CC BY
32
2018, Т. 160, кн. 3 С. 561-577
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
УДК 539.3
ОБОБЩЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
Е.Ю. Михайлова1, Д.В. Тарлаковский1'2, Г.В. Федотенков1'2
1 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), г. Москва, 125993, Россия 2НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова, г. Москва, 119192, Россия
Аннотация
Предложена обобщенная линейная модель динамики тонкой упругой оболочки постоянной толщины, учитывающая поворот и обжатие нормального к срединной поверхности оболочке волокна. Используется система координат, включающая криволинейные координаты срединной поверхности и отсчитываемая от срединной поверхности в направлении внешней нормали расстояние (нормальная координата). Найдены связи пространственных метрики и ковариантных производных с аналогичными параметрами срединной поверхности.
Поле перемещений оболочки и все характеристики рассматриваются в линейном приближении по нормальной координате. Показано, что перемещения любой точки оболочки определяются тангенциальными и нормальными перемещениями срединной поверхности, двумя углами поворота нормального волокна и его деформацией, а деформированное состояние оболочки задается тензорами тангенциальной деформации и изменения кривизны и деформацией нормального волокна. С помощью линеаризации уравнений совместности деформаций для сплошной среды получены три аналогичных уравнения для тонкой оболочки. Для их построения использовано квадратичное приближение перемещений.
Получены формулы для потенциальной и кинетической энергии, а также для работы внешних сил. Показано, что учет поворота нормального волокна и обжатия приводит к появлению дополнительных внутренних силовых факторов - дополнительного момента и нормальной силы. При этом к стандартным внешним силовым факторам добавлены распределенные моменты. Физический закон построен для анизотропного материала, обладающего симметрией относительно срединной поверхности без принятия обычно используемой статической гипотезы о ненадавливаемости волокон.
Уравнения движения построены с помощью принципа Гамильтона и состоят из шести тензорных соотношений. Из этого принципа выведены и естественные граничные условия. Показано, из построенной модели как частные случаи вытекают модели Кирхгофа-Лява и типа Тимошенко.
Ключевые слова: упругая оболочка, поворот и обжатие нормального волокна, анизотропия, уравнения движения, совместность деформаций
Введение
Основы теории пластин и оболочек были заложены в Х1Х-ХХ вв. крупными учеными в области математики и механики, среди которых О. Коши, С. Пуассон, Б. де Сен Венан, Г. Кирхгоф. В 1874 г. Г. Ароном впервые была предпринята попытка вывода уравнений теории оболочек из уравнений теории упругости на основе метода Кирхгофа. Рождение современной теории оболочек связано с работами А. Лява, А. Бэссета и Х. Лэмба. В дальнейшее развитие теории оболочек большой вклад внесли С.А. Амбарцумян, В.В. Болотин, И.Н. Векуа, В.З. Власов,
И.И. Ворович, К.З. Галимов, А.Л. Гольденвейзер, Э.И. Григолюк, Н.А. Кильчев-ский, А.И. Лурье, Х.М. Муштари, В.В. Новожилов, П.М. Огибалов, Ю.Н. Работ-нов, С.П. Тимошенко, К.Ф. Черных, И.Я. Штаерман, П.М. Нахди, Э. Рейсснер и другие видные ученые. Подробные обзоры становления и развития классической теории оболочек даны, например, в монографиях [1, 2].
Очевидно, что в условиях современного развития науки и технологий прикладное значение теории оболочек будет только усиливаться. В современных конструкциях все более широкое применение находят композитные, синтетические и другие неметаллические материалы. Отличительной особенностью этих материалов является повышенная податливость при сдвиговых деформациях. При этом даже небольшие по величине касательные напряжения существенно влияют на общую деформацию. Расчет пластин и оболочек из таких материалов по классическим теориям может приводить к большим погрешностям [1, 3].
Уточненные теории необходимо использовать при расчетах трехслойных пластин и оболочек, состоящих, как правило, из тонких несущих слоев и слоя заполнителя между ними [4-6]. Здесь для получения точных результатов решения необходимо учитывать эффекты обжатия и сдвига в заполнителе.
Отметим еще нестационарные задачи, связанные с проблемами распространения волн, вызванных быстроизменяющейся нагрузкой, и нестационарные контактные задачи, которые также требуют привлечения теорий, более точных, чем классическая теория Кирхгофа-Лява [7-9].
Еще одним бурно развивающимся в настоящее время направлением является наномеханика, объекты изучения которой имеют наноразмерную структуру. Основной сложностью при разработке теорий, адекватно описывающих механическое поведение наноразмерных структур, является то, что их механические свойства существенно отличаются от свойств привычной сплошной среды. Это происходит потому, что при уменьшении размера частиц доля атомов, расположенных на их поверхности, и их вклад в свойства объекта становятся существенными и растут с дальнейшим уменьшением размеров. На этом размерном уровне может также начать проявляться действие законов квантовой механики. Следует отметить, что многие нанообекты по своим геометрическим параметрам близки к стержням, пластинам и оболочкам. Поэтому современная наука находится в активном поиске новых уточнённых теорий пластин и оболочек, способных описать механику наноструктур. Например, в работе [10] авторами предлагается учесть влияние поверхностного натяжения, которое проявляется у нанообъектов, для уточнения их свойств.
Из вышеизложенного совершенно ясно, что с фундаментальной точки зрения процесс развития теорий оболочек нельзя считать законченным, поскольку в технике непрестанно возникают новые конструкции, расчет которых в рамках существующих вариантов теорий оказывается невозможным. В этой связи естественными направлениями развития стали неклассические теории оболочек с учетом сдвиговых деформаций и поперечного обжатия [11-18], а также нелинейные теории оболочек [19-22]. Из уточненных линейных теорий пластин и оболочек наибольшее распространение получили следующие.
Теория Тимошенко - Рейсснера, разработанная Э. Рейснером на основе идей С.П. Тимошенко [11], учитывает сдвиг и инерцию нормального к срединной поверхности оболочки волокна. Уточненные динамические теории, основанные на модели С.П. Тимошенко, представлены в обзоре [1].
Для анизотропных оболочек широкое применение нашли теории С.А. Амбар-цумяна. Первая их них [12] основана на гипотезах, предложенных В.В. Новожиловым [23]. Вторая теория, разработанная этим ученым, является итерационной.
В ее основе заложены более жесткие гипотезы [13]. В ней пренебрегается поперечной деформацией и поперечным нормальным напряжением, а при определении деформаций сдвига используются касательные напряжения, определяемые по классической теории Кирхгофа-Лява.
Заслуживает внимания также уточненная итерационная теория оболочек В.А. Родионовой, Б.Ф. Титаева и К.Ф. Черныха, представленная в работе [17]. Она основана на гипотезах о том, что поперечные нормальные и касательные напряжения распределены по толщине по кубическому и квадратичному законам соответственно; нормальные и тангенциальные составляющие вектора перемещений распределены по толщине оболочки по законам полинома второй и третьей степени соответственно. При построении теории напряжения и перемещения определяются в виде рядов по полиномам Лежандра от координаты, отсчитываемой вдоль нормали к срединной поверхности.
Для расчета оболочек средней толщины применяется уточненная теория О.М. Палия О.М., В.Е. Спиро [18]. В ее основе заложена гипотеза прямой нормали и предположение о том, что косинус угла наклона нормальных к срединной поверхности деформированной оболочки волокон равен осредненному углу поперечного сдвига.
В настоящей работе с общих позиций анизотропи и материала и без введения дополнительных гипотез, кроме гипотезы прямой нормали, изложена обобщенная математическая теория оболочек с учетом сдвига и поперечного обжатия. Выведены основные энергетические соотношения, уравнения движения, начальные и граничные условия. Впервые получены уравнения совместности деформаций для обобщенного варианта теории оболочек.
1. Геометрия и метрика оболочки
Рассматривается тонкая оболочка толщины h с гладкой ориентированной срединной поверхностью (г - радиус-вектор в R3)
П: г = го (£\£2), (£\£2) е D С R2,
ограниченной кривой
Г: г = гг (т ) = го (С1 (т) ,£2 (т)) , (С1 (т) ,£2 (т)) е dD, т е [а, в] . Толщина оболочки полагается малой:
h/A < 1, A = min(d,R1*,R2*), d = sup inf AB , Rk* = inf Rk (M),
A,Ber ABCU
m en
где Rk (М) - главные радиусы кривизны поверхности П в точке М.
Ковариантный базис э^, компоненты д^ метрического тензора соответствующего риманова пространства и единичный нормальный вектор п внешней нормали к поверхности П определяются стандартным образом [24] (все латинские индексы здесь и далее принимают значения 1, 2):
Это ) _
, д^ _(Эi, )' п _ [N1'
, dij = Э) , П = Т^ТТ, N = [Э1, Э2 ] . (1)
В занимаемой оболочкой области О С К3 с границей дС _ П_ У П+ У Пь, где П+, П_ и Пь - внешняя, внутренняя и боковая поверхности, вводим криволинейные координаты е1, е2 , г:
Ь Ь
г _ го (е1^2) + гп (е1^2) , (е1,^^ € Б, -Ь < г < Ь■ (2)
Отсюда с использованием (1) и деривационных уравнений [25] находим пространственный базис в!, в2 , ез . (здесь и далее по повторяющимся латинским индексам проводится суммирование от 1 до 2):
дг • дг • • •
е) = д) = )^ ез = дг = п' ч) = 5) - гЬ), (3)
где 5) - символ Кронекера; Ь) - компоненты тензора кривизны срединной поверхности.
Этому базису соответствует пространственный метрический тензор
9г) = (вг, в)) = д•) - 2Ь)г, д 13 = д23 = 0, дзз = 1, (4)
третий инвариант д которого связан со вторым инвариантом д тензора дг) следующим образом:
д = &еЬ(дг))2х2 = 1 - 4Нг, д = <еЬ(дг))2х2. (5)
Здесь и далее, если не оговорено противное, отбрасываются слагаемые со степенями г и Н выше первой, и приближенные равенства заменяются точными.
С учетом этого соглашения обращаем равенства ( 3) и находим контравариант-ные компоненты пространственного метрического тензора:
э) = р) ег, р) = 5) + гЬ), дг) = дг) + 2гЬг). (6)
Граничные поверхности оболочки определяются равенствами
Н
п±: г=г± (е,е)=го [е, а ± нп, а е Б, (7)
Пь: г = гь (т, г) = гг (т) + гп (£! (т), £2 (т)) , (8)
Н Н
(е,е) е дБ, т е [а, в] , -2 < г < 2.
Соответствующие им ковариантные базисы, компоненты метрических тензоров и их вторые инварианты находятся по формулам
э±г = ег\г=±Н/2, д±г) = (э±г, э±) ) = дг)\ г=± к/2,
(9)
д± = (д±г))2х2 = (1 Т 2НН) д, д гь • д гь
эь1 = ж = ^ , эь2 = дг =п, (10)
дь11 = (эы, эы) = дг) ', дь12 = 0, дь22 = 1, дь = (дЫ)) = дьи,
где штрихами обозначены производные по параметру т; Н = (Ь1 + Ь2)/2 - средняя кривизна поверхности П.
2. Деформированное состояние оболочки
Прежде всего отметим, что из записанных выше соотношений вытекают используемые далее следующие связи между координатами щ, йз и йг, из вектора перемещений, а также между компонентами щ), щз, ¿зг, ¿33 и щ), щз, ¿зг, ¿33 тензора дисторсии в базисах е1, е2, п и э1, э2, п соответственно [24]:
й) = д) щ = й) — гЬ) щ, й3 = й3 = й3 = й3 = й3]
4г _ р1Р31 _ ¿ы + г [Ьгкг1ц + Ъ33,кЛ , й i - - i - й i _ _ i _ й - (11) ¿зз _ рк—з _ ¿кз + гЪк^з, ¿Зк _ ркdзi _ ¿33 + гЪ,dзi, ¿33 _ ¿33 _ ¿33.
Кроме того, вычисляем компоненты тензора дисторсии в базисе в!, в2, п [24]:
дйл ~ъ ~п ~ ~ ди■
- гЫик - 1*uз, ¿3 _ ^из _ ^
ди' ди
¿'з _ viиз _ дел - Г'ик - Г?3зu3, di3 _ ^из _ де3 - Г^ик - Г3зuз,
де де (12)
ди' ди
dзi _ VзUi _ дг - Гз^к - г3'и3, ¿33 _ У3и3 _ ц- - Г^и, - Г;3и3.
Здесь ГЫ , Г', г3;, Г33 и Г33 - символы Кристоффеля второго рода. Находим их, определяя сначала с использованием (4) и деривационных уравнений символы Кристоффеля первого рода:
— 1 / дд'т дд'т дд'\ и огк и )
Г'3,т _ ^ I ~дёТ + Щт ) _ 3,т - г ^3' + 2Г'3'' ,
Г'3,3 _ Ъ'3 - гв'з, Г'3,т _ -Г'т,з, Гзз,' _ Г'3,3 _ Гзз,з _ 0, С'3 _ Ъ3Ъкз,
где Г'3,т и Гы3 - символы Кристоффеля в пространстве, соответствующем срединной поверхности.
В результате в силу (4) получаем
Гк _- ктГ.. _ гк _ г\7 .Ък
- - _ - - - - (13)
Гз3 _ -33Г3,3 _ Ъ'3 - гс'3, Г3з _ Г3з _ Г;з _ 0, Г'з _ дктГ'3,т _ -Ък: - гсЫ.
Подставляя теперь (13) в (12), приходим к равенствам
¿'3 _ ViUз - Ъ'3из + 2 (с'3из - ЪкV'',йк) ,
7 ди3 , ,к й 7 ди' 1к дик 7 ди3
*3 _ де'+Ъ'иы _ дг - гЪ' ¿33 _ иг.
Их использование в (11) приводит к следующим формулам для компонент тензора дисторсии в базисе Э1, Э2, п:
¿'3 _ ViUз - Ъ'3из + 2 (Ъ3 V,,и>3 - С'3из) , й диз к ( кдиз , \ , ди' , диз
(14)
йз _ дё' +Ъ' из +г (УЪ' дек + с'и1), ¿з' _ иР ¿зз _ ц
Далее, с учетом малости толщины оболочки раскладываем 113 и ийз в степенные ряды по 2, ограничиваясь линейным приближением:
' _ и' (е1,е2) + ф' (е1,е2) г, из _ ™ (е1,е2) + Фз (е1,е2) г. (15)
Отметим, что эти равенства соответствуют гипотезе прямой нормали с учетом ее поворота. При этом определяемый равенствами
и _ ио + г ('Ф + Фзп), ио _ щэ% + ф _ ф'э' (16)
вектор и есть вектор перемещений точек оболочки. Здесь ио - вектор перемещений срединной поверхности, и' и и> - тангенциальные и нормальное перемещения, а, как достаточно просто показать, координаты вектора ' определяют угол между нормальными волокнами в деформированном и недеформированном состояниях.
Используя теперь формулы (14) и (15), находим компоненты тензора деформаций [24]
£-1] = 1 (^¿¿о + = £12 + , £ 33 = ¿33 = фз:
£¿3 = 2 (¿¿3 + ¿3^ = 1 0 + 1 г (Ьквк + УФ3) ,
(17)
где
£г] = 2 + аоъ) , = 2 {рго + Рог) ,
дто
аго = УгЧ] - Ь¿от, -д = + Ьки?, вк = фк - ■&?, (18)
во = УгФо - Ьгоф3 + ЬкУ?ио - с¿от = Угф] - Ь¿оФ3 + Ька?о.
Таким образом, поле перемещений и деформированное состояние оболочки полностью определяется следующими кинематическими параметрами: и\, и2, т, ф\,
Ф2, Ф3 и £ъо , Къо •
Отсюда следует, что величина Ф3 есть относительное удлинение нормального волокна («обжатие» оболочки). Нетрудно показать, что координаты вектора в = = ^¿э1 определяют угол между нормальным вектором и материальным волокном в деформированном состоянии. Несложно также убедиться в том, что тензоры £о и к^ характеризуют изменения метрического тензора и тензора кривизны срединной поверхности. Поэтому будем использовать следующую терминологию: £¿2 и Кц - тензоры тангенциальных деформаций и изменения кривизны.
Из построенных кинематических соотношений в качестве вариантов получаются наиболее распространенные модели оболочек. При Ф3 =0 получаем модель типа Тимошенко, а если дополнительно положить в = 0, то придем к модели Кирхгофа - Лява (см., например, [2]).
3. Уравнения совместности деформаций оболочки
Для построения уравнений совместности деформаций оболочки используем соответствующие уравнения механики сплошной среды для малых деформаций в принятых выше обозначениях [24]:
к£ц + ^о Ч&к = УУ1 £ок + ^о V к £¿1, (19)
где совокупность индексов 1]к1 принимает значения 1212, 1313, 2323, 1223, 1213, 1323.
Для получения искомого результата необходимо деформации ^¿о выразить через кинематические параметры оболочки. С этой целью сначала аналогично (11) находим их связь с деформациями ё^о в базисе Э1, э2, п (напомним, что все операции выполняются с точностью до линейных по г слагаемых)
£¿3 = £¿3 - г (Ьп£ ¿п + Ь?ёто) , £¿3 = £¿3 - гЬт£т3, £33 = £33,
а затем, используя (16), получаем равенства
¿¿о = £о + г^що - Ь^т) , ^£¿3 = + хУ1Ф3, £33 = Ф3, Що = Ко - Ьт£то. (20)
После подстановки этих соотношений в (19) придем к равенству нулю линейных по переменной г функций, что эквивалентно равенству нулю коэффициентов при г0 и г1. Однако в соотношения (19) при щк1 = 1313, 2323, 1323 входят вторые производные по г. Поэтому равенства (19) не могут быть удовлетворены в рамках
используемого линейного приближения. Нельзя считать также справедливыми вытекающие из уравнений (19) при = 1223, 1213 равенства коэффициентов при г1, поскольку в этих соотношениях присутствуют первые производные по г.
Следовательно, можно рассматривать только четыре уравнения: два соотношения, следующие из (19) при щк1 = 1212, и два уравнения, вытекающие из равенства коэффициентов при г0 в случаях щк1 = 1223, 1213. Для оценки возможности точного удовлетворения этим уравнениям, в отличие от (15), (17), будем учитывать члены второго порядка по г (приближенное равенство по-прежнему заменяется точным):
Щ = щ + Фгг +2 'Фг2г2, из = V + фзг + ^ 'Фз1г2. (21)
Данное представление, вообще-то, противоречит использованным выше линейным приближениям. Однако оно находится в рамках традиционных допущений теории оболочек, и, кроме того, позволяет по крайней мере убедиться в том, что коэффициенты при х1 не будут входить в окончательный результат.
Используя (21), получаем следующую модификацию равенств (20):
£гз = + г - ЪГП£1и) , 2ёг3 = вг + г (УгФз + Фи ) , £зз = Фз + Фз1г.
Теперь, используя правила ковариантного дифференцирования и формулы (13), находим необходимые первые производные:
Уз £ы = Л^ы + гБ^иь - - г (Ъ^к Фи + Ъ^ф^),
Уз £ из = Азиз + гБзыз + г ^ Уз фи1 - Ъ^ Фз1 Уз£зз = Л]зз + гБззз + г (У]фз1 + Ъ^фт^
(22)
где
Уз£ыь = Лзыь + гБзыь, Уз£ из = Лзыз + гБзкз + 2 (фк1 + гЪ^ф^). ЛзЫ = Уз£кь - 1 (Ъзквь + Ъ]Ьвк) ,
Бзкь = Уз (т - Ъ^ет) + £тЬ У з ЪТ + £ктУз ЪТ + 2 (С]к вь + Сзьвк - ЪзкУьФз - ЪзьУк Фз), Лзкь = КкЬ, Бзкь = ЪТЩт + ЪТ^кт, Лзкз = Ът£кт + 2 Уз вк - Ъзк Фз,
1
Бзкз = ЪТ икт + 2 (Уз У к Фз + вт Уз ЪТ ) + Сзк Фз, Лззз = 2Лззз = Уз Фз + Ътвт, Бззз = 2Бззз = ЪтУтФз + ствт. Далее вычисляем вторые ковариантные производные УгУз£ кь = Сгзкь, + гБгзкь - гЕгзкь, УгУз£кз = Сгзкз + гВгзкз + Егзкз + гЕгзкз, У гУз£ кь = Gi3kь + гВгзкг + Егзкь + г Егзкь,
где
Сгзкг = УгЛзкь - ЪгзЛзкь - ЪгкЛзьз - ЪцЛзкз,
Эгзы = У г Бзкь + УгЪт Лт кь + УгЪт Лз„а + УгЪЛзкт+
+ сгзЛзкь + сгкЛзьз + сцЛ^кз - Ъгз Бзкь - ЪгкБзьз - Ъгь Бзкз,
(23)
Gijk3 — ViAjks + b^Ajkm — bij Asks — bikAjss,
Dijk3 — ViBjks + Am ks Vib™ + Aj msVib™ + cm Ajkm + bm Bjkm +
+ cij Asks + cik Ajss — bij Bsks — bikBjss, Giski — ViAski + b™ Amki — bik Assi — ЬЦ Assk,
Diski — ViBski + cm A
mki + b™B rn ki + AsmiVkbT + Ask rn Vibm+
+ cik Assi + cii Assk — bik Bssi — biiBssk,
Fijki — —1 [bikVjфп + biiVjФk2 + Vi (bjkФ12 + bji^k2)\ + (bikbji + biibjk) Фs2,
Eijks — — 2bijфk2, Eiski — — 2 (bikФ12 + bilфk2), Fiski — — 2 (bikb™ + ЬЦУ^) фт2,
Fijks — 1 [ViVj фk2 — {b™bjk + bij bm + 2bikb™m) фт2] — [Vi (bjkфs2) + bik Vj фs2].
Отсюда следует, что для коэффициентов в (23) справедливы соотношения
Fl122 + F221I — F1212 — F2112 — 0,
El22s + E2si2 — Eis22 — E22is — 0, E21is + Eis21 — E2si1 — Eii2s — 0,
из которых вытекает, что среди четырех уравнений, два из которых получаются из (19) при ijkl — 1212, и два, вытекающих из равенства коэффициентов при z0 в уравнениях (19) при ijkl — 1223, 1213, удовлетворяются только три соотношения. Они являются следствием равенства коэффициентов при z0 в этих уравнениях:
G1122 + G2211 — G1212 — G2112 — 0, Gl22s + G2s12 — G1s22 — G221s — 0, G211s + G1s21 — G2s11 — G112s — 0.
Подстановка сюда соответствующих равенств из (22) и (23) с использованием деривационных уравнений приводит трем уравнениям совместности деформаций:
Kn (£ij ,Kki) + Ln (0i^s)—0, n — 0,1, 2, (24)
где
Ko (£ij,Kki) — V1 (V1622 — V2£12) + V2 (V2£11 — V1E12) — lb (Kij) + gK£, K1 (£ij, Kki) — V2V21 — V1V22 + b1 (V1612 — V2£11) — b1 (V1£22 — V2£12) , K2 (£ij, Kki) — V1V12 — V2V11 + b2 (V2£12 — V1£22) — b2 (V2£11 — V 1£n) , lb (Xij) — b22X11 — b12 (X12 + X21) + bnX22, £ — £ki gki, Lo (вф) — lb (ViOj) — 2gKißs,
L1 (в, фs) — —gKe1 + 2V2 (V102 — V2O1) + b12V2^h — b22V^h,
L2 (в, ^h) — —gKe2 + 2V1 (V2O1 — V1O2) + b^V^h — bllV2фs.
Здесь £ - первый инвариант тензора тангенциальных деформаций, а K - гауссова кривизна срединной поверхности, которая связана с тензором кривизны так [25]:
gK — bnb22 — b2l2.
Отметим, что при в — 0 и ^ßs — 0 из (24) вытекают известные уравнения совместности деформаций для модели оболочки Кирхгофа-Лява [2].
4. Энергетические характеристики и работа внешних сил
Полагаем, что материал оболочки - однородный и процессы деформирования являются изотермическими или адиабатическими. Выражения для потенциальной и кинетической энергий оболочки, а также для работы внешних сил получим, отталкиваясь от соответствующих формул для трехмерного тела, с использованием предположения о малости толщины. При этом тройные интегралы в криволинейной системе координат £1, г (2) от функции I в соответствии со спецификой области О сводим к повторным интегралам и, учитывая связь (5) инвариантов метрических тензоров, приходим к поверхностному интегралу
к/1
I (М) аV = Л ^-д^че I (1 - 2Нг) ¡(^1,^2,г) ¿г =
В -к/1
к/1
11
П -к/2
Тогда для потенциальной энергии оболочки получаем
к/2
JJdsJf dz. (25)
2
П -к/2 _ 1 _ 2
П
W = lí fds /> % + 2^,3 + q33133) dz _
fij£ij + MijKij + Q'di + rf (bkek + ъфз) + Ñ-Фз] ds, (26)
где
к/2 к/2 к/2
Tij _ J aij dz, Mij _ J zaij dz, Q' _ J ai3 dz,
-к/2 -к/2 -к/2 к/2 к/2
pí _ J zQ3 dz, N _ J a33 dz.
-к/2 -к/2
Здесь aij, ai3, a33 - компоненты тензора напряжений; Tij и Mij - тензоры тангенциальных усилий и моментов, Q1 и р1 - векторы перерезывающих усилий и дополнительных моментов, а N - нормальное усилие.
Аналогично с использованием формулы (16) находим кинетическую энергию оболочки
к/2
E _ р JJ dS J (U + ф zfdz _ 2 Ц [h (й йi + w2) + I (ф гфi + ф!)] dS, (27)
П -к/2 П
где р - плотность материала, точками обозначены производные по времени t, I _ h?/12.
Работа действующих на оболочку внешних объемных F _ Fj 3j + F3n и поверхностных P _ Pj3j + Р3П сил для трехмерного тела записывается в виде [24]
A _ р JJJ (F, u) dV + JJ (P, и) dS + Ц (P, и) dS + Ц (P, и) dS.
G П+ П_ Пь
Для преобразования первого слагаемого используем равенство (25), а поверхностные интегралы от функции I преобразовываем аналогичным образом с использованием (6)—(10):
Ц / (м) ¿Б=Ц / (е,е, ±ь/2) ¿ече = Ц I (м) ¿Б,
п± в п
в Н/2 Н/2
Л I (М) ¿Б = У ¿^ I [е1 (т) ,е (т) ,г] ^д-ь ¿г = | ¿^ I (е\е2,г) ¿г.
пь а -К/2 Г -Н/2
В результате приходим к равенству
А = JJ (Я* щ + + тфз) ¿Б + ^ (т{0)щ + М\0)ф* + Q{о)W + ¡{о)Ф^ ¿в, (28) пГ
где
Я = ЯР + Я+ + Я-, т = + т+ + т
Я = Яр + Я+ + Я-, т = тр + т+ + т-,
К1/2 К1/2 Н/2 К/2
Яр = р ! ¿г, яр = Р ! Рз ¿г, тгр = р ^ гРг ¿г, тр = р ^ гРз ¿г,
-Н/2 -Н/2 -Н/2 -Н/2
ъ ъ
Я+ = Р* , Я± = Р3 , т\ = ±-ЯХ , т± = ±-Я±,
Н/2 Н/2 Н/2 Н/2
Т*0) = / Рг\Г ¿г, М{0) = ! гР®|Г ¿г, Q(о) = ^ Рз ¿г, ¡¡(о) = ^ zPз¿z.
-Н/2 -Н/2 -Н/2 -Н/2
Здесь я1 Э + Яп и тгэ* + тп - векторы поверхностных давления и отнесенных к единице площади моментов; Т^) и М^) - касательные усилия и моменты относительно срединной поверхности, а Q(о) и ¡(о) - перерезывающее усилие и момент от него на боковой поверхности.
5. Физический закон для оболочки
Материал оболочки полагаем упругим анизотропным и обладающий симметрией относительно срединной поверхности, что эквивалентно следующим равенствам для компонентов тензора упругих постоянных [26] (символ, указывающий на их соответствие базису Э1, Э2, п, значок здесь и далее):
Cijk3 _ с^3к1 _ с¿333 _ (сЗЗкЗ _ о (29)
Достаточно просто показывается, что аналогичные соотношения имеют место и в базисе в1, в2, п.
В предположении (29) закон Гука принимает следующий вид:
а^ = С^к1ёк1 + С^33ё33, а *3 = 2С3к3ёк3, а33 = С33к1 ёк1 + С3333ё33.
Подставляя сюда соотношения (17), получаем закон изменения напряжений по толщине оболочки:
= (ёы + гКы) + С^33ф3, а33 = С33ы (ёы + гкы) + С3333ф3, аг3 = Сг3к3 [вк + г (ьпвп + Укф3)\.
Совместное рассмотрение этих равенств с формулами (17) приводит к физическому закону для оболочки
Тгз = Н (Сгзкь£кь + СгзззФз), Мгз = 1СгзкьКкь, & = нсгзкзвк,
(30)
= 1Сгзкз (Ъьк вь + У к Фз), 1^= Н (С33кь £кь + С3333 Фз) .
6. Начально-краевая задача для оболочки
Для построения начально-краевой задачи для оболочки используем вариационное уравнение Гамильтона:
«2
3Н ^(31 - 3Е) ¿г = 0, 31 = т - ¿Л, Н4=(1 = Н4=2 = о, (31)
где символ " 3" означает вариацию; моменты времени и произвольны, но г1 < Ь ; I - функционал Лагранжа.
Вариация работы внешних сил (28) имеет вид
3Л = уу (дг3иг + тг3'Фг + дЗчл + ш3Фз) ¿Б+ п
+ / (Т(0)3иг + М(о)3Фг + + що)3Фз) ¿а. (32)
г
Вариацию потенциальной энергии находим из (26) с использованием кинематических соотношений (17) и физического закона (30)
3т = Ц (Ък &3ик + ТгзУг3из - ЪгзТ з3ю + &гУг3ю+ п
+ МгзУг3Фз + М3Фз + цгУг3Фз) ¿Б, (33)
где
= & + Ъ)¡лз, Тгз = Тгз + ЪкМкз, N = N - ЪгзМгз. (34)
Отметим, что тензор Тгз в отличие от тензора Тгз несимметричный. Преобразовывая стандартным образом равенство (33) с помощью обобщенной теоремы Остроградского-Гаусса [27] с использованием (31) и (32), получаем вариацию функционала Лагранжа:
5I _ JJ [(bkQk - VjTji - с/) Зщ - (VíQ' + bijTij + q) 3w+ П
+ Q - VjMij - mi) 5фi + (N - V^ - m) 5ф3] dS+
+ j [ (tTjiVj - Tfa) Зщ + (Q'ví - Q(o)) 5w+ r
+ MVj - Mio)) 5фi + (¿Vi - m) 5фзJ ds. (35) Вариацию кинетической энергии получаем из (27):
5E _ р JJ [h (йi5üi + W5w) +1 (фi5фi + ф35ф3) W
П
Для интеграла от нее используем интегрирование по частям по времени. В результате имеем
¿2 ¿2
J 5ЕскЬ = ^ к (и*5щ + И}5т) + I (фф.$ф. + ф35ф3^ dS. (36)
¿1 ¿1 п
Подставляя теперь (35) и (36) в (31) и используя основную лемму вариационного исчисления [28], выводим уравнения движения оболочки:
рШ = V*Т* - К Я* + д1, ркги = + Ь*Т^ + д,
...............(37)
р1'ф. = V*Мч - Я. + т\ рф = Ч.р1 - N + т.
Для замыкания этой системы уравнений к ней нужно добавить физический закон (30) в совокупности с равенствами (34) и кинематические соотношения (18).
Полагая, что граница срединной поверхности имеет вид Г = Г^ У Гст, где кривые Ги и Гст имеют общими только точки начал и концов, получаем «естественные» граничные условия как равенства, обращающие в нуль криволинейный интеграл в (35):
и\г.а = и(0)., Нг„ = ш(0), ф.\ги = ф(0)и ф31г„ = ф(0)3, (38)
= Т{о), М* ч\Гд = М(о), = Я(0), ¿щ\Гд = т- (39)
Начальные условия принимаем в соответствии с порядком входящих в уравнения (37) производных:
и%=г0 = &, иЧе=ео = ^' ^=¿0 = , ™\г=г0 = 9и,
. . (40)
= 4, фз\ь=ь0 = из, фз
n,=t0 = U. фг
9-ф3-
Правые части соотношений (38)—(40) полагаются заданными. Таким образом, движение оболочки определяется начально-краевой задачей (18), (30), (34), (37)-(40).
Благодарности. Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда в рамках научного проекта № 14-49-00091.
Литература
1. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники, Сер. Механика деформируемых твердых тел. -М.: ВИНИТИ, 1973. - Т. 5. - 273 с.
2. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. - Л.: Политехника, 1991. - 656 с.
3. Товстик П.Е. Неклассические модели балок, пластин и оболочек // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2008. - Т. 8. Вып. 3. -С. 72-85.
4. Starovoitov E.I., Kubenko V.D., Tarlakovskii D.V. Vibrations of circular sandwich plates connected with an elastic foundation // Russ. Aeronaut. - 1990 - V. 52, No 2. - P. 151157. - doi: 10.3103/s1068799809020044.
5. Starovoitov E.I., Leonenko D.V., Tarlakovsky D.V. Resonance Vibrations of a Circular Composite Plates on an Elastic Foundation // Mech. Compos. Mater. - 2015 - V. 51, No 5. - P. 561-570. - doi: 10.1007/s11029-018-9740-x.
6. Paimushin V.N., Gazizullin R.K., Fedotenkov G.V. Acoustic impact on the laminated plates placed between barriers // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. - 2016. - V. 158, No 1. - Art. 012075. - doi: 10.1088/1757-899X/158/1/012075.
7. Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. Two-dimensional nonstationary contact of elastic cylindrical or spherical shells // J. Mach. Manuf. Reliab. - 2014. - V. 43, No 2. - P. 145152. - doi: 10.3103/S1052618814010178.
8. Mikhailova E.Yu, Fedotenkov G.V. Nonstationary axisymmetric problem of the impact of a spherical shell on an elastic half-space (initial stage of interaction) // Mech. Solids. -2011. - V. 46, No 2. - P. 239-247. - doi: 10.3103/S0025654411020129.
9. Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. Nonstationary 3D motion of an elastic spherical shell // Mech. Solids. - 2015. - V. 50, No 2. - P. 208-2017. - doi: 10.3103/S0025654415020107.
10. Miller R.E., Shenoy V.B. Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements // Nanotechnology. - 2000. - No 11. - P. 139-147. - doi: 10.1088/09574484/11/3/301.
11. Reissner E. On the form of variationally derived shell equations // J. Appl. Mech. -1964. - V. 31, No 2. - P. 233-328.
12. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. - М.: Наука, 1974. - 448 с.
13. Амбарцумян С.А. К расчету двухслойных ортотропных оболочек. // Изв. АН СССР. ОТН. - 1957. - № 7. - C. 57-64.
14. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. - Киев: Наукова думка, 1973. - 248 с.
15. Pietraszkiewicz W. The resultant linear six-field theory of elastic shells: What it brings to the classical linear shell models // ZAMM. - 2016. - V. 96, No 8. - P. 899-915. - doi: 10.1002/zamm.201500184.
16. Pietraszkiewicz W., Valle'e C. A method of shell theory in determination of the surface from components of its two fundamental forms // ZAMM. - 2007. - V. 87, No 8-9. -P. 603-615. - doi: 10.1002/zamm.200710340.
17. Родионова В.А., Титаев Б.Ф., Черных К.Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. - 280 с.
18. Палий О.М., Спиро В.Е. Анизотропные оболочки в судостроении. Теория и расчет. -Л.: Судостроение, 1977. - 386 c.
19. Галимов К.З., Паймушин В.Н., Терегулов И.Г. Основания нелинейной теории оболочек. - Казань: Фэн, 1996. - 215 с.
20. Паймушин В.Н. Вариант нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко // Прикл. механика. - 1986. - Т. 22, № 8. - С. 50-57.
21. Paimushin V.N. A study of elasticity and plasticity equations under arbitrary displacements and strains // Mech. Solids. - 2011. - V. 46, No 2. - P. 213-224. - doi: 10.3103/S0025654411020099.
22. Paimushin V.N. Relationships of the Timoshenko-type theory of thin shells with arbitrary displacements and strains // J. Appl. Mech. Techn. Phys. - 2014. - V. 55, No 5. - P. 843856. - doi: 10.1134/S0021894414050149.
23. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. - Л.: Судпромгиз, 1952. - 431 c.
24. Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды. - М.: Наука, 2000. - 214 с.
25. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. - 384 с.
26. Амензаде Ю.А. Теория упругости. - М.: Высш. шк., 1976. - 272 с.
27. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. - М.: Физматлит, 2004. - 472 с.
28. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. литер., 1961. - 228 с.
Поступила в редакцию 09.02.18
Михайлова Елена Юрьевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин»
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия E-mail: mihe16@yandex.ru
Тарлаковский Дмитрий Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией динамических испытаний; заведующий кафедрой «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин»
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Мичуринский проспект, д. 1, г. Москва, 119192, Россия E-mail: tdvhome@mail.ru
Федотенков Григорий Валерьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин»; старший научный сотрудник лаборатории динамических испытаний
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Мичуринский проспект, д. 1, г. Москва, 119192, Россия E-mail: greghome@mail.ru
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2018, vol. 160, no. 3, pp. 561-577
A Generalized Linear Model of Dynamics of Thin Elastic Shells
E.Yu. Mihajlovaa* , D.V. Tarlakovskii a'b** , G.V. Fedotenkov a'b***
aMoscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, 125993 Russia bResearch Institute of Mechanics, Moscow State University, Moscow, 119192 Russia E-mail: *mihe16@yandex.ru, ** tdvhome@mail.ru, ***greghome@mail.ru
Received February 9, 2018 Abstract
A generalized linear model of the dynamics of a thin elastic shell of constant thickness, which takes into account the rotation and compression of the fiber sheath normal to the middle surface, has been proposed. A coordinate system has been used that includes the curvilinear coordinates of the median surface and the distance (normal coordinate) measured from the median surface in the direction of the outer normal. The connections of spatial metrics and covariant derivatives with analogous parameters of the middle surface have been found.
The field of displacements of the shell and all the characteristics have been considered in the linear approximation in the normal coordinate. It has been shown that the movements of any point of the shell are determined by the tangential and normal displacements of the middle surface, by two angles of rotation of the normal fiber and its deformation, and the deformed state of the envelope is specified by the tensors of tangential deformation and changes in curvature and deformation of the normal fiber. By means of the linearization of the equations of compatibility of deformations for a continuous medium, three analogous equations for a thin shell have been obtained. To prove their validity, the quadratic approximation of displacements has been used.
Formulas for the potential and kinetic energy have been obtained, as well as for the operation of external forces. It has been shown that taking into account the rotation of the normal fiber and compression leads to the appearance of additional internal force factors - an additional moment and normal force. In this case, distributed moments are added to standard external force factors. The physical law has been constructed for an anisotropic material that has symmetry relative to the median surface without adopting the commonly used static hypothesis of non-adherence of fibers.
The equations of motion have been constructed using the Hamiltonian principle. They consist of six tensor relations. From this principle, natural boundary conditions have been derived. It has been shown that the Kirchhoff-Love model and Tymoshenko type follow from the constructed model as special cases.
Keywords: elastic shell, rotation and compression of a normal fiber, anisotropy, equations of motion, compatibility of deformations
Acknowledgments. The study was supported by the Russian Science Foundation, project no. 14-49-00091.
References
1. Grigolyuk E.I., Selezov I.T. Nonclassical theories of vibrations of bars, plates, and shells.
Itogi Nauki Tekh., Ser.: Mekh. Deform,. Tverd. Tel, 1973, vol. 5. 273 p. (In Russian)
576
E.ro. MHXAH^OBA h gp.
2. Novozhilov V.V., Chernych K.F., Michailovskii E.I. Lineinaya teoriya tonkikh obolochek [Linear Theory of Thin Shells]. Leningrad, Politekhnika, 1991. 656 p. (In Russian)
3. Tovstik P.E. On the non-classic models of beams, plates, and shells. Izv. Sarat. Univ. Nov. Ser. Mat. Mekh. Inf., 2008, vol. 8, no. 3, pp. 72-85. (In Russian)
4. Starovoitov E.I., Kubenko V.D., Tarlakovskii D.V. Vibrations of circular sandwich plates connected with an elastic foundation. Russ. Aeronaut., 1990, vol. 52, no. 2, pp. 151-157. doi: 10.3103/s1068799809020044.
5. Starovoitov E.I., Leonenko D.V., Tarlakovsky D.V. Resonance vibrations of a circular composite plates on an elastic foundation. Mech. Compos. Mater., 2015, vol. 51, no. 5, pp. 561-570. doi: 10.1007/s11029-018-9740-x.
6. Paimushin V.N., Gazizullin R.K., Fedotenkov G.V. Acoustic impact on the laminated plates placed between barriers. IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng., 2016, vol. 158, no. 1, art. 012075, pp. 1-12. doi: 10.1088/1757-899X/158/1/012075.
7. Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. Two-dimensional nonstationary contact of elastic cylindrical or spherical shells. J. Mach. Manuf. Reliab., 2014, vol. 43, no. 2, pp. 145-152. doi: 10.3103/S1052618814010178.
8. Mikhailova E.Yu., Fedotenkov G.V. Nonstationary axisymmetric problem of the impact of a spherical shell on an elastic half-space (initial stage of interaction). Mech. Solids, 2011, vol. 46, no. 2, pp. 239-247. doi: 10.3103/S0025654411020129.
9. Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. Nonstationary 3D motion of an elastic spherical shell. Mech. Solids, 2015, vol. 50, no. 2, pp. 208-2017. doi: 10.3103/S0025654415020107.
10. Miller R.E., Shenoy V.B. Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements. Nanotechnology, 2000, no. 11, pp. 139-147. doi: 10.1088/0957-4484/11/3/301.
11. Reissner E. On the form of variationally derived shell equations. J. Appl. Mech., 1964, vol. 31, no. 2, pp. 233-328.
12. Ambartsumyan S.A. Obshchaya teoriya anizotropnykh obolochek [General Theory of Anisotropic Shells]. Moscow, Nauka, 1974. 448 p. (In Russian)
13. Ambartsumyan S.A. To the calculation of two-layer orthotropic shells. Izv. Akad. Nauk SSSR OTN, 1957, no. 7, pp. 57-64. (In Russian)
14. Pelekh B.L. Teoriya obolochek s konechnoi sdvigovoi zhestost'yu [Theory of Shells with Finite Shear Rigidity]. Kiev, Naukova Dumka, 1973. 248 p. (In Russian)
15. Pietraszkiewicz W. The resultant linear six-field theory of elastic shells: What it brings to the classical linear shell models. ZAMM, 2016, vol. 96, no. 8, pp. 899-915. doi: 10.1002/zamm.201500184.
16. Pietraszkiewicz W., Valle'e C. A method of shell theory in determination of the surface from components of its two fundamental forms. ZAMM, 2007, vol. 87, nos. 8-9, pp. 603615. doi: 10.1002/zamm.200710340.
17. Rodionova V.A., Titaev B.F., Chernykh K.F. Prikladnaya teoriya anizotropnykh plastin i obolochek [Applied Theory of Anisotropic Plates and Shells]. St. Petersburg, Izd. S.-Peterb. Univ., 1996. 280 p. (In Russian)
18. Paliy O.M., Spiro V.E. Anizotropnye obolochki v sudostroenii. Teoriya i raschet [Anisotropic Shells in Shipbuildings. Theory and Analysis]. Leningrad, Sudostroenie, 1977. 386 p. (In Russian)
19. Galimov K.Z., Paimushin V.N., Teregulov I.G. Osnovaniya nelineinoi teorii obolochek [Foundations of the Nonlinear Theory of Shells]. Kazan, Fen, 1996. 215 p. (In Russian)
20. Paimushin V.N. A version of the Timoshenko-type nonlinear theory of thin shells. Prikl. Mekh., 1986, vol. 22, no. 8, pp. 50-57. (In Russian)
21. Paimushin V.N. A study of elasticity and plasticity equations under arbitrary displacements and strains. Mech. Solids, 2011, vol. 46, no. 2, pp. 213-224. doi: 10.3103/S0025654411020099.
22. Paimushin V.N. Relationships of the Timoshenko-type theory of thin shells with arbitrary displacements and strains. J. Appl. Mech. Techn. Phys., 2014, vol. 55, no. 5, pp. 843-856. doi: 10.1134/S0021894414050149.
23. Novozhilov V.V. Teoriya tonkikh obolochek [Theory of Thin Shells]. Lenindgrad, Sud-promgiz, 1952. 431 p. (In Russian)
24. Gorshkov A.G., Rabinsky L.N., Tarlakovsky D.V. Osnovy tenzornogo analiza i m,ekh,anika, sploshnoi sredy [Fundamentals of Tensor Analysis and Continuum Mechanics]. Moscow, Nauka, 2000. 214 p. (In Russian)
25. Poznyak E.G., Shikin E.V. Differentsial'naya geometriya: pervoe znakomstvo [Differential Geometry. First Acquaintance]. Moscow, Izd. Mosk. Univ., 1990. 384 p. (In Russian)
26. Amenzade Yu.A. Teoriya uprugosti [Theory of Elasticity]. Moscow, Vyssh. Shk., 1976. 272 p. (In Russian)
27. Gorshkov A.G., Medvedsky A.L., Rabinsky L.N., Tarlakovsky D.V. Volny v sploshnykh sredakh [Waves in Continuous Media]. Moscow, Fizmatlit, 2004. 472 p. (In Russian)
28. Gelfand I.M., Fomin S.V. Calculus of Variations. Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall Inc., 1963. 232 p.
/ Для цитирования: Михайлова Е.Ю., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Обоб-( щенная линейная модель динамики тонких упругих оболочек // Учен. зап. Казан. \ ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2018. - Т. 160, кн. 3. - С. 561-577.
For citation: Mihajlova E.Yu., Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. A generalized linear model of dynamics of thin elastic shells. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2018, vol. 160, no. 3, pp. 561-577. (In Russian)
