CC BY
53
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского, 2010, 3(1), с. 177-190
УДК 517.97+519.86
ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С УЧЕТОМ НАКОПЛЕНИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО КАПИТАЛА. III
© 2010 г. Ю.А. Кузнецов, О.В. Мичасова
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского Yu-Kuzn@mm.unn.ru, michasova@mm.unn.ru
Поступила в редакцию 09.04.2010
На основе применения численно-аналитических методов исследуется обобщенная модель экономического роста с учетом накопления физического и человеческого капиталов, обобщающая модель Р. Лукаса. Для значений параметров, характерных для реальных экономических систем, проведено исследование качественных особенностей траекторий сбалансированного роста. Установлено, что в данной модели при весьма реалистических значениях параметров наблюдается явление (эффект) неопределенности.
Ключевые слова: экономический рост, человеческий капитал, траектория сбалансированного роста, явление неопределенности, численно-аналитические методы.
Введение
В работе [1] построена обобщенная математическая модель экономического роста с учетом накопления физического и человеческого капиталов, обобщающая известную модель Р. Лукаса, и сформулирована некоторая унифицированная форма оптимизационной задачи, включающая в себя оба варианта традиционно рассматриваемых в теории экономического роста постановок таких задач. В работе [2] для этой модели экономического роста указаны условия существования оптимальных траекторий сбалансированного роста, а также установлены некоторые качественные особенности таких траекторий. Исследование данных вопросов ведется в соответствии со схемой, изложенной в работе [3].
В настоящей работе, являющейся непосредственным продолжением работ [1, 2], продолжается исследование качественных особенностей траекторий сбалансированного роста (ТСР) обобщенной модели экономического роста на основе применения численно-аналитических методов. С их помощью в работе проводится более подробное изучение структуры фазового пространства системы в окрестности траекторий сбалансированного роста для значений параметров, характерных для реальных экономических систем .
Некоторые предварительные результаты исследования моделей экономического роста с учетом накопления человеческого капитала, полученные с применением численно-аналитических методов, представлены в работах ав-
торов [4-6]. При проведении таких исследований использовался пакет MatLab [7].
Проведенное в настоящей работе исследование позволяет говорить о наличии в данной модели (причем при весьма реалистических значениях параметров) явления неопределенности (indeteminacy), обнаруженного впервые для классической модели Р. Лукаса в ряде работ Дж. Бенхабиба (см. [8, 9]). Этот эффект проявляется, в частности, в невозможности однозначного определения начальных условий для управляющих функций c(t) и u(t) и, тем самым, в невозможности однозначного выбора траектории, сходящейся при t ^ да к сбалансированной траектории .
Основным объектом исследования настоящей работы является система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) следующего вида (см. [2]):
dx(t) = x(t )в u(t )1-Р+у + dt (60)
- у [l - u(t)]x(t) - q(t)x(t) - Mx(t),
dq(t) = fyc(t )p-1w(t )1-p+y q(t) + dt (61) + [q(t )]2 - £q(t) >
—u(t){P + 5Q[1 - u(t)]-Pq(t)}. (62)
д.и(1) dt в - у
Для удобства здесь использована нумерация формул из работы [2]; нумерация формул в настоящей работе продолжает нумерацию формул работы [2].
В уравнениях (60)-(62) параметры имеют следующий вид р = а + (1 - р)(п + цк) + 8Аз - цА (1- Р + Y),
Q = (Ai-А з) - (в - Y)-А 4 - (в - Y),
ф = 1-1, V = -S (1 -в + ^) ,
а (1 -в)
M =
а
1 -в
+ Я + Цк-цh
1 -e + Y 1 -в
Ъ = ~- п -|Д K и
1 - — и
(62) образуют замкнутую подсистему системы уравнений (60)-(63). Обозначим X = col (x, q, u) - вектор состояний системы уравнений (60)-(62). Как показано в [2], в случае когда det A Ф 0, где det A _ Рфу - 8Q(1 + ф) _
_ Р8 Г(1 а)- „,п а)1 Р8
(l r) Г(1 -P)a-Y(l -а)]-----Д4 >
а(1 -Р) а
А 4 = Aj — А з
(69)
(68)
Напомним, что из системы (60)-(62) при значениях параметров Aj = q, А 2 = 0, А 3 = p получается задача о конкурентном равновесии, а при значениях Aj = 1, А2 = у, А3 = 1 - задача социального планировщика (см. подробнее [1]).
Предполагается, далее, что параметры системы (60)-(62) таковы, что существуют реализуемые траектории сбалансированного роста, то
есть 0 е ©BGP с 0 (см. подробнее [2]).
Заметим, что множество 0BGp определяется
некоторыми наборами неравенств, связывающих параметры системы (включая и наборы параметров D = col (Aj , А2, Аз)). Вид вектора D определяет, какова процедура принятия решений в данной экономической системе (эта процедура приводит либо к конкурентной экономике (D = Dce = col(q,0,p)), либо к «социальной плановой» экономике (D = DSP = col (1, у,1))). Ясно, что это важная характеристика экономиче-
а 0е ®bgp с ®, система ОДУ (60)-(62) обладает единственным состоянием равновесия
X e = col (xe, qe, ue) со строго положительными компонентами xe, qe е R++, причем ue е (0,1). Если D = Dce , то А 4 = A CE 4 = q - p, а если D = DSP , то, соответственно, А4 = A SP 4 = 0 .
Изучим систему (60)-(62) в окрестности состояния равновесия Xe. Стандартным подходом является линеаризация этой системы в точке Xe и дальнейшее исследование линеаризованной системы. Обозначим ^ = X - Xe , £ = col (£ x q , £u ). Тогда задачу Коши для системы (60)-(62) и линеаризованной системы можно записать, соответственно, в виде
DDp = Л«;) + F[¡j(<)], ¡j(í )| t=+0 = Ц,, (70)
^ = ЛВД, «0|,=+0 , (71)
где матрица Л представляется следующим образом:
(Р-1 )Uе
Г ил
X X е е + са 1 e -v
l Ue J
Л = (P- 1)Ф Г UeQe ^ Qe (1 - P + Y) Г UeQe ^
l Xe J l Ue J
P-Y
P-Y
Que
(72)
Ф
0
ской системы, и поэтому ниже в ряде случаев удобно явно указывать зависимость множества
®ввр от типа экономической системы (©вор "©вор(Я)).
Некоторые свойства системы (60)-(62)
Как уже указывалось в [2], значение системы уравнений (60)-(62) определяется её важной специфической особенностью: уравнения (60)-
о тт в-1 1-Р+Т
Здесь по определению и е =хе ме , а вид
вектор-функции ¥[£] ясен из сопоставления формул (60)-(62), (70), (72). Очевидно, что ¥ [£,] - гладкая функция, удовлетворяющая условию ¥[0К3 ] = 0К3 (0кз - нулевой вектор в
К3), причем разложения её компонент в ряды в окрестности точки 0 к 3 начинаются с членов
не ниже второго порядка. Ясно, что характеристический полином матрицы Л имеет вид:
у (А,) = ёе1:( XI -Л) = А3 + с{А + с{К + С3, (73) где, как известно, коэффициенты с = -5рЛ (5рЛ - след матрицы Л), с3 = - ёег Л , а с2 представляет собой сумму всех главных миноров порядка 2 матрицы (72):
—
Со =
(в- 1 )ие
^тт ^
ие Я,
(в- 1)ф
V хе у
Яе
+
+
Яг Ф(1 -Р + У)
{тт Л игЯг
К иг У
+
Р-У
0
Р-У
биг
+
Г иг 1
хг + са 1 г -у
К иг J
Р-У
QUг
С помощью прямого вычисления несложно показать, что коэффициенты полинома (73) могут быть представлены, например, в виде:
( Л ь<2ие
С1 = -(Р-п) + —--- +
(Р-У)
+ (1-р) [а + (^ - ^ )(1 - в + ^)] ’
Сз = в(1 -в)(ст^-^) иеЧеие,
3 а(Р-у) ^е е
с2 = [у_ст(1 -р + у)] +
2 (Р_у) I а
+ 8 <2ие
(1- в )ие _ яе
(74)
Используя явные представления (67) для переменных [Пе, де,ие} (см. [2]) и формулы (68) можно получить также и явные выражения коэффициентов с1, с2, с3 через параметры системы. В принципе, явный вид (74) коэффициентов полинома (73) позволяет получить важную информацию о структуре фазового пространства системы (60)-(62) в окрестности состояния равновесия Хе (в зависимости от её параметров). Например, в соответствии с классической теоремой Рауса - Гурвица (см. [10, с. 483-486]) количество к = ки корней полинома (73) в правой полуплоскости С + = {X е С : Яе X > 0} комплексной плоскости С совпадает с числом перемен знаков в наборе {а 0, а!, а 2, а3}, где а0 = 1, а! = Д1 = с1, а2 =Д2/Д]., аз = Аз/Д 2 , Д1 = с1, Д 2 = с1с2 - сз,
Д3 - С3 (схсг - сз ) , (75)
причем если определители Гурвица Д к
(к = 1 3) отличны от нуля (что и предполага-
ется), то полином (73) не имеет чисто мнимых характеристических чисел, так что в левой полуплоскости С_ = {X е С :Яе X < 0} будет располагаться к2 = 3 - ки корней этого полинома.
Таким образом, если определители Гурвица Д, (к = 1 3) отличны от нуля, то точка 0 3
К
является гиперболической, и значит, в силу теоремы Гробмана - Хартмана (см., например, [11, с. 32-33; 12, с. 299-300]), существует гомеоморфизм Н(-), определенный в некоторой
окрестности и(0К3 ) точки 0к3 , который локально отображает траектории системы (70) в траектории линеаризованной системы (71), сохраняет тип траекторий и их параметризацию во времени (то есть в окрестности и(0К3) состояния равновесия 0 к 3 фазовый поток системы (70) топологически эквивалентен фазовому потоку линеаризованной системы (71)). Таким образом, в данной ситуации линеаризованная система (71) дает исчерпывающую информацию о поведении траекторий системы (70) в окрестности состояния равновесия 0 п 3 .
IV
Обозначим Е5 и Еи, соответственно, устойчивое и неустойчивое подпространства системы (71) (Е" © Е“ = И3), а (6^) и
(0кз) - локально устойчивое и локально неустойчивое многообразия системы (70):
Е = |^о е 3 : ^0) ^ ^з 5 1 ^ да),
Я 3 ’ ^ 00 '
ЕМ = 1^0 е ^ : ^0) ^ з 5 т ^ -да} ,
W/0C (6К3) = 1^0 6 и(0К3): ^0) ^ 6К3,
t ^<х>;£(Т,) е и(0кз), Vt > 0}, (76)
^ (6кз) = |^о 6 и(0кз): $о) ^ 6кз,
I ^-<х>;) е и(0кз), VI < 0}.
Множества W^'0C (0кз) и "^0С (0кз) имеют
ту же гладкость, что и правая часть системы (70), и касаются в точке 0 п 3 подпространств
Е" и Еи , соответственно (см. [11, с. 33; 13, с. 113]).
Введем в рассмотрение подмножества 0(К^ (Б) с &ВОр (О) , к = 0 ^ 3 . По определе-
:
нию, параметр 0 е 0® (О), если все определители Гурвица АI (I = 1 + 3) отличны от нуля, а в правой полуплоскости С + находится ровно к = ки корней характеристического полинома матрицы Л (так что в левой полуплоскости С _ лежит к5 = 3 - ки корней). Ясно, что
0(м) (о) I 0(и) (О) = 0, т Ф п. Положим, далее, Г(Д) = &ВОр(0) \ и|=о (Д (так что, по
определению, справедливо равенство ®ВС1(П) = = Г(П) и (и|=0 к (П))). Если 0 е Г(О), то
среди корней характеристического полинома матрицы имеются чисто мнимые или нулевые корни. Например, легко видеть (см. (75)), что если определитель Гурвица А 2 = 0, то и А з = 0 ; если же при этом справедливы неравенства с2 > 0 , с1с3 > 0 , то у(Х) имеет пару чисто мнимых характеристических чисел
Х1 2 = ±гю (ю2 = с2 = с3 /с1 > 0 ), так что 0 е Г(В)3.
В соответствии с классическими результатами качественной теории дифференциальных уравнений (см., например, [17, гл. 2]) могут представиться следующие возможности.
Случай 0(О) (О). Все корни находятся в левой полуплоскости С _ плоскости С. Состояние равновесия 0к 3 устойчиво. Для любых
начальных условий £(0|,=+о = ^о (см. (70)) из окрестности 6 и(0К3 ) имеем
^ з 5 I ^ да; е и(®кз), V? > 0
. Этот факт (с учетом замены переменных (59), см. [2]) не позволяет однозначно определить начальные условия для функций с(?) и и (?) в задачах (1)-(3), (29)-(33).
Другими словами, не представляется возможным выделение единственной траектории, сходящейся к BGP. Следовательно, имеет место ситуация неопределенности.
Случай 0(1) (В) . В правой полуплоскости
С + плоскости С находится 1 корень. Состояние равновесия неустойчиво и является или седлом, или седло-фокусом. Все траектории, полностью лежащие в двумерном локально устойчивом многообразии (0кз) системы (70), приближа-
ются при t ^ +да к состоянию равновесия, а все траектории, лежащие в одномерном неустойчивом многообразии W¡loc (0R3 ) , наоборот, при t ^ +да удаляются от состояния равновесия. Задание начального условия ^(?)| _+Q = не
позволяет однозначно определить начальные условия для функций c(t) и u(t). Как и в предыдущем случае, имеет место ситуация неопределенности.
Случай 0(2) (D). В правой полуплоскости
C+ находится 2 корня. Состояние равновесия системы (70) неустойчиво и является либо седлом, либо седло-фокусом с одномерным локально устойчивым многообразием W/0c (0R3 ) и двумерным неустойчивым многообразием Wioc (0R3 ). Задание начального условия
<z(t)|t_+0 = (в достаточно малой окрестности точки 0 R3 ), вообще говоря, позволяет однозначно определить начальные условия для функций c(t) и u(t), а значит, выделить единственную траекторию, сходящуюся к BGP.
(2)
Следовательно, при 0 е 0 (D) реализу-
ется ситуация (локальной) определенности. Случай 0(3) (D) . В правой полуплоскости
C+ находится 3 корня. Состояние равновесия неустойчиво и является или неустойчивым узлом, или неустойчивым фокусом. Все траектории при t ^ +да удаляются от состояния равновесия и ни одна траектория системы не сходится к BGP. Следовательно, и в этом случае имеет место ситуация неопределенности.
Таким образом, наличие эффекта неопределенности в рассматриваемой модели вытекает
из справедливости соотношения ©(0) ( D) U
U 0(1) (D) U 0(3) (D) Ф0.
В связи с этим заметим следующее. Как уже указывалось выше, явные представления (74) коэффициентов c1, c2, c3 полинома (73) через параметры системы позволяют, в принципе, явным образом выделить в множестве &BGP (D)
подмножества 0® (D) ( k = 0 + 3 ), отвечающие
тому или иному количеству корней в правой полуплоскости. Следует признать, однако, что соответствующие системы неравенств, задающие как
само множество 0BGp (D), так и его подмноже-
ства 0(¿) (D) (к = 0 3), носят весьма гро-
моздкий характер и не позволяют получить простые аналитические представления для их границ. Поэтому использование таких представлений малоэффективно; гораздо более информативным и наглядным оказывается подход, основанный на использовании возможностей компьютерных систем. Заметим, что «ортодоксальный» вариант концепции метода математического моделирования требует (во всяком случае, в своей крайней форме), чтобы исследование любой математической модели проводилось исключительно на основе предельно строгих и обоснованных методов, характерных для собственно математических исследований, и обращение к численным методам приветствует далеко не всегда. Однако, если исходить из «принципа оптимальности» (см. [18, с. 35]), то тогда подход, основанный на использовании компьютерных систем и технологий «доказательных вычислений», следует признать достаточно обоснованным: эти технологии вычислений (с гарантированной точностью) основаны на использовании специальных численных методов и возможностей современных вычислительных систем и позволяют гарантированно оценивать и учитывать ошибки, возникающие в ходе вычислений, то есть вести автоматический анализ ошибок и верификацию результатов компьютерных вычислений. Подобные технологии реализованы практически во всех современных компьютерных системах (MatLab, Maple, Mathematica)5.
Компьютерное исследование динамической системы (70)
Вектор параметров экономической системы 0е 0, 0 с R11, можно рассматривать как некоторую «композицию» двух векторов
п = col{y,p,q} еП = R + х[0,1]2 с R3, к = coI{а,в,5,р,ст,п,еК =
= R + х(0,1)хR++ xSxRхR++ сR8.
Вектор пеП характеризует экстерналии в производственном секторе и эффект отдачи от масштаба в образовательном секторе, а вектор кеК - все остальные параметры экономической системы (вид множества 0 с R11 см. в [2], формула (54)). Если зафиксировать вектор кёК , то получится определенная «разновидность» экономики данного «типа» (то есть некоторая разновидность либо конкурентной экономики (при D = Dce ), либо «социальной пла-
новой» экономики (при D = DSP)), причем основные отличительные черты её поведения определяются теперь уже вектором п еП .
Качественный анализ динамических особенностей системы (70) в зависимости от выбора вектора пеП (то есть от выбора параметров Y 6 R + и р, q е [0,1]) целесообразно проводить для случая некоторого фиксированного набора остальных параметров к еК. При этом разумно положить их значения равными или близкими к реальным значениям, характерным для той или иной группы стран. Например, если интересоваться группой стран с развитой экономикой (Developed Countries), типичными представителями которой могут служить экономики США и Германии, то вектор к е К можно выбрать в виде kusa или к Germany , которые, по данным работ
[27, 28], имеют, соответственно, следующий вид: kusa = col{0.0105, 0.44, 0.05, 0.0337,
1.5465, 0.013, 0.04, 0.096},
кGermany = со/{0.0105, 0.44, 0.05, 0.0134,
0.4032, 0.013, 0.04, 0.08}.
При этом, разумеется, следует принять также, что D = Dce = col (q,0, p), поскольку подобная развитая экономическая система является конкурентной.
Заметим, что в приведенных выше данных (вект°ры Kusa и к Germany ) наблюдаются достаточно сильные различия темпов амортизации соответственно физического и человеческого капиталов (для США это отличие особенно велико - более чем в два раза: цк = 0.04 ,
цh = 0.096). Такие данные не могут быть признаны вполне надежными; они не отвечают даже самой логике концепции человеческого капитала как главного фактора эндогенного механизма экономического роста, особенно если сопоставить величину ц h = 0.096 с параметром 8 = 0.05, характеризующим темпы производства человеческого капитала.
В связи с этим в работе принято компромиссное соглашение о равенстве темпов амортизации физического и человеческого капиталов; ниже в расчетах в качестве характерного для развитой экономики вектора параметров используется вектор
кDC = co/{0.0105, 0.44, 0.05, 0.024,
0.403, 0.013, 0.04, 0.04}еК.
Рассмотрим в пространстве R11 проекции сечений множеств 0 с R11, &BGP(D), Г(D) и
0(к) (d) , к — 0 3, некоторой фиксированной плоскостью вида к = к,еК на пространство R векторов вида = col (у, p, q}. Обозначим эти проекции соответственно 0(к*) с R , 0bgp (D; к* ) с0(к, ), Г( D; к* ) и 0(k)(D; к* ), к — 0 ^ 3 . Ясно, что 0( к* ) = Пс R3, а также что справедливо равенство ®bgp (D; к*) =
— Г(D;к*) U (uk=0 0(k)(D;к*}). Будем анализировать структуру множества ®bgp (D; к* ) с с 0(к* } — П , рассматривая его сечения плоскостями вида у — у* (или вида p = p* , q = q*). Заметим, что принадлежность вектора я — col (у, p, q} множеству 0 bgp (D; к* ) определяется выполнением ряда условий (см. [2]);
наиболее важный экономический смысл имеют условия xe > 0, qe > 0 и ue е (0,1).
Опишем некоторые результаты вычислительных экспериментов. Ограничимся случаем конкурентной экономической системы (D = Dce =
= col (q,0, p)). Непосредственный численный
анализ корней полинома (73) показывает, что
множества 0(к)(Осе;кос), к — 03, непусты
и «достаточно представительны» по набору элементов при всех к — 0 3 (в том смысле, что
эти множества из пространства Я3 имеют положительный объем)6.
1. Наличие эффекта неопределенности. На рис. 1 приведен общий вид фрагмента множества 0 ВОр ( Бсе ; к ос ) и его подмножеств 0(к)( Осе ;кос ) в пространстве Я3.
В таблицах 1-4 приведены некоторые характерные для множеств 0(к)( Осе ; к ос ),
к — 0 ^ 3, значения параметров л — со/(у, р, q}, координаты отвечающих им положительных состояний равновесия и соответствующие им корни характеристического уравнения (73), а также указан тип состояния равновесия. Как видно из таблиц, в данной задаче реализуются практически все возможные варианты типа состояния равновесия.
На рис. 2 представлен общий вид фрагмента сечения множества 0вср(Осе ;кОс)
Рис. 1. Фрагмент множества 0BGp (Dce ; к dc ) и характер расположения множеств 0( } (Dce '; кDC) с R (к — 0 ^ 3)
Рис. 2. Сечение фрагмента множества 0в0р (Осе ; кбс ) плоскостью у —у* — 0.4 и характер расположения множеств 0(к)(Бсе ; кОс; у* ) с Я2 (к — 0 + 3)
Рис. 3. Вектор параметров л — (0.403,0.840, 0.790) е 0(0)(Осе;Кос) . Устойчивый узел (см. табл. 4, 1)
7 ^ ^
плоскостью у — у* для значения у*— 0.4'. сматриваемой модели конкурентной эконо-Из рисунков 1 и 2 непосредственно вытекает мики в силу справедливости соотношения наличие эффекта неопределенности в рас- ук-013 0(к)(Осе;Кос) .
Рис. 4. Вектор параметров л — (0.400,1.000, 0.700) е 0(2)(Осе;Кос). Седло-фокус (см. табл. 2, 1)
Таблица 1
Множество 0(3)(Осе ; к ос )
№ Параметры л — св1 {у, р, q} Корни характеристического полинома Состояние равновесия. Тип состояния равновесия
1 у — 0.439, р — 0.840, q — 0.800 Х1 — 0.0125 , X2 — 0.6257, X 3 — 0.7704 хе — 20.6692 , qe — 0.0944 , ие — 0.6749 . Неустойчивый узел
2 у — 0.387, р — 0.801, q — 0.795 Х1 — 0.0042 , X 2,3 — 0.0045 + 0.0396/ хе — 2.0311, qe — 0.0910 , ие — 0.2210 . Неустойчивый узел
3 у — 0.400, р — 0.800, q — 0.800 Х1 — 0.0183 , X2,3 — 0.0041 + 0.0701/ хе — 5.2913, qe — 0.0921, ие — 0.3654 . Неустойчивый фокус
Таблица 2
Множество 0(2)( Бсе ; к ос )
№ Параметры л — св1 {у, р, q} Корни характеристического полинома Состояние равновесия. Тип состояния равновесия
1 у — 0.400, р —1.000, q — 0.700 Х1 — -0.0563 , Х2,3 — 0.1016 + 0.0839/ х — 4.3160, q — 0.0918 , е 5 -/ г 5 — 0.3306 . Седло-фокус
2 у — 0.100, р — 0.600, q — 0.100 Х1 — -0.0686 , Х2,3 — 0.1060 + 0.0147/ хг — 40.0877 , qe — 0.0946 , ие — 0.9485 . Седло-фокус
3 у — 0.500, р — 0.300, q — 0.800 X1 — 0.1463 , X2 —-0.1443, X 3 — 0.0114 хг — 0.0695 , qe — 0.0897 , ие — 0.0474 . Седло
На рис. 3 приведен общий вид картины поведения траекторий системы в окрестности состояния равновесия 1 из таблицы 4, а на рис. 4 - состояния равновесия 1 из таблицы 2. Эти рисунки иллюстрируют, соответственно, ситуации локальной неопределенности и локальной определенности в фазовом пространстве системы.
2. Наличие ситуации (локальной) определенности. Как уже отмечалось выше, такая ситуация возникает в случае принадлежности параметров системы множеству 0(2) (Осе ; к ос ).
В данном случае в расположении множеств
0(2)(Осе ;к бс ) и 0(0)( о се ;к бс ) имеется важная особенность - они имеют общую границу Г(0,2)(Осе; Кос). Соответственно, и множества 0() (Осе;Кос;у*) и 0() (Осе;кос;у*)
имеют общую границу Н — Г(0,2)(Осе;Кос;у*) (см. рис. 2). На рис. 5 вид множеств
0( )(Осе;Кос;у*),0( )(Осе;Кос;у*) и кривой Н показан более детально. На кривой Н для
н = г№31рС£;^;Гл
айт ...
4' ^СЕ-
П 84 ОВБ
0 9 О 92
Р
аэ* 096
Рис. 5. Вид множеств 0(2)(Осе;кос;у»), 0(0)(Осе;кос;у») и Н Множество 0(1)( Осе ; к ос )
Таблица 3
№ Параметры л — со1 {у, р, q} Корни характеристического полинома Состояние равновесия. Тип состояния равновесия
1 у — 0.407, р — 0.791, q — 0.818 X1 — 0.0404 , X 23 —-0.0107 ± 0.0909/ хе — 9.5674 , qe — 0.8180 , ие — 0.4846 . Седло-фокус
2 у — 0.300, р — 0.700, q — 0.900 X1 — 0.0892 , X 23 —-0.0402 ± 0.2990/ хе — 26.4886 , qe — 0.0944 , ие — 0.7468 . Седло-фокус
Таблица 4
Множество 0(0)( Осе ; к ос )
№ Параметры л — со1 {у, р, q} Корни характеристического полинома Состояние равновесия. Тип состояния равновесия
1 у — 0.403, р — 0.840, q — 0.790 X1 — -0.0015 , X2,3 —-0.0016 ± 0.0830/ хе — 0.0673 , qe — 0.0897 , ие — 0.0342 . Устойчивый узел
2 у — 0.389, р — 0.825, q — 0.793 X1 — -0.0034 , X2,3 —-0.0009 ± 0.0466/ хе — 0.0906 , qe — 0.0897 , ие — 0.0387 . Устойчивый фокус
.Wl'j
1 4
Ч- L % J-
'in 1 j T.Pi'.
Л
IJPOI Ї ~ ' 1 1
1 _ a 1 j.iij i ^JJ j
— . . і ці 1 ■ j
'¿r- 5 0 , I 1 j, in .3 jbl 1 i 1
■J 1
Рис. 6. Качественный вид бифуркационной диаграммы перехода из ;к0с;У*} в ©(2)(DcE;кDC>У*) через
кривую н по отрезку прямой p = 0.85 (устойчивые объекты показанні сплошной линией, неустойчивые - пунктиром)
корней характеристического уравнения справедливы следующие соотношения: Яе^ < О,
р = ЯеX23 = О. При переходе «изображающей
точки» из области 0(О)(Дсе;Кдс»У*) в область
0(2) (DcE; КDC; У* ) возможен ряд бифуркаций.
Опишем некоторые из возможных сценариев таких бифуркаций (подробнее см., например, [29]). Прежде всего, если точка (р,q) еН такова, что 1тX23 Ф О, а первая ляпуновская величина 1х отлична от нуля, то при переходе «изображающей точки» из области
0( )(Дсе;КДС’у*) в область 0( ')(DCE;КDC;У*) через точку (р,q) еН происходит (субкрити-ческая при ¡1 > О и суперкритическая - при ¡1 < О) бифуркация Андронова - Хопфа (см., например, [29]). Подобный переход может происходить и при условии ¡1 = О (по терминологии [29] - бифуркация Баутина). Наконец, такой переход может реализоваться и путем перехода через мнимую ось двойного нулевого корня (бифуркация Богданова - Такенса).
Полное исследование всех возможных вариантов перехода «изображающей точки» из области 0(O)(DCe;KdC; у*} в область 0(2)РС£.;КдС;у*)
через кривую Н, а также других возможных выходит за рамки настоящей работы.
Приведем лишь один из результатов, показывающих, что динамика рассматриваемой системы может быть весьма сложной. Он касается перехода из области 0(O)(Dce ; к Dc ; у* }
в область 0(2)(Dce ; к dc ; У* ) через кривую Н по отрезку прямой p — 0.9. Численные расчеты (в теоретическом и практическом плане близкие к методологии работы [30]} показывают, что при q — qH ( qH * 0.789309054 } в системе происходит субкритическая би-
фуркация Андронова - Хопфа (SH}. При значениях параметра q — qm ( qm * 0.789297625, pm * 0.000027651} и q — qM (qM * 0.789313750, pM *-0.000011 487} в системе наблюдаются бифуркации предельных циклов типа складки (fold bifurcation of limit cycles, или Limit Point of Cycles (LPC))8.
Рис. 7. Вид траекторий системы в окрестности Хе = Хе (д) при q = О.7893135ОО . Поведение траекторий в окрестности устойчивого предельного цикла
Рис. 8. Вид траекторий системы в окрестности Хе = Хе(д) при д = О.7893135ОО. Поведение траекторий в окрестности неустойчивого «внешнего» предельного цикла, внутри которого располагается устойчивый предельный цикл
Таким образом, в окрестности стационарного решения Xe = Xe (q) при q е (qH, qM) в системе сосуществуют три предельных цикла (два из которых - неустойчивые), при q 6 (qm, qH) - два предельных цикла (устойчивый и неустойчивый), а при q > qM - один неустойчивый предельный цикл, которым определяется область устойчивости стационарного решения. Заметим, что при q е (qH, qM) область устойчивости стационарного решения определяется «внутренним» неустойчивым предельным циклом, «влипающим» в состояние равновесия при q = qm (субкритическая бифуркация Андронова - Хопфа). При q < qm состояние равновесия неустойчиво. Подобный переход может быть наглядно представлен на бифуркационной диаграмме. Качественный вид диаграммы приведен на рис. 6. Диаграмма показывает зависимость от параметра q стационарного решения X e = X e (q) (отвечающего BGP) и размеров предельных циклов, возникающих в его окрестности (на рисунке представлена проекция на ось Ox ; устойчивые объекты показаны сплошной линией, неустойчивые - пунктиром; подобное представление адекватным образом передает картину перехода, поскольку в данной задаче предельные циклы однозначно проецируются на координатные плоскости).
Подчеркнем, что из результатов численных экспериментов следует существование устойчивого предельного цикла в окрестности стационарного решения Xe = Xe (q), отвечающего неустойчивой в смысле А.М. Ляпунова сбалансированной траектории роста (BGP).
В качестве примера приведем вид траекторий системы в окрестности стационарного решения Xe = Xe (q) при q = 0.789313500 < qM , дающих достаточно наглядное представление о структуре фазового пространства системы (см. рис. 7 и 8).
Заключение
В настоящей работе построена и с помощью численно-аналитических методов исследована обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала. Установлено, что данная модель более адекватно описывает влияние накопления человеческого капитала на темпы экономического роста.
Показано, что явление неопределенности достаточно типично и проявляется при любом способе принятия решений в экономической системе.
Важнейшим результатом численных экспериментов следует считать установление такого позитивного факта, как существование устойчивого предельного цикла в окрестности стационарного решения Xe = Xe (q), отвечающего сбалансированной траектории роста (BGP). Заметим, что сама сбалансированная траектория неустойчива в смысле А.М. Ляпунова. Таким образом, в окрестности неустойчивой BGP-траектории («магистрали развития») могут существовать устойчивые предельные циклы. Но это означает, что хотя «равновесная» эволюция экономической системы имеет «ту же тенденцию», что «магистраль развития» (BGP-траектория), но в действительности она имеет «колебательный характер». Другими словами, «равновесная» эволюция экономической системы может осуществляться в рамках устойчивого «образовательного бизнес-цикла» в окрестности неустойчивой «магистрали развития».
Примечания
1. Численные расчеты в статье проводились в основном для значений параметров, характерных для экономик развитых стран (то есть для экономик типа экономики США или Германии).
2. Первоначально при рассмотрении динамических моделей экономики проявление эффекта неопределенности трактовалось как определенная «слабость теории». Однако на нынешнем этапе развития теоретической экономики этот эффект воспринимается скорее как одно из важнейших средств понимания и интерпретации макроэкономических данных. В частности, в теории экономического роста это явление лежит в основе объяснения факта заметных различий в темпах экономического роста стран, имеющих близкие значения важнейших параметров своих экономик.
3. В работах [14-16] установлены, в частности, необходимые и достаточные условия, при которых характеристическое уравнение (порядка n) имеет в точности два чисто мнимых корня.
4. Обсуждение общей концепции метода математического моделирования можно найти, например, в [18, 19]. В контексте исследования экономических систем метод математического моделирования
обсуждается в [20].
5. О применении вычислительных систем для исследования свойств динамических систем общего вида см., например, работы [21-23]. Обсуждение методических особенностей такого подхода в исследовании задач теории экономического роста, обзор различных алгоритмов и компьютерных программ, а также сравнение их относительной пригодности имеются, например, в работах [24 - 26].
6. Ниже на рис. 1 и 2 множества &k\DCE;kdC с
с R3 и ©(К)(DCE;кос;у„) сR2 (К = 0 + 3) отмечены символами различного начертания и цвета.
7. В работе Р. Лукаса [27] используется У* = 0.417.
8. В литературе используется также и ряд «альтернативных» названий, например cyclic fold bifurcation, fold cycle bifurcation, fold limit cycle bifurcation, saddle-node fold bifurcation и просто saddle-node bifurcation. Последнее название обычно связывают с бифуркацией «седло-узел» соответствующего отображения Пуанкаре (см., например, [29, с. 162-163]).
Список литературы
1. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала. I // Вестник ННГУ. 2010. № 1. С. 168-175.
2. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала. II // Вестник ННГУ. 2010. (В печати).
3. Кузнецов Ю.А. Оптимальное управление экономическими системами. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2008. 449 с.
4. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Использование системы MatLab для численно-аналитического исследования задач теории экономического роста // Прикладная информатика. 2006. № 6. С. 39-47.
5. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Сравнительный анализ применения пакетов имитационного моделирования и систем компьютерной математики для анализа моделей теории экономического роста // Экономический анализ: теория и практика. 2007. № 5(86). С. 23-30.
6. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Численноаналитическое исследование обобщенной модели экономического роста с учетом накопления человеческого капитала // В кн.: Материалы научной конференции «Ломоносовские чтения 2009». МГУ им. М.В. Ломоносова / Под ред. М.В. Грачевой, Л.Н. Фадеевой, Ю.Н. Черемных. М.: МАКС Пресс, 2009.
7. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MatLab 6.х.: программирование численных методов. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 672 с.
8. Benhabib J., Perli R. Uniqueness and Indeterminacy: On the Dynamics of Endogenous Growth // Journal of Economic Theory. 1994. Vol.63. № 1. P.113-142.
9. Benhabib J., Farmer R.E.A. Indeterminacy and Sunspots in Macroeconomics // In: Handbook of Macroeconomics, Vol. 1A. Amsterdam: Elsevier, 1999. P. 387-448.
10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.
11. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Пер. с англ. под ред. А.Д. Морозова. М. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с.
12. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. М.: МЦНМО, 2005. 464 с.
13. Robinson C. Dynamic Systems: Stability,
Symbolic Dynamics, and Chaos. London - N.Y.: CRC Press, 1999. 506 pp.
14. Liu W.M. Criterion of Hopf Bifurcations without Using Eigenvalues // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1994. Vol. 182. № 1, P. 250-256.
15. Guckenheimer J., Myers M., Sturmfels B. Computing Hopf Bifurcations. I // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1997. Vol. 34. № 1. P. 1-21.
16. Yang X. Generalized Form of Hurwitz - Routh Criterion and Hopf Bifurcation of Higher Order // Applied Mathematics Letters. 2002. Vol. 15. № 5. P. 615-621.
17. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1: Пер. с англ. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 416 с.
18. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложений математики. М.: Наука, 1990. 360 с.
19. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд. М.: Физматлит, 2005. 320 с..
20. Кузнецов Ю.А. Метод математического моделирования в исследовании экономических систем // В кн.: Экономический рост и вектор развития современной России / Под ред. проф. К.А. Хубиева. М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС, 2004. С. 518-525.
21. Simó C. Computer Assisted Studies in Dynamic Systems // In: Proceedings of the International Conference dedicated to 100 anniversary of A.A. Andronov. Nizhny Novgorod. July 2-6, 2001. Vol. 1. Mathematical problems of nonlinear dynamics. Nizhny Novgorod: 2002. P. 152-166.
22. Неймарк Ю.И. Компьютерная концепция исследования конкретных динамических систем // В кн.: Труды VII Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (19-22.09.2005). Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2005. С. 17-18.
23. Guckenheimer J. Numerical Analysis of Dynamical Systems // In: Fiedler B. (Ed.), Handbook of Dynamical Systems. Vol. 2. Elsevier B.V., 2009. 1098 pp. Ch. 8.
24. Brunner M., Strulik H., Solution of Perfect Foresight Saddle Point Problems: a Simple Method and Applications // Journal of Economic Dynamics &Control. 2002. Vol. 26. № 5. P. 737-753.
25. Craven B.D., Islam S.M.N. Optimization in Economics and Finance. Some Advances in Non-Linear, Dynamic, Multi-Criteria and Stochastic Models. Dordrecht: Springer, 2005. 162 pp.
26. Novales A., Fernández F., Ruiz J. Economic Growth. Theory and Numerical Solution Methods. Berlin - Heidelberg: Springer, 2008. 521 pp.
27. Lucas R.E., Jr. On the Mechanics of Economic Development // Journal of Monetary Economics. 1988. Vol. 22. № 1. P. 3-42.
28. Gong G., Greiner A., Semmler W. The Uzawa-Lucas Model without Scale Effects: Theory and Empirical Evidence // Structural Change and Economic Dynamics. 2004. Vol. 15. № 4. P. 401-420.
29. Kuznetsov Yu.A. Elements of Applied Bifurcation Theory. 2nd Edition. - New York - Berlin - Heidelberg: Springer-Verlag, 1998. 614 pp.
30. Dhooge A., Govaerts W., Kuznetsov Yu.A. et al. MATCONT and CL MATCONT: Continuation toolboxes in MatLab. User’s Guide. Utrecht University (Netherlands) - Gent University (Belgium). 2006. 100 pp.
GENERALIZED MODEL OF ECONOMIC GROWTH WITH HUMAN CAPITAL ACCUMULATION. III
Yu.A. Kuznetsov, O.V. Michasova
The generalized model of economic growth taking account of physical and human capital accumulation is investigated using numerical-analytical methods. The model generalizes the well-known Lucas model. Qualitative features of balanced growth paths have been studied for the typical parameter values of real economic systems. The model has been found to have an indeterminacy effect at fairly realistic parameter values.
Keywords: economic growth, human capital, balanced growth paths, indeterminacy, numerical-analytical methods.
