CC BY
63
УДК 539.3
ОБОБЩЕННАЯ ТРЕХМЕРНАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ ТЕЛ. Ч. 3. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК
Ю.И. Димитриенко
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация e-mail: [email protected]
На основе трехмерных уравнений теории устойчивости упругих тел при малых деформациях выведены уравнения теории устойчивости тонких оболочек типа Тимошенко. Эти уравнения отличаются от известных эмпирически выводимых уравнений теории устойчивости иными выражениями для коэффициентов при усилиях основного (устойчивого) состояния, а также наличием моментов фиктивных сил основного состояния, которые обычно полагают нулевыми. Показано, что для классической задачи об устойчивости стержня выведенные уравнения теории устойчивости сводятся к классическому уравнению на собственные значения. Однако для более сложных оболочечных конструкций возможны отличия в уравнениях теории устойчивости и в выражении для критических нагрузок.
Ключевые слова: трехмерная теория устойчивости, теория устойчивости оболочек.
GENERALIZED THREE-DIMENSIONAL THEORY OF ELASTIC BODY STABILITY. PART 3. THEORY OF SHELL STABILITY
Yu.I. Dimitrienko
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: [email protected]
Based on three-dimensional equations of theory of elastic body stability with small deformations, the equations of theory of stability of thin shells of Timoshenko type are deduced. These equations differ from the known empirically derived equations of stability theory in different expressions for coefficients at efforts of the basic (stable) state as well as in presence of moments offictitious forces of the basic state, which typically are assumed to be zero. It is shown that for the classical problem on rod stability, the deduced equations of stability theory are reduced to the classical eigenvalue equation. However for more elaborate shell structures, the distinctions are possible in equations of the stability theory and in the expression for critical loads.
Keywords: three-dimensional stability theory, theory of shell stability.
Современные теории устойчивости оболочек, применяемые в настоящее время для расчета критических нагрузок, действующих на тонкостенные элементы конструкций, в подавляющем большинстве случаев построены на основе эмпирических или полуэмпирических соотношений для фиктивных массовых сил, обусловленных влиянием основного устойчивого состояния равновесия на бифуркационное состояние тела [1-12]. При такой методике не всегда есть уверенность в корректности получаемых выражений, особенно при комбинированных видах нагружения сложных конструкций. Подтверждение корректности получаемых соотношений теории устойчивости оболочек и
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. №2
77
возможное уточнение вида фиктивных массовых сил может быть достигнуто с использованием в качестве исходных соотношений общих трехмерных уравнений теории устойчивости. Цель настоящей работы — вывод уравнений теории устойчивости оболочек типа Тимошенко из общих трехмерных уравнений теории устойчивости, которые в свою очередь были получены из трехмерных уравнений обобщенной трехмерной теории устойчивости нелинейно-упругих тел в частях 1 и 2 данной работы [13, 14].
Основные допущения теории оболочек типа Тимошенко для устойчивого и варьированного состояний. Рассмотрим оболочку постоянной толщины h, которая является линейно-упругой ортотропной средой; главные оси ортотропии оболочки направлены по касательным к линиям главных кривизн Ха срединной поверхности оболочки (а = 1, 2). В системе ортогональных координат X* с ортогональным базисом г* уравнение срединной поверхности оболочки имеет вид X3 = 0; уравнения боковых поверхностей оболочки —X3 = ±h/2. Примем следующие основные допущения классической теории оболочек типа Тимошенко, используя обозначения, взятые из работ [14, 15].
1. Оболочка является тонкой, поэтому для параметров Ламе HY = ^/g77 оболочки можно ввести соотношения:
H3 = 1; Ha = Аа; Наз = дНа/дХ3 = kaAa; X3ka < 1, а = 1, 2,
(1)
где Аа — коэффициенты первой квадратичной формы; ка — главные кривизны срединной поверхности оболочки.
2. Компоненты иа вектора перемещений u0 оболочки в основном (устойчивом) состоянии и компоненты wa вектора перемещений w из устойчивого в неустойчивое (варьированное) состояние полагаются линейными функциями координаты X3:
Ua = Ua + X3Yа, а = 1, 2; U3 = W;
Wa = wf + XЧ1), а = 1, 2, 3;
Ui,U2,Yi,Y2,W ||X \X 2; (3)
w(0), w(0), w(0), w(:), w2^ ||X1, X
2. „,(1) -
J1 , w2 , w3 , w1 , w2 llX ,X ; w3 ' = 0, (4)
где U1, U2 — перемещения срединной поверхности; y1 , Y2 — углы поворота нормали; W — прогиб срединной поверхности оболочки в основном состоянии. Пять функций (3) и пять функций (4) зависят только от координат X1 и X2.
3. Нормальными поперечными напряжениями в оболочке в основном (а°3) и в варьированном (а33) состояниях можно пренебречь:
а33 = 0; а33 = °
78
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
Кинематические соотношения для варьированного состояния.
Подставляя формулы (2) и (4) в выражения (26), приведенные в работе [14],
UJj = = 0 тт Tj~((WeНв)>а (waHa),в),
2НаНв
а, в =1, 2, 3, а = в = Y = а,
и учитывая (1), получаем выражения для компонент ша сопутствующего вектора ш в теории оболочек:
Ша = 40) + X^а1^ а = 1, 2i 3;
(5)
Ш(0) =
Ш1 = --
Ш2 =
(а)
Ш3 =
11 (w302
2 1 у А2
1 | м°;
2 1 U-
1
- w20)k2 - w21) ) ; Ш(1) = -2k2w21);
- w10)k1 - ) ; ш21) = 1 kew11);
(6)
((A2w2a)),1 - (A1 w(a)),2), а = 0, 1.
(а)
2A1A2
Далее вычисляем компоненты тензора B = V ® w — градиента сопутствующего вектора. Для этого воспользуемся соотношениями (25), представленными в работе [14],
Ва/3 Шав + ш а ^aft j Шав
Шв,а
Ж
Ш аНав
НаЩ
3
ш„ = АТ ШуНа_, а, в = 1, 2, 3,
На
£
Y=1
(7)
H
Y
и подставим в них формулы (5). Тогда с учетом допущений (1) получим, что компоненты Bae тензора B в базисе г* примут вид
Ш a = ш а0) +х 3 & ^ а = 1, 2;
шав=+хчг,а, в = 1, 2, 3,
где
&
Ш(0) Ш(0) A Я
(0) _ Ша л , Шв Аа>в , , .(0) , . ,-.(1) _ 7 , .(1). У. _ п.
а = 42 Aa,a + 44 + Ш 3 ка; ша = ка Ш3 ; ш3 = 0j
Aa А1А2
/, ,(0Л Ш ,(0) , ,(0)л
(0) | Ша \ (0) Шв>а Ша Аа,в , (1) а (1) п <Q _ 1 о.
Шаа ( 4 I ; Шав Л 44 ’ Шаа 0; Шав 0, а, в 1, 2J
Аа / Аа АаАв
(8)
Шав Аа АаАв
(0)
(1)
(0) Ш3,а (0) , (1) Ш 3,а ,
Ша3 = —-------Ша) ка.] Ша3 = Ц—, а = 1
Аа
Аа
а = 1, 2.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. №2
79
Таким образом, выражения (7) для компонент Вав можно представить в виде
Вав = В,(”> + X"В'‘!, а, в = 1, 2, 3,
^ D(l)
Ja.e
ав '
(9)
где
ваа=&аоа+& ао); ваа=& у; в®=А; вав=°, а,в=1,2, а=в
ав ’ ^ав
вЩ = В<а) = °, а = 1, 2, 3.
•'За = в За = °, а = 1, 2, 3. (10)
Подставляя (2) в выражения (29), приведенные в работе [14], определяем
Нав
_ _ WaJa .
^аа +
На
НаН
аНв
-Wp +
На7 wy
НаЩ
еав
1 / На (W,
2 Нв Н
+Нв /
На VЦв/
в \На/ ,в На \Нв / в
После применения допущений (1) вычисляем деформации варьированного состояния оболочки
еав = еав + XЗкав; еа3 = еа3; е33 = °, а, в = 1 2. (11)
Здесь
wa,a Аа,в (0)
ваа = W^ + ка w30); 2ва3 = + Wаl) - ка W^';
о)
3.а
Aa А^ в
2е12 =
Ал
(о) (о)
w1,2 + w2,1
1
каа —
A2 Ai A1A2
_ wa,a Aa,в (1)
(Ai,2w1 ^ + A2,1 w2 '*); (12)
A„
+
A1A2 в
w(, а, в =1, 2, а = в;
2ki2 = —
A1 I w(
(1)
A2 W2
(1)
A2 A1
+ ~T“ l Л
A1 A2
.2 .1
Кинематические соотношения для основного состояния оболочки. Для деформаций основного состояния ^в справедливы формулы, подобные формулам (11) и (12), отличающиеся только заменой
w30) ^ W, w^ ^ Ца, wal) ^ 7а:
£°ав = еав+х 3А; & = еа3; °а, в=l, 2,
где
Ц
A
а.в
о а.а
ваа = "АО" + A1A2
ив + ка W; 2еа3 = A + Та — ка Ца';
A (Ц ^ + A (и±
А V aJ ,2 + аД a^ ,1
(13)
80
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
к„
Ya,aAa,f п i о /о
Ye, а,р _12, а _ в;
Aa a1a2
К
0
12
А { 7^ , А / Ъ_\
А2 UJ ,2 + Ai \aJ 1
Напряжения и определяющие соотношения для основного и варьированного состояний. Физические компоненты *0 тензора напряжений основного состояния связаны с компонентами тензора деформаций обобщенным законом Гука [16, 17], поэтому для компонент *0 запишем следующие выражения:
*0 _ _0(0) + x3_0(i)
C ij _ aij + x Cij ,
(14)
где
_0(0) _ C P0 I C aP0 ; C0(l) _ C К
C aa _ CaaPaa + CafPff; C aa _ CaaK.
0
aa
+ Caf К
0
вв,
а, в _1, 2; (15)
a
0(0)
12
: 2C66p02; a?^ -Cl3^ _ 2C55p03;
2C K0 ; C0(0) 2c66k12; c23
a0(l) _ 0; a0(0) Cl3 _ 0; C33
2C44p03 ; a203l)
0; a°3l) _0.
0;
Здесь Cap, а, в _ 1,..., 6 — компоненты тензора модулей упругости материала оболочки. Поскольку упругие свойства материала оболочки одинаковы в основном и варьированном состояниях, для напряжений aij в варьированном состоянии справедливы аналогичные формулы:
a
ij
__a(0) I X3a(l)
_ aij + X aij ,
(16)
где
a
(0)
aa
CaaPaa + Caf рвв; c22
_ 2C66P12; a(2) _ a(3) _ 2C44P23; a(3)
CaaKaa 2C66k12 ; 0; a3(03)
+ CafKff, a, в
al3 _ 2C55pi3; _ 0; *33 _ 0.
1, 2; (17)
Усилия и моменты в основном и варьированном состояниях оболочки. Усилия Taf, T0f, моменты Maf, M^f и перерезывающие силы Qa, Qa в основном и варьированном состояниях оболочки вводим по стандартным формулам теории тонких оболочек [17] с учетом допущения (1) и формул (14), (15)
h/2 h/2
Taf _ J Cafdx3 _ hag; T0f _ / a%fdx3 _ *.*0!°’;
-h/2 -h/2
h/2
Maf _ j Caf X3dX3 _ 12 a(lf;
-h/2
h/2
M°f _ [X3dX3
-h/2
*3 0(l);
12Caf ;
(18)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. №2
81
h/2 р h/2 О
Qa = Va3dX3 = ha®3; Qa = / a°<3dX3 = haO0)- (18)
-h/2 -h/2
Подставляя в (18) соотношения (15) и (17), получаем определяющие соотношения для оболочки в основном и варьированном состояниях
Taa = Pd aa eaa + C aj3 eee; to 2 (A66 el2.
Maa Daa Kaa + Daft ; Ml2 = = 2D66k12 . (19)
Ql = 2 C 55 ei3; Q2 = = 2 C 44 e23;
T о T aa = C aa e0 aa + C afi e%3; 0 Tl2 = 2 c 66 e<°2;
M0 aa Daa Ka a + Da.f3 G° II = 2D66 Kl2; (20)
Ql = 2 C 55 el3; Q2 = = 2 C44 e0 . e23.
Уравнения равновесия и устойчивости оболочки. В основном состоянии оболочки имеют место уравнения равновесия [6, 18], следующие из трехмерных уравнений равновесия упругой среды ((12), см. работу [14]) относительно усилий Т^, моментов и перерезы-
вающих сил Qa
La(T0) + A,A2(ka QQa + 0 = 0;
L,.(M0) - AAQ - Ml) = 0, a = 1, 2; (21)
(A2Ql),l + (A1Q2),2 — AlA2(kl T°i + k.2 T22 + Ap — Fe3) = 0
где La(T0) — операторы,
La(T 0)
dAe TQa + dAoT02 dAe о + dAa о dX a + dXв dX a в + dXe 12,
а, в
1, 2, a = ft. (22)
Формулы для операторов La(M0) аналогичны формулам (22), массовые усилия F°a, моменты M<a и распределенный перепад давления Ар, действующий на оболочку, заданы.
Для варьированного состояния имеют место трехмерные уравнения устойчивости ((17), см. работу [14]), которые по структуре формально отличаются от уравнений равновесия для оболочек в основном состоянии выражением для плотности массовых сил
3
р fa = —earnkBima<0 к = — ^ (Бфa07 — BS1 а°ф), а = 1, 2, 3. (23)
s=l
В связи с этим уравнения теории устойчивости оболочки формально имеют такой же вид, как и уравнения равновесия, за исключением
82
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
массовых сил Fea, Fe3 и моментов Mea относительно величин варьированного состояния Тав, Map, Qa-
La{T) + A1A2(ka Qa + Fea) = 0;
La(M) — A1A2(Qa — Mea) = 0, a = l, 2; (24)
(A2Ql),1 + (A1Q2),2 — A1 A2(kl T11 + k2 T22 — Fe3) = 0.
В (24) Ap = 0 — это следует из нулевых граничных условий на боковых поверхностях оболочки: оцщ = 0 в варьированном состоянии. Массовые силы Fea, Fe3 и моменты Mea в этой системе в силу (23), (14) и (16) имеют следующий вид:
h/2
h/2
Fea = J pfadX3 = - ^ J (БфO07 - BSJ0%)dX3 =
-h/2 s=1 -h/2
3 f h/2 /
= - E / {(bS+x3в;в|)(о;^о)+x3о0<1>)-
s=1 d-h/2
-(B<0> + X3Б«)(o°f + X3о“'1')) dX3 =
= - E (h(B‘?'o;<01 - B<»7)o“<0') + - B^of^ .
s=1 h '
Аналогично записываем выражение для моментов
h/2
Mea = [ pfaX3 dX3
-h/2
3 h/2
f (Bseo%
S=1-h/2
BS1 о0в )X3 dX 3 =
h3
12
S=1
(в(0)00(1) в(0)00(1) + B(1)00(0)
(Bsp 0sy Bsy °sfi + Bsp °sy
- B‘1>0se
0(0)
),
a
1, 2, 3. (25)
Здесь, как и ранее, индексы “a”, “в”, “y” образуют четную подстановку.
Примем во внимание соотношения (18), связывающие усилия Т0в,
л/Г0 ,о0 0(0) 0(1)
моменты M0e и перерезывающие силы Qa с напряжениями oae , oae ,
а также учтем, что согласно (10) б30) = Б^ = 0 (a = 1, 2, 3), следовательно, при суммировании в формуле (25) по s ненулевыми являются только два слагаемых — при s = 1 и 2. Тогда формулы (25) можно привести к виду
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. №2
83
F =
■L РГХ
= (-1)“(Bg>Q« + b£>q“ - - Bgl*, - B(3M - B$M2e) =
= (-1)“E(B{SQ° - B^ - B'I’mJj), a,e =1,2, a = 0;
s=1
Fe3 = - E(B!?lT?2 - B<0II?1 - (B.S1lM?2 - B<2’M1)); (26)
s=1
Me
(-1)“ E (i2(BieIe0 - B<3|r;J)
s=1 '
B
(0|
s3
Система уравнений (24) после подстановки в нее формул (26), а также определяющих соотношений (19) и кинематических соотношений (8), (9), (12) представляет собой замкнутую систему пяти уравнений второго порядка относительно пяти неизвестных функций w(0),
(0) (0) (1) (1) ~ „ „
w2 , W3 и w1 , w2 . Это и есть искомая система уравнений устойчивости для оболочки типа Тимошенко, полученная из трехмерных уравнений теории устойчивости.
Граничные условия для уравнений равновесия оболочки (24) в основном состоянии задаются на контуре L, ограничивающем срединную поверхность оболочки. Если часть этого контура L совпадает с координатной линией Xа, то граничные условия задаются по одному из каждой пары
(T0:, = П„, Ua = Щ); (I* = If
Т2, Ue = Uf); (Qa = Q
(M,0„ = Maa, 7„ = Y^ (M2 = Mf2, Ц, = Yf).
W = We); (27)
Для уравнений устойчивости оболочки (24) граничные условия имеют соответствующий тип, но с нулевыми заданными функциями (27) на контуре L, ограничивающем оболочку.
Уравнения (24), (26) отличаются от классических уравнений теории устойчивости оболочек [6] выражением для фиктивных массовых сил Fea, моментов Mea и перерезывающих сил Fe3, в частности в классических уравнениях теории Mea = 0. Покажем, что выведенные уравнения (24), (26) теории устойчивости оболочек для простейшей задачи совпадают с классическими уравнениями устойчивости.
Расчет устойчивости стержня по предложенной теории. Рассмотрим классическую задачу об устойчивости стержня при действии на него сжимающей продольной нагрузки Г1е1 = -Г0 < 0. Ось OX1 ориентирована в направлении продольной оси стержня. Поскольку срединная поверхность стержня представляет собой плоскость, для нее
84
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
имеют место равенства
Л\ — A2 — 1; ki — k2 — 0.
При действии на стержень продольной сжимающей нагрузки T1e1 в основном состоянии в нем возникает состояние одноосного растяжения (сжатия), которое описывается уравнениями (это решение системы уравнений (21), (20), (13)):
U — -T0X1/ Оii +Ui0; e?i — -T0 / Cii; Ti — -T0 — const;
T0 — 0 ,M0 — 0 ,Ql — 0.
Здесь Ui0 — постоянная интегрирования, определяемая из граничного условия на торце стержня. Все остальные основные неизвестные функции в данной задаче (U2°, y0, Y2 и w0) тождественно равны нулю.
Варьированное (неустойчивое) состояние балки будем искать подобно решению задачи изгиба балки, в котором отличны от нуля две основные функции: w30) (прогиб) и w(i) (угол поворота); причем эти функции зависят только от продольной координаты X1:
w
<°\w2i> В X w2°> — 0; w20) — 0; w2!| — 0.
(28)
Подставляя решение (28) в кинематические соотношения (6), находим компоненты сопутствующего вектора
с(0) — 0; .20) — 2(w30i - w(i)); с30) — 0; ш(1) — 0, а — 1,2,3- (29)
Подставив выражения (29) в (8), получим
21)
са0) —0; соai) —0; а — 1, 2, 3;
J0) — J0) — !(w(0) _ w(i));
ШГ2 — c2,i — 2(w3,ii wi,i);
остальные с
j — 0
ij 0,
(30)
т.е. ненулевой является только одна компонента 2). После подстановки (30) в (10) определим, что компонента В^ также ненулевая:
В20) — с (0) — .20) — 1 (w20) w2i));
Bi2 — ШГ2 — c2,i — о (w3,ii wi,i);
остальные В20 — 0, в21 — 0.
2 (31)
Учитывая, что из всех величин T^, M^g и Q^ основного состояния отлична от нуля только компонента T101, из (26) получаем
Fea — 0; меа — 0, а — 1, 2; Fe3 — В^ — - w2^0!. (32)
Подставляя решение (28) в кинематические соотношения (12), находим, что ненулевыми являются только деформация сдвига ei3 и искривление kii:
1 20) 2i)
— o(w3,i - wi '); eii — e22 — ei2 — e23 — 0;
ei3
2
(33)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. №2
85
(!) п
kii = w\ 1; K22 = K12 = 0.
(33)
(34)
После подстановки выражений (33) в определяющие соотношения (19) получим, что только момент M11 и перерезывающее усилие Q1 ненулевые:
M11 = D11К11; Q1 = 2 С55 в1э;
T11 = T22 = T12 = 0; M22 = M12 = 0; Q2 = 0.
Тогда система уравнений теории устойчивости (24) с учетом (32) содержит только два ненулевых уравнения:
M11,1 - Q1 =0; Q1,1 + B(02)T101 = 0. (35)
Система (35) совместно с уравнениями (33), (34) представляет собой замкнутую систему уравнений относительно двух неизвестных функций w^0) и w(1). Подставим выражения для B(0)(31) и e13 (32) во второе уравнение системы (35)
(0)
с 55 (w3°i1- ^(д)+1(w30i)1- °
1
(0)
отсюда
wu = -
2 С 55 +T0
11
В силу (42) и (43) имеем
M11 = -D11 1
2 (755 -T°1
2 (7 55 +T01
(0)
w3,1i.
2 (755 -T°1
w
(0) ;
3,11;
B(0) = 1(w(0) _ B12 = 2(w3,11
wm) =
2 C55
2 С55 -T
(0)
0- w3,11. 11
Исключив силу Q1 из двух уравнений системы (35), получим
M11,11 + B(02)T101 = 0.
(36)
(37)
(38)
Если в уравнение (38) подставить выражения (36) и (37), то можно записать итоговый вид уравнения теории устойчивости балки:
+ k2w301l1 = 0, (39)
(0)
w3,1111
где
к2
2 С55 Т01 = T0
Dn(2 С55 +T01) Dn(1 - T0/2 С55).
Уравнение (39) представляет собой классическое уравнение устойчивости стержня, которое обычно выводится из совсем иных исходных уравнений — из уравнений теории устойчивости пластин с эмпирически вводимой внешней силой для основного состояния [1, 2, 4, 6].
86
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
Таким образом, показано, что трехмерная теория устойчивости упругих тел для случая тонкого стержня позволяет получить классическое уравнение теории устойчивости с учетом деформаций поперечного сдвига [6]. Уравнение (39) с граничными условиями шарнирного закрепления
X1 = 0 : U0 = 0, w(0) = 0, M11 =0; X1 = l : w(0) = 0, Mn = 0
имеет минимальное собственное значение k = n/l, ему соответствует критическое значение сжимающей нагрузки T0, при котором происходит потеря устойчивости стержня
T0 = T кр
n2D и
l2 1 +
п2Ри 2 C55 l2
(40)
Выражение (40) совпадает с выражением для критической нагрузки, полученным в работе [6]. При очень длинных стержнях, для ко-
п2 C11 ( h V
торых выполняется условие — (у I ^ 1, из выражения (40)
24 C55
выведем классическую формулу Эйлера для критической нагрузки:
2
00
00 T кр T э
n2D 11
n2hC
11
l2
12
Выводы. Уравнения теории устойчивости тонких оболочек типа Тимошенко были получены на основе трехмерных уравнений теории устойчивости упругих тел при малых деформациях. Отличие этих уравнений от известных эмпирически или полуэмпирически выводимых уравнений теории устойчивости заключается в разных выражениях для коэффициентов при усилиях основного (устойчивого) состояния, а также в наличии моментов фиктивных сил основного состояния, которые обычно полагают нулевыми. Для классической задачи об устойчивости стержня уравнения теории устойчивости сводятся к классическому уравнению на собственные значения. Однако для более сложных оболочечных конструкций возможны отличия в уравнениях теории устойчивости и выражении для критических нагрузок. Этот вопрос требует дальнейшего изучения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. Избранные работы. М.: Наука, 1971. 808 с.
2. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 964 с.
3. Пановко Я.Г., Губанова И.И.Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1967. 420 с.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. №2
87
4. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.
5. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматлит, 1961. 340 с.
6. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. 272 с.
7. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М.: Машиностроение, 1973. 172 с.
8. Simitses G.J. An introduction to the elastic stability of structures. NJ: Prentice Hall, 1976. 256 p.
9. Bazant Z.P., Cedolin L. Stability of structures. Oxford: Oxford University Press, 1990. 316 p.
10. Iyengar N.G.R. Structural stability of columns and plates. New Delhi: Affiliated East-West Press, 1986. 284 p.
11. Tomczyk B. Dynamic Stability of Micro-Periodic Cylindrical Shell // Mechanics and Mechanical Enineerin. 2010. Vol. 14. No. 2. P. 351-374.
12. Bazant Z.P. Stability of Elastic, Anelastic, and Disintegrating Structures: A Conspectus of Main Results // ZAMM, Z. Angew. Math. Mech. 2000. Vol. 80. No. 11-12. P. 709-732.
13. Димитриенко Ю.И. Обобщенная трехмерная теория устойчивости. Ч. 1. Конечные деформации // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2013. № 4. C. 79-95.
14. Димитриенко Ю.И. Обобщенная трехмерная теория устойчивости. Ч. 2. Малые деформации // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2014. № 1. С. 17-26.
15. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. М.: Машиностроение, 1997. 356 с.
16. Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 2. Универсальные законы механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 464 с.
17. Димитриенко Ю.И. Нелинейная механика сплошной среды. М.: Физматлит, 2009. 624 с.
18. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 446 с.
REFERENCES
[1] Timoshenko S.P. Ustoychivost’ sterzhney, plastin i obolochek. Izbrannye raboty [Stability of rods, plates and shells]. Moscow, Nauka Publ., 1971. 808 p.
[2] Vol’mir A.S. Ustoychivost’ deformiruemykh system [Stability of deformable systems]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 964 p.
[3] Panovko Ya.G., Gubanova I.I. Ustoychivost’ i kolebaniya uprugikh system [Stability of deformable systems]. Nauka Publ., 1967. 420 p.
[4] Alfutov N.A. Osnovy rascheta na ustoychivost’ uprugikh system [Basis of calculation for stability of elastic systems]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1978. 312 p.
[5] Bolotin V.V. Nekonservativnye zadachi teorii uprugoy ustoychivosti [Nonconservative problems of the elastic stability theory]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1961. 340 p.
[6] Vasil’ev V.V. Mekhanika kompozitsionnykh materialov [Mechanics of composite materials]. Moscow, Mashinostroyeniye Publ., 1984. 272 p.
[7] Grigolyuk E.I., Chulkov P.P. Ustoychivost’ i kolebaniya trekhsloynykh obolochek [Stability and vibrations of sandwich shells]. Moscow, Mashinostroyeniye Publ., 1973. 172 p.
[8] Simitses G.J. An introduction to the elastic stability of structures. NJ, Prentice Hall, 1976. 256 p.
88
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
[9] Bazant Z.P., Cedolin L. Stability of structures. Oxford, Oxford University Press, 1990. 316 p.
[10] Iyengar N.G.R. Structural stability of columns and plates. New Delhi, Affiliated East-West Press, 1986. 284 p.
[11] Tomczyk B. Dynamic Stability of Micro-Periodic Cylindrical Shell. Mechanics and Mechanical Engineering, 2010, vol. 14, no. 2, pp. 351-374.
[12] Bazant Z.P. Stability of elastic, an elastic and disintegrating structures: a conspectus of main results. ZAMM (Z. Angew. Math. Mech.), 2000, vol. 80, no. 11-12, pp. 709732.
[13] Dimitrienko Yu.I. Generalized three-dimensional stability theory of elastic bodies. Part 1. Finite deformations. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2013, no. 4 (51), pp. 79-95 (in Russ.).
[14] Dimitrienko Yu.I. Generalized three-dimensional stability theory of elastic bodies. Part 2. Small deformation. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2014, no. 1, pp. 17-26 (in Russ.).
[15] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika kompozitsionnykh materialov pri vysokikh temperaturakh [Mechanics of composite materials at high temperatures]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1997. 356 p.
[16] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoy sredy. T 2. Universal’nye zakony mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoy sredy [Continuum mechanics. Vol. 2. Universal laws of mechanics and electrodynamics of continuous media], Moscow, MGTU im. N.E. Baumana Publ., 2011. 464 p.
[17] Dimitrienko Yu.I. Nelineynaya mekhanika sploshnoy sredy [Nonlinear continuum mechanics]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2009. 624 p.
[18] Ambartsumyan S.A. Obshchaya teoriya anizotropnykh obolochek [General theory of anisotropic shells]. Moscow, Nauka Publ., 1974. 446 p.
Статья поступила в редакцию 29.03.2013
Юрий Иванович Димитриенко — д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой “Вычислительная математика и математическая физика” МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 250 научных работ в области механики сплошных сред, вычислительной механики, механики и термомеханики композитов, математического моделирования в науке о материалах, вычислительной газодинамики. МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.
Yu.I. Dimitrienko — Dr. Sci. (Phys.-Math.), professor, head of “Computational Mathematics and Mathematical Physics” department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 250 publications in the field of mechanics of continua, computational mechanics, mechanics and thermomechanics of composites, mathematical simulation in the science of materials, computational gas dynamics. Bauman Moscow State Technical University, Vtoraya Baumanskaya ul., 5, Moscow, 105005 Russian Federation.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. №2
89
