Обобщение теоремы Иессена о сходимости сумм Римана на многомерный случай Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51+514.17

И. Е. Преображенский

Обобщение теоремы Иессена о сходимости сумм Римана на многомерный случай

В данной статье будет приведено некоторое обобщение конструкции из работы [4], использующее «хорошие» дифференциальные свойства одного типа базисов из прямоугольников, позволившее доказать многомерный аналог теоремы Иессена.

Ключевые слова: суммы Римана, максимальные операторы, дифференцирование интегралов.

I.E. Preobrazhensky

Generalization of Iessen's Theorem about Convergence of Riman's Sums for a

Multidimensional Case

In the given article, some generalization of the construction from work [4], using «good» differential properties of one type of bases from rectangles, which allowed to prove multidi-mensional analog of Iessen's theorem will be resulted.

Key words: Riman's sums, maximum operators, differentiation of integrals.

Обозначим через I отрезок [0,1]. Определим оператор сумм Римана равенством

1 n=1 k Rnf(*) = -£ f(x + -), x e I.

n ^ n

k=0

Классическим результатом, связанным с изучением свойств данного оператора, является полученная Б. Иессеном [2] в 1934 году теорема.

Теорема (Б. Иессен). Пусть {nk} — возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что nk+1 делится на nk. Тогда для любой функции f e L1(I) почти всюду выполняется равенство

lim Rnk f (x) = / f (s)ds (1)

Jj

и, более того, для любого X> 0 справедливо неравенство

»({x e I : sup Rnk |f (x)| >X^ < X If ||bl(j) . (2)

Следующий важный результат в данном направлении принадлежит Рудину [3], который построил ограниченную функцию с расходящимися почти всюду Римановыми суммами.

Теорема (У. Рудин). Пусть D — последовательность натуральных чисел, которая содержит множества Dn, n = 1, 2 ..., каждое из которых состоит из n элементов таких, что ни один элемент из Dn не делит наименьшее общее кратное остальных элементов из Dn. Тогда для любого t > 0 существует ограниченная измеримая функция f такая, что

f(x) e I,

limn^,n€D Rnf (x) > 2

© Преображенский И.Е., 2010

для каждого х и при этом f (в)ds < е.

Эти результаты дали толчок к изучению последовательностей операторов сумм Рима-на, построенных по возрастающим последовательностям натуральных чисел, обладающих специальными арифметическими свойствами. Обзор достижений в данном направлении можно найти в работах [4],[5].

Приняв во внимание всё вышесказанное, интересно узнать ответ на вопрос: можно ли получить многомерные аналоги приведённых выше утверждений.

Обозначим через Q единичный куб в Ят. Пусть ^ — обычная мера Лебега. Определим т-мерный оператор сумм Римана равенством

ЯП1,п2,...,пгп У (х1, х2, . . . , хт) 1 «4-1 П2-1 Пт-1 II I

- V V ••• V У (х1 + —, х2 + — ,...,хт + —).

П1П2 ^ П1 П2 Пт

г1=0 г2 =0 гт=0

Основным результатом данной работы является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть даны т возрастающих последовательностей натуральных чисел {пг,к} , г = 1, т, причём для каждой из последовательностей выполнено условие

пгд|пг,2|пг,3... |пг,к|... , где пк|пк+1 означает, что пк делит пк+1. Тогда для любой функции У € почти всюду выполняется равенство

Пт Д„1 ....,ит>кУ(х1, х2,... , хт) = / У(x)dx,

где справа стоит интеграл Лебега от функции У. Более того, справедлива оценка

М ... ,xn) : sup Rn1M,...,nm,k lf (xi,... ,xm)l > Ц ) < ^ ^l^ . (3)

k

А

Для простоты изложения все дальнейшие рассуждения мы будем проводить для случая Я2. Приведённые ниже результаты легко обобщаются на случай большего числа измерений.

Нам потребуются некоторые факты и определения из теории дифференцирования интегралов. Напомним их.

Определение 1. Дифференциальным базисом В (х) в точке х € Ят называется семейство содержащих х ограниченных измеримых множеств положительной меры таких, что найдется по крайней мере одна последовательность {Вк € В(х)}, удовлетворяющая условию &ат Вк ^ 0. Дифференциальным базисом в Ят называется объединение указанных семейств В = {иВ(х) : х € Ят}.

Классическими примерами дифференциальных базисов являются базисы в Ят, обозначаемые обычно через В3(Ят), в = 1, 2,..., п, состоящие из всех прямоугольных параллелепипедов В вида

В = {(х1,... ,х«) € Ят : а < хг < а + 7г, г = 1,... ,п} , удовлетворяющих условию т, = 71, ] = 1,..., в; 7г € Я+.

Определим теперь верхнюю и нижнюю производные интеграла от локально интегрируемой функции f в точке x Е Rm относительно базиса B с помощью равенств

DB(f,x) = sup{ lim I fdr : Bk Е B(x), diamBk ^ 0},

ß(Bk) JBk

DB(f,x) = inf{ lim fdr : Bk Е B(x), diamBk ^ 0}.

k^^ -(Bk) JBk

Говорят, что базис B дифференцирует интеграл от f, если почти всюду выполнены равенства

DB(f,x) = DB(f,x) = f (x). (4)

Если B дифференцирует интеграл от любой функции f из пространства X, то говорят, что базис B дифференцирует пространство X. Если базис B дифференцирует L, то он называется плотностным.

Пусть B — дифференциальный базис. Важнейшую роль в теории дифференцирования интегралов дифференциальными базисами играет оператор максимальной функции, определяемый равенством

MBf(t) = sup{-B)! |f(т)\dr : t Е B Е B}. (5)

Для дальнейшего нам потребуется следующее утверждение, харрактеризующее свойства одного специального дифференциального базиса, состоящего из прямоугольников.

Лемма 1.Определим специальный дифференциальный базис B следующим образом: пусть даны две возрастающие последовательности натуральных чисел li,i и l2,i, причём для каждой из последовательностей выполнено условие li,i|li,2|li,3 ... |lj,k |.... Пусть

Bk^Mihihi = [ki,i/li,i, (ki,i + l)/li,i) x [k2i/l2,i, (k2,i + l)/l2,i),

где kj,i = 0,..., lj,i — l.

Семейство B(x) определим как совокупность всех множеств, для которых справедливо включение x Е Bkl i,k2 i,i1t,i2 i. Тогда для любой функции f Е L^Q) почти всюду выполняется равенство

f (x,y) = lim ---- I f (s)ds. (6)

Bk1,i,k2,i,l1,i,l2,i

Более того, для масимального оператора MB, соответствующего данному дифференциальному базису, справедлива оценка

-({(x,y) : Mbf(x,y) > А}) < ЫЫШ.. (7)

Доказательство

Для доказательства заметим, что прямоугольники, составляющие дифференциальный базис, либо не пересекаются, либо один содержит другой. Это следует из арифметических свойств последовательностей и /2,г. Оценим меру множества

{(х,у): Мв/(х,у) > Л} = У Б3, где для каждого Б; справедливо неравенство

|/(в^в > Л

МБ; Ы BJ

Запустим процесс, используемый при доказательстве известной теоремы Витали о покрытиях. Так как с ростом г мера множеств, составляющих базис Б, строго убывает и меры всех множеств с одинаковыми индексами г равны, можно выбрать в качестве Л\ множество из семейства {Б;} с максимальной мерой. Удалим из семейства {Б;} все множества, содержащиеся в Ль Аналогично продолжая процесс, получим семейство непересекающихся множеств Ль Л2,.... Заметим, что так как семейство {Б;} счётно, то каждый прямоугольник либо был выкинут на определённом шаге, либо был включён в семейство множеств {Л;} , следовательно, справедливо равенство

Ми Б;) = Ми Л;).

Отсюда получаем цепочку неравенств

" ({(х, у) : Мв/(х, у) > Л}) = " (и Б;) =

" (и Л;) = Е "(Л;) < Е •

откуда вытекает справедливость равенства (7) и, соответственно, (6). Лемма полностью доказана.

Следующая лемма также необходима для доказательства теоремы 1. Лемма 2. Пусть для каждой пары натуральных чисел (г,]), для которых выполнено условие г < определена измеримая функция Д;(х,у), (х,у) € ф. Причём для любого г предел Д; (х, у) существует почти всюду.

Пусть известно, что для любых ] и Л > 0 существует константа с, независящая от Л такая, что справедлива оценка слабого типа

с

М{(х,у) : йиР Л;(х,у) > Л}) < Л.

г, %<] Л

Тогда справедливо неравенство

с

"({(х,у) : 8ИР Пш Д;(х,у) > Л}) < Т.

г З^ж Л

Доказательство

Пусть

A = i(x,y) : suP lim fi,j(Х,У) > А}.

Если (х,у) Е А, то существует номер ¿(ж, у) такой, что Мх,у)^(ж, у) > А, следова-

тельно, для любой точки (ж, у) (кроме может быть множества меры 0) существует номер 3(ж, у), начиная с которого выполняется неравенство /¿(х,у),*(ж, у) > А, следовательно,

оо оо оо оо

1 \ 1-^4. i,i<j m=1 j>m m=1 j>m 4

A С У p| {(x,y) : fi (x,y),jy) > c у Pi "i(x,y): sup fi,j(x,y) > а

Пусть

= П I (Х,У) : йиР к* (Х,У) > А

Заметим, что справедливо вложение

ит С ^т+ь (8)

а для меры множества ит справедлива оценка

с

М^т) < д. (9)

Используя (8), (9) и непрерывность меры, получаем, что справедлива цепочка соотношений

М I I Цт) = Пт ^(Цт) <

^^ А

т=1

Лемма полностью доказана. Доказательство теоремы 1

Для доказательства нам потребуются некоторые дополнительные построения. Зафиксируем натуральные числа п1,п2,/1,/2, причём п1|/1 и п2|/2. Для каждой пары натуральных чисел к1,к2, которые удовлетворяют условиям к е [0,/^ — 1], (г = 1, 2), определим множества при помощи равенств

П1 -1 П2 1 |- , • , Г , • , .-,

' ■ ' к2 , 3 к2 + 1 3

QIX(ki,k2)= U U

i=0 j=0

k1 i k1 + 1 i r + —+ — I x

-2 + j; + ). 12 /2 Ш

Заметим, что для мер данных множеств выполняется соотношение

^ (д-2 (к1,к2)) = Пг2.

Если выполняется включение

(ж,у) е [к1//1, (к1 + 1)//1) X [к2//2, (к2 + 1)//2),

то справедлива цепочка равенств

Г (fc2 + l)/«2 Kfcl + l)Al

/2 / /1 / Rni,n2 / (s-t)dsdt =

J k2 /l2 ./ki/li

С (k2+1)/l2 [■ (kl + 1)/ll 1 n1-1 n2 1 • •

/W /1/ - У У/ (s + —, t + —

Л2А2 Ai/il n1n2 ¿0 n1 n2

, , Щ-1 n2 1 r (k2 + 1)/i2 f (kl+1)/il V —

/1/2eE/.. .. /(s+^+— )dsdt=

/2

n1n2 "i=0 j=0 Л2Л2 ./kl/il n1 n2

1

/ (s, t)dsdt.

р (ЖГ ^ъЫ) ./Qr^i^2 (fci,fe2)

Из леммы 1, теоремы Фубини и неравенства ||R„ 1;„2 f |L1(Q)| < ||/|L1(Q)| следует, что почти всюду справедливо равенство

1,П2 f (x,y)

lim -1-^ [ f(s)ds. (10)

.(k 1 ,k2) р (q^(fc^)) ^Г/Д,с=ь*2)

Перейдём непосредственно к доказательству основной теоремы 1. Построим дифференциальный базис, как в лемме 1, положив для каждого i соответственно Z1;i = n1;i, Z2;i = n2;i и для каждого j > i определим множества Qn^j^in^'j. Пусть

A = {(x,y):sup lim-^ /nni,»21 и, I |f(s)|ds > A}.

' ' Qr 1 ;;,r2, j(k 1 ,k2)

Из равенства (10), следует, что справедливо соотношение

P({(x,y) : supR„1 ,.,„2,i|f(x,y)| > A}) = p(A). (11)

i

Заметим, что множества Q„1 ' jj'^'j- (k1, k2) при различных i и одинаковом j либо не пересекаются, либо одно содержит другое. Зафиксировав j и повторяя рассуждения, используемые при доказательстве леммы 1, получаем, что справедлива оценка

P(((x,y): sup m J / I/(s)|ds > Л}) < llf |L;(Q)I

i<j, (x,y)€Qnl'j S;(kl,k2) P (Q™l,™2 . (k1 - k2^ i J Л

l2 Qn l'j',l22 j (k l,k2)

' ' (12)

Положив теперь

P (Q^ ' j ,П2 ' j (k1 , k2) I J

7 nl i , П2 i

Qn l ' j , n2' j (kl,k2)

где (x,y) е Q^j'^j(ki, k2).

Из условий (10) и (12) следует, что набор функций fi;j удовлетворяет условию леммы 2. Применив вышеупомянутую лемму и равенство (11), получаем справедливость оценки (3).

Теорема полностью доказана.

Библиографический список

1. Гусман, М. Дифференцирование интегралов в Rn / [Текст]. - М.: Мир, 1978.

2. B. Jessen On the approximation of Lebesgue integrals by Riemann sums // Ann. of Math. (2), 35:2 (1934), 248-251.

3. W. Rudin An arithmetic property of Riemann sums // Proc. Amer. Math. Soc.,15:2 (1964,) 321-324.

4. Карагулян, Г.А. Суммы Римана и максимальные функции в Яп // Мат. сборник. - 2009. - Том 200, №4. - С. 53-82.

5. Ruch J.-J., Weber M. On Riemann sums // Note di Matematica 26, n. 2, 2006, p. 1-50.