CC BY
1УДК: 517.958, 517.956.32 MSC2010: 35L20
ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШЕЙ НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ СО СМЕШАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
© В. С. Рыхлов
Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬтЕт
ул. Астраханская, 83, Саратов, 410012, Российская Федерация e-mail: [email protected]
Generalized solution of the simplest initial boundary value problem for a homogeneous hyperbolic equation with a mixed derivative.
Rykhlov V. S.
Abstract. An initial boundary value problem for a homogeneous second-order hyperbolic equation with constant coefficients and a mixed derivative is investigated in a half-strip of the plane.
The equation in question is the equation of transverse vibrations of a moving finite string. The case of zero initial velocity and fixed ends (Dirichlet conditions) is considered. It is assumed that the roots of the characteristic equation are simple and lie on the real axis on different sides of the origin.
The main result of the article is formulated, namely, the theorem on the finite formula for the generalized solution and the method of obtaining this formula is briefly described. The main advantage of this formula is that it does not require any preliminary continuation of the initial function beyond the segment of its definition. The method is based on the idea of A. P. Khromov to use for this the theory of divergent series in the understanding of L. Euler (axiomatic approach). In the special case of the simplest string oscillation equation this formula for generalized solution has a different kind if compared with the formula, obtained earlier by A. P. Khromov.
Next, it is determined the classical solution of the initial boundary value problem under consideration.
The uniqueness theorem of the classical solution is formulated in the case of its existence and a formula is given for solving it in the form of a series whose members are contour integrals containing the initial data of the problem. Based on this formula, the concepts of a generalized initial boundary value problem and a generalized solution are introduced. Next, a detailed proof of the previously formulated main theorem of the article is given. The resulting formula for the generalized solution compared with the corresponding result for the classical solution.
At the end, a brief history of the problem is given.
Keywords: hyperbolic equation, second order, constant coefficients, mixed derivative in the equation, half-bands, initial boundary value problem, zero initial velocity, fixed ends, classical solution, generalized initial boundary value problem, generalized solution, uniqueness classical solution, finite formulas for the generalized solution, divergent series
1. Постановка задачи и основной результат
Рассмотрим простейшую обобщенную начально-граничную задачу
Uxx + PlUxt + P2Utt = 0, (1)
u(0, t) = 0, u(1,t) = 0, (2)
u(x, 0) = ^(x), ut(x, 0) = 0, (3)
в начальных условиях которой присутствует только один параметр — начальный профиль <£>(x) и рассматриваются самые простые граничные условия — закрепленные концы. Здесь (x,t) £ Q = [0,1] х [0, p1,p2 £ R, ^ £ L1[0,1] и является комплекснозначной функцией. Для краткости используются обозначения
du ди д2и д2и
ux • , ut • "777, uxx • 7^ п , uxt • 7^ J77, • • • •
dx dt dx2 dxdt
Рассматривается случай гиперболического уравнения (1), то есть выполняется условие
Р2 - 4p2 > 0.
В этом случае корни и1, и2 характеристического уравнения
UJ2 + PiU + Р2 = 0
вещественны и различны.
Возможны только две принципиально разные ситуации
и1 < 0 < и2, (4)
0 < u1 < u2. (5)
В случае (4) соответствующая спектральная задача (см. далее задачу (10)) является регулярной по Биркгофу [1, с. 66-67], а в случае (5) — нерегулярной. Случай (5) был рассмотрен в [2]. Метод доказательства там был отличным от метода настоящей статьи. Далее будет рассматриваться только случай (4).
Обобщенная начально-граничная задача (1)-(3) является одним из наиболее сильных обобщений классической начально-граничной задачи (определение классической задачи и ее решения дается немного ниже). Внешний вид ее такой же, как и у классической задачи, но смысл совсем другой.
При < Е Ь1[0,1] задача (1)-(3) понимается чисто формально, так как ни о каком удовлетворении решения уравнению (1) и условиям (2) речь уже не может идти.
Основным результатом настоящей статьи является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть < Е Ь1[0,1] и выполняется условие (4). Тогда функция п(х,Ь), определенная для почти всех (п. в.) (х,£) € Q формулой
п(х,*) = -1- (<{ ^}) - ф({ 1±-х})\ (6)
-2 - -1 у \ 1-2 - -1 J / \ I -2 - -1 J ) )
является решением обобщенной задачи (1)-(3). Здесь
-2<(-] , если £ Е [0,а);
№)Н (a -«^ ^,,, (7)
—^^-J, если 4 € [а, 1);
—2
а = - и {x} обозначает дробную часть числа x Е R.
—2 — —1
В оставшейся части статьи подробно излагается, как понимается обобщенное решение и как получается формула (6) для этого решения.
Для получения этого результата используется подход, предложенный А. П. Хромовым в [3] (подробное доказательство опубликовано в [4]). А именно, как и в [3, 4], используется теория расходящихся рядов в понимании Л. Эйлера [5], который является основоположником теории суммирования расходящихся рядов.
Вопросы, касающиеся расходящихся рядов, а именно, какой смысл они имеют, как понимать и трактовать сумму расходящегося ряда, какими свойствами должны обладать суммы таких рядов и другие связанные с этими вопросами понятия активно обсуждались ведущими математиками еще во времена Эйлера, то есть в XVIII веке. Исторический обзор можно найти в монографии [6].
В частности, в [3, 4] при получении формулы для обобщенного решения важную роль играют естественные аксиомы для преобразования расходящихся рядов
(A) an = s kan = ks;
(Б) £ an = s, £ bri = t (an + bn) = s + t;
(B) ErT=0 an = s ErT=1 an = s — a0.
из монографии [6, с. 19]. А также существенно используется правило интегрирования расходящихся рядов, которое предложил А. П. Хромов в [3, 4],
/£ = £/, (8)
где § — определенный интеграл. Это правило опирается на соответствующую теорему Лебега о почленном интегрировании тригонометрического ряда в экспоненциальной форме (формулировку теоремы Лебега для тригонометрического ряда по синусам и косинусам можно найти в [7, е. 277, теорема 3]).
Перейдем к более подробному изложению результатов.
2. Определение классического решения, его единственность и формула для решения в виде ряда
Под классическим решением или, как иногда говорят, решением почти всюду задачи (1)-(3) понимается функция переменных € которая:
а) непрерывна вместе с мх(ж,£) и м4(ж,£), при этом их(ж,£) и м4(ж,£)) абсолютно непрерывны и по ж, и по и п. в. в Q выполняется равенство
«*(£,£) = «х(ж,г); (9)
б) удовлетворяет условиям (2)-(3) на границе множества Q и уравнению (1) п. в. в Q.
Отметим, что необходимость в условии (9) обусловлена тем, что в случае, когда мх4(ж,£) и м4х(ж, ¿) не являются непрерывными функциями, это равенство может не выполняться на множестве положительной меры [8].
Для классического решения задачи (1)-(3) по необходимости должны выполняться условия:
1) гладкости: <(ж), <'(ж) абсолютно непрерывны;
2) согласования: <£>(0) = <£>(1) = 0.
Задача (1)-(3), в которой функции <(ж), <'(ж) абсолютно непрерывны, <(0) = <(1) = 0 и ищется классическое решение, называется классической начально-граничной задачей.
В случае = -1, ш2 = 1 имеем рг = 0, р2 = —1 и уравнение (1) является простейшим уравнением колебания струны
«хх — «й = 0.
В [3, 4] рассматривался именно такой случай.
Результаты, излагаемые в настоящей статье, относятся к общему случаю рх € К. Интересно отметить, что из результатов статьи получается новая формула для уже полученного в [3, 4] обобщенного решения.
С задачей (1)-(3) тесно связана следующая спектральная задача
ДА)у = 0, (10)
порожденная оператор-функцией Ь(А), определяемой дифференциальным выражением с параметром А
1(у, А) := у'' + Арху' + А2р2у (11)
и краевыми условиями
их(у):= у(0) = 0, и2(у):= у(1) = 0. (12)
Пусть ДА есть резольвента оператор-функции Ь(А), а С(ж, £, А) ее функция Грина. Обозначим через ДхА интегральный оператор с ядром С(ж, £, А).
В качестве фундаментальной системы решений уравнения 1(у, А) = 0 возьмем систему решений
ух (ж, А) := еАш1Ж, у2(ж, А) := еАш2Ж. Тогда характеристический определитель Ь(А) [1, с. 26] имеет вид
Ui(yi) Ui(y2) 1 1
U2(yi) ^2(^2) gAwi gAw2
_ gAw2 _ еЛш1
Д(А) =
и его корни, очевидно, есть числа
2кП , . .
Ак =-, к = 0, ±1, ±2,.... (13)
Ш - Ш
Эти числа, кроме точки А0 = 0, являются простыми собственными значениями Ь(А). Число А0 = 0, как легко проверить, не является собственным значением.
Обозначим через 7к окружности {А : |А — Ак| = 5}, где 5 > 0 и настолько мало, что внутри 7к находится по одному собственному значению.
Результат данной статьи будет вытекать из результата, даваемого следующей теоремой единственности для классического решения и представления его рядом (полная версия теоремы опубликована в [9]).
Теорема 2. Если и(ж,£) есть классическое решение задачи (1)-(3) с условием (4) и дополнительно выполняется условие ии € ) (здесь QT = [0,1] х [0, Т]) при
любом фиксированном Т > 0, то это решение единственно и находится по формуле
и(ж, £) = 2^ ^ У ( — Рхе^ЯхА + Р2вА4АД^ ^ ^А, (14)
к Тк
в которой ряд сходится равномерно по ж € [0,1] при любом фиксированном £ > 0.
3. Определение обобщенного решения
Теорема 2 говорит о том, что формальный ряд (14) и начально-граничная задача (1)-(3) тесно связаны, а именно, если эта задача имеет классическое решение, то для него справедлива формула (14). При этом функция <(х) должна удовлетворять условиям 1)-2). Аналогично [3, 4] расширим понятие этой связи.
Можно заметить, что ряд в (14) имеет смысл для любой функции <(х) Е Ь1[0,1], хотя теперь он, вообще говоря, может быть и расходящимся. Будем считать, что этот ряд является формальным решением задачи (1)-(3), когда <(х) Е Ь1[0,1]. Как уже отмечалось, в этом случае задача (1)-(3) понимается чисто формально.
Эту задачу (1)-(3) в случае <(х) Е Ь1 [0,1] мы назвали ранее обобщённой начально-граничной задачей. Назовем ряд справа в (14) обобщенным решением этой задачи.
Можно попытаться найти сумму этого ряда, используя обычные правила анализа и накладывая дополнительно те или иные ограничения на начальную функцию <(х), обеспечивающие сходимость этого ряда к некоторой сумме, понимаемой в классическом смысле по Коши как предел последовательности частичных сумм. А затем, найдя эту сумму, попытаться ослабить наложенные ограничения на <(х).
Но можно, как ив [3, 4], использовать другой подход, упростив тем самым выкладки и при этом не накладывая никаких дополнительных ограничений на <(х), кроме того, что <(х) Е Ь1[0,1]. А именно, можно трактовать ряд справа в формуле (14) изначально как расходящийся (даже если он и сходится) и соответствующим образом определить (или, другими словами, назначить) «сумму» этого ряда («сумма» в кавычках означает, что это сумма именно расходящегося ряда).
Таким образом, найти решение обобщенной начально-граничной задачи (1)-(3) — значит определить (или назначить) «сумму» ряда справа в (14).
Далее будет показано, что с использованием только аксиом (А)-(В) без использования обычного определения суммы ряда по Коши, как предела его частичных сумм, ряд справа в (14) сводится к сумме конечного числа рядов вида
а функции /(х) Е Ь1[0,1] выражаются по простым формулам через функцию <(х) и суммируемы в том и только в том случае, когда суммируема функция <(х).
4. Определение «суммы» расходящегося тригонометрического ряда
1
(15)
Таким образом, чтобы найти формулу для обобщенного решения, необходимо определить «сумму» ряда (15). Важную роль в этом играет теорема Лебега об интегрировании тригонометрического ряда [7, с. 277, теорема 3]. Нам эта теорема потребуется в следующей формулировке.
Теорема 3 (Лебега об интегрировании тригонометрического ряда). Пусть на промежутке [0,1] задана суммируемая функция f (ж), имеющая ряд (15) своим рядом Фурье. Если [А, В] С [0,1], то
Доказательство этой теоремы без особых затруднений получается из доказательства соответствующей теоремы, приведенной в [7, с. 277].
После формулировки этой теоремы в [7, с. 277] отмечено: «Иначе говоря, ряд Фурье суммируемой функции можно почленно интегрировать. Этот факт весьма замечателен, поскольку сам этот ряд может и не сходиться».
По сути эта теорема разрешает для тригонометрического ряда переставлять суммирование и интегрирование, даже если ряд расходится. Ввиду этого, как уже выше отмечалось, в [3, 4] было предложено дополнить сформулированные выше три аксиомы (А)-(В) для расходящихся рядов правилом (8).
Используя теорему 3, можно определить «сумму» расходящегося ряда (15).
Лемма 1. Если (15) есть ряд Фурье функции f (ж) € ^[0,1], то «сумма» ряда (15) есть функция f (х).
Доказательство. Доказательство этой леммы почти дословно повторяет доказательство аналогичного результата из [3]-[4].
В самом деле, пусть «сумма» ряда (15) при х € [0,1] есть какая-то функция д(х) € Ьх[0,1] (мы ограничиваем себя именно суммируемыми функциями). Тогда в соответствии с правилом (8) имеем
в
в
x
1
x
| g(n) dn = £ (/ f (t)e-2fcni? dt) J
e2k™' dn.
(16)
0
0
0
По теореме 3 ряд в (16) сходится при любом х € [0,1] и его сумма есть
1 x x
1
(17)
Таким образом, из (16) и (17) получим, что
X X
У д(п) ¿п = ^ /(п) ¿п.
0 0
А отсюда следует, что д(х) = /(ж) для п. в. х € [0,1], то есть функция /(ж) является «суммой» ряда (15). Лемма доказана. □
Утверждение леммы 1 вполне согласуется с идеей Эйлера [5], что «сумма некоторого бесконечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд».
Описанный метод получения «суммы» расходящегося тригонометрического ряда (15) является «регулярным» [6], так как для сходящихся рядов эта «сумма» совпадает с обычной суммой ряда, то есть с функцией /(х).
5. Конечная формула для обобщенного решения
В этом разделе доказывается сформулированная выше основная теорема 1 о конечной формуле (6) для обобщенного решения. Исходим из формулы (14), которую запишем в виде
1
и(ж,*) = 21гёЕ/(еА4/(-^(х,£,лыс) + лР2с(х,£,Амо)<%)¿А, (18)
к Тй о
Для функции Грина С(х, £, А) имеет место представление
С(х, £, А) = _1_|"еА(^1Х+Ш2(1-0) — еАшх(х+1-0 + еА(ш1(1-§)+Ш2х)_
Л(^2 — )Д(А) V
— еА(ш1+ш2(х-^)Л — - /еАШ1(х-?)х(х — £) + еАш2 (х-«)х(£ — х)),
) Л(^2 — ) V /
1
Л(^2 — )Д(А)
1
Л(^2 — ^1)
где х(х) — функция Хевисайда (х(х) = 1 при х > 0, и х(х) = 0 при х < 0). Для доказательства потребуются две леммы.
Так как числа Ак, к = ±1, ±2,..., определяемые формулой (13), являются простыми полюсами функции Грина С(х, £, А), то для вычетов от функций С(х, £, А) и (х, £, А) справедливы формулы, даваемые следующей леммой.
Лемма 2. Справедливы формулы
1
гк(х, £) := гев С(х, £, А) = -—--- (еАйШ2х — е^1 х) (е-Ай— е-АйШ2^, (19)
г1к(х, £) :=гев С*(х, £, А) = —-- (еА^2х — еАйШ1х) (^е-Ай— ^2е-Ай. (20)
Ай (^2 — ^)2 V /V )
Доказательство леммы получается непосредственным подсчетом по формуле для вычета отношения двух целых функций в случае простого полюса [10, с. 417].
В следующей лемме даются формулы преобразования интегралов от e-AkWj^f (C), j = 1, 2, к коэффициентам Фурье по тригонометрической системе {e2knix} некоторых преобразований функции f (C), таких, что эти преобразованные функции суммируемы на [0,1], если суммируема на [0,1] функция f (C).
Лемма 3. Если f (x) G Lx[0,1], то справедливы формулы
1 1
| e-Ak^f (0 dC = - ^f1 J e-2fcni?f *(C) dC, (21)
0 0
1 1
| e-Akt^f (C) d£ = ^¡f1 J e-2kniCf (C) dC, (22)
0 0
где обозначено
г«)=f o>i -^ с g r;),f.(c)=i f(a), сe (23)
l ЧТ—"^J, C G 1,1 f0, C G [a, 1].
Доказательство этой леммы получается в результате соответствующих замен переменных под знаками интегралов.
Перейдем теперь к непосредственному доказательству теоремы 1. Используя обозначения леммы 2, из (18) получим
1
u(x, t) = Y. j (eAt ( - PiG(x, с, AMC) + Ap2G(x, C, AMC))) dC = k 0
1
= E / (eAk' ( - Pink(x, C) + Ak^r-k(x, C)) <p(C)) dC. (24)
k0
На основании формул (19)-(20) леммы 2, а также аксиом (А)-(Б) из (24) будем иметь
u(x,t) = V (eAk(i+W2x) - eAk(i+Wlx)
(x,t) = Y^ (eAk(i+W2x) - eAk(i+Wlx)) x / i
( [ if Pi^i + AkP2 \
\J \1(W2 - Wi)2 2fcni(^2 - Ui)J 0
( р1=2 + Ак р2 А-Ай
) е-Ай<?(£) ¿И .
. (=2 — =^2 2кпг(=2 — ш1)/ у /
Отсюда, используя формулы Виета: р1 = — (= + =2) и р2 = =].=2, найдем
„(х,£) = ^ (еАй(4+Ш2х) — еАй(4+Ш1х)) х
1 1
х ( — (а*/ е-Л> " 1 « + / е-л> * *(£)«) =
00 1 1 =1 / _ еАй(*+.2х) т(£)е-Ай¿£ _ еАй(*+Ш1х
( — X] еАй(4+Ш2х) J ^(£)е-АйШ1?¿£ — ^ еАй(4+Ш1х^ ^(£)е-АйШ1?+
(=2 — =1)2
к0 1 1
2 1 к 0 к 0 Далее применяем лемму 3 и аксиому (А). В результате получим
к 0 к 0
„(х,*) = С ^е2^%% I ^(£)е-2к™? ¿£—£ е2кп^ | ^(£)е-2к-? ¿А +
\ к о к о '
+ ( Ее2кПг — / ^*(£)е-2кпг? ¿£ — ^ | *,,(£)е-2кп? ^ .
\ к о к о '
Теперь, чтобы получить конечную формулу для обобщенного решения, воспользуемся леммой 1 для определения «сумм» рядов, стоящих справа. Так как функция е2кпгх есть 1-периодическая функция, то в результате получим следующее представление для правой части последней формулы для п. в. (х, £) € Q
И(х,4) = („• ((1±=£ } ) — (7 } )) +
=2 — =1 у V I =2 — =1 ) ; V I =2 — =1 J ) )
+ ({ ^^ \ \ — ({} V),
=2 — =1 у \ I =2 — =1 ) ) \ I =2 — =1 J У у
где {х} обозначает дробную часть числа х € К. Эту формулу можно записать в виде
„(х,^ ((ш ({} ) + ({ ^ ) —
=2 — =1 у у \ I =2 — =1 ) / \ I =2 — =1 J ) у
- и±ч{<25)
Используя формулы (23) леммы 3, получим более простое представление для комбинации функций, стоящих в скобках в (25)
а), е е [0,а); )+ -2<(0 = < >1 - = ф гЧ т-а! е € [а,1];
где именно та функция, которая была определена в формулировке теоремы 1 формулой (7).
С учетом этого формулу (25) можно записать в виде
«(М) = — (У{^)) -£±*£))), (26)
-2 - -1 ^ V 1^2 - -1 ) ; V 1^2 - -1 J ) )
а это и есть формула (6) из формулировки теоремы 1.
Таким образом, основная теорема 1 настоящей статьи доказана. Для сравнения целесообразно привести следующий результат о формуле для классического решения из [9].
Теорема 4. Пусть выполняется условие (4). Для того, чтобы задача (1)-(3) имела единственное классическое решение, необходимо и достаточно, чтобы функции <(х) и <'(х) были абсолютно непрерывны, <''(х) € Ь1[0,1] и <£>(0) = <£>(1) = 0. При этом решение и(ж,£) определяется формулой (6) (или (26)).
Следовательно, и классическое и обобщенное решения выражаются одной и той же формулой. Этот факт подтверждает правильность изложенного подхода получения формулы (6) для обобщенного решения.
6. Краткая историческая справка
Восстановить полную историю исследований начально-граничной задачи (1)-(3) довольно трудно, так как очень много математиков рассматривали такую задачу на протяжении долгого времени под разными углами зрения и использовали разные методы.
Тем не менее, для полноты картины приведем некоторые исторические факты, которые в какой-то мере близки к обсуждаемым проблемам. Некоторые работы и авторы уже цитировались в процессе изложения.
Уравнение (1) является уравнением поперечных колебаний продольно движущейся конечной струны. Такие уравнения актуальны для производственных процессов, связанных с продольным движением материалов (например, бумажного полотна).
Исследование таких колебаний началось около 60 лет назад в работах [11]-[13].
Излагаемые в настоящей статье результаты получены с использованием второго из двух подходов к решению начально-граничных задач для волнового уравнения в полуполосе плоскости, предложенных А. П. Хромовым.
Первый подход, который можно назвать резольвентным, был применен впервые к решению начально-граничных задач для волнового уравнения в [14] и получил развитие в статьях [15]—[16]. Этот метод связан с разбиением формального решения на части, следуя рекомендациям А. Н. Крылова [17, гл. VI] по ускорению сходимости рядов Фурье
В дальнейшем А. П. Хромов дополнил резольвентный метод подходом, связанным с расходящимися рядами формальных решений. Расходящиеся ряды рассматриваются в понимании Л. Эйлера [5]-[6], который, как уже было отмечено выше, является основоположником суммирования расходящихся рядов. Такой подход был первоначально рассмотрен в [18], а затем получил развитие в работах [19]-[21]. Иногда такой подход называют аксиоматическим.
Наиболее просто второй подход А. П. Хромова описан в краткой статье [3], которая уже цитировалась. Развернутое изложение этой статьи, как уже было отмечено, дано в [4].
Историю формирования и развития этого метода, а также полученные с помощью этого метода результаты можно найти в указанных и других работах А. П. Хромова (например, в [22]).
Аналогичный подход к решению смешанных задач в полуполосе плоскости для телеграфного уравнения при других краевых условиях использовал И. С. Ломов. Одними из последних его работ являются статьи [23] и [24].
Другой подход, отличный от используемого А. П. Хромовым и И. С. Ломовым и при других постановках начально-граничных задач, получил развитие в работах Ф. Е. Ломовцева. Одна из последних его работ есть статья [25].
Рассматривались и другие задачи для уравнения (1). Например, задача гашения поперечных колебаний продольно движущейся струны исследовалась в статье [26].
Заключение
В работе исследована начально-граничная задача для однородного гиперболического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и смешанной производной в полуполосе плоскости.
Рассмотрен случай нулевой начальной скорости и закрепленных концов (условия Дирихле). Предполагалось, что корни характеристического уравнения простые и лежат на вещественной оси по разные стороны от начала координат.
Сформулирован и доказан основной результат статьи, а именно, теорема о конечной формуле для обобщенного решения на основе предложенного А. П. Хромовым аксиоматического подхода. Главное достоинство этой формулы состоит в том, что в ней не требуется какое-либо предварительное продолжение начальной функции за пределы отрезка ее определения. Полученная формула для обобщенного решения совпадает с соответствующей формулой для классического решения.
В частном случае простейшего уравнения колебания струны эта формула для обобщенного решения имеет другой вид, если сравнивать с формулой, полученной ранее А. П. Хромовым.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. — M.: Наука, 1969. — 528 с.
NAIMARK, M. (1969) Linear differential operators. Moscow: Nauka.
2. Рыхлов, В. С. Разрешимость смешанной задачи для гиперболического уравнения с распадающимися краевыми условиями при отсутствии полноты собственных функций // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. — 2022. — 204.. — C. 124-134.
RYKHLOV, V. S. (2022) Solvability of a mixed problem for a hyperbolic equation with splitting boundary conditions in the absence of completeness of eigenfunctions. Results of science and technology. Series Modern mathematics and its applications. Thematic reviews. 204. Pp. 124-134.
3. Хромов, А. П. Расходящиеся ряды и обобщенная смешанная задача для волнового уравнения // Современые проблемы теории функций и их приложения: материалы 21-й междун. Саратовской зимней школы. — Саратов: Саратовский университет, 2022. — C. 319-324.
KHROMOV, A. P. (2022) Divergent series and generalized mixed problem for wave equation. Modern problems of the theory of functions and their applications: materials of the 21st International Saratov Winter School. Saratov: Saratov University. Pp. 319-324.
4. Хромов, А. П. Расходящиеся ряды и обобщенная смешанная задача для волнового уравнения простейшего вида // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. - 2022. - 22(3). - C. 322-331.
KHROMOV, A. P. (2022) Divergent series and generalized mixed problem for the wave equation of the simplest kind. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics. 22 (3). Pp. 322-331.
5. Эйлер, Л. Дифференциальное исчисление / Л. Эйлер. — М.; Л.: ГИТТЛ, 1949. — 580 с.
EULER, L. (1949) Differential calculus. Moscow; Leningrad: GITTL (State Publishing House of Technical and Theoretical Literature).
6. Харди, Г. Расходящиеся ряды / Г. Харди. — M.: Изд-во иностранной литературы, 1951. - 505 c.
HARDY, G. (1951) Divergent series. Moscow: Foreign Literature Publishing House.
7. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон. — M.: Наука, 1974. - 480 c.
NATANSON, I. (1974) Theory of functions of a real variable. Moscow: Nauka.
8. Толстов, Г. П. О второй смешанной производной // Матем. сб. — 1949. — 24(66). — C. 27-51.
TOLSTOV, G. P. (1949) On the second mixed derivative. Sbornik: Mathematics. 24(66) (1). Pp. 27-51.
9. Рыхлов, В. С. Решение начально-граничной задачи для уравнения гиперболического типа со смешанной производной // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 21-й междун. Саратовской зимней школы. — Саратов: Саратовский университет, 2022. — C. 252-255.
RYKHLOV, V. S. (2022) Solution of the initial-boundary problem for an equation of hyperbolic type with a mixed derivative. Modern problems of the theory of functions and their applications: materials of the 21st International Saratov Winter School. Saratov: Saratov University. Pp. 252-255.
10. Маркушевич, А. И. Теория аналитических функций. Том 1. Начала теории / А. И. Маркушевич. — M.: Наука, 1967. — 488 c.
MARKUSHEVICH, A. I. (1967) Theory of analytic functions. Vol. 1. Beginnings of the theory. Moscow: Nauka.
11. ARCHIBALD, F. R. & EMSLIE, A. G. (1958) The vibration of a string having a uniform motion along its length. Journal of Applied Mechanics. 25 (1). Pp. 347-348.
12. MAHALINGAM, S. (1957) Transverse vibrations of power transmission chains. British Journal of Applied Physicss. 8 (4). Pp. 145-148.
13. SACK, R. A. (1954) Transverse oscillations in traveling strings. British Journal of Applied Physics. 5 (6). Pp. 224-226.
14. Бурлуцкая, М. Ш., Хромов, А. П. Резольвентный подход в методе Фурье // Докл. РАН. — 2014. — 458(2). — C. 138-140.
BURLUTSKAYA, M. Sh. & KHROMOV, A. P. (2014) Resolvent approach in Fourier method. Doklady Mathematics. 458 (2). Pp. 138-140.
15. Бурлуцкая, М. Ш., Хромов, А. П. Резольвентный подход для волнового уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2015. — 55(2). — C. 229-241.
BURLUTSKAYA, M. Sh. & KHROMOV, A. P. (2015) Resolvent approach for wave equation. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 55 (2). Pp. 229-241.
16. Хромов, А. П. Поведение формального решения смешанной задачи для волнового уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2015. — 56(2). — C. 239-251.
KHROMOV, A. P. (2015) The formal solution behavior of the mixed problem for the wave equation. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 56 (2). Pp. 239-251.
17. Крылов, А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах / А. Н. Крылов. — M.; Л.: ГИТТЛ, 1950. — 368 c.
KRYLOV, A. N. (1950) About some differential equations mathematical physics having applications in technical matters. Moscow; Leningrad: GITTL (State Publishing House of Technical and Theoretical Literature).
18. Хромов, А. П. Расходящиеся ряды и функциональные уравнения, связанные с аналогами геометрической прогрессии // Современные методы теории краевых задач: материалы междун. конференции: Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения» — XXX. — Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2019. - C. 291-300.
KHROMOV, A. P. (2019) Divergent series and functional equations related to analogues of a geometric progression. Modern methods of the theory of boundary value problems: Proceedings of the Intern. conference: Voronezh Sping Mathematical School "Pontryaginskie reading" XXX. Voronezh: VSU Publishing House. Pp. 291-300.
19. Хромов, А. П. О классическом решении смешанной задачи для однородного волнового уравнения с закрепленными концами и нулевой начальной скоростью // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Матем. Мех. Инф. - 2019. - 19(3). - C. 280-288.
KHROMOV, A. P. (2019) On the classical solution of mixed problem for a homogeneous wave equation with fixed ends and zero initial speed. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics. 19 (3). Pp. 280-288.
20. Хромов, А. П. Расходящиеся ряды и смешанная задача для волнового уравнения // В сб.: Математика. Механика / Вып. 21. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2019. - C. 62-67.
KHROMOV, A. P. (2019) Divergent series and mixed problem for the wave equation. In: Mathematics. Mechanics. Issue 21. Pp. 62-67.
21. Хромов, А. П. Расходящиеся ряды и метод Фурье для волнового уравнения // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 20-й междун. Саратовской зимней школы. — Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2020. — C. 433-439.
KHROMOV, A. P. (2022) Divergent series and Fourier method for wave equation. Modern problems of the theory of functions and their applications: materials of the 20th International Saratov Winter School. Saratov: LLC Publishing House "Scientific Book". Pp. 433-439.
22. Хромов, А. П., Корнев, В. В. Расходящиеся ряды в методе Фурье для волнового уравнения // Тр. ИММ УрО РАН. - 2021. - 27(4). - C. 215-238.
KHROMOV, A. P. & KORNEV, V. V. (2021) Divergent series in the Fourier method for wave equation. Proceedings of IMM UBr RAS. 27 (4). Pp. 215-238.
23. Ломов, И. С. Новый метод построения обобщенного решения смешанной задачи для телеграфного уравнения // Вестн. Моск. ун-та / Сер. 15. Вычисл. матем.и киберн. — 2022. — (3). — C. 33-40.
LOMOV, I. S. (2022) A new method for constructing a generalized solution mixed problem for the telegraph equation. Vestn. Moscow university. Ser. 15. Calc. Mathematics and Cybern (3). Pp. 33-40.
24. Ломов, И. С. Построение обобщенного решения смешанной задачи для телеграфного уравнения: секвенциальный и аксиоматический подходы // Дифференциальные уравнения. — 2022. — 58(11). — C. 1471-1483.
LOMOV, I. S. (2022) Building a generalized solution of a mixed problem for the telegraph equation: sequential and axiomatic approaches. Differential Equations. 58 (11). Pp. 1471-1483.
25. Ломовцев, Ф. Е. Глобальная теорема корректности первой смешанной задачи для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами на отрезке // Проблемы физики, математики и техники. — 2022. — 1(50). — C. 62-73. LOMOVTSEV, F. E. (2022) Global correctness theorem the first mixed problem for the general telegraph equation with variable coefficients on the segment. Problems of physics, mathematics and technology. 1 (50). Pp. 62-73.
26. Муравей, Л. А., Петров, В. М., Романенков, А. М. О задаче гашения поперечных колебаний продольно движущейся струны // Вестник Мордовского ун-та. — 2018. — 28(4). — C. 472-485.
MURAVEY, L. A., PETROV, V. M. & ROMANENKOV, A. M. (2018) On the problem of damping transverse oscillations longitudinally moving string. Bulletin of Mordovian University. 28 (4). Pp. 472-485.
