Обобщенная математическая модель программно-управляемого вероятностного элемента Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

_Доклады БГУИР_

2012 № 2 (64)

УДК 681.3.519.241.2

ОБОБЩЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОГРАММНО-УПРАВЛЯЕМОГО ВЕРОЯТНОСТНОГО ЭЛЕМЕНТА

Э.А. БАКАНОВИЧ, Т.М. КРИВОНОСОВА

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь

Поступила в редакцию 14 ноября 2011

Приводится математическое описание программно-управляемого вероятностного элемента (вероятностного конъюнктора) в достаточно общем предположении относительно свойств и числовых характеристик потоков случайных и детерминированных сигналов, поступающих на входы конъюнктора. Обобщенная математическая модель позволяет осуществлять программное управление вероятностью наступления случайного события при использовании элементов с различным числом импульсных и потенциальных входов, а также выполнять параллельное и последовательное соединения вероятностных элементов при организации стохастических сетей.

Ключевые слова: стохастическое устройство, математическая модель, вероятностный элемент, поток случайных событий, распределение Пуассона, поток Пальма, функции Пальма - Хинчина.

Введение

Возможность организации программного управления параметром пуассоновского потока сигналов [1] является предпосылкой расширения функциональных возможностей цифровых структур, используемых для генерирования потоков случайных событий с управляемыми вероятностными и временными характеристиками. В частности, появляется возможность автоматически выбирать вид оператора преобразования первичных случайных и детерминированных потоков и адаптировать параметры генераторов потоков случайных событий к характеру решаемых задач. Однако это требует обобщения и уточнения математических моделей, описывающих работу управляемых вероятностных конъюнкторов [2, 3].

Обобщенная математическая модель

Пусть на схему совпадения поступают поток бесконечно коротких импульсов фД-г), интервалы между которыми & имеют плотность распределения вероятностей и поток ГП(0 прямоугольных сигналов, длительности которых т являются случайными величинами с плотностью распределения вероятностей Дт). Интервалы между моментами появления последовательных прямоугольных сигналов также случайны, а их функция распределения определяется способом включения конъюнктора - рис. 1. Будем интерпретировать работу конъюнктора как процесс «набрасывания» случайного временного интервала т на импульсный поток ф^(г); начало набрасываемого интервала т может оказаться внутри любой паузы потока бесконечно коротких импульсов фя(г). Нас интересует вероятность появления на выходе конъюнктора по крайней мере одного сигнала потока ф^(г) при осуществлении случайного испытания, т.е. в течение времени, когда конъюнктор открыт по потенциальному входу.

Прежде чем приступить к выводу соотношений, описывающих поведение рассматриваемого вероятностного конъюнктора, приведем некоторые положения теории случайных им-

пульсных потоков [4, 5], которые при построении обобщенной модели конъюнктора будут играть важную роль.

фяО) . ■е-& 1111 II '.

0 © «ЕЕ-3> *

т

Рис. 1. Временная диаграмма работы управляемого вероятностного элемента; иллюстрация к построению обобщенной математической модели

Для стационарного и ординарного потока Пальма ф5(г) бесконечно коротких импульсов с плотностью распределения интервалов & между соседними сигналами Д3) плотность распределения Д3*) интервала 3*, на который случайным образом падает точка (точка на рис. 1), т.е. начало осуществления случайного испытания, определяется выражением

/ (3*) =

/(3)/т3, 3> 0,

0,

3< 0,

(1)

а плотность распределения остатка времени 0 от момента падения точки случайно брошенной на поток ф5(г), до момента поступления первого после этого импульса потока ф5(г) определяется выражением

/ (3) ч

— I/(3)^3, &

т „

> 0,

(2)

0,

3 < 0.

Доказательства справедливости (1) и (2) приводятся в [5].

Теорема, устанавливающая связь между требуемой вероятностью появления по крайней мере одного сигнала на выходе вероятностного конъюнктора и характеристиками входных потоков ф5(г) и ГП(0, может быть сформулирована следующим образом.

Теорема 1. Для стационарного и ординарного потока Пальма ф5(г) бесконечно коротких сигналов с плотностью распределения вероятностей интервалов 3 между соседними импульсами Д3), вероятность попадания по крайней мере одного сигнала в независимый от ф5(г) случайный интервал т, подчиняющийся распределению Дт), определяется выражением

Ра[ / (3); / (х); х] = Я [1/т9 • I / (^ 3] • / (тМ 3^1.

(3)

Для доказательства этой теоремы вновь обратимся к рис. 1. Искомая вероятность, очевидно, соответствует вероятности выполнения условия 0 < т:

Р(9<т) = |/(Э)^Э .

(4)

При заданном законе распределения случайной величины т вероятность РД / (3); / (т); т] можно определить как математическое ожидание функции, закон распределения аргумента которой известен:

Ра[/(3);/(т);т] = |Р(Э < т) • /(тМт.

0

Подставляя (2) в (4) и (4) в (5) приходим к выражению (3).

00

3

Из этой теоремы вытекает ряд следствий.

Следствие 1. Для стационарного и ординарного потока Пальма ф^) бесконечно коротких сигналов с плотностью распределения Д&) длин интервалов & между соседними импульсами вероятность попадания по крайней мере одного сигнала в набрасываемый в случайный момент времени на этот поток интервал фиксированной длины т определяется выражением

Ра[ f (3); т] = 1/т8-}{ f (3)dШ.

(6)

Справедливость (6) непосредственно следует из (4), если учесть (2). Выражение (6) может быть получено и с использованием функций Пальма-Хинчина [6]. В частном случае, когда поток фД-г) является пуассоновским потоком с интенсивностью X из (6) получаем

г = Р (т) = 1 - е Лт, что соответствует частному случаю, рассмотренному в [2].

Следствие 2. Вероятность попадания по крайней мере одного сигнала регулярного потока Х^г) с периодом следования импульсов Т в случайный временной интервал т (поток УП(0), подчиняющийся распределению Дт) и набрасываемый на регулярный поток в случайный момент времени, не зависящий от Х^) (рис. 2), определяется выражением

Т ад

Ра[f (т);Т] = 1/Т• {т • f (т^т + | f (т)dт .

(7)

Плотность распределения длин интервалов в регулярном потоке Х^) может быть представлена в виде 5-функции ДТ) = 5(г - Т). При набрасывании случайного интервала т на регулярный поток Х^г) условие 0 < т (рис. 2) может быть выполнено при т < Т с вероятностью

Р(0 < т) = |{[1 - |б(г - Т^] / Т^т = т / Т, а при т > Т Р(0 < т) = 1.

Таким образом, Гт /Т, т < Т,

Р(0 < т) =

0,

т > Т.

(8)

Хл(0

УпУ) ->Г

Тх-1

0

Тх +1

г

Рис. 2. Временная диаграмма работы управляемого вероятностного элемента; частный случай: регулярный импульсный поток Хк(г) с управляемой частотой и случайный поток прямоугольных сигналов УП(г) (стробов) с заданной плотностью распределения вероятностей длительностей _Дт)

Подставляя (8) в (5), получаем (7). В частном случае, когда длина набрасываемого интервала т распределена по показательному закону с параметром X, из (7) непосредственно по-

лучаем Р(А) = |/1(т + З^г = (1 - е-»г)/ ХТ .

Следствие 3. Вероятность попадания по крайней мере одного сигнала стационарного пуассоновского потока бесконечно коротких импульсов с интенсивностью X в набрасы-

ваемый в случайный момент времени случайный интервал т, подчиняющийся показательному распределению с параметром ц, определяется выражением

р = РГХ; ц) = Х /(Х + ц).

(9)

о а

Т

о

г

т

т

г

£

г

Т

Т

В этом случае f (3) = Ае-«® и р = Р,Д А; ц) = | (1 - е-«») • це ->"dт = Я /(Я + ц).

f (т) = це цт. Поэтому Р(9 < т) = 1 - е-

Следствие 4. Вероятность попадания по крайней мере одного сигнала регулярного импульсного потока Х^) с периодом между импульсами Т в набрасываемый на Х^) в случайный момент времени интервал фиксированной длины т определяется выражением

Р(Т, т) =

т / Т, т < Т,

1,

т > Т.

(10)

Доказательство справедливости (10) может быть осуществлено на основе методики, которая использовалась для вывода (7).

На рис. 3 приведены характеристики управляемого вероятностного конъюнктора для частного случая, когда фД-г) является стационарным пуассоновским потоком с параметром X, а набрасываемый интервал подчиняется показательному распределению с параметром ц - формула (9).

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

1 2 3 4 5 6 8 10 12

Рис. 3. Характеристики управляемого вероятностного элемента

В заключение рассмотрим часто встречающийся на практике случай, когда интервал времени, в течение которого конъюнктор открыт по потенциальному входу, ограничен неслучайной величиной Т0 - рис. 4.

Теорема 2. Для стационарного и ординарного потока Пальма ф^(^) бесконечно коротких импульсов с плотностью распределения вероятностей длин интервалов 3 между соседними сигналами Д3), вероятность попадания по крайней мере одного сигнала в независимый от фя(г) интервал длиною т с плотностью распределения вероятностей Дт) (причем т < Т0, Т0 - некоторая неслучайная величина) равна

ра[ f (»); f (т); Т0] = | f (т) • | f (9^т + | f (т) • | f (9) dM т

(11)

где Д0) определяется в соответствии с (2).

Обратимся к рис. 4, который иллюстрирует тот факт, что сигнал на выходе конъюнктора появляется тогда, когда т < Т0, 0 < т или при т > Т0, 0 < Т0. Далее для доказательства справедливости (11) может быть использована методика, применявшаяся для вывода (3).

Следствие 1. Для управляемого вероятностного конъюнктора, рассмотренного в [3], в соответствии с (11) получим выражение

РГ / (3); Т; Г] =

(1 - е-Цт)/цТ, Т < Т0 (1 - е-Ш0)/ цТ, Т > Т.

(12)

0

Т

(г)

11

t

Выход элемента t

- 1

11

Рис. 4. Временная диаграмма работы управляемого вероятностного элемента; частный случай: длительности случайных прямоугольных сигналов потока YП(t) ограничены неслучайной величиной ^

Следствие 2. Для управляемого вероятностного конъюнктора в соответствии с (11) выражение (9) принимает вид

Р [X; ц; Т] = X- e -( х+ц)T. /(X + ц ).

(13)

t

>

Заключение

Рассмотренная математическая модель обобщает результаты, приведенные в ряде статей авторов, посвященных различным способам построения управляемых вероятностных элементов при создании более сложных стохастических устройств - управляемых вероятностных и корреляционных преобразователей, генераторов многомерных случайных величин и т. п. Обобщенная модель позволяет проводить исследования и оценивать точность работы стохастических устройств при различных вероятностных свойствах используемых потоков сигналов; модель включена в состав программно-математического обеспечения автоматизированной системы управления научными исследованиями, моделированием и испытаниями радиотехнических систем.

GENERALIZED MATHEMATICAL MODEL OF THE PROGRAM-CONTROLLED

PROBABILISTIC ELEMENT

E.A. BAKANOVICH, T.M. KRIVONOSOVA

Abstract

The paper represents the mathematical description of the program-controlled probabilistic element (probabilistic AND circuit) in a rather general assumption regarding the properties and numeric characteristics of the flows of random and determined signals, arriving at the inputs of the AND circuit. The generalized mathematical model allows a program-driven control of the random event probability when using the elements with different number of pulsed and potential inputs, as well as a parallel or serial connection of probabilistic elements when arranging stochastic networks.

Список литературы

1. Баканович Э.А., Кривоносова Т.М. // Докл. БГУИР. 2010, №4 (50). С. 77-83.

2. Баканович Э.А., Кривоносова Т.М. // Докл. БГУИР. 2010, №8 (54). С. 64-71.

3. Баканович Э.А., Кривоносова Т.М., Четыркина З.Н. // Докл. БГУИР. 2011.№4 (58). 5-11.

4. Седякин Н.М. Элементы теории случайных импульсных потоков. - М., изд. «Сов.радио», 1965.

5. Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания. М., 1969.

6. Хинчин А.Я. // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. 1955. Т. 49.