It=0 8r
t=0
■ e-=0=0=f
t=0
t=0
, ф11 =0 = 0 = f
(51)
(52)
t=0
Кроме того, для выполнения условия регулярности предполагается, что функции Ту, Мгг, и, 0, ©, ф, Ф ограничены при г ^ 0. В данной задаче на граничную поверхность г = а действует линейный тепловой поток Н. Тогда модифицированный закон Фурье с дробными производными можно представить в виде
(1 + TeA(a))| *(ф)
f | = -(H + TqD^H) (53)
(1 + xeDt(a)) I k0 8ф| = -(H + TqD(a>H) (54)
при Х > 0, г = а. Используя уравнения (32), получим дФ
дг
при Х > 0, г = а.
Также ожидается, что тепловой поток Н будет распространяться с постоянной скоростью V вдоль радиальной оси цилиндра и экспоненциально затухать во времени, т.е.
Н = в0e~at5(г - VХ), и, V > 0, (55)
где ю, в0 — константы; 5(.) — функция Дирака. Используя безразмерные переменные и подставляя уравнения (32), (55) в (54), получим ' Д<<»)дФ(Г,Х)
(1-
8r
= -q1(1 + XqDf}) e-rat 5( r-vt),
(56)
q1 =
q0pkc0
Предполагается, что торцы цилиндра находятся в ограниченных условиях перемещения, которые математически могут быть представлены в виде
и = 0 при Х > 0, г = а. (57)
Применяя преобразование Лапласа к основным уравнениям, получим следующие уравнения при однородных начальных условиях:
(V2 -ах)Ф = а2У2у, (58)
У2у = а^ 2у + ах0, (59)
(60)
(61)
- 2 8U 2 - -
Trr = 2Р2—+(1 - 2P2)S-e,
8r
TL = 2Р2U + (1 - 2Р2)S -e,
Tzz = (1 - 2P2) s -e,
где
an
ans
a, =
1 — , a 2 — , 1 + a0b 1 + a0b
s(1 + sxj (s + a(1 - s)))
a =
(62)
(63)
(64)
0 1 + sxe/(s + a(1 -s)) '
После исключения e из уравнений (58)-(60) получим
где
(V4 - AV2 + В)Ф = 0, (V4 - AV2 + B)y = 0,
a1 + s2a2 +a 2a1 B a1s 2a2 A =-, B = ■
(65)
(66)
1 + a2a1b 1 + a2a1b
Подставляя параметры n, i = 1, 2, в уравнения (65), имеем:
(V2 -rn2)(V2 -л2)ф = 0, (V2 -rn2)(V2 -n2)V = 0,
(67)
2 2
где параметры г , г2 ниже частного уравнения
Г4 - Аг2 + В = 0. Решая уравнение (68), найдем корни г :
2 А + 4лГ-4В 2 А -V А2 - 4В
корни приведенного
(68)
■ Л2 =■
. (69)
2 2 Общие решения уравнений (67) можно записать в виде
Ф = a 2 Ал?10 far) + a 2 A2^210 (^), (70) V = (Л - a1) A1I0 (гЦг) + (Л - a^A210 (л2r), (71)
где I0(.) — модифицированные функции Бесселя первого рода нулевого порядка; Ai (i = 1, 2, 3) —
У
интегральные параметры. Из уравнений (24), (48), (70) получим
и = л1ц1(ц^ -а1)/1(^1г)
+ П2(П -ах)А>). Из уравнения (72) можно вывести
(72)
= 4ri(ri -a1)
dr
1 o(rhr ) —— AHr ) rr
+ A2r2(r2 -a1)
1
. (73)
10(П2Г )--Л(П2Г )
ГЧ2
Подставляя (70) в уравнение (59), имеем
© = а2П?(1 -Ьп?) А,10( п) + а2П22(1 -Ьп22) А,10 ().
Таким образом, решение для ф можно получить при решении первого уравнения (31):
(74)
_( ) -1+ V1 + 2 К1Ф
Ф(г, s) =--
К1
(75)
Аналогично для 0 через второе уравнение (31):
0(г, 5) = -1(-1 + ,11 + 2К1©). (76)
Термические напряжения можно определить как
Trr = Alrl2(rl2 -a1)
2ß2
1 о(Г1г )--I1(r1r )
гГ1
1 + V1 + 2K1©_ + A2r2(r2 -a1)
K1
2ß2
1 о(Г2г )--i1(r2r )
rr2
(77)
Tçç = АГ1СГ1 -a1)
2^ „4 , 2ß2
(1 - 2ß2) Io(nr )
гГ1
i1(r1r )
-1 + 41 + 2 K1©
K1
+ A2r2(r2 -a1)
(1 - 2 ß2) I o( r2r ) + I1( r2r )
rr2
Tz = A1r2(r12-a1)(1 - 2ß2)I o(nr )
(78)
1+ V1 + 2+ A2r2(r2 - a1) K1
x (1 - 2ß2)Io(r2r),
(79)
В пространстве изображений Лапласа решение для напряжения Максвелла Мгг имеет вид
( A^ (r2-a1)(1 - 2ß2) Io(nr)
+ А2п2(п2 -а1)(1 -2Р2)/0(П2г)). (80)
В преобразованной области граничные условия (56), (57) изменяются на
8Ф(г, 5) = оа е-пг 0 = 5
dr
, r = a,
(81)
и\г=а = 0. (82)
Подстановка уравнений (70), (72) в (81), (82) дает щА1/1(п1а) + П2А2КП2«) + — е~аг = 0, (83)
V
Л2СП1 -а1)АХ1Х (п1") + П1 (п2 -а1)А21^2") = 0. (84) Параметры А, (7 = 1, 2) выведены из уравнений (83), (84).
Обратное преобразование Лапласа может быть выполнено с помощью надежного и эффективного вычислительного подхода, основанного на разложении в ряды Фурье [37]. Любое поле П(г, 5) в пространстве Лапласа может быть преобразовано во временное пространство с помощью этого метода:
ехР(XX)
П(r, t) = -
t
!П(г, x) + Re^£П(r, x + (-1)k
(85)
где т — ограниченное число выражений; Яе — действительная часть; 7 — мнимая часть. Во многих исследованиях показано, что для сходимости параметр % должен принять значение X = 4.7 [22].
6. Численные результаты
В работе рассмотрен термоупругий бесконечный цилиндр под действием движущегося источника тепла с использованием новой упрощенной модели термоупругости, основанной на уравнении теплопроводности с производной дробного порядка. Численное моделирование задачи выполнено с учетом механических свойств меди. Использованы следующие теплофизические параметры меди [36, 37]: ф, ц} = {7.76, 3.86} ■ 1010 г/(м ■ с2), р = 8954 кг/м3, Н0 = 107 А ■ м-1, к0 = 386 Вт/(м ■ К), Се = 383.1 Дж ■ кг/К, aX=0.5 ■ 10-6 1/К, ц0 = 126 ■ 10-8 Гн ■ м-1, Т0 = 298 К.
Распределения напряжений Максвелла Мгг, радиального и окружного напряжения Тгг, Тщ, пере-
a2c0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 г
Рис. 2. Зависимость термодинамической температуры 0 при разных значениях дробного параметра а (цветной в онлайн-версии)
мещения и, градиента температуры 0, температуры проводимости ф были рассчитаны с помощью уравнения (85). Расчеты выполнены вдоль г (0 < г < 1) при Х = 0.12 с с учетом во = 1 и ю = 1.
6.1. Влияние дробного оператора Капуто-Фабрицио
Анализ был выполнен с учетом параметров V = 5, Ь = 0.01, К = -0.5, т. = 0.2, Т0 = 0.1. На рис. 2-7 показаны изменения переменных физического поля в зависимости от радиального расстояния г. В обычных случаях (при значении параметра а = 1) численные результаты согласуются с обобщенными моделями термоупругости с фазовыми запаздываниями. При 0< а < 1 выполнен анализ результатов расчетов по дробной дифференциальной тепловой модели, основанной на операторе Капуто-Фабрицио.
Из рисунков видно, что дифференциальный оператор Капуто-Фабрицио (дробный параметр а) оказывает значительное влияние на все тепло-физические поля. Тепловые или механические
-а= 1.00
-- а-0.75
----а = 0.50 ///
/// /// ///
/'У
¿Г
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 г
Рис. 3. Температура проводимости ф при разных значениях дробного параметра а (цветной в онлайн-вер-сии)
Рис. 4. Перемещение и при разных значениях дробного параметра а (цветной в онлайн-версии)
волны характеризуются устойчивостью и при соответствующем значении дробного порядка достигают стационарного состояния. Обнаружено, что увеличение значения дробного параметра а приводит к росту скорости распространения исследуемых волн вблизи поверхности цилиндра, которая подвергается тепловому воздействию, а также к ускорению затухания волн по мере углубления внутрь тела.
На рис. 2 показан рост температуры 0 вдоль радиального расстояния г для некоторых заданных значений а. Из рисунка видно, что дробный порядок заметно влияет на распределение температуры. Температура приближается к максимальному уровню на поверхности цилиндра из-за воздействия на нее теплового потока и сводится к нулю по мере приближения к оси. Любое увеличение параметра а приводит к уменьшению значений температуры в начале каждой кривой, однако после пересечения кривых в точке г = 0.9 наблюдается обратное поведение. Это условие обычно упускается из виду большинством исследова-
чХ
\\
ч
\
-а= 1.00 ^ . /
---------а-0.75 у//'
----а = 0.50
—и.4 Н-1-1-1-1-
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 г
Рис. 5. Радиальное напряжение Тгг при разных значениях дробного параметра а (цветной в онлайн-вер-сии)
Рис. 6. Окружное напряжение Т^ при разных значениях дробного параметра а (цветной в онлайн-вер-сии)
телей, использующих уравнение теплопроводности без дробных производных.
На рис. 3 показано распределение температуры проводимости ф вдоль радиального расстояния г для различных значений параметра а. Параметр а оказывает сильное влияние на поведение температуры проводимости ф. Рост параметра а уменьшает значения температуры проводимости. Сравнение рис. 2 и 3 указывает на схожее распределение температуры проводимости и термодинамической температуры, но без пересечения кривых.
На рис. 4 показано изменение перемещения и в зависимости от г при некоторых заданных значениях а. При увеличении расстояния перемещение и стремится к нулю. Из рисунка также видно, что увеличение параметра а приводит к увеличению/уменьшению перемещения в определенные моменты времени. Это может быть связано с периодическим изменением теплоснабжения. Поскольку поверхность ограничена, перемещение равно нулю на плоской поверхности.
Распределения радиальных и окружных напряжений Тгг, Т в зависимости от радиальной координаты г для упругого цилиндра представлены на рис. 5 и 6 для трех значений параметра а. Видно, что значения напряжения заметно растут или снижаются в зависимости от параметра а. Напряжения на поверхности цилиндра находятся в отрицательной области, быстро нарастают с расстоянием от поверхности и в конечном итоге сводятся к нулю.
Рисунок 7 показывает влияние параметра а на напряжения Максвелла Мгг. Из рисунка видно, что напряжение быстро снижается с увеличением расстояния, а это указывает на то, что действие магнитного поля мгновенно и ограниченно. Кроме того, параметр а оказывает незначительное влияние на напряжения Максвелла. Можно сделать вывод, что изложенная в данной работе теория применима к задачам аэродинамики, в том числе для цилиндрических конструкций. На основе параметра дробного порядка можно провести классификацию различных материалов по их теплопроводности.
6.2. Влияние изменения теплопроводности
Проведены численные расчеты распределения теплофизических полей вдоль радиального расстояния г и построены соответствующие зависимости с учетом изменения теплопроводности. При этом остальные параметры системы равны V = 5, Тд = 0.2, Те = 0.1, а = 0.75, Ь = 0.008.
Рассмотрены три значения параметра К1: 0.0, -0.5, -1. Отметим, что при К1 = 0 рассматривается классический случай, когда коэффициент теплопроводности не зависит от изменения температуры (коэффициент теплопроводности считается постоянным).
0.5-
0.4-
0.3
0.2-
0.1-
0.0
----К\ = -1.0 /(
-----К\ = -0.5
-Kl = 0.0 !Ц !
0.0
0.2
0.4
0.6
Рис. 8. Термодинамическая температура е при разных значениях параметра расхождения К1 (цветной в он-лайн-версии)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 г
Рис. 9. Температура проводимости ф при разных значениях параметра расхождения К1 (цветной в онлайн-версии)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 г
Рис. 11. Радиальное напряжение Тгг при разных значениях параметра расхождения К1 (цветной в онлайн-версии)
На рис. 8 и 9 показаны зависимости температуры проводимости ф и термодинамической температуры е от радиального расстояния г для некоторых значений параметра К1. Видно, что температуры е и ф растут при увеличении параметра теплопроводности К1. Этот результат указывает на то, что коэффициент теплопроводности в значительной степени связан с изменением температуры, а теплопроводность существенно влияет на профиль температуры. По мере увеличения теплопроводности проявляется эффект волнового фронта. Сравнение рис. 8 и 9 выявило схожее поведение термодинамической температуры е и температуры проводимости ф.
Влияние теплопроводности на поле перемещений показано на рис. 10. Из рисунка видно, что параметр К1 не оказывает никакого влияния на распределение перемещений и. На рис. 11 и 12 показано, как радиальное и окружное напряжения Тгг, Т^ изменяются вдоль г при различных значениях параметра К1. Наличие параметра К1 выражается в заметном увеличении и уменьшении ам-
плитуды напряжений. На рис. 13 представлена зависимость напряжения Максвелла при различных К1. Параметры К1 оказывают крайне слабое влияние на напряжение Максвелла [43, 44].
Из представленных результатов видно, что все кривые сходятся при приближении г к нулю. Другими словами, полученное решение ограничено только определенной областью пространства (областью возмущения). Оно неверно для классической термодинамической теории, в которой решение расходится до бесконечности, что указывает на бесконечную скорость распространения тепловой волны.
6.3. Сравнение термоупругих моделей
В этом подразделе проведено сравнение различных термоупругих моделей с дробными производными для простых и сложных материалов. Обсуждается наличие и отсутствие параметра расхождения Ь. Отсутствие расхождения (Ь = 0) указывает на самые ранние модели, а именно на однотемпературную дробную термоупругую мо-
Рис. 10. Перемещение и при разных значениях параметра расхождения К1 (цветной в онлайн-версии)
-0.1 -0.2-0.3-0.4-0.5
----кх =-1.0
Кг = -0.5 V
Кх = 0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.
Рис. 12. Окружное напряжение Т при разных значениях параметра расхождения К1 (цветной в онлайн-версии)
Рис. 13. Напряжение Максвелла Мгг при разных значениях параметра расхождения К1 (цветной в онлайн-версии)
дель. Остальные значения (Ь = 0.03, 0.08) соответствуют дробной двухтемпературной термоупругой модели.
Рассмотрим следующие частные случаи термоупругой модели (16):
- классическая термоупругая модель (СТЕ) при т0 = т. = Ь = 0 и а ^ 1;
- дробная термоупругая модель Лорда-Шуль-мана (РЬБ) при т0 = Ь = 0, т. > 0, 0 < а < 1;
- дробная термоупругая модель с двухфазным запаздыванием (ББРЬ) при 0 < а < 1, т., т0 > 0, Ь = 0;
- дробная двухтемпературная термоупругая модель Лорда-Шульмана (2БЬ8) при 0 < а < 1, т0 = Ь = 0 и т. > 0;
- дробная двухтемпературная термоупругая модель с двухфазным запаздыванием (2РБРЬ) при 0 < а < 1, т., т0 > 0, Ь > 0.
Рис. 15. Температура проводимости ф в различных термоупругих моделях (цветной в онлайн-версии)
Результаты сравнения представлены графически на рис. 14-19 и численно в табл. 1-6 при V = 5, т. = 0.07, т0 = 0.08, К1 = -0.5. Рисунки и таблицы показывают влияние параметра расхождения Ь на такие характеристики материала, как температура проводимости ф, термодинамическая температура 0, напряжение Максвелла Мгг, радиальные и окружные термические напряжения Тгг, Т^, радиальное перемещение и.
Распределения термодинамической температуры 0 и температуры проводимости ф показаны на рис. 14 и 15, а также в табл. 1 и 2. При увеличении значения параметра расхождения Ь начальные значения температур 0 и ф уменьшаются. В двух-температурных моделях термоупругости значения термодинамической температуры больше,
Рис. 14. Изменение температуры 0 в различных термоупругих моделях (цветной в онлайн-версии)
Рис. 16. Перемещение и в различных термоупругих моделях (цветной в онлайн-версии)
Рис. 17. Радиальное напряжение Тгг в различных термоупругих моделях (цветной в онлайн-версии)
чем в моделях однотемпературной термоупругости, что указывает на значительное влияние двух-температурной теории [45].
В отличие от классической термоупругой теории, тепловые волны распространяются в среде с конечными скоростями. Это предположение делает модели, не подчиняющиеся закону Фурье, более применимыми в физике по сравнению с моделями, основанными на традиционной концепции теплопроводности Фурье, предсказывающей бесконечные скорости распространения тепловых волн.
При анализе рис. 17 и 18, а также табл. 4 и 5 обнаружено некоторое сходство влияния параметра расхождения Ь на Тгг, Т'' в среде. Параметр Ь оказывает существенное влияние на распреде-
ление напряжений. Изменение значения этого параметра вызывает колебания напряжения вдоль радиуса [46].
Изменения напряжения Максвелла Мгг и перемещения и в зависимости от параметра Ь показаны на рис. 16 и 19, а также в табл. 3 и 6. Представленные результаты показывают, что параметр расхождения Ь оказывает существенное влияние на перемещение и и напряжение Мгг. При любом увеличении параметра Ь значения напряжения Максвелла Мгг также увеличиваются, а значения перемещения уменьшаются.
Согласно рис. 14 и табл. 1, значения термодинамической температуры 0 в БЬБ модели выше, чем в ББРЬ модели, а также выше, чем в моделях 2БЬ8, 2БРЬ и СТЕ. Различия температуры проводимости ф в различных термодинамических теориях термоупругости видны на рис. 15 и в табл. 2. Значения ф, полученные в 2БЬ8 модели, больше значений, полученных в 2РБРЬ модели, а также в других моделях термоупругости. На рис. 15-17 и в табл. 3-6 также указаны термические напряжения Тгг, Т", радиальное перемещение и и напряжение Максвелла М„. для различных моделей термоупругости.
В целом полевые переменные, рассчитанные по пяти различным моделям, имеют качественно схожий характер изменения. Как было установлено в предыдущих исследованиях, значения температуры проводимости и термодинамической температуры со временем сводятся к нулю по окружности цилиндра. Поэтому в обобщенной двухтем-пературной модели термоупругости с фазовыми
Рис. 18. Окружное напряжение Т^ в различных термоупругих моделях (цветной в онлайн-версии)
Рис. 19. Напряжение Максвелла Мгг в различных термоупругих моделях (цветной в онлайн-версии)
Таблица 1. Изменение температуры 0 с радиальным расстоянием г
г СТЕ ЕЬБ ЕБРЬ 2ЕЬБ 2ЕБРЬ
0.0 0.0238489 0.00125938 0.00251315 0.00000265 0.0000031200
0.1 0.0251555 0.00154104 0.00299397 0.00000268 0.0000045300
0.2 0.0292726 0.00256309 0.00468462 0.00000289 0.0000246647
0.3 0.0368195 0.00496583 0.00844478 0.00000724 0.0002231610
0.4 0.0489246 0.01023460 0.01612150 0.00010614 0.0016494900
0.5 0.0673769 0.02152630 0.03125830 0.00143557 0.0091821600
0.6 0.0948550 0.04522840 0.06015950 0.01235590 0.0380159000
0.7 0.1352410 0.09352030 0.11298800 0.06676280 0.1138530000
0.8 0.1940260 0.18749900 0.20346100 0.21471700 0.2356770000
0.9 0.2787730 0.35734700 0.34294500 0.39216000 0.3486330000
1.0 0.3995680 0.62595000 0.51976700 0.70730600 0.5878910000
Таблица 2. Изменение температуры проводимости ф с радиальным расстоянием г
г СТЕ ЕЬБ ЕБРЬ 2ЕЬБ 2ЕБРЬ
0.0 0.0122518 0.00273478 0.00467633 0.00000265 0.0000031200
0.1 0.0136225 0.00328521 0.00547703 0.00000268 0.0000045300
0.2 0.0181124 0.00523781 0.00823333 0.00000289 0.0000246647
0.3 0.0269276 0.00964928 0.0141356 0.00000724 0.0002231600
0.4 0.0423175 0.0188452 0.0256077 0.00010614 0.0016494900
0.5 0.0679115 0.0374575 0.0469929 0.00143557 0.0091821600
0.6 0.1091430 0.0742461 0.0854908 0.0123559 0.0380159000
0.7 0.1737660 0.1450330 0.1521900 0.0667628 0.1138530000
0.8 0.2728510 0.2773190 0.2632840 0.2147170 0.2356770000
0.9 0.4242990 0.5191890 0.4442980 0.3921600 0.3486330000
1.0 0.6665510 0.9672590 0.7537320 0.7073060 0.5878910000
Таблица 3. Изменение перемещения и с радиальным расстоянием г
г СТЕ ЕБРЬ 2ЕЬБ 2ЕБРЬ
0.0 -0.0595877 -0.00125659 -0.00221944 -0.000294086 -0.000652484
0.1 -0.0595877 -0.00125659 -0.00221944 -0.000294086 -0.000652484
0.2 -0.0719166 -0.00202114 -0.00338618 -0.000372890 -0.000754523
0.3 -0.0953171 -0.00393811 -0.00620954 -0.000519799 -0.000938359
0.4 -0.1347570 -0.00857152 -0.01272600 -0.000760326 -0.001251830
0.5 -0.1987420 -0.01988050 -0.02780430 -0.001154000 -0.002023010
0.6 -0.3013030 -0.04784970 -0.06296450 -0.002160320 -0.005591810
0.7 -0.4652960 -0.11766000 -0.14532200 -0.008748690 -0.025574100
0.8 -0.7274440 -0.29233400 -0.33787900 -0.060621300 -0.123813000
0.9 -0.9464600 -0.72935200 -0.78584200 -0.380981000 -0.520626000
1.0 0 0 0 0 0
Таблица 4. Изменение радиального напряжения Тгг с радиальным расстоянием г
г СТЕ ЕБРЬ 2ЕЬБ 2ЕБРЬ
0.0 -0.0241000 -0.0012700 -0.0025200 -0.00000389 -0.00000529
0.1 -0.0254000 -0.0015500 -0.0030100 -0.00000428 -0.00000715
0.2 -0.0296000 -0.0025800 -0.0047100 -0.00000510 -0.00002800
0.3 -0.0373000 -0.0050100 -0.0085100 -0.00010400 -0.00022800
0.4 -0.0497000 -0.0103000 -0.0163000 -0.00011100 -0.00166000
0.5 -0.0686000 -0.0218000 -0.0316000 -0.00144000 -0.00920000
0.6 -0.0966911 -0.0457993 -0.0608614 -0.01238250 -0.03811470
0.7 -0.1381140 -0.0949361 -0.1146180 -0.06696910 -0.11438800
0.8 -0.1985440 -0.1910140 -0.2072330 -0.21623400 -0.23811500
0.9 0.0305173 0.0011200 0.0000333 0.04343570 0.00151106
1.0 0.0173138 0.0000236 0.0000304 0.02521400 0.00002850
Таблица 5. Изменение окружного напряжения Т ^ с радиальным расстоянием г
г СТЕ ЕБРЬ 2ЕЬБ 2ЕБРЬ
0.0 -0.0257005 -0.00155551 -0.00301843 -0.0000055800 -0.0000102791
0.1 -0.0257005 -0.00155551 -0.00301843 -0.0000055800 -0.0000102791
0.2 -0.0297388 -0.00258160 -0.00471404 -0.0000055100 -0.0000292396
0.3 -0.0373529 -0.00499954 -0.00849520 -0.0000103366 -0.0002279590
0.4 -0.0496190 -0.01030600 -0.01622200 -0.0001101920 -0.0016557300
0.5 -0.0683482 -0.02168890 -0.03147370 -0.0014416600 -0.0091962600
0.6 -0.0962737 -0.04561450 -0.06063910 -0.0123738000 -0.0380796000
0.7 -0.1373730 -0.09445690 -0.11407600 -0.0668910000 -0.1141880000
0.8 -0.1972790 -0.18978800 -0.20593800 -0.2156470000 -0.2371960000
0.9 -0.2838140 -0.36299200 -0.34861000 -0.3973380000 -0.3543150000
1.0 -0.2739550 -0.50573000 -0.39862400 -0.5925230000 -0.4702870000
Таблица 6. Изменение напряжения Максвелла Мгг с радиальным расстоянием г
г СТЕ ЕБРЬ 2ЕЬБ 2ЕБРЬ
0.0 -0.000159268 -0.0000047600 -0.0000078900 -0.0000009250 -0.0000016300
0.1 -0.000170280 -0.0000058200 -0.0000094600 -0.0000009970 -0.0000017000
0.2 -0.000205607 -0.0000098300 -0.0000152785 -0.0000012200 -0.0000019200
0.3 -0.000272642 -0.0000200073 -0.0000294979 -0.0000016300 -0.0000023400
0.4 -0.000385586 -0.0000448850 -0.0000625400 -0.0000022800 -0.0000034200
0.5 -0.000568733 -0.0001059790 -0.0001391480 -0.0000036390 -0.0000089400
0.6 -0.000862113 -0.0002573280 -0.0003173230 -0.0000120048 -0.0000440017
0.7 -0.001330870 -0.0006343720 -0.0007319790 -0.0000909780 -0.0002363580
0.8 -0.002073600 -0.0015682800 -0.0016868400 -0.0006666870 -0.0010755000
0.9 -0.003267190 -0.0039045600 -0.0038943500 -0.0037093500 -0.0040245300
1.0 0.094086300 0.0900467000 0.0907377000 0.0859744000 0.0880876000
запаздываниями распространение теплового потока ограничено [23]. Результаты показывают, что только в течение короткого периода времени влияние тепловых волн имеет важное значение.
Формулировка, представленная в уравнении (13), связывает термодинамическую температуру с температурой проводимости. Независимо от наличия или отсутствия источника тепла термодинамическая температура и температура проводимости отличаются в динамических задачах распространения волн. Введение теплового фазового запаздывания в уравнение теплопроводности обеспечивает взаимодействие запаздывания с относительным вектором теплового потока, что приводит к более реалистичному приближению термоупругой среды.
7. Заключение
В работе представлена дробная термоупругая модель для изучения термомеханических характеристик изотропного термоупругого цилиндра. Определяющие уравнения задачи заданы с помощью дробного дифференциального оператора Капуто-Фабрицио, модели двухфазного запаздывания и двухтемпературной термоупругой модели. В частном случае с помощью разработанной модели можно получить несколько дробных и недробных термоупругих моделей, а также одно-температурную модель. Установлено, что в рассматриваемой задаче теплопроводность зависит от температуры и не является постоянной величиной. Теоретическая модель решена методом интегрального преобразования Лапласа. Численные результаты показали, что параметры системы, включая две температуры, фазовые задержки, скорость теплового потока, дробные порядки и переменную теплопроводность, оказывают большое влияние на характеристики материала. Согласно разработанной модели при задании структуры материала необходимо учитывать дробный параметр, являющийся показателем способности материала проводить тепло. Модифицированная теплопроводность помогает улучшить абсолютные значения всех физических переменных в модели. Изменение теплопроводности оказывает значительное влияние на температуру и распределение термических напряжений, но практически не влияет на распределения напряжений Максвелла и перемещений.
Литература
1. Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics. -Singapore: World Scientific, 2000.
2. Magin R.L. Fractional calculus models of complex dynamics in biological tissues // Comput. Math. Appl. - 2010. -V. 59. - P. 1586-1593.
3. Oldham K.B. Fractional differential equations in electrochemistry // Adv. Eng. Softw. - 2010. - V. 41. - P. 9-12.
4. Povstenko Y. Fractional nonlocal elasticity and solutions for straight screw and edge dislocations // Phys. Mesomech. -2020. - V. 23. - No. 6. - P. 547-555. - https://doi.org/10. 1134/S1029959920060107
5. Moshtaghi N., Saadatmandi A. Numerical solution of time fractional cable equation via the sinc-Bernoulli collocation method // J. Appl. Comput. Mech. - 2021. -V. 7(4). -P. 1916-1924.
6. Attia N., Seba D., Akgül A., Nour A. Solving Duffing-Van der Pol oscillator equations of fractional order by an accurate technique // J. Appl. Comput. Mech. - 2021. - V. 7(3). -P. 1480-1487. - https://doi.org/10.22055/jacm.2021.35369. 2642
7. Atangana A., Gómez-Aguilar J.F. Numerical approximation of Riemann-Liouville definition of fractional derivative: From Riemann-Liouville to Atangana-Baleanu // Numer. Methods Partial Differ. Equ. - 2018. - V. 34. - P. 15021523.
8. Veeresha P., Prakasha D.G., Baskonus H.M. New numerical surfaces to the mathematical model of cancer chemotherapy effect in Caputo fractional derivatives // Chaos. - 2019. -V. 29. - P. 013119.
9. Caputo M., Fabrizio M. A new definition of fractional derivative without singular kernel // Prog. Fract. Differ. Appl. -2015. - V. 1. - P. 73-85.
10. Dokuyucu M.A. A fractional order alcoholism model via Caputo-Fabrizio derivative // AIMS Math. - 2020. - V. 5. -P. 781-797.
11. Yépez-Martínez H., Gómez-Aguilar J.F. A new modified definition of Caputo-Fabrizio fractional-order derivative and their applications to the multi step homotopy analysis method (MHAM) // J. Comput. Appl. Math. - 2019. -V. 346. - P. 247-260.
12. Vivas-Cruz LX., González-Calderón A., Taneco-Hernán-dezM.A., Luis D.P. Theoretical analysis of a model of fluid flow in a reservoir with the Caputo-Fabrizio operator // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. - 2020. - V. 84. -P. 105186.
13. Goufo E.F., Nieto J.J. Attractors for fractional differential problems of transition to turbulent flows // J. Comput. Appl. Math. - 2018. - V. 339. - P. 329-342.
14. Ghanbari B., Kumar S., Kumar R. A study of behaviour for immune and tumor cells in immunogenetic tumour model with non-singular fractional derivative // Chaos Solitons Fractals. - 2020. - V. 133. - P. 109619.
15. BiotM. Thermoelastic and irreversible thermodynamics // J. Appl. Phys. - 1956. - V. 27. - P. 240-253.
16. Lord H.W., Shulman Y. A generalized dynamical theory of thermoelasticity // J. Mech. Phys. Solids. - 1967. - V. 15. -P. 299-309.
17. Green A.E., Lindsay K.A. Thermoelasticity // J. Elasticity. -1971. - V. 2. - P. 1-7.
18. Green A.E., Naghdi P.M. On undamped heat waves in an elastic solid // J. Therm. Stresses. - 1992. - V. 15. - P. 253264.
19. Green A.E., Naghdi P.M. Thermoelasticity without energy dissipation // J. Elasticity. - 1993. - V. 31. - P. 189-208.
20. Hobiny A.D., Abbas I.A. A dual-phase-lag model of photo-thermoelastic waves in a two-dimensional semiconducting medium // Phys. Mesomech. - 2020. - V. 23. - No. 2. -P. 167-175. - https://doi.org/10.1134/S1029959920020083
21. Abouelregal A.E., Mohammad-Sedighi H., Faghidian S.A., Shirazi A.H. Temperature-dependent physical characteristics of the rotating nonlocal nanobeams subject to a varying heat source and a dynamic load // Facta Univ. Ser. Mech. Eng. -
2021. - V. 19(4). - P. 633-656. - https://doi.org/10.22190/ FUME201222024A
22. Awwad E., Abouelregal A., Hassan A. Thermoelastic memory-dependent responses to an infinite medium with a cylindrical hole and temperature-dependent properties // J. Appl. Comput. Mech. - 2021. - V. 7(2). - P. 870-882.
23. Abouelregal A.E., Mohammad-Sedighi H., ShiraziA.H., Malikan M., Eremeev V.A. Computational analysis of an infinite magneto-thermoelastic solid periodically dispersed with varying heat flow based on non-local Moore-Gibson-Thompson approach // Continuum Mech. Thermodyn. -
2022. - V. 34. - P. 1067-1085. - https://doi.org/10.1007/ s00161-021-00998-1
24. Chen P.J., Gurtin M.E. On a theory of heat conduction involving two temperatures // Z. Angew. Math. Phys. -1968. - V. 19. - P. 614-627.
25. Chen P.J., Gurtin M.E., Williams W.O. On the thermodynamics of non-simple elastic materials with two temperature // Z. Angew. Math. Phys. - 1969. - V. 20. - P. 107-112.
26. Warren W.E., Chen P.J. Wave propagation in the two temperature theory of thermoelasticity // Acta Mech. - 1973. -V. 16. - P. 21-23.
27. Quintanilla R. On existence, structural stability, convergence and spatial behaviour in thermoelastic with two temperature // Acta Mech. - 2004. - V. 168. - P. 161-173.
28. Quintanilla R. Exponential stability and uniqueness in thermoelasticity with two temperature // Dyn. Contin. Discret. Impuls. Systems. Ser. A Math. Anal. - 2004. - V. 11. -P. 57-68.
29. Sofiyev A.H. Thermoelastic stability of functionally graded truncated conical shells // Comp. Struct. - 2007. - V. 77. -P. 56-65.
30. Sofiyev A.H., Zerin Z., Kuruoglu N. Thermoelastic buckling of FGM conical shells under non-linear temperature rise in the framework of the shear deformation theory // Comp. B. Eng. - 2017. - V. 108. - P. 279-290.
31. Abouelregal A.E., Saidi A., Sedighi H.M., Shirazi A.H., Sofiyev A.H. Thermoelastic behavior of an isotropic solid sphere under a non-uniform heat flow according to the MGT thermoelastic model // J. Therm. Stress. - 2022. - V. 45. -No. 1. - P. 12-29. - https://doi.org/10.1080/01495739.2021. 2005497
32. Berman R. The thermal conductivity of dielectric solids at low temperatures // Adv. Phys. - 1953. - V. 2. - P. 103-140.
33. Abouelregal A.E., Khalil K.M., MohammedF.A., Nasr M.E., Zakaria A., Ahmed I.E. A generalized heat conduction model of higher-order time derivatives and three-phase-lags for non-simple thermoelastic materials // Sci. Rep. - 2020. -V. 10. - P. 3625.
34. Abouelregal A.E. Two-temperature thermoelastic model without energy dissipation including higher order timederivatives and two phase-lags // Mater. Res. Express. -2020. - V. 6. - https://doi.org/10.1088/2053-1591/ab447f
35. Balokhonov R., Romanova V., Schwab E., ZemlianovA., Evtushenko E. Computational microstructure-based analysis of residual stress evolution in metal-matrix composite materials during thermomechanical loading // Facta Univ. Ser. Mech. Eng. - 2021. - V. 19(2). - P. 241-252. - https://doi. org/10.22190/FUME201228011B
36. Sharma D., Kaur R., Sharma H. Investigation of thermoelastic characteristics in functionally graded rotating disk using finite element method // Nonlin. Eng. - 2021. -V. 10(1). - P. 312-322.
37. Honig G., Hirdes U. A method for the numerical inversion of Laplace transform // J. Comp. Appl. Math. - 1984. -V. 10. - P. 113-132.
38. Xiong Q.L., Tian X.G. Transient magneto-thermoelastic response for a semi-infinite body with voids and variable material properties during thermal shock // Int. J. Appl. Mech. -2011. - V. 3. - P. 161-185.
39. Xiong C., Guo Y. Effect of variable properties and moving heat source on magnetothermoelastic problem under fractional order thermoelasticity // Adv. Mater. Sci. Eng. -2016. - V. 2016. - P. 5341569.
40. Patel J., Deheri G.M. Influence of viscosity variation on ferrofluid based long bearing // Rep. Mech. Eng. - 2021. -V. 3(1). - P. 37-45.
41. Nowinski J.L. Theory of Thermoelasticity with Applications. - Netherlands: Springer, 1978.
42. Temme N.M. Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics. - New York: John Wiley and Sons, Inc., 1996.
43. Sherief H., Abd El-Latief A.M. Effect of variable thermal conductivity on a half-space under the fractional order theory of thermoelasticity // Int. J. Mech. Sci. - 2013. - V. 74. -P. 185-189.
44. Aboueregal A.E., Sedighi H.M. The effect of variable properties and rotation in a visco-thermoelastic orthotropic annular cylinder under the Moore-Gibson-Thompson heat conduction model // Proc. Inst. Mech. Eng. L. J. Mater. Design Appl. - 2021. - V. 235. - P. 1004-1020.
45. HendyM.H., El-Attar S.I., EzzatM.A. Two-temperature fractional Green-Naghdi of type III in magneto-thermo-visco-elasticity theory subjected to a moving heat source // Indian J. Phys. - 2021. - V. 95. - P. 657-671.
46. Yadav R., Kalkal K.K., Deswal S. Two-temperature generalized thermoviscoelasticity with fractional order strain subjected to moving heat source: state space approach // J. Math. - 2015. - V. 2015. - P. 487513.
Поступила в редакцию 13.01.2022 г., после доработки 08.02.2022 г., принята к публикации 09.02.2022 г.
Сведения об авторах
Ahmed E. Abouelregal, Prof., Jouf University, Saudi Arabia; Mansoura University, Egypt, ahabogal@gmail.com
Abdullah H. Sofiyev, Prof., Istanbul Ticaret University, Turkey, Azerbaijan State Economic University, Azerbaijan, abdullahavey@sdu.edu.tr, asofiyev@hotmail.com
Hamid Mohammad Sedighi, Ph.D., Assoc. Prof., Shahid Chamran University of Ahvaz, Iran, h.msedighi@scu.ac.ir, hmsedighi@gmail.com Mohammad A. Fahmy, Assoc. Prof., Al-Qura University, Saudi Arabia; Suez Canal University, Egypt, mohamed_fahmy@ci.suez.edu.eg
