CC BY
86
УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
УДК 519.217.2
ОБОБЩЕННАЯ ПОЛУМАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ ЦИФРОВЫМИ УСТРОЙСТВАМИ
А.Н. Ивутин, Е.В. Ларкин
Представлено формирование транзакций в цифровых контроллерах как результат блужданий по состояниям полумарковского процесса, каждое из которых моделирует интерпретацию соответствующего оператора управляющего алгоритма, что позволило определить с точностью до плотностей распределения временные интервалы между опросами одного и того же периферийного устройства и опросами различных устройств.
Ключевые слова: цифровая система, алгоритм, транзакция, полумарковский процесс, эргодический процесс.
Алгоритмы цифрового управления объектами имеют специфические особенности, которые были исследованы рядом авторов [1, 2, 3, 4, 5]. Алгоритмы являются циклическими, т.е. они имеют оператор начала, но не имеют оператора окончания, окончание вычислительного процесса производится через внешнее прерывание. Опрос периферийных устройств проводится в цикле за счет включения в алгоритм специальных операторов управления транзакциями. Выбор ветви продолжения вычислительного процесса в местах ветвления алгоритма является случайным и определяется условиями, включенными в операторы принятия решения и законами распределением обрабатываемых данных. Время выполнения операторов алгоритма является случайным, причем функции распределения времени выполнения операторов также определяются законами распределения обрабатываемых данных. В подобном аспекте управляющие алгоритмы рассматривались в [6, 7, 8].
Таким образом, процесс интерпретации детерминированного алгоритма управляющим контроллером для внешнего по отношению к системе наблюдателя рядом авторов [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15] рассматривается как полумарковский процесс с непрерывным временем. Операторы алгоритма рассматриваются как состояния полумарковского процесса, выполнение оператора - как пребывание полумарковского процесса в соответствующем
состоянии, а процесс интерпретации алгоритма в целом рассматривается как блуждание алгоритма по состояниям полумарковского процесса. При смене состояний полумарковского процесса он через случайные моменты времени попадает с определенной вероятностью в операторы транзакций, что и формирует поток опросов периферийных устройств. В указанном потоке существенными являются два типа временных интервалов:
время между запросами к одному и тому же периферийному устройству (оно должно удовлетворять условиям Найквиста теоремы об отсчетах [16]);
время между запросами к разным периферийным устройствам (оно должно обеспечивать требуемое качество управления, если это интервал между вводом и выводом данных в/из ЭВМ, или требуемое рассогласование между временными решетчатыми функциями, если это интервал между вводом (выводом) данных по разным каналам).
Задача заключается в том, чтобы определять указанные интервалы для произвольного количества произвольно расположенных в алгоритме операторов управления транзакциями.
Типовая функциональная схема включения цифрового управления объектами приведена на рис. 1, где показаны U = {^(t), ..., Ы0, ..., udf)} -множество опорных сигналов; V = {v1(t), ..., v(t), ..., vL(t)} - множество сигналов управления объектом; W = {w1(t), ..., wm(t), ..., wM(t)} - множество сигналов с датчиков обратной связи. Управляющий алгоритм в контроллере организует опрос контроллеров названных сигналов, при этом при проектировании вычислительного процесса требуется обеспечить интервал времени между опросами сигналов множеств U, V, W, а также сигналами
разных множеств и/или разными сигналами одного и того же множества
(показано пунктирными стрелками на рис. 1).
Управление производится по обобщенному алгоритму
М = {A, R, h(t)}, (1)
где A = {a1, ..., aj, ..., aJ} - множество операторов алгоритма; R = [Rjn J -
матрица смежности размером JxJ, отражающая структуру алгоритма; h(t) -полумарковская матрица размером JxJ, задающая стохастические и временные параметры операторов алгоритма;
1, если из оператора aj алгоритма можно попасть в оператор an;
0, если из оператора a j алгоритма нельзя попасть в оператор an;
h(t) = p ® f(t) = [pjn ■ fjn(t)J; (2)
P = [pjn J - матрица вероятностей перехода к n-му оператору алгоритма после завершения выполнения j-го оператора; f (t)=[fjn(t)J - матрица плотностей распределения времени выполнения j-го оператора алгоритма
Rjn
при условии последующего перехода к выполнению п-го оператора.
ui(t)
uk(t)
Controller
uK(t)
I
к
\
Л
/
\
* \
»
/
\
\
\
4
У
vM.
Мй.
VL(t)
Wm(t)
wdt)
Object
under
Control
Рис. 1. Структурная схема следящей системы
Обобщенный управляющий алгоритм является циклическим, но в нем отсутствует эффект зацикливания, поэтому на структуру алгоритма, заданную множеством А и матрицей Я, накладываются ограничения в виде сильной связности соответствующего графа. Кроме того, обобщенный управляющий алгоритм является циклическим, следовательно, на структуру Я накладываются условия сильной связности. Вследствие цикличности управляющего алгоритма на вероятности и плотности распределения по-лумарковской матрицы Л(?) накладываются следующие ограничения:
J
р уп = 0, если Гуп = 0; ^ р уп = 1 для всех 1 £ у £ J; (3)
п=1
¥
/]п (?)=0 при ? £ 0; /]п (?) = Ит ^ - туп1если гп =0, I/]п(?)ж=1. (4)
т]п ®¥ 0
Таким образом, полумарковский процесс, моделирующий работу обобщенного алгоритма (1), является существенным и возвратным, т.к. все переключения описываются сильносвязным графом. В силу первого условия (4) полумарковский процесс является однородным. Если полумарков-ский процесс является однородным, все его состояния являются существенными, то он является эргодическим [17].
Выделим в моделируемом циклическом алгоритме операторы опроса одного из задатчиков ы^) (1 £ к £ К) или одного из управляющих воздействий у() (1 £ I £ Ь), или одного из датчиков wm(t) (1 £ т £ М). Без нарушения общности рассуждений можно считать, что выделенные операторы алгоритма, а следовательно, и состояния полумарковского процесса имеют индексы с наименьшими значениями, т. е.
А з А3 = (аь ..., а3, ..., %}, 5 < ^ (5)
Таковая индексация всегда может быть обеспечена, поскольку А представляет собой неупорядоченное множество, т.е. список. Матрицы Я и Н($) при изменении индексов состояний могут быть получены из исходных путем соответствующей перестановки строк и столбцов.
Очевидно, что каждое переключение из состояния аз е Аз в состояние аг е Аз формирует поток опросов соответствующего периферийного оборудования.
Для определения времени переключения полумарковского процесса из аз е Аз в аг е Аз расщепим каждое состояние подмножества А, например аз е Аз, в виде двух состояний: начального а^), отмеченного индексом з(Ь) = з, и конечного а3(е), отмеченного индексом з(е) = J + з. Таким образом, из исходного эргодического полумарковского процесса (1) формируется по-лумарковский процесс
М = [А', Я, й'(0}, (6)
в котором
А [a1(Ъ), ..., as(b), ..., аБ(Ъ), а5(Ь)+1, ..., ..., aJ, aJ+1(e), ..., aJ+s(e), ..., aJ+S(e)}; (7)
Я' =
к' (* ) =
' 0 0 *1{Ь), S{Ь )+1 • 3 К1{Ь\3+1{е) • *1{Ь),3+S{e) ^
0 0 Щь), Б{Ь )+1 • Со ^{Ь ),3+1{е) • ^ {Ь), 3+S {е)
0 0 ^{Ь)+1, Б{Ь )+1 • ^ {Ь)+1,3 Д?{/Ь )+1,3+1{е) • ^ {Ь)+1,3+S {е)
0 0 *3, S{ь )+1 • *3,3 К3, 3 +1{е) • К3, 3+S {е)
0 0 0 •• 0 0 • • 0
0 V 0 0 •• 0 0 • • 0
^ 0 0 ^1{Ь), S {Ь)+1 •• ^1{Ь), 3 Ь{Ь), 3+1{е) • Ь{Ь), 3 + S {е) ^
0 0 ^ {Ь), S {Ь )+1 $ ^ {Ь), 3+1{е) • %{Ь),3+S{e)
)= 0 0 ^ {Ь )+1, S {Ь )+1 •• ^ {Ь)+1,3 % {Ь)+1,3+1{е) • %{Ь)+1,3+S{e)
/ 0 0 И3, S {Ь )+1 •• Ъ3,3 И3, 3+1{е) • ^3,3+S{e)
0 0 0 •0 0 • • 0
0 V 0 0 •0 0 • • 0 У
; (8)
(9)
состояния АЪ = [а1(Ъ), ..., а^Ъ), ..., а^Ъ)} являются начальными, а состояния Ае = [а^це), ..., а^3(е), ..., а^^} являются поглощающими.
Развитие полумарковского процесса (6) представляет собой блуждания по графу состояний (7) с переключениями (8), вероятностями и плотностями распределений (9). Каждая случайная последовательность переключений начинается в одном из начальных состояний подмножества АЪ и заканчивается в одном из поглощающих состояний подмножества Ае (рис. 2).
/
\
\
/
Рис. 2. Формирование начального и конечного состояний в эргодическом полумарковском процессе
Для матрицы h (t) может быть найдена характеристическая матрица по зависимости
h' (w) = F [h' (t)], (1о)
где F - преобразование Фурье; w - аргумент характеристической функции
соответствующей плотности распределения (круговая частота); i = 4-1.
По характеристической матрице могут быть найдены: взвешенная плотность распределения времени переключения, включая блуждания по промежуточным состояниям, полумарковского процесса из Qs(b) в аj+r(e)
¥ л
%),r(e)(t) = X F-1[Is(6)[h'(iw)]nIq
n=1
J+r (e)
где F 1 - обратное преобразование Фурье; 0 - знак транспонирования; Is(b ) = [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0];
l(b) s(b)-1 s(b) s(b)+1 J J+l(e) J+S(e)
1 s(e) =[о
l(b)
о, о, ..., о, 1, о, ..., о];
J J+l(e) J+s(e)-1 J+s(e) J+s(e)+1 J+S(e)
(11)
(12)
(13)
вероятность переключения из состояния а3(Ь) в аГ(Ь) при блуждании по по-лумарковскому процессу
¥
Ps{b),Г{е)_ |{Ь),г{е){і^ ; (14)
0
плотность распределения времени переключения из состояния а^щ в состояние а/(щ
т,гф= (15)
к к ’ Рз{Ь),г{е)
В результате проведенных выкладок определены взвешенные плотности, вероятности и плотности распределения полумарковской матрицы процесса
М" = {A", R", h"(t)}, (16)
где A" = {a1, ..., as, ..., aS} - множество состояний, соответствующих операторам алгоритма, генерирующим запрос на выдачу/получение данных от периферийного устройства; R" = [R"sr ], R"sr = 1 - матрица смежности размером SxS, отражающая структуру полного графа с петлями; h" (t)=[h£r (t)] -полумарковская матрица размером SxS; h"sr (t) = h*s(p)r(e)(t); 1 £ s(b), r(e), s, r £ S.
Таким образом, авторы представили формирование транзакций в цифровых контроллерах как результат блужданий по состояниям полумар-ковского процесса, каждое из которых моделирует интерпретацию соответствующего оператора управляющего алгоритма. Это позволило определить с точностью до плотностей распределения временные интервалы между опросами одного и того же периферийного устройства и опросами различных устройств. Для найденных плотностей распределения получены выражения для математических ожиданий и дисперсий.
Список литературы
1. Изерман Р. Цифровые системы управления пер. с англ. М.: Мир,
1984.
2. Дроздов Н.В., Мирошник И.В., Скорубский И.В. Системы автоматического управления с микроЭВМ. Л.: Машиностроение, 1989.
3. Микропроцессорные системы автоматического управления;
В.А. Бесекерский [и др.] под общ. ред. В.А. Бесекерского Л.: Ма-шинострение, 1988.
4. Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ пер. с англ. А.Н. Николаева, Т.С. Чеботаревой. М.: Мир, 1987.
5. Олссон Г., Пиани Дж. Цифровые системы автоматизации и управления. СПб.: Невский Диалект, 2001.
6. Байцер Б. Микроанализ производительности вычислительных систем. М.: Радио и связь, 1983.
7. Барский А.Б. Параллельные процессы в вычислительных системах: Планирование и организация. М.: Радио и связь, 1990.
8. Феррари Д. Оценка производительности вычислительных систем. М.: Мир, 1981.
9. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их применения. Киев: Наукова думка, 1976.
10. Привалов А.Н., Ларкин Е.В. Моделирование информационных процессов тренажерных систем: Концепция, методология, модели. Saar-brucken Deutchland: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co., 2012.
11. Ярлыков М.С., Миронов М. А. Марковская теория оценивания
случайных процессов. М.: Радио и связь, 1993.
12. Multiprocessor and Distributed System Design: The Integration of Functional Specification and Performance Analysis Using Stochastic Process Algebra N. Gotz [et al.] // Lecture Notes in Computer Science. 1993. Vol. 729. P. 121-146.
13. Ajmone Marsan M., Conte G., Balbo G. A class of generalized stochastic Petri nets for the performance evaluation of multiprocessor systems // ACM Transactions on Computer Systems. 1984. Vol. 2. № 2. P. 93-122.
14. Wittenmark B., Nilsson J., Torngren M. Timing problems in realtime control systems // Proceedings of 1995 American Control Conference -ACC'95. American Autom Control Council, 1995. P. 2000-2004.
15. Stability of linear feedback systems with random communication delay R. Krtolica [et al.] // Proceedings of American Control Conference, 1991.
16. Nyquist H. Certain topics in telegraph transmission theory // Trans. AIEE. Vol. 47. P. 617—644.
17. Papoulis A. Probability, random variables, and stochastic processes // New York: McGraw-Hill, 1991. P. 427-442.
Ивутин Алексей Николаевич, канд. техн. наук, доц., alexey.ivHtin@gmail.com, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Ларкин Евгений Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, elarkm@,mail.rH, Россия, Тула, Тульский государственный университет
GENERALIZED SEMI-MARKOV MODEL OF DIGITAL DEVICES CONTROL
ALGORITHM
A.N. Ivutin, E.V. Larkin
The formation of transactions in digital controllers as result of walks over semi-Markov process’s states, each of which simulate interpretation of control algorithm’s corresponding operator is presented. This allows determine within the accuracy of probability density time intervals between surveys of the same peripheral and surveys of different devices.
Key words: numerical system, algorithm, transaction, semi-Markov process, ergodic
process
Ivutin Alexey Nicolaevich, candidate of technical sciences, docent, alexey.ivuiin a .gmail.com, Russia, Tula, Tula State University,
Larkin Evgeniy Vasilevich, doctor of technical sciences, professor, the head of chair, e^^^^maUm, Russia, Tula, Tula State University
