CC BY
9
Пространство Невязка Погрешность
8,9е-01 6,15е-01
IV3г 9,2е-01 6,59е-01
6,17е-01 4,41е-01
Ж52 4,27е-01 3,05е-01
3,15е-01 2,21с-01
1,87е-01 1,18е-01
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
#
1. Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы численного решения и исследования. Новосибирск: Наука, 1998.
2. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Ь. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. М.: Эдиториал УРСС\ 1999.
3. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.
4. Горбунов В.К. Редукция линейных интегральных уравнений с равномерной погрешностью в правой части // ЖВМ и МФ. 1985. Т. 25. № 2. С.210-223.
5. Горбунов В.К. Метод нормальной сплайн-коллокации // ЖВМ и МФ. 1989. Т.29. №2. С.212-224.
6. Горбунов В.К. Экстремальные задачи обработки результатов измерений. Фрунзе: Илим, 1990.
7. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.
8. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1986.
9. Горбунов В.К., Петрищев В.В. Метод нормальных сплайнов в вырожденных системах дифференциальных уравнений // Ученые записки УлГУ. Сер. «Фундаментальные проблемы математики и механики» Вып. 3. Ульяновск, 1997. С.125-132.
10. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
11. Арошдайн Н.Теория воспроизводящих ядер // Сб. «Математика». 1963. Т.7. Вып.2. С.67-130.
Горбунов Владимир Константинович, доктор физико-математических паук, профессор кафедры «Прикладная математика» Ульяновского государственного университета, окончги1 факультет общей и прикладной физики Московского физико-технического института. Имеет монографии и статьи в области теории и численных методов оптимального управления, нелинейного программирования и некорректно поставленных задач.
Петрищев Вячеслав Владимирович, аспирант Ульяновского государственного университета, окончил механико-математический факультет Ульяновского государственного университета, имеет публикации в области численных методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.
УДК 517.988.67 И. В. К0Н0Г1 ЛЕВА
ОБОБЩЕННАЯ ЖОРДАНОВА СТРУКТУРА И ТЕОРЕМА ГРОБМАНА-ХАРТМАНА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ФРЕДГОЛЬМОВЫМИ ОПЕРАТОРАМИ1
Доказаны варианты теоремы Гробмана-Хартмана для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным фредгольмовым оператором при производной.
Пусть Ех и Е2 банаховы пространства, А: Е] з ЭА -> Е 2, В: Ех => Е2
плотно заданные замкнутые линейные фредгольмовы операторы, где ВИ сД, и А подчинен В (т.е. || Ах\\<\\ 5л:|| на Вр) или ВА аО„ и В подчинен А (т.е. || Вх\\<\\ Ах\\ на ПА). Рассматривается дифференциальное уравнение , .
А— = Вх~И(х), Я( 0) = 0, 7?х(0) = 0. (1)
Ж
#
Цель этого сообщения - доказать теорему Гробмана-Хартмана [1,2] для уравнения (1).
1. Предполагается, что для подпространств нулей операторов А и В
М(А) = $рап{ф[,...,фП1},ЬТ(В) = зрап{$11У...ууп} и дефектных подпространств ♦ А А *
Ы\А)~храп{у/х,...уу/т}^ {В)-8рап{у/^...,у/п} биортогональные системы
>=<>„ выбраны так, что выполняются следующие условия биортогональности [3,4] для соответствующих жордановых цепочек
({ф^}, * = и*/, ¿ФУ = < ф\х),>= 0, »9 = = 1,..,/*,
<(р\*\У] >=0, = >]*0; для со-
пряженных оператор функций А -ЛВ и
В -уА
жордановы цепочки
= = и {^Ь^ = 1,у = 1,...,« определяются ана-
логично):
¿Г = /Д = 1,
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ грант № 0101-0019
Вестник УлГТУ 3/2001
Соотношения (2), (3) позволяют ввести [3,4] проекторы на корневые подпространства
= = &тК(А;В)-к орневое число
1=1
для А - ЯВ) и К(А\В) = зрап^р^}(кв = ]Г р{ - корневое число для В - /¿4):
/=1
т ъ
р=ЕЁ< •"9//) > =< > Ф-Ех -> ^ = * (4
С=1 У=1
q = l£< £<Л =<;Y>£:E2-> EUa = },
'=U=V ' 44)
i=i у=1
Q = £ Z < У' Р> ^ =<;V>Z:E2-> EUb = }
/=1 7=1
т
(где ^ = C^i0^---^/71 векторы и i/, z определены
аналогично), которые порождают разложения в прямые суммы Ех = Et* 4 ЕГкл, Ег = 4- ЕМл;
= Е[° 4- > = Еив 4 Я2>и_Ав .
Выполняются свойства р, q и Р, Q - сплетения
Ар = qА на Дь Bp = qB на BY = Q£ на АР = QA на DA (6)
Здесь
НА) а Е**, АЕЬ с Е2>кл, А(Е*~кл п Ол) с ЕМл,
М(В)аЕГкА, BE^czEUa, В(Е^ nDJcE^,
1 "I
^ = = отображения
Л: Е^~кл п £>л -» ^200-А являются взаимно однозначными. Аналогично, one-
* /I
раторы В и Л действуют в инвариантных парах подпространств и
(7)
и также В = Я , Л: -±EUb являются изо-
морфизмами.
2. Предполагается, что для Л-спектра сгА(В) оператора Я Re сгА(В)Ф 0 и
спектральные множества аА(В) = [jjeaA{B)\ Re//<0} и а\(£)=
={// е crA(B) | Re// > О} отстоят от мнимой оси на некоторое расстояние d> 0.
•1 .
Все решения соответствующей (1) линейной задачи Коши
А^ = Вх, х(0) = х0 (8)
Си
лежат в Е* кл и (8) разрешимо тогда и только тогда, когда х0 е Е™ к
т д,
Действительно,подстановка х = и + б>(/) = XX^(ОФ^ е •>^(0 € Е\~кл >
М
сводит (8) к системе
~ ^ = ,1 = 1,.., = = Вм>. (9)
дх Уу а/
Обобщая теорему Гробмана-Хартмана, будем следовать работе [1]. Пусть
определены пространства Вк, к = 1, 2, с нормами 1рафика:
1°. ВваВА и |лЬс|| <||.йх:|| длях е А = А? с нормой Цх^ =||*||£ + ||Дх|| € Ль
2°. ВАаВв и ||5х|| <ЦлЬсЦ длях е В2 = ВА с нормой ||х|[2 = ||л|| + ||Лх||£ е В2;
и вводятся пространства Гяь ^ь ограниченных равномерно
непрерывных функций ДО на [0, со) со значениями соответственно в Вк,
Вк п Е™~кл 9 Екл, Е2,Е2^к ,Е2кл и Бир-нормами на соответствующих про-странствах, а таюке пространства
К = {/(0 е I ДО 64), II ДО |Ь = тах{|| /(01|^, || ДО }.
Пусть оператор А В ограничен в Хк\ (для случая к - 1 это очевидно). Тогда оператор
А х = Ах-Вх , (10)
действующий из Х1к0 в Ук0 является линейным и непрерывным с Хк2 с N(A).
Обозначим А=> ={начальные условия решений уравнения (8), которые определены и лежат в малой окрестности нуля в Вк для t е [0,+со)} и ик =
={ начальные условия решений уравнения (8), которые определены и лежат в малой окрестности нуля в Вк для /е(-оо,0]}. Из (10) следует, что
—1 —1
+ ик пВк. Тогда равенство аА(В) = сг(А~1В) позволяет опреде-
1 - -
лить проекторы Р~и = — \(А~]В-/Л ис!^ (у - контур в рА(В), со-
2т *
держащий внутри себя точки р есгА(В)с Яе // < 0), и =1 - Р - Сле-
Щ
довательно ,Вк = ££ + £>А° + В\, = Е\А, £>* = Р*!)*. Оператор А является нетеровым [3] с 7?(А) = и
МА) = {/(0 6 Х\01 ДО = ехр(Л-ГВ0Р-/(0) б + {/(0 € <
= М,(А)+ Л2(А) для I > 0
V)
(N( А) = |/(0 e X\01 f(t) = exp (A ~]Bt)P+f(Q) G^ji {/(O e } для í < 0).
Полагая теперь л: = у + z + и, z е D¡ , и е Z)A°= , у можно записать уравнение (1) в виде ( w = у + z в (9))
Az =R(z+y+ и), (Ау = /?(у + z+ и)) (И)
и применить теорему о неявных операторах к (11), считая у, v, (z, и) функциональными параметрами (теоремы 22.1 и 22.2 в [3] для непрерывного и аналитического оператора R соответственно). Отсюда следует, что (11) имеет достаточно гладкое или аналитическое (соответственно свойствам оператора R) решение в некоторой окрестности нулевых значений параметров;;, L>,(Z, ü)
z = z(y + v), z(0) = 0 = Dz(0) (у = y(z + и\ у(0) = 0 = Dy(0)). (12)
Таким образом, верно следующее обобщение теоремы Гробмана-Хартмана [1,2].
Теорема 1. Существует окрестность со~(сол ) нуля в DA° + D~¡. (D°k + D¡) и достаточно гладкое отображение zR = zR (£, r¡) = zy< (£ • ^ + 7): со~ -» D¿,
e А" (У*0 = + D¡такое, что
a)zR(0,0) = 0,D^(0,0) = 0, D^(0,0) = 0 (^(0,0) = 0, D4yR(0,0) = 0,
1 k ■/<
= b) для любого решения x(t) (1) с начальным значением *(0 ) = + + zR(%-<f> + ri) (х(0 ) = £-ф + Уц(!;-ф + £) + С имеем
= zR Ш ■ ф + Х0) е D¡ для t> 0 (y(t) = yR (/) • ^ + *(/)) е ££ для í < 0 ),
с) любое решение x(t) (1) с начальным значением из Ь) имеет вид x(t) = т • ф + y(í) + ZR(£(t) ■ ф + y(t)) (X(t) = • ф + yRtf(t) • ф + *(/)) + 2(0),
стремится к нулю, когда t -» +со (/ -оо), и принадлежит, соответственно, локально устойчивому многообразию Sk(R) {локально неустойчивому многообразию Uk(R)).
Записывая уравнение (1) в р, q-проекциях и используя теорему 1, можно получить систему для определения (так называемую раз-
решающую систему (РС) для уравнения (1) [4,5] ). Здесь x(t)=£{t)^ + w(t\ где w(0= Я')+ zR{$(t)- ф + y(t)) Для />0 и w(t) = yR {¿;(t) ■ ф + z(t)) + z(t) для t < 0
A— = Bw-(IDk-q)R(t^ + w) (13)
4(°)=4>
Следовательно, многообразие ^(7?)= {начальные условия решений уравнения (1), которые определены и лежат в малой окрестности 0еВк для / е [0,+оо)} (многообразие ик(я)= {начальные условия решений (1), которые определены и лежат в малой окрестности 0еЭк для ?€(-оо,0]}) имеет вид
и £ мало.
Замечание 1. Определенное функцией % -ф + ?] + -ф + ?]) для I > 0 *ф + Ун{<э -ф + С) + С для t < О) инвариантное многообразие М можно считать центральным многообразием (£ • ф е Вк), нетривиальный для уравнения (1) дао\се если {/л е аЛ{В)| Ке р = 0} = 0. Здесь {<!;- ф) может быть названо линейным центральным многообразием, касательным к М. Можно сказать, что М имеет гиперболическую структуру. Тогда разрешающая система (14) представляет собой дифференциально-алгебраическую сис-тему на М. Конечно, если оператор А обратим, то М г/ система (14) отсутствуют, т.е. в теореме Гробмана-Хартмана /"7, 2].
Теорема 2. Пусть операторы А, В и Я в (1) сплетаются представлениями группы С (действующими в Е\) и К^ (действующими в Е?) и выполняется условие I (прямые дополнения Е™~т к И(А) и Е^~п к АЦВ) инвариантны
относительно Ь8). Тогда центральное многообразие М инвариантно относительно операторов Ь8.
Действительно, соответственно [5] проекторы р, Р(я,<2) коммутируют с операторами (Кё) и инвариантные пары подпространств приводят представления
Интересен случай, когда (В) = 0. Тогда Ик = Ик + £>£, *(/) = £(/) -ф + у(0 и центральное многообразие имеет вид £(/) • ф + >>(£(0 • ф). Здесь уравнение (13) дает
лу'т• фШ-ф\=вУт-Ф)+(1-ч)«• Ф+Ут■ ф)\ (15)
у(0) = о, У(0) = 0.
В комбинации с (14) это дает возможность определения центрального многообразия • ф) = • ф + у(£(?) • последовательными приближениями при условии достаточной гладкости оператора • . Однако на этом
пути возникают существенные трудности, связанные с тем фактом, что сис-тема (14) является дифференциально-алгебраической, т.е. дифференциальные уравнения для функций £„(/), / = отсутствуют. Можно найти
у(£ • ф)> последовательно дифференцируя первое уравнение (14).
Замечание 2. Теорема 1 и все следствия остаются верны для уравнения, зависящего от параметра
dx
А— = Вх-R(x, Л), R(0, Л) = О, Rx(0, 0) = 0, (16)
dt ' 1 J 1 4 i1 м
(Я еЛ, Л - некоторое банахово пространство) в малой окрестности Л = О, где, кчятс w ранее, Кестл(2?) ^ 0, т.е. Л = 0 не является точкой бифуркации.
Однако все функции w, zR и yR будут зависеть от малого параметра ¿г.
3. Рассмотрен также вариант теоремы Гробмана-Хартмана при зависимости R от малого параметра Л, а также простейший случай, когда <у\ (В) = 0,
но а°А(В) содержит конечное число 2л = 2я, +... + 2пе А -собственных значений ± as кратностей v,s = l9...9i,as= к sas,а * 0 с взаимно простыми к s > 0 и (или) нулевым собственным значением. Предположение об ограни-
ченности оператора А В в пространстве^, позволяет доказать вариант теоремы для отображений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Д »I
1. Hale J. Introduction to dynamic bifurcation in Bifurcation Theory and Appli-cations. Lecture Notes in Mathematics, 1057 (1984), 106-151, Springer Verlag.
2. Iooss G., Adelmeyer M. Topics in Bifurcation Theory and Applications. Adv. ser. in Nonl. Dyn., vol. 3 (1998), World Sei. 186 p.
3. Вайнберг M. M., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 524 е.; Noordorf Int. Publ., Leyden, 1974.
4. Логинов Б. В., Русак Ю. В. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления //Прямая и обратная задачи для дифференциальных уравнепий в частных производных. Ташкент: Фан, АН УзССР, 1978. С.143-148.
5. Loginov В., Konopleva I. Symmetry of resolving systems for differential equations with
• ■ __
Fredholm operator at the derivative. Труды межд.конференции «Симметрия и ДУ», Сибирское отделение РАН, Красноярский ГУ, 24-28.8.2000, 42-46; Труды межд. конференции MOGRAN-2000, Уфа, УГАТУ, 25.09-3.10.2000 .
Коноплева Ирина Викторовна, старший преподаватель кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета, окончила физико-математический факультет Ульяновского государственного педагогического универси- • тета. Имеет публикации по функциональному анализу, дифференциальным уравнениям и
теории ветвления решений нелинейных уравнений.
4 * ^ •
9 1 *
%
УДК 519.8
В.И. ЛЕВИН
ДОПУСТИМЫЕ ПЛАНЫ ДЛЯ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ РАБОТ
Поставлена задача отыскания допустимых последовательностей выполнения заданного частично упорядоченного множества работ. Предложено ее решение, основанное на методах теории графов.
Во многих областях человеческой деятельности: в организационном управлении, управлении процессом обучения в различных образовательных системах, в управлении технологическими процессами на производстве и т.д., возникает необходимость составления временного плана выполнения имеющегося множества работ, исходя из заданной частичной упорядоченности этого множества, т.е. отношений предшествования во времени, заданных для некоторых или всех пар работ. Получаемый в результате план (упорядоченная последовательность) работ и есть тот порядок действий, который допустим для данной управляемой системы и, таким образом, может и должен быть реализован путем соответствующего управления системой.
Часто ставится задача об отыскании не оптимального, как это делается в исследовании операций [1], а лишь допустимого плана выполнения частично упорядоченного множества работ, причем с возможно меньшими затратами вычислений. В этом отношении данная задача аналогична рассмотренной ранее автором задаче о возможном времени проведения коллективных мероприятий [2]. Цель настоящей статьи - изложение нового простого метода отыскания допустимого плана выполнения частично упорядоченного множества работ, основанного на теории графов [3].
Имеется некоторое конечное множество из п работ А = {аи...,ап}, на котором задано ациклическое антитранзитивное бинарное отношение предшествования Я. При этом условие а{Яа- для произвольной пары работ [а{,а
из А означает, что работа а{ должна непосредственно предшествовать работе а., а условие а ¡На.- - что указанные работы не являются непосредственно
предшествующими друг другу. Ацикличность отношения Я означает отсутствие циклов (повторных выполнений) работ, а его антитранзитивность означает,,что а1Яа]Яак => а1-Лак для всех /,у,к. Известно максимальное число
работ К, которые могут выполняться одновременно.
Требуется построить временной план (упорядоченную последовательность) выполнения всех работ, удовлетворяющий ограничениям следующих двух видов: 1) ограничения, вытекающие из заданной попарной упорядоченности работ по отношению Я\ 2) ограничения, вытекающие из заданного
