CC BY
4
УДК 531.351
И. П. Попов
Курганский государственный университет, г. Курган, Россия E-mail: ip.popow@yandex.ru
ОБОБЩЕНИЕ ЦИКЛОТРОННОГО ДВИЖЕНИЯ НА МЕХАНИКУ
Установлено, что из ключевого обстоятельства, определяющего возможность обобщения циклотронного движения на механику, заключающегося в том, что лагранжиан электрона вдвое больше его кинетической энергии, что применительно к механическому устройству ротатору следует трактовать как равенство кинетической и потенциальной энергий, необходимо следует, что в состав ^абилизированного ротатора должны входить элементы, которые в состоянии запасать оба этих вида энергии, а именно, груз и пружина. Собственная частота вращения ^абилизированного ротатора строго фиксирована (не зависит ни от момента инерции, ни от момента импульса) и замечательным образом совпадает с собственной частотой колебаний маятника с идентичными параметрами. При изменении момента импульса изменяется радиус и тангенциальная скорость (частота вращения при этом не меняется и равна собственной).
Ключевые слова: ротатор, маятник, частота, стабилизация, выбег, энергия, момент импульса, циклотронное движение.
Для цитирования: Попов И. П. Обобщение циклотронного движения на механику// Вестник Псковского государственного университета. Серия: Естественные и физико-математические науки. 2022. Т. 15. № 3. С. 77-84.
I. P. Popov
Kurgan State University, Kurgan, Russia.
E-mail: ip.popow@yandex.ru
GENERALIZATION OF CYCLOTRON MOTION TO MECHANICS
It has been established that from the key circumstance that determines the possibility of generalizing cyclotron motion to mechanics, which consists in the fact that the La-grangian of an electron is twice its kinetic energy, which, as applied to a mechanical device rotator, should be interpreted as the equality of kinetic and potential energies, it necessarily follows that the composition of a stabilized The rotator must include elements that are able to store both of these types of energy, namely, a load and a spring. The natural frequency of rotation of a stabilized rotator is strictly fixed (it does not depend on either the moment of inertia or the moment of momentum) and remarkably coincides with the natural frequency of oscillations of a pendulum with identical parameters. When the angular momentum changes, the radius and tangential velocity change (the rotation frequency does not change and is equal to its own).
Keywords: rotator, pendulum, frequency, stabilization, run-out, energy, angular momentum, cyclotron motion.
For citation: Popov I. P. (2022), Generalization of cyclotron motion to mechanics,
Vestnik Pskovskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Estestvennye i fiziko-ma-tematicheskie nauki [Bulletin of the Pskov State University. Series "Natural and physical and mathematical sciences"], vol. 15, no. 3, pp. 77-84. (In Russ.).
Введение. Механические и электромагнитные явления и процессы во многих случаях математически изоморфны [1; 2; 7]. Это даёт возможность обобщать достижения одной научной специальности на другую. В этом смысле представляет интерес циклотронное движение электрического заряда [3; 5; 6], которое характеризуется фиксированной частотой вращения. Это следует из баланса сил.
mv2 qB qB
F = qvB =- ^ v = — r = rar ^ ra=— .
r m m
Здесь q — величина электрического заряда, v — тангенциальная скорость заряда, B — магнитная индукция, m — масса заряжённой частицы, r — радиус циклотронного движения, ю — частота вращения.
Частота действительно не зависит ни от скорости, ни от радиуса. Ключевым обстоятельством для возможности обобщения циклотронного движения на механику является то, что лагранжиан электрона, движущегося поперёк постоянного магнитного поля, вдвое больше его кинетической энергии.
т mv2
L =-+ e( v, A)
2
Векторный потенциал магнитного поля равен
A = -[B, r]
2
При этом v =[ш,r ]. Таким образо:
mv2 q2B2r2 L =-+ -
2m
Второе слагаемое равно
q2B2r2 q2B2 m2v2 mv2
2m 2m q B L = 2 mv 2
2 '
Целью работы является нахождение механического аналога циклотронного движения и определение схемы соответствующего устройства, которое уместно назвать стабилизированным ротатором.
Тема стабилизации частоты вращения является актуальной.
Синтез стабилизированного ротатора
Из ключевого обстоятельства, определяющего возможность обобщения циклотронного движения на механику, заключающегося в том, что лагранжиан электрона вдвое больше его кинетической энергии, что применительно к стабилизированному ротатору следует трактовать как равенство кинетической и по-
2
2
тенциальной энергий, необходимо следует, что в состав стабилизированного ротатора должны входить элементы, которые в состоянии запасать оба этих вида энергии, а именно, груз (массой m) и пружина (с коэффициентом упругости К).
В соответствии с характером циклотронного движения и, соответственно, ротатора, необходимо имеет место радиус вращения (г) и циклическая частота (ю).
Из равенства энергий следует
k (Дх)2
mv
2 2 mr га
^ га=А—
V m
Дх
2 2 2 \ т г
Здесь Дх — величина абсолютной деформации пружины.
Неизменность циклической частоты обеспечивается очевидным ключевым условием
Дх = г.
Установленные необходимые обстоятельства определяют принципиальную схему стабилизированного ротатора, которая представлена на рисунке.
ю
1ЛЛЛЛЛ/У\Л
т
и
г = Ах
Стабилизированный ротатор Собственная частота вращения стабилизированного ротатора
V т
(1)
строго фиксирована (не зависит ни от момента инерции, ни от момента импульса) и замечательным образом совпадает с собственной частотой колебаний маятника с идентичными параметрами.
Кинематика стабилизированного ротатора
Момент импульса стабилизированного ротатора равен
L = Jюn = mr 2ю„ = mr2
/— = г 24тк V т
Здесь J — момент инерции, — волновой реактанс [7].
= V тк
г = -
юп
.2
т 2
V
2 V 2 т ¡—г т
L = г Хю = 2 Хю = V Т ^т— =-1
юо к юо
При изменении момента импульса изменяется радиус и тангенциальная скорость (частота вращения при этом не меняется и равна собственной).
Положению груза, при котором его центр масс совпадает с осью вращения, соответствует состояние неопределённого равновесия. При вращении груз равновероятно может отклониться в любую из двух сторон и, соответственно, может развиваться как сжатие, так и растяжение пружины.
Состояние неопределённого равновесия можно исключить, обеспечив начальное (статическое) смещение груза го и равную ему начальную деформацию пружины.
Динамика стабилизированного ротатора
При раскручивании преднапряжённого ротатора до частоты юо центробежная
сила тю2г меньше силы начальной деформации пружины кго, изменяется. Это участок линейной динамики [0, юо].
М
поэтому радиус го не
г = г, ю = -
тг„
За время ¿о при постоянном вращающем моменте М ротатор достигнет ча-
стоты вращения юо .
ю„ тг
2
4ткг,
4 м'
м м
При дальнейшем нагружении стабилизированного ротатора вращающим моментом его динамика (нелинейный участок) описывается системой двух дифференциальных уравнений — вращательного и поступательного (радиального)
' d ю _ М _ М
dt J тг2
т-
dt2
2 2 2 mv тю г 2,ч --кг =--кг = (тю - к)г
г
Трение здесь не учитывается.
Х
со
V
2
Начальные условия:
dr
га = ю„
г = Г
= 0
Из системы уравнений и начальных условий следует
d га
М
тгп
d2га М dr d"га
• — —2
dt2 d2 г
— = (<а2 —га2)г аХ
тг3 dt, ^ dt2
— 0
— 0
d Зг
d га
—- — 2га-г + (га —га0) —
dr d 'г
dt^
dt d Зга
dr ^
, М М
= 2га0-2 г0 = 2га0-
тг„
_=6 М Г ^ Т—2 —
тг
тг
= 0
d4га „„ М ГdrV ,, М ^dr d2г ,, М dr d2г „ М d3г
—Т = —24—И — I + 6-а2--г + 6-а--Г — 2—
dt тг I dtI тг dt dt тг dt dt тг dt
d4 га
dt4
= —2
М
2га,
М
3 0
тг0 тг0
= —4га
М2
о ? 4 .
т г
d4 г
d га
d 2га
d га dr
d га dr
d2 г
^-4- = 21 | г + 2га^—2-г + 2га "" "' + 2га "" "' + (га2 — га0) —
dt I dt I dt dt dt dt dt dt
Л;
= 2
^ М V
тг
V'0 у
2М2
г = -
2 3 •
т г03
Таким образом, частота вращения стабилизированного ротатора и радиус представимы в виде:
1 ... 0 1 dга ... 1 1 d2га 2 1 d3га 3 1 d4га 4
га « — га(0)Х +--(0)Х +---(0)t +---(0)t +---(0)t +... =
0! 1! dt 2! dt 3! dti 4! dt4
М
1
1
М
1 Л/Т2
-1 + —0t2 + — 0t3--4га 0 2 4
тг2 2! 3! 4! 0 т2г4
Г + ... =
= га0 +-
М га0 М2 4
-1 —0— х + ...
тг02 6т2 г04
(2)
г «1 г(0)Х0 +1 *(0У +1 ^ (0)t2 +1^(0)Х3 +1 ^(0)t4 +... = 0! 1! dt 2! dt2 3! dti 4! dt4
1
1
М
1 2М2
= г0 + 0t + — 0Х + —2га0-Г3 + 23
2! 3! тгп 4! т гп
Г + ... =
t =X
X=X
t=1
х=х
х =1
X = X
X=X
X=1
X=1
2
X =1
га0М 3 М 4
= Г +—— * +-гг* + ... (3)
3тг0 12т г0 у '
Вопрос о сходимости рядов здесь не рассматривается.
Смысл последних двух уравнений состоит в иллюстрации нелинейности динамики стабилизированного ротатора при нагружении его постоянным вращающим (тормозящим) моментом.
Подобно тому как при вынужденных колебаниях маятника частота не совпадает с собственной частотой, частота вращения стабилизированного ротатора при нагружении не совпадает с собственной частотой вращения.
Из (2) следует, что чем меньше момент М и больше т и го, тем меньше отклонение частоты вращения ю от собственной гао.
Второе замечательное свойство cтабилизированного ротатора
(Первым является фиксированная собственная частота вращения (1) и её совпадение с собственной частотой колебаний маятника).
При вынужденном вращении стабилизированного ротатора с постоянной частотой
га = ага0
(а — безразмерный коэффициент) его радиальная динамика определяется уравнением
d2 г ( 2 k
■ = (га2 - — | r = (a2га 2 -®2) r = -(l - a2 )ra0r dt у m ' v '
В зависимости от значения а возможны три варианта.
1. При а <1 имеет место дифференциальное уравнение свободных гармонических незатухающих колебаний с собственной частотой
гаа = ra0Vl - а2 .
Таким образом, стабилизированный ротатор доставляет возможность управлять собственной частотой колебаний радиального осциллятора.
, d2r dr 2. При а = 1 — = 0, — = V = const, r = roi + Vt.
F dt dt
Колебания не происходят.
3. При а >1 dr = (а2 -1)®2r , r = rj^ .
Колебания не происходят.
Затухание колебаний в стабилизированном ротаторе принципиально не отличается от затухания в обычной колебательной системе [4; 8; 9].
Выбег ротатора в cтабилизированном режиме
Минимальная полная энергия стабилизированного ротатора в стабилизированном режиме соответствует статическому смещению груза ro.
Wo = Ko + U o = 2K 0 = 2U 0 = —ro2.
Максимальная полная энергия теоретически не ограничена, а практически определяется конструктивно установленным максимальным радиусом гт .
Ж _
т т •
Пусть средняя за выбег мощность диссипативных потерь равна Р. Тогда время выбега составит
Ж - Ж0 , г2 - г02
^ _ т_^ _k _т 0
собственной га0.
Р Р '
Очевидно, что чем меньше Р, тем меньше отклонение частоты вращения ю от
га0
Заключение. Заявленная цель работы достигнута. Механический аналог циклотронного движения определён. Им является стабилизированный ротатор, обладающий фиксированной частотой вращения, не зависящей от момента импульса и момента инерции.
Это означает, что при нулевом вращающем моменте в стационарном режиме частота вращения стабилизированного ротатора не может быть произвольной и принимает единственное значение.
Другими особенностями стабилизированного ротатора являются идентичность формулы частоты вращения формуле частоты пружинного маятника, равенство кинетической и потенциальной энергий и вытекающее из этого равенство радиуса вращения груза величине деформации пружины.
Стабилизированный ротатор может использоваться для управления собственной частотой колебаний радиального осциллятора, хотя в этом качестве он может иметь сильную конкуренцию со стороны мехатронных систем.
Напротив, в качестве стабилизатора вращений его конкурентные возможности неоспоримы и определяются предельной простотой конструкции.
Литература
1. АбдуллаевЯ. Р., Ханахмедова С. А. Исследование динамических процессов стартер-генератора методом электромеханической аналогии // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. 2018. Т. 61. № 1. С. 32-39.
2. Горский А. Н., Чернышева Ю. В. Анализ колебаний в механических системах на основе аналогий с электрическими цепями // Электроника и электрооборудование транспорта. 2017. № 5. С. 26-30.
3. Минашин П. В., Кукушкин А. Б. Спектральная интенсивность электронного циклотронного излучения, выходящего из плазмы токамака-реактора на первую стенку // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Термоядерный синтез. 2019. Т. 42. № 4. С. 14-20.
4. Новиков В. В., Поздеев А. В., Чумаков Д. А. Экспериментальное исследование влияния дополнительного объёма и демпфирующего устройства на свободные затухающие колебания диафрагменных пневматических рессор // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 10 (141). С. 212-226.
5. Павлов В. Д. Теоремы об излучении заряда // Инженерная физика. 2021. № 6. С. 37-40. DOI: 10.25791/ш£шк.6.2021.1213.
6. Павлов В. Д. Энергетика излучения электрического заряда и её следствия // Известия Уфимского научного центра РАН. 2021. № 4. С. 5-8. DOI: 10.31040/22228349-2021-0-4-5-8.
7. Попов И. П. Реактансы и сассептансы механических систем // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2021. № 70. С. 64-75. DOI: 10.17223/19988621/70/6.
8. Стец А. А. Аппроксимация затухающих колебаний крупногабаритных космических конструкций // Вестник Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана. Серия Естественные науки. 2021. № 3 (96). С. 6476.
9. Шишкин В. М., Левашов А. П. Моделирование затухающих колебаний пластины с учётом амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале // Advanced Science. 2017. № 3 (7). С. 367-376.
Об авторе
Попов Игорь Павлович — старший преподаватель кафедры «Технология машиностроения, металлорежущие станки и инструменты», Курганский государственный университет, г. Курган, Россия.
E-mail: ip.popow@yandex.ru
About the author
Igor' Popov, Senior Lecturer of the Department "Technology of mechanical engineering, metal-cutting machines and tools", Kurgan State University, Kurgan, Russia.
E-mail: ip.popow@yandex.ru
Поступила в редакцию 10.06.2022 г.
Поступила после доработки 19.07.2022 г.
