Objektivni pristup određivanju težina kriterijuma Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

OBJEKTIVNI PRISTUP ODREĐIVANJU TEŽINA KRITERIJUMA

Milićević R. Milić, Univerzitet odbrane, Vojna akademija, Katedra logistike, Beograd,

Župac Ž. Goran, Univerzitet odbrane, Vojna akademija, Katedra menadžmenta u odbrani, Beograd

OBLAST: matematika, operaciona istraživanja VRSTA ČLANKA: naučna kritika

Sažetak:

U radu je dat prikaz metoda objektivnog pristupa određivanju teži-na kriterijuma koje se mogu uspešno primenjivati u modelima višekrite-rijumskog odlučivanja. Prikazane su metode: entropije, CRITIC i FAN-MA, kao i moguća kombinacija metoda objektivnog i subjektivnog pri-stupa. Iako se zasnivaju na različitim teoretskim postavkama, a time su im algoritmi realizacije različiti, sve metode za polaznu osnovu imaju matricu odlučivanja. Objektivnim pristupom određivanju težina kriterijuma eliminišu se negativni uticaji donosioca odluke na težine kriterijuma i na konačno rešenje višekriterijumskog problema.

Osnovni cilj rada jeste sistematizovan prikaz procedura provođenja metoda kao svojevrsna pomoć svima koji se sreću sa problemom odre-đivanja težina kriterijuma pri rešavanju višekriterijumskih zadataka.

Mogućnost primene metoda prikazana je na jednom numeričkom primeru.

Key words: težine kriterijuma, entropija, CRITIC, FANMA.

Uvod

Određivanje težina kriterijuma jedan je od ključnih problema koji se javlja u modelima višekriterijumske analize. Pored činjenice da ne postoji jedinstveno određenje pojma težine kriterijuma, problem određivanja težina kriterijuma dodatno usložava nedovoljno poznavanje mogućih metoda određivanja težina kriterijuma u konkretnoj situaciji odlu-čivanja. Uzimajući u obzir činjenicu da težine kriterijuma mogu značajno uticati na rezultat procesa odlučivanja, jasno je da se posebna pažnja mora posvetiti objektivnosti težina kriterijuma, što nažalost nije uvek pri-sutno pri rešavanja praktičnih problema. Poznavanje pravog značenja kriterijuma ima suštinsku važnost za pravilnu primenu metoda i modela.

Сз9>

milic.milicevic@mod.gov.rs

Milićević, M. i dr., Objektivni pristup određvanju težina kriterijuma, pp. 39-56

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK/MILITARY TECHNICAL COURIER, 2012., Vol. LX, No. 1

Generalno je moguće napraviti razliku između dva tipa težina: koeficije-nata važnosti i pokazatelja razmene (kompromisa, trade-off). Glavna razlika između težina kao koeficijenata važnosti i težina kao pokazatelja razmene je u načinu na koji se određuju težine, odnosno da li se razmatra kompenzaci-ja između kriterijuma kao mogućnost da dobre performanse po nekim kriteri-jumima mogu nadoknaditi loše performanse po drugim kriterijumima.

Način na koji se određuju težine kriterijuma mora biti u skladu sa vi-šekriterijumskim modelom koji će biti korišćen. U metodama, koje koriste ordinalnu informaciju o vrednosti kriterijuma, i u kojima težine predstavlja-ju koeficijente važnosti, doprinos pojedinog kriterijuma ukupnoj perfor-mansi neke varijante ne zavisi od intenziteta preferentnosti. U suprot-nom, u kompenzacionim metodama, doprinos bilo kog kriterijuma ukupnoj vrednosti varijante je proporcionalan intenzitetu preferentnosti. Posto-je i višekriterijumski modeli koji koriste kardinalne informacije o vrednosti kriterijuma i gde težine predstavljaju koeficijente važnosti. U tim slučajevi-ma maksimalan doprinos svakog kriterijuma ukupnoj vrednosti varijante jednak je samoj težini kriterijuma i zato su te metode nekompenzacione (kao npr.: PROMETHEE, ELECTRE III).

Procedure za određivanje težina kriterijuma su već godinama predmet istraživanja i naučnih rasprava. U literaturi je moguće pronaći više razvije-nih pristupa određivanja težina kriterijuma. Tradicionalne metode određiva-nja težina kriterijuma uključuju npr.: trade-off metodu, proporcionalnu (ratio) metodu, swing metodu, conjoint metode i AHP. Pored njih zastupljena je grupa metoda u kojima se težine kriterijuma proračunavaju na osnovu ranga kriterijuma. Takođe su razvijene metode u kojima se težine kriterijuma proračunavaju na osnovu informacije sadržane u matrici odlučivanja. U procesu određivanja težina kriterijuma može biti angažovano više ekspera-ta ili zainteresovanih lica što zahteva primenu metoda grupnog odlučivanja uz matematičku ili socijalnu agregaciju individualnih težina.

Klasifikacija metoda određivanja težina kriterijuma

Na osnovu proučavanja dostupne literature može se izvesti zaklju-čak da ne postoji jedinstvena podela metoda određivanja težina kriteriju-ma i da je ona vršena po više osnova u skladu sa shvatanjima i potreba-ma autora za rešavanje konkretnog praktičnog problema.

Tako je u literaturi [1] izvršena podela metoda za određivanja težina kriterijuma na: statističke i algebarske, holističke i dekomponovane, direkt-ne i indirektne i kompenzacione i nekompenzacione. U algebarskim načini-ma proračunava se n težina na osnovu skupa n-1 rasuđivanja (zaključa-ka) korišćenjem jednostavnog sistema jednačina. Statističke procedure ko-

C4D

riste regresionu analizu zasnovanu na redundantnom skupu zaključaka. Dekomponovane procedure su zasnovane na poređenju jedan na jedan parova kriterijuma, dok u holističkim metodama donosilac odluke, prilikom izražavanja svojih preferenci, razmatra i kriterijume i varijante i vrši ukupnu ocenu varijanti. U direktnim metodama donosilac odluke poredi dva kriterijuma koristeći relacionu (ratio) skalu, dok se u indirektnim metodama na osnovu preferencija donosioca odluke proračunavaju težine kriterijuma.

Kompenzacione metode se koriste za agregaciju parcijalnih vredno-sti u metodama višeatributske teorije vrednosti, dok se nekompenzacione koriste za agregaciju parcijalnih vrednosti u metodama višeg ranga (outranking methods). Prva grupa metoda podrazumeva strogu kompen-zaciju između kriterijuma i težine kriterijuma se koriste kao proračunski faktori, dok se kod druge grupe ne vrši kompenzacija i težine kriterijuma se koriste kao koeficijenti važnosti u agregacionim formulama.

U osnovi, većina pristupa određivanju težina kriterijuma može se po-deliti na subjektivne i objektivne. Subjektivni pristupi su zasnovani na određivanju težina kriterijuma na osnovu informacije dobijene od donosioca odluke ili od eksperata uključenih u proces odlučivanja. Subjektivni pristupi odražavaju subjektivno mišljenje i intuiciju donosioca odluke i time donosilac odluke utiče na rezultat procesa odlučivanja. Objektivni pristupi su zasnovani na određivanju težina kriterijuma na osnovu informacije sadržane u matrici odlučivanja primenom određenih matematičkih mo-dela. Objektivni pristupi zanemaruju mišljenje donosioca odluke.

Metode objektivnog pristupa određivanju težina kriterijuma

U metodama objektivnog pristupa određivanju težina kriterijuma te-žište je na analizi matrice odlučivanja, odnosno razmatraju se vrednosti varijanti u odnosu na skup kriterijuma, da bi se potom izvela informacija o vrednostima težina kriterijuma. Opštost prilaza kao i pojma matrica odlu-čivanja se ne narušavaju ni kod tzv. višenivoiskih hijerarhija odlučivanja, jer se tada na svakom nivou generišu matrice odlučivanja, a principi do-minantnosti i dalje važe.

U objektivnom pristupu određivanju težina kriterijuma kriterijumi se posmatraju kao izvori informacija i relativna važnost kriterijuma reflektuje količinu informacija sadržanu u svakom od njih.

Objektivne težine kriterijuma, merene preko srednje vrednosti unu-trašnje (svojstvene) informacije generisane datim skupom varijanti u odnosu na svaki kriterijum, odražavaju prirodu konflikta između kriterijuma.

Količina informacije sadržana u svakom kriterijumu dovodi se u vezu sa intenzitetom kontrasta svakog kriterijuma. Standardna devijacija i en-

Milićević, M. i dr., Objektivni pristup određivanju težina kriterijuma, pp. 39-56

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK/MILITARY TECHNICAL COURIER, 2012., Vol. LX, No. 1

tropija su moguće mere intenziteta i načini izvođenja objektivnih težina kriterijuma [2].

Najpoznatije objektivne metode su: metoda entropije, metoda CRITIC i metoda FANMA.1

Metoda entropije

Određivanje objektivnih težina kriterijuma prema metodi entropije se zasniva na merenju neodređenosti informacije koju sadrži matrica odluči-vanja i direktno generiše skup težinskih vrednosti kriterijuma na osnovu međusobnog kontrasta pojedinačnih kriterijumskih vrednosti varijanti za svaki kriterijum i zatim istovremeno za sve kriterijume [3].

Neka je data matrica odlučivanja:

Ci C2 . .. C m

wi W2 . .. w m (1)

4 " aii a12 . .. a1m "

A a21 a22 . .. a2m

A an1 an2 . .. anm _

u kojoj je poznato:

- varijante Ai, i=1,2,...,n,

- kriterijumi Cy, j=1,2,...,m,

- kriterijumske vrednosti varijanti ay.

Određivanje težina kriterijuma wy provodi se kroz tri koraka. U prvom koraku vrši se normalizacija kriterijumskih vrednosti varijanti aiy primenom obrasca:

a

r = ——

V

z

a

l=1

(2)

1 Pored navedenih metoda, za objektivno određivanje težina kriterijuma može se iskoristiti metoda DEA (Data Envelopment Analysis). Budući da određivanje težina kriterijuma nije primarni cilj metode DEA, već se one dobijaju kao međurezultat rangiranja varijanti po efikasnosti, ona u ovom radu neće biti obrađena.

C4D

Na taj način dobija se normalizovana matrica odlučivanja:

R

Cl C2 .. C

W1 W2 .. w

A Au Г12 - . Г1т

4 r21 Г22 •• . Г2т

An rn1 Гп2 .. . Гпт

m

m

(3)

Količina informacije sadržana u normalizovanoj matrici odlučivanja (3) i emitovana od svakog kriterijuma Cj može biti merena kao vrednost entropije ej

n

e, = -kZ rjln rj j = m (4)

i=1

Uvođenjem konstante k=1/lnn obezbeđeno je da se sve vrednosti ej nalaze u intervalu [0,1].

U drugom koraku određuje se stepen divergencije dj u odnosu na prosečnu količinu informacije sadržanu u svakom kriterijumu:

dj = 1 - e, j = 1,2,...,m (5)

dj predstavlja svojstven intenzitet kontrasta kriterijuma Cj. Što je veća divergencija početnih kriterijumskih vrednosti aj varijanti A, za dati kriterijum Cj, vrednost dj za dati kriterijum je veća, pa se zaključuje da je važnost kriterijuma Cj za dati problem odlučivanja veća. Ako sve varijante imaju slične vrednosti stepena divergencije za određeni kriterijum, onda je taj kriterijum manje važan za dati problem odlučivanja. Takođe, ako su sve vrednosti stepena divergencije varijanti za određeni kriterijum iste, dati kriterijum može biti izostavljen jer on ne donosi novu informaciju donosiocu odluke.2

Budući da vrednost dj predstavlja specifičnu meru intenziteta kontrasta kriterijuma Cy, konačna relativna težina kriterijuma, u trećem koraku metode, može da se dobije jednostavnom aditivnom normalizacijom:

d,

Wj =1, (6)

Z d,

j=1

2 Zeleny M., Multiple Criteria Decision Making. McGraw-Hill, New York, 1982.

Milićević, M. i dr., Objektivni pristup određivanju težina kriterijuma, pp. 39-56

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK/MILITARY TECHNICAL COURIER, 2012., Vol. LX, No. 1

Metoda se može smatrati objektivnom jer generiše težinske vrednosti kriterijuma direktno iz kriterijumskih vrednosti varijanti i eliminiše problem subjektivnosti, nekompetentnosti ili odsustva donosioca odluke. Takođe, nisu bitni ni priroda i tip kriterijuma.

Metoda CRITIC

Konflikt između različitih kriterijuma jedna je od osnovnih pojava u vi-šekriterijumskom odlučivanju koja predstavlja suštinu svake situacije od-lučivanja. U višekriterijumskim problemima kod kojih su kriterijumske vrednosti varijanti po svim kriterijumima u potpunoj saglasnosti rešenje je očigledno. Međutim, kada su kriterijumi međusobno konfliktni, rešenje vi-šekriterijumskog problema zahteva primenu složenih postupaka izbora jedne preferirane varijante ili utvrđivanja poretka varijanti.

Metoda CRITIC (CRiteria Importance Through Intercriteria Correlation) [4] je metoda za određivanje objektivnih vrednosti težina kriterijuma koja uključuje intenzitet kontrasta i konflikt koji je sadržan u strukturi problema odlučivanja. Ona spada u klasu korelacionih metoda i zasniva se na analitičkom ispitivanju matrice odlučivanja radi utvrđivanja informacija sadržanih u kriterijumima po kojima se ocenjuju varijante.

Za utvrđivanje kontrasta kriterijuma koriste se standardna odstupa-nja normiranih kriterijumskih vrednosti varijanti po kolonama, kao i koefi-cijenti korelacije svih parova kolona.

Polazeći od opšte definicije višekriterijumskog problema:

max{/i (aX /2(a),..., fm (a^a G A (7)

za svaki kriterijum f definiše se funkcija pripadnosti xj koja sve vrednosti kriterijuma f prevodi u interval [0,1].

xaj =

fj (a) - fj

f+- fj

(8)

Ova transformacija zasnovana je na konceptu idealne tačke. Vred-nost xaj izražava koliko je varijanta a blizu idealne vrednosti f+, koja predstavlja najbolju vrednost kriterijuma j, i koliko je udaljena od antiidealne vrednosti f", koja je najlošija vrednost kriterijuma j. Obe vrednosti postig-nute su kod bar jedne od posmatranih varijanti.

Na taj način je početna matrica konvertovana u matricu sa generič-kim elementima xj. Vektor kriterijuma moguće je posmatrati izolovano:

X} =(xj (1), Xj (2),..., Xj (n))

(9)

Svaki vektor ima standardno odstupanje a/, koje predstavlja meru odstupanja vrednosti varijanti za dati kriterijum od neke srednje vredno-sti. To je mera intenziteta kontrasta posmatranog kriterijuma. Standardno odstupanje datog kriterijuma je veličina koja se razmatra u daljem proce-su odlučivanja.

U nastavku metode potrebno je konstruisati simetričnu matricu di-menzija mxm sa elementima rJk, koji predstavljaju koeficijente linearne ko-relacije vektora xJ i xk. Što je veće neslaganje između kriterijumskih vrednosti varijanti za kriterijume J i k, to je manja vrednost koeficijenta rJk. Izraz

m

Do - ,) (10)

k=1

predstavlja meru konflikta kriterijuma J u odnosu na ostale kriterijume u datoj situaciji odlučivanja.

Umesto koeficijenta rJk može se primeniti Spirmenov koeficijent kore-lacije ranga RsJk da bi se postiglo uopštenije kvantifikovanje saglasnosti rangova elemenata sadržanih u vektorima Xj i xk.

Količina informacije CJ sadržana u kriterijumu J određuje se kombina-cijom prethodno navedenih veličina aJ i rJk na sledeći način:

m

c, = a, D C1 - r) (11)

k=1

Na osnovu prethodne analize može se zaključiti da veća vrednost Cj podrazumeva veću količinu informacije koja se dobija od datog kriteriju-ma, a time je i relativna važnost posmatranog kriterijuma za dati proces odlučivanja veća.

Objektivne težine kriterijuma dobijaju se normalizacijom veličina Q:

c,

w,=■

D c,

k=1

(12)

Težine kriterijuma moguće je odrediti samo na osnovu vrednosti standardnog odstupanja vektora x :

a,

w,=■

D

k=1

(13)

ak

3 Umesto standardnog odstupanja aJ, prema mišljenju autora rada, bolje je koristiti empirijsku vrednost standardnog odstupanja sj, jer se radi o ograničenom broju kriterijuma koji se mogu posmatrati uzorkom populacije kriterijuma.

Milićević, M. i dr., Objektivni pristup određivanju težina kriterijuma, pp. 39-56

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK/MILITARY TECHNICAL COURIER, 2012., Vol. LX, No. 1

Metoda FANMA

Određivanje težina kriterijuma metodom FANMA zasniva se na korišće-nju principa rastojanja od idealne tačke i tzv. rane težinske normalizacije [5].

Prvo je potrebno izvršiti skalarizaciju elemenata matrice odlučivanja A i formirati matricu X =[xij]nxm na sledeći način: a) za kriterijume koji se maksimiziraju:

x,, =

a, -amIn

v a max_____Q min

t = 1,2,..., n; j = 1,2,..., m;

am ax = max

j -----{«1 j,a2j,...,Qnj } Q

b) za kriterijume koji se minimiziraju:

j = minj j , Q2 j Qnj }

am“ _ a,

j max min

a j _ a j

x,, =

, i = 1,2,..., n; j = 1,2,..., m;

(14)

(15)

Matrica odlučivanja X se dalje transformiše u novu, otežanu matricu Y=[y]nxm, gdeje: yij=WjXih i=1, ..., n; j=1, ...,m.

„Idealno rešenje" može se definisati kao veštačka varijanta A*={yi*,y2*,...,ym*}, gde je: yJ*=WjXjt, a Xj*=max{x1j,X2j,.;XnJ} predstavlja ide-alnu vrednost kriterijuma Cj.

Kao meru rastojanja svake alternative u odnosu na idealnu, može se iskoristiti kvadratno rastojanje:

gi = I (y, * _ y„ )2 = I w (x, * _X,, )2, i = 1,2

, n

j=1

j=1

(16)

Jasno je da je za manje gi, varijanta Ai bolja.

Težinski koeficijenti Wj određuju se rešavanjem višekriterijumskog optimizacionog modela: minimizirati:

G* ={gl, gl^. gn } (17)

uz ograničenja: eTw=1 i w>0,

gde su: w =(w1,w2,...,wm)T i e =(1,1,...,1)T.

Skalarizacijom vektorske kriterijumske funkcije dobija se uprošćen jednokriterijumski model: minimizirati:

I gt = wTHw (18)

i=1

uz ograničenja: eTw =1 i w>0.

H je dijagonalna matrica sa elementima:

hn =I(xj *- xv )2’ j = 1,2>->m

(19)

Uvođenjem Lagranžijana L=wTHw+2X(eTw-1) i diferenciranjem po w, a zatim po X dobijaju se dve jednačine:

Hw + Xe = 0

r (20)

e w = 1

čijim se rešavanjem dobija:

H-le

w* =

X* =

eTH -le -1

eTH -le

(21)

Ako se u prethodni izraz uvrste vrednosti inverzne matrice H-1 i izvr-

še potrebna preračunavanja, dobija se traženi vektor w*:

1

Wj * = ■

Г s l_

I (Xj* - x„ )2 I^-1—

r~ ТГ j=‘ I ( Xj * - Xj )2 _ i=1 _

(22)

t=1

Kombinacija subjektivnog i objektivnog pristupa određivanju težina kriterijuma

Određivanje težina kriterijuma kombinovanim pristupom primenjuje se s ciljem obezbeđenja uticaja subjektivnih i objektivnih faktora na teži-ne kriterijuma. Postoji više mogućnosti kombinovanja subjektivnih i objektivnih metoda određivanja težina kriterijuma. Jedan interesantan primer predstavlja kombinacija metode otežanih najmanjih kvadrata (subjektivni pristup) i metode FANMA (objektivni pristup) formiranjem dvokriterijum-skog modela matematičkog programiranja [6]:

f T J7 Л

z, = W FW

in T

^ z2 = w Hw J

(23)

uz ograničenja:

eTw = 1 w > 0

(24)

Milićević, M. i dr., Objektivni pristup određivanju težina kriterijuma, pp. 39-56

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK/MILITARY TECHNICAL COURIER, 2012., Vol. LX, No. 1

Matrica F se formira u metodi otežanih najmanjih kvadrata (The Weighted Least Squares Method - WLS) koja minimizira funkciju L2 Euklid-skog rastojanja definisanu za elemente nepoznatog vektora prioriteta w i poznate ocene aij=w/wj.

Da bi odredio težine kriterijuma, donosilac odluke vrši parna poređe-nja kriterijuma. Rezultati poređenja kriterijuma (skup poređenja parova kriterijuma) prikazuju se u formi matrice A=[a,j]nxn. Elementi matrice a. za-dovoljavaju ograničenja: a,y>0, aij=1/aji, a/,=1 i predstavljaju relativnu va-žnost kriterijuma C, u odnosu na kriterijum Cj.

Iz matrice A potrebno je identifikovati vektor w =(w1,w2,...,wn)T koji najbolje ocenjuje koeficijente w/wj na osnovu svih elemenata matrice. Ako se elementi vektora w normalizuju aditivnim metodom tako da je nji-hov zbir 1, konačne vrednosti predstavljaće relativne prioritete kriterijuma, a vektor w vektor prioriteta matrice A.

Metode za određivanje w iz date matrice poređenja A nazivaju se zajedničkim imenom prioritizacione metode. Postoji više metoda prioriti-zacije, a ovde će biti prikazana metoda otežanih najmanjih kvadrata.

Težine kriterijuma dobijaju se rešavanjem sledećeg ograničenog ne-linearnog problema optimizacije:

min z = wTFw = ZZ (wt - aijwj )2

i=1 j=1

uz uslov:

(25)

Z 'W = 1 (26)

i=1

gde je matrica F=[f*j]nxn, sa elementima:

n

=n-2+Zaik> k = 1,2>->n^

i=1 (27)

fkj = -(ak + ajk). k. J = 1>2,-,n k ^ J

Matrica F je, tzv. M-matrica [7], isključivo je pozitivna ako za bilo ko-je ij,ke{1,...,n) postoji bar jedno a^aa.. Pretpostavlja se da se gornji problem može rešiti tako da se dobije da je w>0 bez postavljanja ovog ograničenja. Navedeni model spada u klasu nelinearnih.

Uvođenjem Lagranžijana: L1=wTFw+2A1(eTw-1) i njegovim diferenci-ranjem po w i A1 dobija se sistem od (n+1) nehomogenih linearnih jedna-čina sa (n+1) nepoznatom:

Fw + Л1в = O eTw = 1

(28)

Rešavanjem navedenog sistema jednačina dobija se:

w* =

F-le eTF-1 ’

Л* =

-1

eTF -1e

(29)

Za primenu kombinovanog pristupa određivanju težina kriterijuma ni-je potrebno provoditi proceduru metode otežanih najmanjih kvadrata u potpunosti, već je dovoljno odrediti matricu F. Ovde je ona prikazana u potpunosti radi sagledavanja metode u potpunosti.

Matrica H u modelu (33) definisana je u metodi FANMA i njeno odre-đivanje neće biti ponovo prikazano.

Za rešenje kombinovanog problema datog modelima (33) i (34) mo-že se koristiti otežani linearni aditivni metod višeciljnog programiranja. Procedura je sledeća:

min(z3 = w TQw) (30)

uz ograničenja:

eTw = 1

w > 0

(31)

gde je Q=aF+pH, a elementi matrice Q su:

Чгг

Vij

a(n-2 + zaki) + eZ(хг *-хкг)2> г = 1>2,...,n

k=1

k=1

-a(an + an X i, j = n i * j

(32)

a i p odražavaju relativnu važnost subjektivnog i objektivnog pristupa re-spektivno i zadovoljavaju: 0<a, p<1 i a+p=1.

Da bi postavljeni problem bio rešen, potrebno je ignorisati ograniče-nja w>0 i uvesti Lagranžijan L3=wTQw+2X3(eTw-1). Diferenciranjem po w i X3 dobija se sledeći sistem jednačina:

Qw + A3e = 0 eTw = 1

(33)

Rešavanjem sistema jednačina dobija se:

w* =

Q-1e eTQ 1 ’

(34)

^* =

-1

eTQ -e

gde w* predstavlja vektor težina kriterijuma određen subjektivnim i objek-tivnim pristupom. Vektor težina kriterijuma w* ima praktično značenje ako su zadovoljena ograničenja w>0.

Milićević, M. i dr., Objektivni pristup određivanju težina kriterijuma, pp. 39-56

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK/MILITARY TECHNICAL COURIER, 2012., Vol. LX, No. 1

Pored prikazane izabrane kombinacije subjektivnog i objektivnog pri-stupa, u opštem slučaju, kombinovanje bilo koje metode objektivnog i subjektivnog pristupa može se izvršiti na sledeći način:

- primenom izabrane metode subjektivnog pristupa odrediti težine kriterijuma w/s),

- izabranom metodom objektivnog pristupa odrediti težine kriterijuma W/°),

- konačne težine kriterijuma wj odrediti pomoću izraza:

wj =■

w j> wj>

(35)

z

w 5s) w(f>

j=l

Primer određivanja težina kriterijuma objektivnim metodama

Način određivanja težina kriterijuma primenom navedenih metoda biće prikazan na jednom ilustrativnom primeru. Budući da je osnovna namena pri-mera prikaz primene metoda objektivnog određivanja težina kriterijuma, u ra-du neće biti detaljnije razrađivana priroda problema koji se rešava. Pretposta-vlja se da je analizom konkretne situacije odlučivanja formirana matrica odlu-čivanja A data u tabeli 1. Potrebno je izvršiti rangiranje osam varijanti na osno-vu sedam kriterijuma, od kojih je pet kriterijuma tipa maksimuma, a dva su tipa minimuma. Za svaki kriterijum određene su kriterijumske vrednosti varijanti.4 Postoje svi potrebni podaci za određivanje težina kriterijuma.

Tabela 1 Table 1

Matrica odlučivanja A A decision matrix

j i Kriterijumi

K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7

Varijante V1 80 2688 50 65 65 1524.6 15

V2 100 4044.8 25 10 25 1224 10

V3 50 2252.8 25 65 65 1836 65

V4 35 2252.8 65 100 80 2448 25

V5 1 3584 50 100 80 3051 90

V6 5 3584 80 100 100 3051 70

V7 80 4480 100 15 100 2754 40

V8 80 2688 10 65 35 2134.8 55

min max max max max max min

4 Kvalitativne kriterijumske vrednosti varijanti se pogodnim transformacijama pretvaraju u kvan-titativne.

C5D

Određivanje težina kriterijuma metodom entropije

Korak 1: primenom obrasca (2) izvršena je normalizacija vrednosti počet-ne matrice odlučivanja. Normalizovana matrica odlučivanja R data je u tabeli 2.

Normalizovana matrica odlučivanja R Normalized R decision matrix

Tabela 2 Table 2

K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7

V1 0.186 0.105 0.123 0.125 0.118 0.085 0.041

V2 0.232 0.158 0.062 0.019 0.045 0.068 0.027

V3 0.116 0.088 0.062 0.125 0.118 0.102 0.176

V4 0.081 0.088 0.160 0.192 0.145 0.136 0.068

V5 0.002 0.140 0.123 0.192 0.145 0.169 0.243

V6 0.012 0.140 0.198 0.192 0.182 0.169 0.189

V7 0.186 0.175 0.247 0.029 0.182 0.153 0.108

V8 0.186 0.105 0.025 0.125 0.064 0.118 0.149

Primenom izraza (4), za k=0,481 dobijene su sledeće vrednosti en-tropije ej:

ey=(0,864; 0,985; 0,919; 0,918; 0,962; 0,979; 0,913)

Korak 2: vrednosti stepena divergencije d), određenih na osnovu izraza (5), su sledeće:

dy=(0,136; 0,015; 0,081; 0,082; 0,038; 0,021; 0,087)

Korak 3: aditivnom normalizacijom stepena divergencije dobijene su vrednosti težina kriterijuma:

w,=(0,297; 0,032; 0,176; 0,178; 0,082; 0,045; 0,190).

Određivanje težina kriterijuma metodom CRITIC

Skalarizacijom podataka datih u matrici A primenom izraza (8) dobije-na je matrica X (tabela 3). Primenjeni način skalarizacije polaznih podata-ka ne uzima u obzir tip kriterijuma (min. ili max.).

Tabela 3 Table 3

Matrica X Matrix X

K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7

V1 0.798 0.195 0.444 0.611 0.533 0.165 0.063

V2 1.000 0.805 0.167 0.000 0.000 0.000 0.000

V3 0.495 0.000 0.167 0.611 0.533 0.335 0.688

V4 0.343 0.000 0.611 1.000 0.733 0.670 0.188

V5 0.000 0.598 0.444 1.000 0.733 1.000 1.000

V6 0.040 0.598 0.778 1.000 1.000 1.000 0.750

V7 0.798 1.000 1.000 0.056 1.000 0.837 0.375

V8 0.798 0.195 0.000 0.611 0.133 0.499 0.563

Milićević, M. i dr., Objektivni pristup određvanju težina kriterijuma, pp. 39-56

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK/MILITARY TECHNICAL COURIER, 2012., Vol. LX, No. 1

Za svaki kriterijum K1 do K7 proračunata je vrednost standardnog odstupanja s/.

s,=(0,377; 0,378; 0,338; 0,403; 0,366; 0,378; 0,356).

Vrednosti linearnog koeficijenta korelacije kriterijumskih vrednosti varijanti г. date su u tabeli 4.

Tabela 4 Table 4

Koeficijenti linearne korelacije kriterijumskih vrednosti varijanti nj Coefficients of the linear correlation of the criteria values of nj variants

K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7

K1 1.000 0.128 -0.321 -0.852 -0.628 -0.775 -0.749

K2 0.128 1.000 0.471 -0.546 0.194 0.253 0.007

K3 -0.321 0.471 1.000 0.058 0.890 0.631 0.028

K4 -0.852 -0.546 0.058 1.000 0.391 0.538 0.543

K5 -0.628 0.194 0.890 0.391 1.000 0.791 0.390

K6 -0.775 0.253 0.631 0.538 0.791 1.000 0.710

K7 -0.749 0.007 0.028 0.543 0.390 0.710 1.000

Kada se na podatke date u tabeli 4 primene potrebni proračuni iz obrasca (10), a zatim se uvrste u izraz (11), dobijaju se vrednosti Cf C/=(3,463; 2,078; 1,433; 2,364; 1,456; 1,457; 1,807).

Aditivnom normalizacijom vrednosti Cj dobijaju se težine kriterijuma w. W=(0,246; 0,148; 0,102; 0,168; 0,104; 0,104; 0,129).

Odneđivanje težina knitenijuma metodom FANMA

Skalarizacijom podataka iz matrice A pomoću izraza (14) i (15) do-bija se matrica X (tabela 5). Za razliku od metode CRITIC, prilikom skala-rizacije podatka u metodi FANMA u obzir se uzima tip kriterijuma.

Tabela 5 Table 5

Matrica X Matrix X

K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7

V1 0.202 0.195 0.444 0.611 0.533 0.165 0.938

V2 0.000 0.805 0.167 0.000 0.000 0.000 1.000

V3 0.505 0.000 0.167 0.611 0.533 0.335 0.313

V4 0.657 0.000 0.611 1.000 0.733 0.670 0.813

V5 1.000 0.598 0.444 1.000 0.733 1.000 0.000

V6 0.960 0.598 0.778 1.000 1.000 1.000 0.250

V7 0.202 1.000 1.000 0.056 1.000 0.837 0.625

V8 0.202 0.195 0.000 0.611 0.133 0.499 0.438

Lako se može uočiti da je po svim kriterijumima maksimalna kriteri-jumska vrednost varijanti jednaka jedinici.

Realizujući potrebne proračune zahtevane u izrazu (22), dobijaju se vrednosti težina kriterijuma wj:

^■=(0,120; 0,108; 0,123; 0,168; 0,169; 0,156; 0,156).

Uporedni prikaz dobijenih vrednosti težina kriterijuma

U tabeli 6 dat je uporedni prikaz vrednosti težina kriterijuma određe-nih metodama entropije, CRITIC i FANMA.

Tabela 6 Table 6

Uporedni prikaz vrednosti težina kriterijuma Comparative review of the value of criteria weights

Metoda Kriterijumi

K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7

entropija wj 0,297 0,032 0,176 0,178 0,082 0,045 0,190

rang 1 7 4 3 5 6 2

CRITIC wj 0,246 0,148 0,102 0,168 0,104 0,104 0,129

rang 1 3 7 2 5 5 4

FANMA wj 0,120 0,108 0,123 0,168 0,169 0,156 0,156

rang 6 7 5 2 1 3 3

Opšte poznata činjenica da različite metode daju različite vrednosti teži-na kriterijuma potvrđena je navedenim primerom. Detaljna analiza i utvrđiva-nje uzroka nastanka navedene činjenice nije predmet ovog rada. Međutim, može se uočiti da se kod razmatranih metoda primenjuju različiti načini ska-larizacije i normalizacije početnih podataka. Ako bi se u metodi CRITIC pri-menio način skalarizacije dat u metodi FANMA, dobile bi se sledeće vrednosti težina kriterijuma: wy=(0,126; 0,17; 0,096; 0,165; 0,1; 0,11; 0,234) koje se značajno razlikuju od vrednosti dobijenih originalnom metodom.

Može se opravdano pretpostaviti da način transformacije početne matrice odlučivanja utiče na vrednosti težina kriterijuma. U skladu sa navedenim, način transformacije početne matrice odlučivanja izabrane metoda određivanja težina kriterijuma mora biti u skladu sa načinom transformacije početnih podataka metode višekriterijumske analize.

Poređenjem vrednosti wj u tabeli 6 uočava se da metoda entropije daje najveći raspon vrednosti težina kriterijuma (wjmax-wjm'n=0,265), zatim metoda CRITIC (0,144), a kod metode FANMA raspon je najmanji (0,061).

Najveća korelacija vrednosti težina kriterijuma je između metoda entropije i CRITIC (r=0,69). Između vrednosti težina kriterijuma metoda CRITIC i FANMA postoji negativna korelacija (r= -0,35), dok je najmanja korelacija između metoda entropije i FANMA (r= -0,11).

Milićević, M. i dr., Objektivni pristup određvanju težina kriterijuma, pp. 39-56

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK/MILITARY TECHNICAL COURIER, 2012., Vol. LX, No. 1

Zaključak

Određivanje težina kriterijuma jedan je od ključnih koraka u rešava-nju problema višekriterijumske analize. Značaj težina kriterijuma ogleda se u činjenici da težine kriterijuma mogu uticati na konačno rešenje kon-kretnog višekriterijumskog problema.

Razvijeno je više metoda određivanja težina kriterijuma koje se, u najopštijem slučaju, mogu podeliti na subjektivne i objektivne. Za razliku od subjektivnih metoda, objektivne metode isključuju uticaj donosioca od-luke na vrednost težina kriterijuma.

Opis najčešće korišćenih objektivnih metoda određivanja težina kriterijuma, datih u radu, može biti od velike pomoći prilikom rešavanja kon-kretnih višekriterijumskih metoda što jeste osnovna svrha rada.

Za primenu navedenih metoda, potrebno je formirati matricu odluči-vanja, odnosno odrediti skup varijanti, skup kriterijuma po kojima se oce-njuju varijante i odrediti kriterijumske vrednosti varijanti.

Različite metode daju različite vrednosti težina kriterijuma. Način tran-sformacije polaznih podataka utiče na vrednosti težina kriterijuma. Poređe-nje različitih metoda i detaljna analiza rezultata koji se dobijaju njihovom primenom može biti predmet daljih istraživanja ovog problema.

Literatura

[1] Weber, M., Borcherding, K., Behavioral influences on weight judgments in multiattribute decision making. European Journal of Operational Research, 67, 1-12, 1993.

[2] Zeleny, M., Multiple Criteria Decision Making. McGraw-Hill, New York, 1982.

[3] Srđević, B., Medeiros Y.D.P., Faria, A.S., Schaer, M., Objektivno vrednovanje kriterijuma performanse sistema akumulacija. Vodoprivreda, 35, 163-176, Novi Sad, 2003.

[4] Diakoulaki, D., Mavrotas, G., Papayannakis L., Determining objective weights in multiple criteria problems: the CRITIC method. Computers and Operations Research, 22, 763-770, 1995.

[5] Srđević, B., Nepristrasna ocena značaja kriterijuma u višekriterijumskoj optimizaciji. Vodoprivreda, 37, 53-58, 2005.

[6] Jian, M., Zhi-Ping, F., Li-Hua H., A subjective and objective integrated approach to determine attribute weights. European Journal of Operational Research, 112, 397-404, 1999.

[7] Graham, A., Nonnegative matrices and applicable topics in linear algebra. Ellis Horwood, Chichester, UK, 1987.

AN OBJECTIVE APPROACH TO DETERMINING CRITERIA WEIGHTS

FIELD: Mathematics (Operations Research)

ARTICLE TYPE: Scientific Criticism

Summary:

This paper presents an objective approach to determining criteria weights that can be successfully used in multiple criteria models. The methods of entropy, CRITIC and FANMA are presented in this paper as well as a possible combination of the methods of objective and subjective approaches. Although based on different theoretical settings, and therefore with different algorithms of realization, all methods have a decision matrix as a starting point. An objective approach to determining the weight of criteria eliminates the negative impacts of a decision maker on criteria weights as well as on the final solution of multicriteria problems.

The main aim of this paper is to systematize description procedures as a kind of help when encountering a problem of determining the criteria weights for solving multicriteria tasks.

A possibility of the method application is shown in a numerical example.

Introduction

The determination of criteria weights is one of the key problems arising in models of multicriteria analysis. Criteria weights may significantly affect the outcome of the decision making process.

Generally speaking, there are two types of weights: coefficients of importance and trade-off indicators. The main difference between the weights as coefficients of importance and weights as trade-off indicators is the way of determining the weights, or whether the compensation between criteria is considered.

The procedures for determining the weight criteria have been a subject of intensive research and scientific discussion for many years. In the literature it is possible to find more developed approaches to determining criteria weights.

Classification of the methods for determining criteria weights

The division of the methods for determining criteria weights was carried out in accordance with the author's concepts and needs for the solution of particular practical problems.

The main divisions of the methods for determining criteria weights are to: statistical and algebraic, holistic and decomposed, direct and indirect, compensation and noncompensation ones.

The approaches to determining criteria weights can be divided into subjective and objective ones. Subjective approaches are based on determining criteria weights on the basis of information received by decisionmakers or experts involved in the decision making process. Objective ap-

СЖ>

Milićević, M. i dr., Objektivni pristup određvanju težina kriterijuma, pp. 39-56

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK/MILITARY TECHNICAL COURIER, 2012., Vol. LX, No. 1

proaches are based on determining criteria weights on the basis of information contained in the decision matrix of some mathematical models.

Methods of objective approach to determining criteria weights

In the objective approach to determining criteria weights, criteria are viewed as sources of information and the relative importance of criteria reflects the amount of information contained in any of them.

The amount of information contained in each criterion is associated with the contrast intensity of each criterion. A standard deviation and entropy are possible measures of the intensity and the ways of the implementation of objective criteria weights.

In the rest of this part of the work, the algorithms of the methods of entropy, CRITIC and FANMA are described in detail.

A possible combination of subjective and objective approach is also shown. The described method is a combination of the weighted least squares method (subjective approach) and the FANMA method (objective approach) by forming a bicriteria model of mathematical programming.

Example of determining the criteria weights by objective methods

The methods of determining the criteria weights using the above methods are shown in an illustrative example. Data needed to solve a particular multicriteria problem are contained in the decision matrix. The criteria weights for seven criteria, five of which are the types of the maximum and two are the types of the minimum, have been determined by these methods.

Finally, the values of criteria weights are compared and a brief feedback of the results is given.

Conclusion

There are several developed methods for determining criteria weights which, in general, can be divided into subjective and objective ones. In contrast to subjective methods, objective methods exclude the impact of the decision maker on the value of criteria weights.

The description of the most commonly used objective methods for determining criteria weights, given in the paper, can be of great help in solving specific multicriteria methods, which is the main purpose of this paper.

For the application of these methods, it is necessary to form a decision matrix and determine a set of alternatives, i.e. a set of criteria by which to evaluate alternatives and determine the criteria values of alternatives.

Different methods give different values of criteria weights. A way of transforming initial data affects the value of criteria weights. The comparison of different methods and a detailed analysis of the results obtained by their application may be a subject of further research.

Keywords: criteria weights, entropy, CRITIC, FANMA.

Datum prijema članka: 18. 04. 2011.

Datum dostavljanja ispravki rukopisa: 10. 05. 2011.

Datum konačnog prihvatanja članka za objavljivanje: 11.05. 2011.