Обобщение абелевой калибровочной симметрии Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. № 2 (1). 2010. С. 95-100

УДК 530.1

Обобщение абелевой калибровочной симметрии Н. П. Третьяков*, А. Я. Терлецкий

* Кафедра прикладной математики Российский государственный социальный университет ул. Вильгельма Пика, д.4, Москва, 129226, Россия ^ Кафедра экспериментальной физики Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, 6, Москва, 117198, Россия

Предложено обобщение абелевой и (1) группы калибровочной симметрии, при котором единица и генератор алгебры Ли исходной группы меняются местами между собой. В результате получается коммутативное расширение группы симметрии, двумерное матричное представление которой содержит матрицы е определителями, равными не только 1, как в случае ЯО(2), но и -1. Целью настоящей работы является обоснование необходимости существования так называемых мнимых зарядов и электромагнитных полей с отрицательной плотностью энергии. Проанализированы некоторые космологические следствия существования таких полей.

Ключевые слова: калибровочная симметрия, абелева группа, мнимые заряды, отрицательная плотность энергии, ускоренное расширение вселенной.

Выдвинутая Я.П. Терлецким гипотеза о существовании мнимых зарядов и электромагнитных полей с отрицательной плотностью энергии [1] связана с формальной подстановкой в закон Кулона вместо действительных величин зарядов мнимых величин В этом случае одноимённые заряды будут притягиваться, а разноимённые — отталкиваться. Именно это свойство представляет собой фундаментальное физическое отличие их от обычных зарядов; представление в виде мнимых величин — всего лишь математический приём описания. Полагая формально заряды и поля комплексными, в работе [1] были получены уравнения Максвелла и выражение для силы Лоренца (без взаимодействия между обычными и мнимыми зарядами). Одним из вариантов таких уравнений является следующий:

ё1уЕ = 4кре; ё1у е = —4крт; ё1уВ = 0; ёгу Ь = 0;

х 4ж - 1 дЕ г 4п - 1 де х 1 дВ _ 1 дЬ В = — -е + - —; Ь = —]т — - —; Е = — —; г^ е = ; (1) с с аъ с с аъ с аъ с аъ

1

с

-Рлор = реЕ +- ]еВ + рте--утЬ

1

с

Здесь Е, В, е, Ь — соответственно «обычные» и «минус» поля, ре, г}е, рт, — их источники.

Стандартный вывод теоремы Пойнтинга из уравнений (1) приводит к таким выражениям для мощности силы Лоренца, плотности энергии и плотности потока энергии:

«=— 1г—^ * »=8; +—£ +р);

£=^ ЕВ с е Ь

4^ 4к

из которых очевидно, что плотность энергии минус-полей отрицательна. В работе [2] сделана попытка феноменологического вывода уравнений со взаимодействием между обычными и мнимыми зарядами; в его отсутствии они взаимодействуют между собой посредством лишь гравитации (т.е. мнимые заряды принадлежат так называемому «скрытому сектору»).

Статья поступила в редакцию 27 ноября 2009 г.

Следует отметить, что в работах [1,2] уравнения получены чисто формально, что не придаёт убедительности такому их выводу. Как известно, существование электромагнитного поля может быть выведено исключительно из требования инвариантности лагранжиана относительно группы преобразований U (1); векторный потенциал А)Л возникает как компенсирующее калибровочное поле, а элементарный заряд — как константа взаимодействия этого поля с полями материи [3]. Целью данной работы и является такое обобщение U (1) — симметрии, которое приводит к необходимости существования минус — электромагнитного поля как калибровочного. Тем самым гипотеза Я.П. Терлецкого поднимается на более высокий уровень обоснованности.

Идея обобщения состоит в следующем. Группа U (1) изоморфна SO (2), т.е. группе ортогональных матриц с определителем, равным единице:

Г cos Р sin Р

^ — sin /3 cos /3

(2)

Расширение группы до матриц с детерминантом минус единица может быть проведено добавлением к вращениям (2) отражений осей. Но тогда получается О (2) — полная ортогональная группа, которая является некоммутативной даже в случае двух измерений. Это противоречит нашей попытке вывести существование минус-поля по аналогии с обычным электромагнитным полем, т.е. из некоторой коммутативной группы преобразований симметрии лагранжиана. На матрицы (2) можно посмотреть с другой стороны: как на анти циркулянтные, т.е. матрицы вида

а Ь q Ь

(3)

где (I = -1. Вообще, при любом фиксированном ^ невырожденные матрицы вида (3) образуют коммутативную группу. Её можно обозначить Сч (2, С) — ^ — циркулянтные матрицы размера 2 на 2 с комплексными элементами. Если ^ = 1, то матрицы называют просто циркулянтными.

Можно построить коммутативную группу циркулянтных матриц, зависящих от одного непрерывного параметра а, с детерминантами ±1, т.е. БС\ (2, С). Группа состоит из элементов двух типов, имеющих общее и инфинитезимальное представление:

' (4)

ch а sh а 1 0" 0 1 sh а ch а 0 1 1 0

ta — sh а ch а 0 1 + а 1 0 ; За — ch а sh а 1 0 + а 0 1

det ta — 1; det sa = — 1;

Как видно из (4), элементы группы и отличаются тем, что единица и генератор меняются местами. Легко видеть, что выполняются все групповые аксиомы, т.е. наличие единицы и обратных элементов, а таблица группового умножения имеет вид

tat/3 — ta+¡3; tas¡3 — sa+p; sas@ — ta+p.

(5)

Построенная группа является двусвязной однопараметрической группой Ли. Ин-финитезимальные операторы в (4) представляют её алгебру Ли.

Рассмотрим пространство представления группы в виде двумерных векторов — дублетов действительных скалярных полей, а их скалярное произведение определим с помощью индефинитной метрики:

Vi ^2

; 1>

Ф1 Ф2

; ф * г^ — ^i^i — ^2^2.

Тогда квадратичная форма (р * (р оказывается инвариантной относительно преобразований и меняет знак при преобразованиях 8а:

1аф =(1 + ад) ф = ^ + ; ^ = (6 + «1) V

+ +

С =

0 1 1 0

(гаф) * (га0) = ((р1 + оир2) - (^2 + аух) = ^ - = ф * ф; ^^^

(ваф) * (ваф) = + оирх)2 - (^1 + а<р2)2 = - <А = -ф * ф. По аналогии с обычным случаем определим ковариантную производную как

Бцф = д^ф - еАцСф,

тогда при совместном преобразовании полевых переменных и градиентном преобразовании потенциалов ковариантные производные преобразуются так же, как поля:

: ф ^ ф + а& ф; А/л ^ А/л + -д^а; Б^ф ^ В/лф + аС(Б^ф),

1 (7)

ва : ф ^ <3ф + аф; А/л ^ А/л + -д^а; Б/Лф ^ С(Б1Лф) + а (Б^ф).

Следовательно, лагранжиан

Ь = 1 Б^ф * Б^ф - т2ф * ф (8)

инвариантен относительно преобразований и меняет знак при преобразованиях 8а. Поскольку уравнения движения получаются путём приравнивания к нулю первой вариации лагранжиана, смена знака у последнего не изменяет динамических уравнений. Необходимо помнить в этой связи, что правильное название вариационного принципа — принцип стационарного (а не наименьшего) действия, а на реальных траекториях действие принимает экстремальное (а не обязательно наименьшее) значение. Итак, инвариантность динамических уравнений относительно расширенной абелевой группы достигается в данном случае за счёт инвариантности лагранжиана с точностью до знака.

Однако построенная симметрия разрушается при добавлении к лагранжиану необходимого кинетического члена, описывающего свободное электромагнитное поле:

Ь = 2П1Лф * Б'лф - т2ф * ф - 4Б^; = д/лА„ - д„А/л. (9)

При градиентных преобразованиях потенциалов (7) тензор напряжённостей очевидно не изменяется, следовательно, при преобразованиях первые два члена лагранжиана (9) меняют знак, а последний член не изменяется. Весь лагранжиан (9) оказывается не инвариантным, хотя бы с точностью до знака!

Восстановить симметрию без введения новых сущностей невозможно. Помимо

поля ф, должно существовать другое поле ф, взаимодействующее со своим собственным калибровочным полем а^, но с теми же значениями констант е и т. Однако кинетический член поля а^ противоположен по знаку:

Ь = 1 (д^ф - еАцСф) * {д^ф - еА^Сф) - т2ф * ф+

2

2 [д^ф - е а,, 6ф) * [д^ф - е а» Сф) - т2ф * ф - 1 Б^ + 4

Для обеспечения инвариантности лагранжиана (10), хотя бы с точностью до знака, преобразования 8а должны сопровождаться перемешиванием полей ф и ф.

Такие преобразования обозначим заглавными буквами:

Та • ф ^ ф + ад ф; А^ ^ А^ + а; гр ^ гр + ад тр; а^ ^ а^ +

• ф ^ бтр + агр; А^ ^ а^ + -д^а; гр ^ дф + аф; а^ ^ А/л + -д^а.

В матричной форме:

Та :

( 10 '6 0"

+ а

-ф. \ 01 0 с

( "0 с 01

+ а

-ф V С 0 10

—>

—у

1 0 0 1

0 1 10

'Аи

Аи

+ - (д^а)

+ - (ду, а)

(11)

Можно убедиться, что таблица группового умножения имеет такой же вид, что и (5):

Т1 ГТ1 _ ГТ1 ГТ1 Г* _ С* С С _ П^

а + 13 — , — , — 1а+р,

т.е. это — представление той же самой группы, на этот раз четырёхмерное.

При преобразовании Та каждый член лагранжиана (10) инвариантен. При преобразовании члены с ковариантными производными и массовые члены переходят друг в друга и меняют знак; кинетические члены переходят друг в друга без смены знака ( о ), однако их разность, входящая в (10), меняет знак, таким образом, меняет знак и лагранжиан в целом.

Можно построить более привычное представление. При замене, когда е ^ %д; <р\ ^ ф\; <р2 ^ (мнимый заряд!) а * заменяется на простое умножение, тогда лагранжиан (8) переходит в

Ь — (д^Ф -гдА^Ф) (д^Ф + гдА^Ф) -т2ФФ; Ф — фх + гф2; Ф — ф\ + гф2, (12)

т.е. в обычный лагранжиан для комплексного скалярного поля Ф. Тогда преобразования (6) приобретают вид (при одновременной замене а ^ г/3):

• Ф — ф\ + %ф2 ^ Ф + г/Ф — ег^Ф; Ф — ф\ - %ф2 ^ Ф - г/Ф — е грФ, ва • Ф — фх + %ф2 ^ Ф + г/Ф — ег/3Ф; Ф — фх - %ф2 ^ -Ф + г/Ф — -е-г^Ф

-113.

(13)

и в обоих случаях Аи ^ Аи +—диа — Аи +--ди (г3) — Аи +—див. Можно показать, что и в этом представлении ковариантные производные

Б^Ф — (д^Ф -ъдА^Ф); Ф— (д11 Ф + гдА»Ф)

преобразуются по (13), т.е. так же, как поля Ф, Ф, следовательно, лагранжиан (12) инвариантен при преобразованиях 1а и меняет знак при 8а.

Преобразования (13) выглядят несколько необычно, учитывая, что Ф — это комплексно сопряжённое Ф. Как эти преобразования полей выглядят в терминах их действительных и мнимых частей ф\, (р>2? Легко показать, что

~Ф1 сова - в1п а ~Ф1 ~Ф1

; ^ а •

ф2_ в1п а сов а ф2_ _ф2_

г 81п а г сов а —I сов а г в1п а

ф2_

(14)

Запишем инфинитезимальную форму (14), выделяя мнимую единицу, поскольку в стандартной форме калибровочные преобразования обычно записывают в виде [3, с. 98]

'■Ра — <£А + №] (Т] )АВ<РВ; 3 — 1,...,К; А, В — -,..., К

а

а

где К — размерность калибровочной группы (в данном случае 1), К — размерность представления (в данном случае 2), (Т^)АВ — генераторы группы. Получим:

~<Р1 Л 1 0

}Р2. 0 1

+ ш -%

Ф1 ^2

->• < ~г

0 -1 10

+ %а

0 -1 10 "1 0 01

^2

^2

(15)

г

а •

в

а

Из (15) снова видно, что элементы и ва отличаются тем, что единица и генератор двумерного вращения гелв меняются местами. Таблица группового умножения также имеет вид (5). Проводя рассуждения, аналогичные выше приведённым, получаем, что аналог лагранжиана (10) имеет вид

Ь = (ддФ - гдА^ Ф) (д^Ф + гдА^ Ф) - т2Ф Ф+

+ - ъда^ Ф) (^Ф + гда^ Ф) - т2ФФ - 4Б^ + 1 /

4

(16)

Лагранжиан (16) инвариантен относительно преобразований Та : Ф ^ Ф + шФ; Ф ^ Ф - шФ; Ф ^ Ф + шФ; Ф ^ Ф - шФ;

и меняет знак при преобразованиях

(17)

Яа : Ф ^ Ф + шФ; Ф ^-Ф + шФ; Ф ^ Ф + шФ; Ф ^-Ф + шФ; (18)

а потенциалы преобразуются в точности как в (11), с заменой е ^ д. Преобразования (17), (18) можно записать в матричной форме, аналогичной (11).

Лагранжиан (16) может быть представлен в стандартной форме, с явным выделением токов:

Ь = д^Фд^Ф - т2ФФ - А^Ф) + 42ЛдЖФФ+

+ д^Фд'^Ф - т2ФФ - а^ф + о2а11а^ФФ - 1 ^Б^ + 4/^;

^ = iq (Фд^ф - Фд,лФ) ; ^ = iq (Ф5ДФ - Ф

(Ф)

Таким образом, отличие двух типов полей состоит в том, что для одного токовый и кинетический члены в лагранжиане имеют одинаковые знаки, а для другого — противоположные. Варьирование по полевым переменным и токам в первом случае приводит к обычным уравнениям Максвелла и силе Лоренца, а во втором — к уравнениям с мнимыми зарядами и отрицательной плотностью энергии электромагнитного поля.

Ясно, что существование мнимых зарядов и минус-полей приводит к существенным космологическим следствиям. Наличие полей с отрицательной плотностью энергии, имеющих космическую протяжённость, даёт основание выдвинуть гипотезу, что современное состояние Вселенной является радиационно-доминиро-ванным фотонами с отрицательной энергией и, как следствие — объяснить малое значение космологической постоянной как перенормированной энергии вакуума. Последнее является серьёзной проблемой стандартной космологической модели ЬСБМ [4]. Если минус-фотоны дают существенный вклад в баланс энергии во Вселенной, то его следует записать так:

^М + ^Л - ^гаё = 1; ^гаё =

Ргаё,0

Рс

(19)

где плотность энергии минус-фотонов и их давление отрицательны:

^ п Ргаё,0 п

Ргаё,0 < 0; Ргг^ = 3 < 0.

Тогда уравнение ковариантного сохранения для радиационной компоненты и уравнения Фридмана запишутся в виде [4]:

■ ® / \ с /-\2 ^ (Пм я0 ^ 2 ^ а0"

Prad + 3^ (Prad + Prad) = 0 ^ pIad = ^ , (à)2 = ^G Pc ( + Пла2 - Qrad ^f ) .

\ fy fy J

^ ' - ^ > 3 ^ а п2

Дифференцируя уравнение Фридмана по времени, получаем

а = аРс - Пм ) * + 2П^ (^ . (20)

Из (20) следует, что при выполнении условия 2 (Пл + Пга^) > Пм современное состояние Вселенной характеризуется ускоренным расширением: ¿0 > 0, как и в модели ЬСБМ [4]. Отличие состоит в том, что, как видно из (19), вместо Пл имеем Пл — Пга^, т.е. объясняется малое значение космологической постоянной как перенормированной энергии вакуума Пл.

Литература

1. Terletsky J. P. // Annales de la Fondation Louis de Broglie. — 1990. — Vol. 15, No 1.

2. Третьяков Н. П., Терлецкий А. Я., Терлецкий С. А. // Вестник РУДН, Серия Физика. — 1999. — № 12. — С. 143-149.

3. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — Физматлит, 1993. — 334 с.

4. Горбунов Д. С., Рубаков В. А. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — 552 с.

UDC 530.1

Extension of Abelian Gauge Symmetry

N. P. Tretyakov*, A. Ya. Terletsky1"

* Department of Applied Mathematics

Social State University of Russia Wilhelm Pieck str. 4, Moscow, Russia t Department of Experimental Physics Peoples' Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str. 6, Moscow, Russia 117198

A generalization of the U (1) gauge symmetry group by permutation of the generator and the unity is proposed. Thus a commutative extension of the symmetry group is obtained. The two-dimensional matrix representation of this group contains matrices with determinants both 1 and -1. The aim of the present work consists in establishing the necessity of existence of so-called imaginary charges and electromagnetic fields with negative energy density. Some cosmological issues of the existence of such fields are discussed.

Key words and phrases: gauge symmetry, abelian group, imaginary charges, negative energy density, accelerating cosmological expansion.