CC BY
27
ОБОБЩЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССОВ СТАЦИОНАРНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ПЕРЕНОСА С УЧЕТОМ ФИЛЬТРАЦИИ ВОЗДУХА, ИСПАРЕНИЯ ИЛИ КОНДЕНСАЦИИ
ПАРООБРАЗНОЙ ВЛАГИ
GENERALIZED MATHEMATICAL MODEL OF THE STATIONARY NON-LINEAR TRANSFER PROCESS TAKING INTO ACCOUNT AIR FILTRATION, EVAPORATION OR CONDENSATION OF A VAPOROUS MOISTURE
P.A. Садыков R. A. Sadykov
Казанский ГАСУ
Предлагается обобщенная математическая модель (ММ) нелинейного стационарного процесса молекулярного переноса тепла (или влаги) через многослойные ограждающие конструкции (ОК) с учетом фильтрации воздуха и источников теплоты.
The generalized mathematical model (MM) of stationary process of molecular carrying over of heat (or a moisture) through multilayered protecting designs (PD) taking into account a filtration of air and warmth sources Is offered.
Введение. Процессы тепло- и массопереноса, фильтрации парогазовых смесей и жидкостей через капилляры твердых ОК весьма сложны и тесно взаимосвязаны. Кроме того, в зависимости от периода года эти процессы сопровождаются такими физическими явлениями, как испарительное охлаждение или конденсационный нагрев. Осуществление же плотного наружного слоя ОК помещений возможно не во всех случаях, т. к. такое конструктивное решение может ухудшить влажностное состояние ограждения из-за трудностей воздухопроницаемости в ОК, а следовательно и ее просушки в летний период года [1, 4, 12, 13, ].
Современные многослойные энергосберегающие ОК (под которыми в широком смысле могут подразумеваться так же тепловые или инженерные сети, емкости и резервуары для подогрева, охлаждения или хранения каких-либо жидкостей или газов и т. п.) в основном состоят из капиллярно-пористых твердых материалов, которые находят все большее применение не только в строительстве, но и многих других отраслях промышленности (высокотемпературные теплообменники; тепловые, электрические и инженерные сети; турбинные лопатки; ракетные сопла; обшивка скоростных летающих аппаратов; обмуровка тепло- и электрогенерирующих установок, системы ядерных реакторов с внутренним охлаждением и т. д.), где различные элементы оборудования подвержены достаточно высоким термическим напряжениям, возникающим в результате больших градиентов температуры Vt [2, 3, 5, 8, 14].
Основная часть. Перенос тепловой энергии в ОК происходит через твердый скелет материала, жидкую и парообразную влагу, которые содержатся в капиллярно-пористых телах. Уравнение стационарного нелинейного переноса с учетом фильтра-
7/)п11 ВЕСТНИК _1/2011_мгсу
ции (газа, парогазовой смеси, жидкости) и наличия внутренних объемных стоков (влаги) или ИТ при общепринятых допущениях [1, 4, 12, 13, 15] в одномерном случае применительно к каноническим формам в соответствующих системах координат в общем случае может быть записано в виде обыкновенного дифференциального неоднородного уравнения второго порядка [7, 9]:
)г']'+1—1 )г ]' + sgn [в ]в (г )ер (г )г' + ^^^ [/]/ (г ) = 0, (1)
где: г[т)- температура; г - текущая координата, г е[0, к], к - толщина многослойной ОК; л - коэффициент теплопроводности ОК (возможно с учетом её объемной пористости П); Г - постоянная формы (Г=1; 2; 3 - соответственно неограниченные пластина, цилиндр или квадратный брусок, шар или куб); ср - изобарная теплоемкость паровоздушной смеси; в - плотность потока паровоздушной смеси, здесь «+» означает процесс эксфильтрации, «-» - инфильтрации паровоздушной смеси; 1(г) - мощность внутреннего ИТ (+) или стока (-); «'» (верхний штрих) - дифференцирование по г; ^пН - (сигнум) функция «знак».
Если /=соп81, то в рассматриваемой области термических сопротивлений действует непрерывно равномерно распределенный положительный или отрицательный ИТ.
Если 1(г)фсопъ1, то в этой области действуют местные, сосредоточенные или распределенные положительные или отрицательные ИТ.
При обобщенном физическом описании процессов охлаждения ОК (возможно и испарительного) или нагрева (возможно и конденсационного) аналогично уравнению
(1) могут быть составлены тепловые балансы как для области г е [—да,0], так и для
области г е [к, +<х>], которые приводят к новым дифференциальным уравнениям набегающего к ОК и отходящего от ОК потоков газа (или жидкости) с соответствующими для новых закрытых интервалов г граничными условиями. В этом случае к дифференциальному уравнению (1) добавляются в зависимости от условий задачи еще один или два дифференциальных уравнения второго порядка и соответственно два или четыре граничных условия. Таким образом, обобщенная ММ даже только для стационарного теплопереноса в ОК должна содержать в себе три дифференциальных уравнения второго порядка и шесть граничных условий для нахождения соответствующих
констант интегрирования. В этом случае температурное поле г (г) в ОК выражается
через температуры окружающего воздуха (газа, жидкости, теплоносителя или хладагента) по обе ее стороны. В более упрощенном варианте эти граничные дифференциальные уравнения для ОК заменяются краевыми условиями третьего рода с возможным учетом на границе поверхностей ОК поверхностных стоков или ИТ [2, 3, 5, 14].
В свою очередь, уравнение (1) с граничными условиями третьего рода может быть заменено более простыми граничными условиями первого рода при условии ввода постоянных фиктивных (эквивалентных) пограничных слоев. Анализ конвективного теплообмена показывает, что в этом случае граничные условия третьего рода фактически отображаются в граничные условия первого рода. Тогда при интегрировании уравнения (1) и наличии в граничных условиях двух изотермических поверхностей можно использовать преобразование Кирхгофа [3, 5], которое через новую вспомогательную переменную 0 и средний коэффициент теплопроводности Яс приводит дифференциальное уравнение (1) к формализации следующей краевой задачи:
о, (2)
г Лс Лс
0(0) = 61 = ^, (3)
в(И) = в2 = , (4)
Хсв' = Х(г)/', (5) ¿2
где =— А? = ¿2 _ ?1, ^2 > ?1, ¿1 и ^2 - температуры противо-
1
положных поверхностей ОК. Направление потока тепла относительно г > 0 определяется граничными условиями задачи.
Формализованную задачу (2)-(4) можно переписать в критериальном виде через критерии Пекле (Ре) и Померанцева (Ро ) и безразмерных масштабах температуры
(Т) и термического сопротивления (Я ), что особенно удобно, т. к. позволяет перевести многослойную ОК в однослойную.
В этом случае, опуская промежуточные преобразования, задачу (2)-(4) можно записать в виде:
Т" + ^^ Т' + [Ре]Ре (Т )Т' + sgn [Ро]Ро (Т ) = 0, (6)
Я
Т (0) = 0, (7)
Т (1) = 1, (8)
0—& — Я где Т =——— е [0,1] - безразмерная температура, Я —-е [0,1] -
"2 Я0
безразмерное термическое сопротивление, здесь Я = т/Л - текущее термическое сопротивление, Я0- общее термическое сопротивление (суммарное, приведенное, требуемое или многослойной стенки), которое выбирается в зависимости от принятых
граничных условий; Ре = О (Т) Ср (Т)Я0 (в строительной теплофизике выражение ОСрВ.0 называют относительным коэффициентом фильтрационного теплообмена [1], характеризующим отношение тепловой емкости потока воздуха ОСр к коэффициенту теплопередачи ограждения
к = 1/Я0). Если
учесть объемную пористость ОК, то
О (Т )ср (Т ) 2/
Ре —-^——-Я0 ; Ро = ,(Т)И /Ас АТ, в этой постановке задачи АТ в критерии Померанцева можно опустить, т. к максимальный перепад температур равен
единице; «'» (верхний штрих) - дифференцирование по Я .
Если известны пределы изменения Ре и Ро , то знак сигнатуры в уравнении (6) в принципе можно опустить, если рассматривать эти критерии только в интервале
7/)П11 ВЕСТНИК
_Z/2°ll_мгсу
[0,1]. Тогда критерии Пекле и Померанцева запишутся в виде
Pe = {Pe - inf Pe)/(sup Pe - inf Pe), Po = (Po - inf Po)/(sup Po - inf Po) e [0,1].
В этом случае все зависимые и независимые переменные и параметры поставленной краевой задачи безразмерны и лежат в четырехмерном нормированном единичном
пространстве (T, R , Pe , Po ). Тогда система (6)-(8) перепишется в виде
T"+^1T' + Pe(T)T' + Po(T) = 0 , (9) R
T (0) - 0, (10)
T (1) -1. (11)
Таким образом, приведенные преобразования значительно упрощают математическую формализацию задачи, устраняют физические размерности и знаки, решают вопросы масштабного перехода. Единственно, несколько усложняется физическая интерпретация задачи, особенно когда в вышеуказанном пространстве строится графическое решение задачи, где фактически как бы «теряются» направленность потока (G) и знак ИТ (I) из-за отсутствия отрицательных значений параметров задачи на закрытом интервале [0,1], но это усложнение легко устраняется при обратном переходе к первоначальным параметрам поставленной задачи.
Рассмотрим в качестве примера только один частный случай решения поставленной краевой задачи (6)-(8), когда Г=1, t), Pe = const и Po = const, знак сигнатуры опустим (т. к. Pe и Po * [0,1]). Тогда задача (6)-(8) примет вид
'" + PeT' + Po = 0, (12)
T(0) - 0, (13)
T(1) -1, (14)
где: при Pe < 0 происходит инфильтрация в ОК, при Pe > 0 - эксфильтрация, при Pe = 0 - фильтрация воздуха отсутствует; при Po < 0 действует отрицательный ИТ, при Po > 0 - положительный ИТ, при Po = 0 - ИТ отсутствует. Аналитическое решение краевой задачи (12)-(14) получено в виде:
t =
e PeR -1
-Pe л e -1
^l-^R, (15)
Pe) Pe
которое уже охватывает все комбинации вышеперечисленных частных случаев параметров переноса (Ре, Ро) при заданных условиях однозначности.
Таким образом, в зависимости от знака и величины Ре или Ро , имеем различные ММ, отражающие соответствующие им физические процессы (явления). При условии же ввода в уравнение (12) Ре и Ро е[0,1] обобщенная физическая интерпретация поставленной задачи и полученное в этом масштабе решение несколько усложняется ввиду отсутствия в ММ и ее решении отрицательных значений Ре и Ро . Кроме того, необходимо отметить, что частное решение (15), несмотря на видимую простоту, получено все же при функциональной зависимости коэффициента теплопроводно-
сти от температуры X\j[r)] . Поэтому, если А(7const, то для получения профиля t[r) необходимо полученное решение T(R^ первоначально перевести в 6{r) , а далее обратным переходом через преобразование Кирхгофа (5) найти уже поле температур t (r) в исходных обозначениях поставленной задачи. Алгоритм такого перехода можно найти, в частности, в [3, 5].
Численные расчеты относительной температуры T (R) для различных значений
Pe и Po позволяют оценить смещение фронта и зоны конденсации влаги внутрь ОК (зимний период года). Аналогично находятся смещение фронта испарения и сужение зоны конденсации в обратном направлении, т. е. к наружной поверхности ОК, когда происходит просушка ограждения (уменьшение влагосодержания и, соответственно, стока тепла в летний период года). Точное расположение фронта и зоны конденсации
(испарения) можно найти из условий существования экстремума функции T(R). Скорость смещения фронта и зоны конденсации (испарения) в том или ином направлении зависит от Vt, влагосодержания и энергии (формы) связи влаги с материалом ОК. Плотность теплового потока находится из уравнения q = — dT/dR . В частности, из математического и физического анализа решения (15) можно найти множество других производных величин, позволяющих профессионально оценить или спрогнозировать то или иное состояние ОК в зависимости от параметров переноса.
t, °С
О
Рис. 1. Характерные частные графические зависимости распределения t (R) в
многослойной ОК: (1) - без учета фильтрации, ИТ и Х = const ; (2) - с учетом возду-хопроницания при инфильтрации воздуха; (3) - при эксфильтрации; (4) - с учетом инфильтрации и стока теплоты (наличия влаги в ОК); (5) - с учетом эксфильтрации и ИТ; (6) - кривая (4), но с учетом линейной зависимости X{t) при (¡3 < 0 ); (7) - кривая (4), но с учетом линейной зависимости Л(t) при (р> 0 ).
Обобщенная постановка задачи (9)—(11) позволяет рассмотреть множество других вариаций Г, A(t), Pe(T), Po(T) с учетом направленности потоков и знака ИТ.
7/2011 ВЕСТНИК _7/2011_мгсу
Исходное же уравнение (1) при переменных параметрах переноса [(), Ре(V),
Ро (г) ] и краевых условиях различного рода (возможно смешанных и нелинейных),
учитывающих и поверхностные источники (стоки) тепла, в наиболее общем случае решается численными или приближенными методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений, а при определенных условиях указанных параметров переноса оно может быть сведено к решению известных дифференциальных уравнений Бесселя, Лежандра или к решению линейного неоднородного дифференциального уравнения п-го порядка (в нашем случае - второго) с переменными коэффициентами [7].
На рис. 1 представлены некоторые характерные профили распределения г (Я) в
ОК в зависимости от параметров переноса [ ), Ре(7), Ро(г) ] и их знаков.
Заключение. Предлагаемая в критериальном виде обобщенная ММ (9)—(11) процессов нелинейного переноса в многослойной ОК позволяет независимо от масштабов исследуемого объекта и направления потоков:
- рассчитывать поля температур, тепловые потоки, а также различные коэффициенты переноса (теплоотдачи, теплопередачи, термического сопротивления, порового охлаждения, фильтрационного охлаждения) и др. производные характеристики с учетом ее влагосодержания, различного рода включений или неоднородностей для многообразных классов физических явлений или процессов;
- учитывать в расчетах полей переноса (тепла, влаги, парогазовой смеси) изменение теплофизических характеристик от толщины многослойной ОК или ее термического сопротивления;
- использовать полученные результаты для практических расчетов при проектировании многослойных ОК зданий и сооружений, тепловых инженерных сетей, разработке СНиПов, СП по тепловой защите зданий [10, 11] и т. д.;
- проводить расчеты как тепло-, так и массопереноса различных ОК для канонических систем координат (декартовой - для пластин, стен; цилиндрической - для трубопроводов; сферической - для ёмкостей): ввиду аналогии законов переноса в приведенных уравнениях символ температуры « г » можно, например, заменить на символ влагосодержания « и », а вместо теплообменных критериев в обобщенной задаче можно использовать массообменные и далее соответственно проинтерпретировать поставленную физическую задачу.
Литература:
1. Богословский В. Н. Строительная теплофизика (теплофизические основы отопления, вентиляции и кондиционирования воздуха). С-Пб.: «АВОК Северо-Запад», 2006. -400 с.
2. Исаченко В. П., ОсиповаВ. А., Сукомел А. С. Теплопередача. М.: «Энергоиздат», 1981. - 416 с.
3. Исаев С. И., Кожинов И. А., Кофанов В. И. и др. Теория тепломассообмена (под ред. Леонтьева А. И.). М.: «Высшая школа», 1979. - 495 с.
4. Ильинский В. М. Строительная теплофизика (ограждающие конструкции и микроклимат зданий). М.: «Высшая школа», 1974. - 320 с.
5. Коздоба Л. И. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М.: «Наука», 1975. - 227 с.
6. Крайнов Д. В., Садыков Р. А. Расчет термического сопротивления ограждающих конструкций с интегральным учетом их воздухопроницаемости и источников теплоты. // Сборник трудов X Международного симпозиума «Энергоресурсоэффективность и энергосбережение». Казань, 2009. -с. 187-195.
7. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во «Высшая школа», 1967. - 564 с.
8. Садыков Р. А. Расчет теплотехнических характеристик ограждающих конструкций с учетом термодиффузии и фильтрации влаги. // Материалы Международной научно-технической конференции «Теоретические основы теплогазоснабжения и вентиляции». М.: МГСУ, 2005 . - с. 53-57.
9. Садыков Р. А., Крайнов Д. В., Иванова Р. В. Процессы переноса в ограждающих конструкциях с учетом воздухопроницания и стоков теплоты. // Сборник докладов 3-й Международной научно-технической конференции «Теоретические основы теплогазоснабжения и вентиляции». М.: МГСУ, 2009. - с. 90-92.
10. СНиП 23-02-2003. Тепловая защита зданий. М.: 2003, 31 с.
11. СП 23-101-2004. Проектирование тепловой защиты зданий. М.: 2004. - 167 с.
12. Ушков Ф. В. Теплопередача ограждающих конструкций при фильтрации воздуха. М.: Стройиздат, 1969. - 144 с.
13. Фокин К. Ф. Строительная теплотехника ограждающих частей зданий. М.: «АВОК-ПРЕСС», 2006. - 256 с.
14. ЭккертЭ. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена. М.-Л., «Госэнергоиздат», 1961. -, 680 с.
15. Hugo Hens. Building Physics - Heat, Air and Moisture. - John Willey & Sons Limited, 2007. - 270 p.
Literature:
1. Bogoslovsky V. N. Constructional thermo physics (thermo-physical basis of heating, ventilation and air conditioning). S-Pb.: "Northwest AVOK", 2006. - 400 p.
2. Isachenko V. P, Osipov V. A, Sukomel A. S., Heat transfer. M.: "Energoizdat", 1981ю - 416 p.
3. Isaev S. I, Kozhinov and. A, Kofanov V. I, etc. Theory of heat and mass transfer (under the editorship of Leonteva A. I). M.: "Highest school", 1979. - 495 p.
4. Ilinsky V. M, Building thermo-physics (shielding construction and building micro climate). M.: "Highest school", 1974. - 320 p.
5. Kozdoba L. I. Solution methods of the nonlinear problems of heat conductivity. M.: "Science", 1975. - 227 p.
6. Krajnov D. V, Sadykov R. A. Calculation of thermal resistance of shielding constructions with the integration account of their air permeability and heat sources. // The collection of works of X International symposium «Effectiveness of the power resources and power savings», Kazan, 2009. - pp. 187-195.
7. Matveev N. M. Integration methods of the ordinary differential equations. M.: "Higher school", 1967. - 564 p.
8. Sadykov R. A. Calculation of thermo-technical characteristics of shielding constructions taking into account thermo diffusion and moisture filtration. // Materials of the International scientific and technical conference «Theoretical bases of heat and gas supply and ventilation», M.: МГСУ, 2005. - pp. 53-57.
9. Sadykov R. A, Krajnov D. V, Ivanova R. V. Transfer process in shielding constructions taking into account air permeability and heat drains. // The collection of reports of 3rd International scientific and technical conference «Theoretical bases of heat and gas supply and ventilation». M.: МГСУ, 2009. - pp. 90-92.
10. СНиП 23-02-2003. Thermal shielding of buildings. M.: 2003. - 31 p.
11. СП 23-101-2004. Designing of thermal shielding for buildings. M.: 2004. - 167 p.
12. Ushkov F. V. The Heat transfer of shielding constructions with air filtration, M.: Stroyizdat, 1969. -144 p.
13. Fokn K. F. Constructional heat engineering of the shielding parts of a building. M.: «AVOK-PRESS», 2006. - 256 p.
14. Ekkert E. R, Drake R.M. Theory of heat and mass transfer. M.-L., "Gosenergoizdat", 1961. -680 p.
15. Hugo Hens. Building physics - Heat, Air and Moisture. - John Willey AND Sons Limited, 2007. - 270 p.
Ключевые слова: математическая модель, тепломассоперенос, конструкция, фильтрация, влагосодержание, тепловой поток, испарение, конденсация.
Keywords: mathematical model, heat and mass transfer, design, a filtration, a moisture content, a thermal stream, evaporation, condensation.
e-mail: sadykov_r_a@,mail.ru
