Обеспечение устойчивости динамических систем при ограниченных возмущающих воздействиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

УДК 62.50

DOI: 10.17586/0021-3454-2017-60-7-603-611

ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

А. А. Ведяков, В. Ю. Тертычный-Даури

Университет ИТМО, 197101, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [email protected]

Рассматривается задача об обеспечении асимптотической устойчивости нелинейной динамической системы путем регулирования ее параметров при действии на систему внешних ограниченных возмущений. Решение найдено с помощью робастного конечно-сходящегося алгоритма настройки параметров, определена также оценка области притяжения, пропорциональная уровню возмущений.

Ключевые слова: динамическая система, ограниченное возмущение, целевое неравенство, конечно-сходящийся алгоритм

Введение. Изучению вопросов устойчивости движения динамических систем при воздействии разного рода ограниченных детерминированных возмущений посвящено множество исследований (см., например, работы [1—6] и содержащуюся там библиографию). Особым направлением в развитии теории алгоритмической устойчивости можно считать исследования, посвященные адаптивному параметрическому синтезу в целях обеспечения условий стабилизации и оптимизации движения при наличии возмущающих воздействий [7—17].

Возмущения того или иного вида могут кардинальным образом влиять на устойчивость и движение всей системы. Важно поэтому не только определить степень влияния возмущений (помех, шумов, флуктуаций) на общую устойчивость динамических систем, но и возможность их нивелирования в рамках рассматриваемого алгоритмического метода настройки параметров.

В настоящей статье анализируется вопрос об устойчивости нелинейных динамических систем при воздействии ограниченных возмущений. Решается задача об обеспечении устойчивости с помощью регулирования параметров для случая, когда на систему действуют сторонние внешние ограниченные возмущения (так называемая задача о придании системе дис-сипативных свойств). Решение найдено с использованием робастных конечно-сходящихся алгоритмов настройки параметров [18].

Постановка задачи. Отметим, прежде всего, что настоящая статья может рассматриваться как естественное продолжение работы [19], но с учетом воздействия на нелинейную динамическую систему ограниченных детерминированных возмущений. В статье [19] речь идет об обеспечении устойчивости нулевого решения невозмущенной системы вида

x = f (x,о, t), x(0) = Xo, t > to=0, (1)

где x(t) e Rn — вектор состояния системы, f (0, о, t ) = 0 Vt e [0, да), t — текущий момент

времени, с помощью регулирования вектора параметров o(t)eZcRm, входящих линейно

в непрерывно дифференцируемую вектор-функцию f(•), £ — некоторое ограниченное множество; здесь x(t) — измеряемая сколь угодно точно векторная величина.

Пусть на систему (1) действуют неизвестные (неконтролируемые) равномерно ограниченные по времени неслучайные (детерминированные) внешние возмущения. Для этой ситуации в уравнение (1) аддитивно введем возмущения v(t), полагая константу Cv, их ограничивающую, известной:

X = f (x, о, t) + v(t), v(t) e Vv с Rn, (2)

где, при прежних обозначениях и предположениях, будем считать, что supte/ ||v(t)||< Cv, причем множество функций v(t), удовлетворяющих этому неравенству, образует некоторый класс помех Vv ; ||v(t)|| — евклидова норма вектора v(t).

Под устойчивостью системы на фоне действия неконтролируемых ограниченных возмущений понимается [7, 8] наличие у системы диссипативных свойств, т.е. попадание всех траекторий ее движения с течением времени в ограниченную область в фазовом пространстве {x, о} вне зависимости от начальных данных x(t0), o(t0), t0 =0, но в зависимости от уровня

возмущений, характеризуемого константой Cv.

Для этого случая рассмотрим задачу обеспечения устойчивости решений системы (2) в рамках применения робастных градиентных конечно-сходящихся алгоритмов настройки параметров [18, 19]. Отметим, что данная задача (при ограниченных возмущающих воздействиях) значительно более сложная, чем задача (1), поскольку изменения динамических процессов рассматриваются в зависимости от уровня помех. Отметим также, что алгоритм параметрического оценивания может быть выбран в известном робастном виде [19] с учетом дополнительных предположений о существовании ряда ограничений.

Устойчивость системы при ограниченных внешних возмущениях. Примем в

*

качестве функции Ляпунова (ФЛ) V(x) функцию V(x) = xx, где символ „*" означает операцию транспонирования, и посредством выбора регулируемых параметров в системе (2) обеспечим выполнение условия асимптотической устойчивости на траекториях исследуемого процесса: V(x) = dV(x) / dt < 0. Проецируя уравнение (2) на вектор (ось) 2x, получаем

V (x) = 2x*f (x, о, t) + 2x* v(t). (3)

Введем следующие обозначения для скалярных функций:

y(x, о, t) = 2x*f (x, о, t), A,(x, t) = 2x*v(t), где у(0, о, t) = 0 , Ц0, t) = 0 . Тогда уравнение (3) примет следующий вид:

V (x) = y(x, о, t) + ^(x, t); (4)

полагаем при этом включение элементов вектора о в функцию у(x, о, t) линейным, т.е. считаем, что имеет место соотношение

y(x, о, t) = g* (x, t )о + p(x, t), g(x, t) = Va y(x, о, t), где p(x, t) — некоторая гладкая по x и t скалярная функция; Va у(•) — вектор градиента от

функции у по элементам вектора о; g(x, t) e Rm

Предположим далее, что Уо, о e £, можно указать константу Ca, для которой выполняется неравенство

(VCT y(x, о, t),о - о) > Ca (VCT y(x, о, t),о)

или

g*(x, t)(о - о) > Ca g*(x, t)о, (5)

где запись (а, Ь) означает скалярное произведение для произвольных векторов а и Ь.

В теории адаптивных систем для целевых функций ф() (в данном случае в этой роли выступает функция у(-) + Л(-)) при использовании градиентных алгоритмов оценивания справедливо условие вогнутости [7]:

(Устф(х, О, г),о - о) >ф(х, о, г) -ф(х, О, г) >А, А> 0. (6)

Достаточно естественное условие (5) (с учетом нормы разности двух векторов) в рассматриваемой задаче будет являться альтернативой условию вогнутости (6), так как определенно сказать, удовлетворяет ли функция у(х, о, г) + х, г) в соотношении (4) условию вогнутости по о или нет, нельзя из-за отсутствия информации о структуре вектор-функции V (г)

В качестве целевой функции в дифференциальной системе (3) выберем функцию

ф(х, X, г) = -К(х)-£1||е(х, г )|| +в2, (7)

* *

где V(х) = й(х х) / йг = 2х х; 81, 82 — некоторые положительные постоянные, выбираемые в дальнейшем исходя из условий конечной сходимости алгоритма параметрической настройки.

Задача, таким образом, заключается в решении относительно вектора о целевого неравенства ф( х, х, г ) = ф( х, о, г )>0 для функции ф(-) (7):

ф(х, о, г) = -[ц* (х, г )о + р( х, г) + ^(х, г)] - 81| |ц(х, г )| | +82. (8)

Видно, что обеспечение целевого неравенства гарантирует выполнение требования об ограничении скорости изменения ФЛ V (х) по времени:

V (х)< -81 Уе (х, г )|| +8 2 (9)

в предположении равномерной ограниченности вектор-функции ц (х, г).

Результат. Для доказательства наличия диссипативных свойств (асимптотической устойчивости) у данной параметрически настраиваемой (регулируемой) системы предположим, что З83 >0 — константа, для которой при У г е [0, да) выполняется неравенство

||е(х, г)||^ (х). (10)

Соотношение (10) с учетом равномерной ограниченности ц(х, г) означает также и

равномерную ограниченность ФЛ V (х), и возможность (в силу того, что

*

||ц(х,г)||=||Уст(2х Г(х, о, г))||) линеаризации по х функции Г(•) в уравнении (2) в рассматриваемой ограниченной области. Тогда, очевидно, неравенство (9) может быть усилено неравенством

V(х)< -8183 V(х) + 82. (11)

Перейдем к записи процедуры получения оценок оп вектора о и доказательству ее конечной сходимости. Зададим алгоритм параметрической настройки в виде соотношения

о = о к еп §(хп, гп) (19)

оп+1 = о п - —-""Г, (12)

|е(хп , гп )|

где

0 = IX если ф(хп, оп, гп ) < 0 либ° V(хп ) > -81|е(хп, гп )| +82; п |0, если ф(хп, оп, гп ) > 0 ли^ V(хп ) < -81!§(хп, гп )| +82,

причем 81, 82 >0; к >0 — произвольная постоянная; ц(хп,гп) = -Уа ф(хп,оп,гп);

п

||ц(хп,гп)||< Сё, Сё >0 — некоторая положительная постоянная; здесь п =1,2,..., — шаг алгоритма; о1 — начальный вектор; хп = х(гп) — измеряемый вектор состояния; оп —

кусочно-постоянная вектор-функция времени: оп = ог, t е \}п, где tn+l — момент времени,

когда впервые после условия tn +5, 8 >0, нарушается целевое неравенство ф(хп, оп, tn) > 0.

Сформулируем теорему, определяющую условия конечной сходимости алгоритма получения оценок вектора параметров о (12).

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1) целевая функция ф(х, о, t) равномерно ограничена по х, t и дифференцируема по о Ух, Уt, |^(х,0||< С§;

2) Зо'еЕсЯ™ — вектор, для которого справедливы неравенства

ф(х,о*, t) >в' >0 Ух, Уt, (13)

где в' — некоторое положительное достаточно малое число;

3) справедливы неравенства (5) и (10).

Тогда построенная с помощью алгоритма (12) последовательность векторов оп монотонно приближается к вектору о. Алгоритм (12) сходится за конечное число шагов, т.е. З t' >0 — момент времени, такой что Уt > { выполняется равенство ог = о^ , и, начиная с этого момента, ф(х, о, t) > 0. Для числа коррекций р вектора оп справедлива оценка

С2

р <||о1 -о||2к; к =-, (14)

Н 11 1 11 ' 2кСав' V ;

где о1 еЕ — произвольный начальный вектор.

Доказательство. Будем считать, что на некотором п -м шаге алгоритма (12) выполнено

неравенство ф(хп, оп, ) < 0. Тогда из соотношения (12), возводя члены последовательно в

квадрат, с учетом выражений (4)—(8) получаем

||о о||2<||о о||2 2к0п(оп -о,§) + к20п =

— о|| <по„ — о||--;--

'п+1 ~°П -П°п --ТТт-Т7ТТ"

2к0п•*(оп — о) , к20п ц2 2к0пСа•*о , к20п

= |оп — о|--Л^-+ < |оп — о| — II 112 II ||2

= ||о о||2 2к0пСст(V — р — Ю + к20п < ||о о||2 2к0пСстУ + 2к0пСст(р + А.) + к20п (15)

= |оп —о|--¡7^-+ ~^ < ||оп —о|--—Т2-+-ГЛ-(15)

н н и и и

Здесь следует напомнить о равномерной ограниченности целевой функции ф(-). С учетом этого имеем: |р + Ц< Ср + С^ Су, где Ср, С^ — некоторые известные положительные постоянные, не зависящие от х и t. Тогда неравенство (15) можно продолжить (—V < е1— 82):

II 1|2 и ||2

|оп+1 —о| <||оп —о| —

2к0пСаУ + 2к0пСст(Ср + О.Су) + к20п < ||о о|2 + 2к0пСаСвгПеП —82) +

--¡ТЦЗ—+-ГЙ2-<|о п—о| +-тз-+

N ^ N ^

2к 0пСа (Ср + Сх Су) к2 0п .. „2 2к0пСа (81 Ся —в 2)

+-¡ТЙ2-+ < |оп — о| +-ГЙ2-+

2к 0пСа (Ср + Сх Су) к2 0п +-^-+ п

||о п — о|

2

2 ||„||2 N

2

к0

2ССТ (82 — в^) — 2ССТ (Ср + Сх Су) — 1

<

< ||о о|2 2к 9пСс

< ||оп-оУ--

г к Л

82-81С^-Ср-СХСг--С ■ (16)

V 2СстУ

С2

Путем выбора постоянных 81 и 82 обеспечим, чтобы суммарная константа, стоящая в скобках, была положительной. Очевидно, этого можно достичь, учитывая, что 81 >0, а 82 выбирая из условия

к _

8 2 > 81 С^ + Ср + С^ Су +--_ С8 ,

2С,

ст

где все константы в правой части неравенства положительны; обратим внимание на то, что константа С8 пропорциональна уровню помех Су. Примем далее

82= С8+8'9п, (17)

тогда неравенство (16) можно записать как

||о о|2 <||о о|2 2к 9пСст8 (18)

|оп +1 <||оп-оУ--—2-. (18)

С

Суммируя неравенство (18) по п от 1 до N, получаем

н ц2 и ц2 2кСст8

|оN+1 -оУ <||о1 -оУ--— £9п.

п=1 (19)

Чтобы доказать конечную сходимость предлагаемого алгоритма параметрического

оценивания, предположим, что при ф(хп, оп, гп ) < 0 имеет место неравенство

|о п+1-°|2 Ф п-о|Р -§п, (20)

да

где Е5п ^да.

п=1

Структура неравенств (20) и (18) полностью совпадает, если

2к 9пСст8'

5„ =■

с2

Легко показать, что условие ф(хп, оп, гп ) < 0 выполняется не более чем для конечного числа рп троек (хп, оп, гп), причем для этого числа рп имеем очевидную оценку: рп < 5, где 5 — наименьшее целое, для которого справедливо неравенство

£5п >И -о||2. (21)

п=1

Действительно, суммируя неравенство (20) по I = 1,п , получаем

-о||2<||о1 -о||2 -£5г. (22)

п

>п+1

г=1

Так как £бп ^ да при п ^да, то неравенство (22) при достаточно большом п

п=1

становится противоречивым. В качестве числа 5 возьмем п, для которого выполняется неравенство (21). Тем самым получим утверждение теоремы о конечной сходимости алгоритма оценивания (12). Оценка (14) числа р изменений вектора оп непосредственно следует из неравенства (19). ■

Замечания. 1. Неравенства (13) указывают на то, что целевое неравенство ф(х, о, t )>0 разрешимо в усиленном смысле, а именно: За'еЕ^ Я™ — вектор, удовлетворяющий неравенствам (13) с некоторым запасом, т.е. множество решений этих неравенств представляет собой открытое множество.

2. В результате конечной сходимости алгоритма (12) достигается целевое неравенство (9): V(х) <-81||е(х ОН +82.

3. Согласно доказанной теореме при выполнении неравенств (9) и (10) имеет место соотношение (11), откуда в силу решения линейного по V(х) дифференциального неравенства (11) следует диссипативность настраиваемой системы (2), (12) и оценка области притяжения

s

2

lim V[x(t)] <

t ^<х> Sj S3

пропорциональная уровню возмущений Cv.

Модельный пример. Рассмотрим нелинейную динамическую систему, заданную уравнениями

y = z + ау - y5, z = -y-z5, на движение которой накладываются внешние ограниченные синусоидальные возмущения v(t). Результатом является следующая векторная система:

X = f (x, а) + v (t),

где

x =

f x, Л

V X2 J

f y Л

V z J

f (X, G) =

f ^ 5 Л

X2 + OXj — Xi

—Xi — X0

v(t ) =

f sin t Л

V 0 J

П~л2

Данная система может служить моделью сложной нелинейной упругой системы с трением. Здесь а — некоторый параметр, выбираемый исходя из целевого условия обеспечения устойчивости.

Требуется путем регулирования параметра а привести исходную систему в асимптотически устойчивое состояние. При моделировании процесса движения системы будем опираться на предложенную алгоритмическую схему настройки параметра а . Имеем:

V(x) = x2 + x22, V = у + A, A(x, t) = 2x1 sin t; y(x,а,t) = 2(oxf -x6 -x26) = g(x,t)а + p(x, t), g (x, t) = 2 x2,

Неравенство (5) тождественно неравенству 0< Са < (а - а) / а, а > а . Последовательно получим:

1) целевую функцию (7):

2

9(x, x, t ) = -V -s12 x1 +s2,

2) в неравенстве (10) следующее выражение:

x2

p( x, t ) = —2( x6 + X26).

для выбора константы C0

||g (x, t)||= 2 xf;

2 — S3

V s3 xi

3) алгоритм параметрического оценивания (12):

= kQn

аИ+1 = G n---

0 < s3 < 2;

2X

1n

Были приняты следующие числовые данные: к = 7, Хю = 1, Х20 = 1, СТ0 = 2, 81 = 10 , 82 = 0,1.

На рис. 1 и 2 представлены фазовые траектории и расчетное значение ФЛ V(х): 1 — для фиксированного значения ст = 2, 2 — для случая настройки параметра ст . На рис. 3 приведен график стп для первых 40 шагов настройки.

1

0,5

2

/

тУ

0 -0,5 -1

-1,5 -1

V(х) 2,5

а

2

-0,5 0 Рис. 1

0,5

1 х1

1,5

1

0,5 0

-0,5

0

1

0 -1

-2 -3 -4 -5 -6 -7

0

20

10

40 60

Рис. 2

80

г, с

20 Рис. 3

30

Результаты компьютерного моделирования полностью подтверждают теоретические выводы о сходимости значений стп к ст, а также о диссипативных (устойчивых) свойствах исходной динамической системы в зависимости от уровня возмущений.

Заключение. Разработан алгоритмический метод приведения в устойчивое состояние нелинейных динамических систем с учетом ограниченных детерминированных возмущающих

ст

п

п

воздействий. Решение задачи найдено путем регулирования параметров системы с помощью робастного конечно-сходящегося алгоритма оценивания.

Статья подготовлена по результатам работы, выполненной при финансовой поддержке Президента Российской Федерации, грант №14.У31.16.9281-НШ.

список литературы

1. Руш П., Абетс П., ЛалуаМ. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

2. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2003.

3. Алфутов Н. А., Колесников К. С. Устойчивость движения и равновесия. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003.

4. Zadeh L. A., Desoer C. A. Linear System Theory: the State Space Approach. N. Y.: Dover Publications, 2008.

5. Liu J., Teel A. Lyapunov based sufficient conditions for stability of hybrid systems with memory // IEEE Trans. on Automat. Control. 2016. Vol. 61, N 4. P. 1057—1062.

6. Clarke F. H., Stern R. J. Lyapunov and feedback characterizarions of state constrained controllability and stabilization // Systems & Control Letters. 2005. Vol. 54, N 8. P. 747—752.

7. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981.

8. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987.

9. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990.

10. Андерсон Б., Битмид Р., Джонсон К. и др. Устойчивость адаптивных систем. М.: Мир, 1989.

11. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.

12. Marino R., Tomei P. Nonlinear Control Design: Geometric, Adaptive and Robust. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1995.

13. Isidori A. Nonlinear Control System. London: Springer, 1995.

14. Ioannou P. A., Sun J. Robust Adaptive Control. Engewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1996.

15. Narendra K. S., Annaswamy A. M. Stable Adaptive Systems. N. Y.: Dover Publication, 2012.

16. Raissi T., Ramdani N., Candau Y. Set membership state and parameter estimation for systems described by nonlinear differential equations // Automatica. 2004. Vol. 40, N 10. P. 1771—1777.

17. Grip H., Johansen T., Imsland L., Kaasa G.-O. Parameter estimation and compensation in systems with nonlinearly parameterized perturbations // Automatica. 2010. Vol. 46, N 1. P. 19—28.

18. Тертычный-Даури В. Ю. Адаптивная механика. М.: Наука, 1998.

19. Ведяков А. А., Тертычный-Даури В. Ю. Робастные алгоритмы параметрического оценивания в некоторых задачах обеспечения устойчивости // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16, № 4. С. 620—626.

Сведения об авторах

Алексей Алексеевич Ведяков — канд. техн. наук; Университет ИТМО, кафедра систем

управления и информатики; Email: [email protected] Владимир Юрьевич Тертычный-Даури — д-р физ.-мат. наук, профессор; Университет ИТМО, кафедра

высшей математики; Email: [email protected]

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

систем управления и информатики 25.02.17 г.

и кафедрой высшей математики

Ссылка для цитирования: Ведяков А. А., Тертычный-Даури В. Ю. Обеспечение устойчивости динамических систем при ограниченных возмущающих воздействиях // Изв. вузов. Приборостроение. 2017. Т. 60, № 7. С. 603—611.

ENSURING DYNAMIC SYSTEM STABILITY UNDER CONSTRAINED PERTURBATIONS IMPACT

A. A. Vedyakov, V. Yu. Tertychny-Dauri

ITMO University, 197101, St. Petersburg, Russia E-mail: [email protected]

The problem of ensuring asymptotic stability of nonlinear dynamic system by means of tuning its parameters is considered for the case when the system is subject to constrained external perturbations. A solution to the problem is found with the use of a robust finitely convergent algorithm of parameters setting. An estimate of attraction domain proportional to the perturbation level is derived.

Keywords: dynamic system, constrained perturbation, target inequality, finitely convergent algorithm

Data on authors

Alexey A. Vedyakov — PhD; ITMO University, Department of Control Systems and

Informatics; E-mail: [email protected] Vladimir Yu. Tertychny-Dauri — Dr. Sci., Professor; ITMO University, Department of Higher

Mathematics; E-mail: [email protected]

For citation: Vedyakov A. A., Tertychny-Dauri V. Yu. Ensuring dynamic system stability under constrained perturbations impact. Journal of Instrument Engineering. 2017. Vol. 60, N 7. P. 603—611 (in Russian).

DOI: 10.17586/0021-3454-2017-60-7-603-611