Обеспечение устойчивого развития электроэнергетических систем средствами управления частотой и перетоками активной мощности Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. Н. Козлов

ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ СРЕДСТВАМИ УПРАВЛЕНИЯ ЧАСТОТОЙ И ПЕРЕТОКАМИ АКТИВНОЙ МОЩНОСТИ

Обеспечение энергетической безопасности (ЭБ) требует определения источников безопасности и управления для их ликвидации средствами АСДУ. Рассмотрены источники угроз ЭБ и средства ее обеспечения на основе систем ограничения перетоков (СОП) по линиям электропередач (ЛЭП) и систем автоматического управления частотой и активной мощностью (САУ ЧМ). Разработаны математические модели, методы синтеза СОП и САУ ЧМ и их устойчивость в предаварийных режимах.

Источники угроз и средства обеспечения энергетической безопасности. Источники угроз ЭБ для ЭЭО и средства ее обеспечения с помощью СОП и САУ ЧМ можно определить следующим образом.

«Дефицит генерирующих ресурсов активной мощности для управления» и возникающие отклонения частоты при внеплановых нагрузках является угрозой ЭБ, приводящий к предаварий-ным режимам. Эта проблема является частью проблемы ЭБ в связи с линейным ростом энергоресурсов до 2050 г. по прогнозу Международного энергетического агентства и Департамента энергетики США [6]. Сохранение устойчивости параллельной работы ЭЭО требует введения САУ ЧМ, которая должна поддерживать отклонения частоты не более 0,1 Гц и подавление 70 % амплитуды колебаний перетоков активной мощности с периодом не более 2 минут [18, 20].

«Дефициты передающих ресурсов линий (пропускных способ-ностей)», приводящие к перегрузкам линий, ликвидируемых перераспределением генерируемых активных мощностей станций с достаточными регулировочными диапазонами и передающие ресурсы линий [11—13].

«Некорректное управление и неадекватная идентификация моделей ЭЭО», неадекватности структур СОП и САУ ЧМ. При этом достаточная адекватность, конструктивность и корректность моделей электромеханических процессов (ЭМП) может обеспечивать корректное управление ЭЭО. Корректность управлений для СОП и САУ ЧМ объединенных энергосистем (ОЭС) должна также учитывать возможные противоречивые действия двух систем, которые в первых типах систем устранялись специальными блокировками [10]. Это ставит вопрос об организации независимого или совместного синтеза для корректности управления и обеспечения ЭБ на основе прогнозирования генерирующих и передающих ресурсов [11—13].

Таким образом, для синтеза СОП и САУ ЧМ необходимы адекватные, конструктивные и корректные модели ЭМП. Адекватность моделей ЭЭО должна обеспечить достаточное соответствие процессов в модели и объекте с учетом генерирующих агрегатов и сети. Корректность моделей предполагает согласованность и статическую определимость моделей ЭЭО для совместного или независимого синтеза СОП и САУ ЧМ. Конструктивность моделей должна обеспечить возможность качественного синтеза и анализа управлений при высоких размерностях уравнений ЭМП.

«Хаотические режимы, способствующие возникновению каскадных аварий в ЕЭС», могут возникать вследствие особенности электромагнитных процессов ЭЭО, качественно объясняемых билинейностью уравнений Парка — Горева [7]. Эти уравнения имеют общие свойства с уравнениями Лоренца, описывающими динамический

хаос различных типов. Поэтому для обеспечения ЭБ необходима идентификация предаварийных режимов для установления условий возникновения хаотических режимов ЭЭО. Адекватное управление напряжением сети ЭЭО при возникновении хаотических режимов синтеза управлений на основе «дехаотизации» описано в [21].

Таким образом, формулировка источников безопасности ЭЭО определяет средства обеспечения ЭБ с помощью СОП и САУ ЧМ, включающие корректность моделей и взаимодействия СОП и САУ ЧМ ОЭС, использующих генерируемые ресурсы активной мощности станций и сетевые ресурсы ЛЭП. Это создает некоторые гарантии обеспечения устойчивой параллельной работы ЭЭО в предаварийных режимах и условиях рынка энергоресурсов.

Структуры и задачи предаварийного управления частотой и активной мощностью ЭЭО России. Управление частотой и активной мощностью ЭЭО должны обеспечить энергетически безопасное управление режимами ЛЭП, ЭС и ОЭС. При этом ЭБ в части устойчивости параллельной работы ЭС средствами АСДУ требует определения:

структур и методов ограничения перетоков активной мощности по ЛЭП перераспредделе-нием генерируемой активной мощности между ЭС или ОЭС;

структур и методов управления частотой, активной мощностью на основе поддержания баланса активных мощностей по ЭС или ЭЭО в целом.

Классификация СОП по ЛЭП и САУ ЧМ с учетом опыта разработки приведена в табл. 1, где выделены локальные, централизованные и иерархические (в иерархии «ЭС-ОЭС-ЭЭО») системы [3, 6, 12] и независимые или совместные методы синтеза СОП по ЛЭП и САУ ЧМ ОЭС. Определены классы моделей ЭЭО как «модели влияния» генерирующих агрегатов на перетоки по ЛЭП [8, 10-13].

Структуры, модели, цели и методы синтеза системы предаварийного управления частотой и активной мощностью. Структуру СОП по ЛЭП и САУ ЧМ (см. табл. 1) определяют характеристики локальных, централизованных или иерархических технологических подсистем при различной информации о состоянии и моделях ЭЭО, а также независимое или совместное формирование управлений СОП и САУ ЧМ, включая автономность ОЭС в покрытии нагрузки (метод Гранера — Даррье [10, 12] и др.). Отсутствие полной информации о структуре, параметрах и моделях определяет синтез управлений на базе уравнений квазистационарных состояний ЭЭО, из которых следуют «модели влияния», обобщающие модели потокораспределения на основе учета ненулевых отклонений частоты.

Таблица 1

Классификация структур систем и целей управления частотой и активной мощностью различных классов систем

Структуры СОП и САУ Локальные системы ЭЭО Централизованные системы ЭЭО Иерархические системы ЭЭО

1. Структуры независимого управления СОП и САУ ЧМ 1.1. Синтезируемые независимо СОП и САУ ЧМ с локальной информацией о моделях и генерирующих и передаю -щих (сетевых) ресурсах ЭЭО 1.2. Синтезируемые независимо СОП и САУ ЧМ с ограниченной централизацией информации о моделях и генерирующих и передающих ресурсах ЭЭО 1.3. Синтезируемые независимо СОП и САУ ЧМ с информацией о моделях и генерирующих и передающих ресурсах для координации ОЭС

2. Структуры совместного управления СОП и САУ ЧМ 2.1. Синтезируемые совместно СОП и САУ ЧМ с локальной информацией о моделях и генерирующих и передающих ресурсах ЭЭО 2.2. Синтезируемые совместно СОП и САУ ЧМ с централизованной информацией о моделях, генерирующих и передающих ресурсах ЭЭО 2.3. Синтезируемые совместно СОП и САУ ЧМ на основе информации о генерирующих и передающих ресурсах для координации ОЭС

Целевые условия (ЦУ) и ограничения для вычисления управлений СОП и САУ ЧМ в пре-даварийных режимах приведены в табл. 2 [3—6, 10-13].

«Точечные» ЦУ как целевые равенства используются для стабилизации перетоков по ЛЭП, частоты и обменной мощности ОЭС.

«Интервальные» ЦУ являются целевыми неравенствами для перераспределения мощностей станций управлениями СОП и сохранения баланса внеплановой нагрузки и генерации САУ ЧМ.

«Экстремальные ЦУ» определяются функционалами качества.

Введенные ЦУ реализуют технологические требования к режимам: ограничения на пере-

токи по ЛЭП, обменные мощности ОЭС или активные мощности станций, ЭС или ОЭС. Эти цели и требования формализуются в задачах вычисления управлений, представленных задачами математического программирования (МП) [3, 10-13]. Это определяет методы вычисления управлений СОП и САУ ЧМ на основе последовательности задач МП в реальном времени. Универсальность МП обеспечивает достижение ЦУ для независимого или совместного синтеза СОП и САУ ЧМ. Вычисление управлений методами

МП определяет модели замкнутых САУ, формируемые операторами математического программирования (ОМП) [12-14].

Таблица 2

Целевые условия для независимого и совместного синтеза СОП и САУ ЧМ

Целевые условия (ЦУ) Точечные ЦУ, заданные целевыми равенствами (ЦР) Интервальные ЦУ, заданные целевыми неравенствами (ЦН) Экстремальные ЦУ, заданные целевыми функционалами (ЦФ)

1. Целевые условия независимого синтеза СОП 1.1.1. Стабилизация перетоков по ЛЭП на значениях, заданных ЦР 1.2.1. Поддержание перетоков по ЛЭП в допустимых интервалах, заданных ЦН 1.3.1. Минимизация ЦФ от отклонений перетоков по ЛЭП и мощностей ЭС от плановых заданий

2. Целевые условия независимого синтеза САУ частотой и обменной мощностью ОЭС 2.1.1. Стабилизация частоты на значениях, заданных ЦР 2.2.1. Поддержание частоты в интервале, заданных ЦН 2.3.1. Минимизация ЦФ, заданных на отклонениях частоты и мощностей ЭС от плана

2.1.2. Стабилизация обменной мощности ОЭС на плановых значениях, заданных ЦР 2.2.2. Поддержание обменной мощности ОЭС в интервалах, заданных ЦН 2.3.2. Минимизиция ЦФ при отклонениях обменных мощностей ОЭС и станций от плановых значений

2.1.3. Совместная стабилизация частоты и обменной мощности, заданных ЦР 2.2.3. Поддержание отклонений частоты и обменной мощности в интервалах, заданных ЦН 2.3.3. Минимизация ЦФ, заданных на отклонениях частоты, обменных мощностей ОЭС и мощностей станций от планов

2.1.4. Стабилизация частоты со статизмом по обменным мощностям ОЭС (метод Гранера — Даррье) 2.2.4. Поддержание отклонений системных параметров в интервалах, заданных ЦН (метод Гранера — Даррье) 2.3.4. Минимизация ЦФ, заданных на отклонениях системных параметров ОЭС от плана (метод Гранера — Даррье)

3. ЦУ совместных СОП и САР ЧМ 3.1.1. Целевые условия 1.1.1 или 2.1.1-2.1.4 3.2.1. Целевые условия 1.2.1 или 2.2.1-2.2.4 3.3.1. Целевые условия 1.3.1 или 2.3.1-2.3.4

Целевые условия (см. табл. 2) формализуются методами МП. При этом управления для СОП формируются методами МП на основе «метода коэффициентов влияния» [8, 10-15], а для САУ ЧМ применяются методы:

«раздельного регулирования частоты и обменной мощности ОЭС»;

«регулирования по частоте со статизмом по обменной мощности ОЭС».

Раздельное регулирование частоты реализовано станциями, например, каскадом волжских ГЭС. Метод Гранера — Даррье [10] обеспечивает локальную энергоавтономность ОЭС, причем компенсация внеплановых нагрузок обеспечивается станциями ОЭС, в которых возникла эта нагрузка.

Первые СОП и САУ ЧМ использовали пропорционально- интегральные законы (ПИ-законы) управления в функции от отклонений частоты и перетоков от заданий, дополненные логикой для обеспечения диспетчерских функций, разработанные ЛПИ им. М. И. Калинина для ОДУ Северо-Запада в 1972 г. [10-12]. Эти методы исследовались для сети ЭЭО типа ЕЭС России (рис. 1), соединяющей генерирующие узлы. В узлах сети генерируется электрическая энергия тепловыми, гидравлическими или атомными станциями. Моделирование соединений узлов выполнено с учетом «эквивалентирования» межсистемных ЛЭП. Эта схема принята исходной для разработки «моделей влияния» и квазистатической оптимизации [10].

Дифференциальные уравнения ЭМПописывают динамику эквивалентных агрегатов (ЭА) и электрическую сеть ЭЭО при постоянном на-

пряжении, а линеаризованные уравнения ЭЭО с генерирующими эквивалентными турбоагрегатами (ЭТА) имеют вид [1—5, 8—13, 15, 16]

TaiD2Фi + TyiD^i + ZПQ pig ( " Фg ) = PTi - Vi , i = 1,..., n, (1)

(TmD + 1)Pri =-KiD Ф/ + km

(TCiD + 1)^i = kCiui.

Для ЭЭО с генерирующими эквивалентными гидроагрегатами (ЭГА) с учетом явления «гидроудара» уравнения представляются в форме [10-13]:

TIiD2Ф/ + Tyi^i + ZgeQi pig (i - фg) = Pn - Vi, i = 1,..., n, (2)

(0,5 gоГг/D +1 ) =(1 - goTD )(-кыЩ + ^ ),

(TCiD + 1)^i = kCiui.

В (1) и (2) обозначено: d/dt _ оператор дифференцирования по времени; ф/ и Ф/g = Ф/ - Фj _ отклонения абсолютных и относительных углов ЭА от исходных значений; pTi, pn — отклонения мощностей ЭТА и ЭГА; vi _ внеплановые изменения нагрузки i - го ЭА; Tai, Tyi - постоянные механической инерции и успокоения ротора ЭА; кш,kCi и Тш,TCi -коэффициенты передач и суммарные постоянные времени (паровых объемов и гидравличе-

Рис. 1. Обобщенная схема Единой энергетической сети России:

ЭС-1 - ОЭС Северо-Запада, ЭС-2 - ОЭС Юга, ЭС-3 - ОЭС Дальнего Востока, ЭС-4 - ОЭС Центра, ЭС-5 - ОЭС Урала, ЭС-6 -ОЭС Сибири

ских усилителей) и вторичных регуляторов ЭТА; ТТ1, gm - постоянные времени трубопровода и начальные открытия направляющих аппаратов ЭГА; р« синхронизирующие моменты между г -м и g -м ЭА; ка1 - коэффициенты передач первичных регуляторов скоростей ЭА.

Третье слагаемое в левых частях первых уравнений (1) и (2) — сумма отклонений перетоков по у -м ЛЭП, где у е (( - множество номеров линий, связанных с г -м ЭА, а отклонение перетока по у -й линии равно [10-13]:

= Р«Ф«' Ф« = Ф/ - Ф«' ] е (, (3)

где г,« — номера ЭА, связанных ] -й линией; р « = 0, если линия отсутствует.

Линейные дифференциальные и квазистационарные уравнения и модели влияния ЭЭО. Урав -

нения динамики ЭЭО являются основой для создания корректных моделей квазистационарных режимов и «моделей влияния» в предава-рийных режимах СОП и САУ ЧМ ЭЭО. Требу -ется разработать линейные квазистационарные «модели влияния» ЭЭО на основе линейных уравнений ЭМП, и определить корректные квазистационарные уравнения как основу для разработки «моделей влияния» ЭЭО.

Для вычисления управлений СОП и САУ ЧМ в качестве моделей квазистационарных состояний при нулевых отклонениях частоты используются коэффициенты распределения [19]. Ниже даны корректные «модели влияния» для квазистационарных режимов ЭЭО при ненулевых отклонениях частоты. Требования к СОП и САУ ЧМ, информация о «моделях влияния» и координатах ЭЭО, приведенная в табл. 3, характеризуют:

Таблица 3

Проблемы, задачи, модели, информация для синтеза СОП по ЛЭП и САУ частотой и обменной мощностью для АСДУ

Назначение СОП по ЛЭП и САУ ЧМ ОЭС для ЭЭО Модели и информация для синтеза независимых СОП и САУ ЧМ ОЭС Модели и информация для синтеза совместных СОП и САУ ЧМ

Проблема 1. Централизованные СОП по ЛЭП уровней ЭС, ОЭС или ЕЭС. Вычисление управлений — методами МП Задача 1.1.1. Модели влияния ЭА на перетоки по внутрисистемным, межсистемным и транзитным ЛЭП и информация о перетоках по ЛЭП уровней ОЭС Задачи 1.2.1—2.2.2. Модели влияния ЭА на перетоки по внутрисистемным, межсистемным и транзитным ЛЭП, частоте и обменным мощностям ОЭС и информация о перетоках по этим ЛЭП, частоте и обменным мощностям уровней ОЭС

Проблема 2. Централизованные САУ ЧМ на уровне ОЭС или ЕЭС. Вычисление управлений — методами МП Задача 2.1.1. Модели влияния ЭА на частоту Задача 2.1.2. Модели влияния ЭА на обменные мощности ОЭС

Проблема 3. Децентрализованные СОП для ограничения перетоков по ЛЭП уровня ОЭС. Вычисление управлений — методами МП Задача 3.1.1. Модели влияния ЭА локальных СОП на внутрисистемные перетоки по ЛЭП и перетоки по примыкающим ЛЭП к ОЭС Задачи 3.2.1—4.2.1. Модели влияния ЭА на перетоки и информация о перетоках по ЛЭП, частоте и обменной мощности ЭС

Проблема 4. Децентрализованные САУ ЧМ уровня ОЭС. Вычисление управлений — методами МП Задача 4.1.1. Модели влияния ЭА на частоту и обменные мощности ОЭС для САУ ЧМ ЭЭО и информация о координатах

Окончание табл. 3

Назначение СОП по ЛЭП и САУ ЧМ ОЭС для ЭЭО Модели и информация для синтеза независимых СОП и САУ ЧМ ОЭС Модели и информация для синтеза совместных СОП и САУ ЧМ

Проблема 5. Иерархические СОП по межсистемным и транзитным ЛЭП Вычисление управлений — методами МП Задача 5.1.1. Модели влияния ЭА на перетоки по межсистемным и магистральным ЛЭП, соединяющим ОЭС, и информация о перетоках Задача 5.2.1. Модели влияния ЭА на перетоки по ЛЭП, частоту и обменные мощности ОЭС для САУ ЧМ уровня ЕЭС и информация о координатах

Проблема 6. Иерархические САУ ЧМ уровня ОЭС (или ЕЭС) Задача 6.1.1. Модели влияния ЭА на частоту и обменные мощности ОЭС и информация о частоте и обменной мощности

качественное и количественное влияние управлений ТЭС или ГЭС на перетоки по ЛЭП для вычисления управлений методами независимого или совместного синтеза СОП и САУ ЧМ методами МП;

матрицы «моделей влияния» управлений ТЭС и ГЭС на отклонения частоты, перетоки и обменные мощности ОЭС.

Корректность моделей для СОП обеспечивается учетом отклонений частоты на основе статически определимых уравнений ЭЭО. С решением этой задачи связан ряд исследований [1-5, 8, 9-13], учитывающих отклонения частоты при анализе режимов энергосистем. Известны квазистационарные уравнения, определяющие из уравнений ЭМП как приближенные «модели влияния» из решений линейных уравнений состояния ЭЭО [10-13]. Корректные «модели влияния» можно определить следующими способами:

преобразованием статически определимых подсистем уравнений динамики ЭМП, понижением их порядка и решением полученных уравнений;

уравнениями ЭМП для астатической САУ частоты, когда уравнения этой замкнутой астатической системы формируются с учетом пропорционально-интегрального закона (ПИ-закона) управления по отклонениям частоты. Корректные «модели влияния по перетокам» используют уравнения ЭМП замкнутой САУ частотой, которым соответствуют статически определимые квазистационарные уравнения.

Синтез САУ частотой методами модального управления обеспечивает ее устойчивость [17].

Векторно-матричные «модели влияния» формируются на основе уравнений ЭМП (1) — (3), обобщенных введением матричных параметров ЭЭО:

Ф' = 0, Т2аа + ТуП + ЯрФ = Р - И,

ТПР' + Р = -КшО + Кп Е,

ТСЕ' + Е = К и, Б = СФ, (4)

где Ф'() = П() , Ф"() = П'() , причем вектор Ф(0 = (ф1,--,фп)Т, ^(¿) = (<»1,...,ю„)Т _ отклонения углов и частот в узлах сети; Р() =

= ( 1,...,Рп)Т , ) = (СТ1,...,<зп)Т М^) = (ц 1,...,цв)Т -векторы отклонений генерируемых мощностей, сигналов регулятора и нагрузок ЭТА. Матричные параметры в (4) и (5.а) размера (п х п) равны Та = { }, Ту = {Ту1}, Тп = {Тп},

Кп = й1а«{кт}, Кп = й1а«{-1 кш, |}, Тс = <1а« {Та}, КС = <Иа«{кС}. Уравнения (4) имеют форму Коши:

Ф' = 0, 0' = Та [-ТуП-ДрФ + Р-М], Р' = Тп [-Р + К0П + КпЕ],

Е' = Тс [-Е + Хси],

где Та 4 [Та ]-1, Тп = [Тп ]-1, Тс 4 [Тс]-1, валентный матричный вид

х' = Ах + Бии + БММ, Б = Сх.

и экви-

(5а)

С учетом (4) система (5а) определяет блоч-но-матричную форму:

"ф'"

а

р'

0 Е

ПУП ПУП

-ТаТу

0„ У

0„

0„

у

Тпка

Т

-Т

П

0ПУП ф"

0ПУП а

+

ТПКП Р

-Тс ]

0ПУП 0ПУП

+ 0ПУП и + -Т ± а

0ПУП 0ПУП

ТСКС ] 0ПУП ]

М,

Б = С Ф,

(5б)

4пу4п , а матрицы:

где вектор х = (Ф, О, Р, Е) е Би = (0,0,0,ТСХС)Т, Бм =(0,-Та,0,0)' , а матри-

ца А е ж4пу4п определена в (5б). Уравнения

Б = сф = (.Уl,...,,...,5т)Т , =рй (-фк), (6)

определяют перетоки по ЛЭП. Параметры Рк = 0, если I и к ЭС не имеют соединения линией. Матрица Ер е ЖПУП :

*р =

где , I = 1,..., п, — множество линий, соединяющих I -ю ЭС с другими.

Утверждение 1. Пусть элементы матрицы Яр типа (7) удовлетворяют условию: | р-1=| р-1. Тогда матрица Яр — особенная, т. е. ёй Ер = 0.

Доказательство проводится сложением первого столбца с другими столбцами, приводящим к матрице с нулевым первым столбцом:

0

*р =

0

-р12 X р2д

?еЙ2

"рп 2

"р1п -р1п

X р,

Це(2п

щ

(8)

поэтому применение теоремы Лапласа доказывает утверждение.

Блочную матрицу (5б) можно исследовать с помощью леммы.

Лемма Шура (об определителе блочной матрицы) . Если Ае ЖПУП, Бе ЖПУт, Се ЖтУП, Б е Жтут - такие блоки матрицы, что ёй А ф 0 или ёй Б ф 0 , то справедливо равенство:

йе«

а в с в

= йе« а^(о - с а~1в)

= йе« в • йе«(( - в в

.

X р1? -р12 ..... -Р1п

-р21 X р2? ..... -р1п

Чей2 (7)

-рп1 -рп2 ..... X рп?

?еСп

Следствие. При условии С = 0ПУП определитель ёй [•] = ёй Б у ёй А.

N

Утверждение 2. Определитель А е Ж в (5б) с учетом (7) равен:

ёе1 А = ПП=1Т-1Т^1Т^^1 у ёе1 ^ = 0. (9)

Доказательство утверждения приведено ниже.

Следовательно, уравнения ЭЭО при отсутствии управлений — статически неопределимые уравнения, поскольку алгебраические уравнения квазистационарного режима ЭЭО (при условии х' = 0М ) определяют необратимый линейный оператор. Из этих уравнений не следуют корректные квазистационарные «модели влияния». Однако, такие модели можно определить.

решением начальной задачи для (5б) по формуле Коши [10].

статически определенными уравнениями САУ частотой, следующими из (5б), исследуемыми в следующем утверждении.

Утверждение 3. Пусть выполнены следующие условия.

1. Вектор управлений и = щ + и, где щ = К]Ф + К2О формируется САУ частотой в ЭЭО в виде пропорционально-интегрального закона (ПИ-закона), где матрицы

К! = diag (Кц )"=1, К2 = diag (К^ е Жпхп, а и -вектор управлений, синтезируемый СОП по линиям.

2. Матричная форма уравнений замкнутой САУ частотой:

х ' = (А + ВиК) х + Вии + ВММ = А1х + Вии + ВММ

имеет вид:

Ф'" 0nxn E nxn 0 nxn 0nxn

Q' -TaRp -TT а y Ta 0nxn

P' 0nxn TnKQ -Tn TnKn

I '_ _ TcKi TCK2 0 nxn

0 0 0

TCKC

u +

nxn

-T„

м,

S = C1x = C Ф = (,..., s,,... = Pik (ф, -Фк).

(10)

3. Система (10), следующая из (5б) и (6), является асимптотически устойчивой, т. е. Яе Xу (А1 )< 0, у = 1,..., N, с учетом САУ частотой.

Тогда система стационарных уравнений, следующая из (10) при условии [Ф',О ',Р', I' ] = 0 = 0пхп е Жпхп, имеет однозначное решение, поскольку определитель матрицы А в (10) отличен от нуля при соответствующем выборе: К1 = diag (КХ1 )п=1, К2 = diag (Къ )п=1 е Жпхп:

det А = did2 =

=WUT-1 [(■

( + KnTdK2i )

x (( + Kn¡Ta1ÍC2¡ )x det (Rp + KnTcKi)] * 0. (11)

4. Дифференциальные уравнения замкнутой САУ частотой x' = Aix + Bvu + BMM, s = Cix,

определяющие квазистационарные алгебраические уравнения 0N = Aix + Bvu + ВММ, определяют вектор перетоков s = Cix = CФ = (si,...,

\T

sm) , и квазистационарные «модели влияния»:

s = Cix = -CiAi-i (u + ВММ, (12)

где «модели влияния» управлений и нагрузок на перетоки имеют следующий вид:

Р^ = -CiA-lBU, PM = -CiAi-iBM. Доказательство дано ниже.

Таким образом, можно сделать следующие выводы.

1. Введение астатического регулирования частоты обеспечивает статическую определимость матрицы замкнутой системы. Из этого следует, что «модели влияния» управляющих ЭС на перетоки по ЛЭП могут быть корректно определены на основе уравнений замкнутой САУ частотой.

2. В предаварийных режимах для корректного действия СОП по ЛЭП должно обеспечиваться гарантированное регулирование частоты для обеспечения качества частоты и для корректного действия СОП по линиям, синтезированной на основе квазистационарных «моделей влияния».

Вычисление квазистационарных оптимальных управлений. Решение задач МП, представленных в табл. 3, иллюстрируются на примере задачи 1.1.1 для СОП, обобщающей результаты [10—13] для дискретного времени k е N. Требуется вычислить Др, (k +1) = kiui k — отклонения мощностей ЭА, связанные с управлениями в (12), при режимных условиях: сохранения нормальных режимов линий (а, б) и учете ограничений на регулировочные диапазоны мощностей станций (в), имеющих следующий вид [10]:

a) ¿Р,Др, (k +1) = Sj - Sj (k), j е Nn (k); i=i

^ ) Sq - Sq (k ) < £ Pqqi Др, (k + i)< Sq - Sq (k ) ,

i=i

q € Nn (k); в) p - p, (k) < Др, (k +1)< p, - p¿ (k),

i = i,2,...,n . (13а)

Требуется минимизировать ЦФ:

1=XП=1|ар(к+1))=XП=1 к-|, V=1 или V=2.

В системе (13) введены обозначения: ЫП (к)-множество перегруженных ЛЭП; р-, Рдг- - элемент^! «матрицы влияния» (12); Б , Б — векторы верхних и нижних пределов пропускных способностей ЛЭП; р (к) - мощности станций (ЭС) в момент времени к е К; векторы Б- (к), Бд (к) - перетоки по линиям в момент времени к е N . Группа «а» ЦР в (13а) определяет требования к мощностям ЭА для ликвидации перегрузки ЛЭП. Группа ЦН «б» задает требования сохранения нормальных режимов непере-груженных ЛЭП, а группа «в» учитывает регулировочные диапазоны ЭА. Целевой функционал минимизирует сумму приращений мощностей ЭА в момент времени (к +1).

Для исследования устойчивости требуется представить решения обобщенных задач типа (13) с помощью операторов математического программирования (ОМП), задающих приближенные аналитические решения задач. Пусть минимизируется обобщенный квадратичный функционал задачи 1.1.1 типа (13) (см. табл. 3) при условии V = 2 . Тогда

1 = ]емп (Б],к+1 - Бр ) XЦМП (,к+1 - Бд ) +

+XПLl"^k =11 -к ^

£к = (к+1 1 Бд,к+1 1 ик) ,

ч = (и-,к )П=1, Бк+1=((- ,к+1 )П=1; (13.б)

Бр,к =(Бр )п=1, Б-,к > Бр;

Б-,к =(Б- )п=1, Б-,к < Бр.

Ограничения, эквивалентные (13а), на векторы перетоков имеют следующий вид:

а) вектор перетоков по перегруженным лини^ Б-к+1=Б-к+р-ик, р е мп ;

б) ограничения на вектор перетоков по не-перегруженным линиям, д г ЫП :

S„ < S,

^q

q,k+1

= Sq,k + ßqUk < Sq ^ ASq,k - Sq -

-Sq,k <ßUk <Sfl -Sfl.k - ASk;

q,k

в) ограничения на вектор управлений при условии к = 1: и < ик < и.

Для новых переменных ограничения и функционал задачи 1.1.1 примут вид:

M zk -

Г Ej 0 -ßj ^

0 E0 -ß,

Г s

0

л

J ,k+1

0,k+1

v uk J

- sk - Cxk - bk,

(13в)

Т

£к 4 (к+1 1 Бд,к+11 ик ) , £ < £к < ^

1 НЫ2 = ((, Ч).

Задачи (13а), (13в) имеют вид: на пересечении линейного многообразия и параллелепипеда, аппроксимированного эллипсоидом, вычислить вектор:

Ч" = а^тт{/ = (к -с) (гк -с)| гк е Б, Б =

= ((* = Ък, гкТОгк < г2 )}.

Параметры эллипсоида однозначно связаны с интервальными ограничениями.

Приближенные решения задач (13в), представленные ОМП, имеют вид [14]:

zk - zk

(A)-

U -

k -[Р0(c) + XPMbk]/(1 + A2),

если z°k € int D; (14)

zk 0*- P0 (c), если zfe intD,

где минимизирующее A-A» el1 — одно из ре-шенийквадратногоуравнения: а^ + а2А + а3 - 0,

«1 - г2 - bTk (MMT)-1 bk,

а2 - -2bk

(mmt )-1 bk,

Символ «int D »— это множество, полученное исключением граничных точек из D . Для решения квадратного уравнения выбирается значение, соответствующее минимуму функционала. Значение X можно определить из дифференциальных условий теоремы Куна — Таккера [14]. Используются интервальные значения параметра ае[а^

,min, ак,max I , что соответствует

допустимости решения задачи (13в) или его оценки сверху. Из условия вещественности корней квадратного уравнения следует достаточный критерий совместности ограничений задач МП типа (13в) [14]:

а2 _ 4а1а3 > 0

(15)

где параметры неравенства определены в (14). Содержательный смысл (15) состоит в возможности анализа условий существования требуемых генерирующих или передающих ресурсов ЭЭО (см. табл. 1) или их прогнозирования, что обобщает результаты, приведенные в [11]. Вектор с в (14) расширяет возможности применения ОМП для приближенных решений комплекса задач для СОП и САУ ЧМ, перечисленных в [10-13].

Достаточные условия асимптотической устой -чивости СОП по ЛЭП на основе корректных моделей ЭЭО. Устойчивость исследуется методом функций Ляпунова в следующей постановке. Пусть уравнения ЭЭО в дискретном времени имеют

xk+1 = Hxk + Fuk, sk = Cxk, xk=0 = x - (16)

Стабилизирующие управления формируются с использованием ОМП:

Ч = уык=уФ(Схк), (17)

где ОМП Ф(Нхк) для задачи (13.в) определяется на основе (14).

Требуется сформулировать ограничения на параметр уеМ1 вектора управлений (17) для СОП по ЛЭП, гарантирующие устойчивость стационарного состояния замкнутой системы (16) и (17) в области, содержащей это стационарное состояние.

Рассматриваются процессы управления в нормированном пространстве состояний, и исследуется первая разность функций Ляпунова: Ук = (х* - хк )т Р(х* - хк),где Р = Рт > 0 -

симметрическая положительно определенная

*

матрица. Векторы хк и X — текущие и стационарные состояния, удовлетворяющие (16) и (17), причем стационарные состояний ЭЭО

удовлетворяют уравнению х * = Нх * + ¥уф(х * |.

Достаточные условия устойчивости локально-оптимальных СОП по ЛЭП даны ниже. Утверждение 4. Пусть:

1. Уравнения динамики ЭЭО имеют вид (16), где ||Н|| < 1, что имеет место при условии:

Н = ехр А1к, ¥ = ^ехр(Ат)т где к - период квантования по времени, а матрица А1 типа (10).

2. Множества В0 е В1 - непустые для к е N , т. е. выполнен достаточный критерий совместности ограничений задач МП.

3. Оператор Ф(Схк) удовлетворяет условию Липшица в области

П: ||ф(Сх')-Ф(Сх")||< Ьф \\С\\-||х'-х"||, х', х"еП.

Тогда для устойчивости замкнутой СОП с ОМП (15) достаточно, чтобы скалярный параметр у удовлетворял соотношению

2 71| F ||ХФ ||P|

IH || • || C || +

+ 7

| F ||2 1ф\

| C ||2 <■

-Xmax (02)- (18)

где X тах (02) — максимальное собственное число симметричной положительно-определенной

матрицы Q2;

= max

1 i=1,...,N

X (ata)

норма

матрицы в евклидовом пространстве МN . Квадратичное неравенство (18) ограничивает параметр уе М1 по условию асимптотической устойчивости. Это условие можно использовать для анализа динамики управления нелинейными СОП и САУ ЧМ в малой окрестности стацио-

нарных точек и для оценок областей притяжения стационарных состояний.

Таким образом, системы управления частотой и активной мощностью должны синтезироваться на основе корректных «моделей влияния» энергетических объединений и качественного анализа моделей замкнутых систем управления. При этом методы независимого или совместного синтеза систем управления частотой, обменной мощностью и систем ограничения перетоков активной мощности по линиям электропередач должны учитывать вариантные взаимодействия этих двух и других систем, что необходимо для достижения целей управления в предаварийных режимах и обеспечения энергетической безопасности ЭЭО средствами АСДУ.

Доказательство утверждения 2. На основе леммы Шура:

" А В'

(

ёй А = ёй

С Б

= ёй

0 Е | 0 0

ТаЯр —ТТ | а у 1 Та 0

0 ТпКш 1 —Тп Тпкп

0 0 | 0 —Тс

= ёй Б х ёй (А - ВБ

(А - ВБ С)

= ёй

-Тп ТпКп

0„ х„ —Тг

х ёй

0 Е] " 0 0 ]

ТаЯр —ТТ Т _ а 0

тпК П П 0 —Тг

0 ТпКа 0 0

х ёй

0

Л

~ТаКр —ТаТу

= ёе1 [—Тп ] х М [—Тс ] х ёе1 [7^] =

= ПГ=1Та—1ТП}ТС11 х ёе1 Яр,

где 0 = 0пхп е Жихи — нулевые, Епхп е Жихи — единичные матрицы. Тогда ёе1 А = 0 в силу утверждения 1, а система (5б) — статически неопределима.

Доказательство утверждения 3. Вектор управлений и для (11в) равен: 10

и = Ви [ + и] =

0 0

Тскс

[Кх + и ] =

0 0 0 0 0 0

Тскск1 Тскск2 0 0

ф]

о

р

+ Вии,

причем К{ = ТсКсК1, I = 1,2, — обобщенные параметры обратной связи. Замкнутая система с ПИ-законом САУ частотой описывается уравнением

х' = (А + ВиК) х + Вии + ВмМ,

имеющим эквивалентный векторно-матричный вид:

0 0

Тпкп

—Тс

ф'] " 0 Е 0

а —ТаЯр —ТТ а у Та

р' 0 Тпка —Тп

I' 0 0 0

ф]

а

р

= ёе1 [—Тп ]х ёе1 [—Тс ]х

х ёе1

—Т Я —Т Т -*аЛр 1а1у

"0 Тпк®

0 0 _

0 0 0 0 0 0

к

0 0 0 0 0 0

к2 0 0

[ф] " 0 ] " 0 ]

а р + 0 0 и+ —Т а 0

[1 ТсКс _ 0

м =

0 — ТпКп т 0 0

= ёе1 [—Тп ]х ёе1 [—Тс ]х

0 Е 0

ТаЯр —ТТ а у Та

0 Тпка —Тп

к1 К2 0

0 0

Тпкп

—Т

И

" 0 " " 0 "

0 0 ы+ -Т а 0

_ТСКС _ _ 0 _

ёй А = ёе1

А а

С Я

= ёй

~ТаКр -ТаТу

Т

ТпКш -Тп ТПКП

К

= ёй

К

-Тп ТПКП

-Тг

-Тг

х ёй

0 Е " " 0 0"

ТаКр -ТТ Т _ а 0

-ТП ТПКП

0 -Ти

0 Тп_Кт К1 К2

где первый определитель:

(!1 = ёй [-Тп ] х ёй \_-ТС ],

а второй

0 Е " " 0 0"

ТаКр -ТаТу _ Т 0_

-Тп -КпТс

п1 с

0 Тп Ка К1 К2

= ёй

М =

= А1х + Виы + ВММ, А1 = А + ВиК,

где К1 = (Ищ (Ки )) , К2 = diag (К2)) е Жихи -матрицы параметров обратной связи САУ частотой; К е хН - матрица обратной связи по

х е х#.

Анализ статической определимости САУ частотой выполняется вычислением определителя матрицы замкнутой системы А1 по лемме Шура разделением ее на 4 блока А1, В1, С1, е ш2нх2н . Тогда, в силу леммы: ёй А1 = ёй Д х ёй( - 1С^ , т. е.

-ТаКр -ТаТу

-ТаТп1 -ТаТс1

0 Тп Ка К1 К2

= ёй

-ТаКр -ТаТу

= ёе1

-ТаКпТС К1 -ТаКш - ТаКпТС К2

0 Е

-Та ( + КПТСКХ) -Та (( + КпТсК2

= ёе1

х ёе1

Та ( + ВДК2)

]

■)])

Та (( + КпТСК2

-Та (( + КпТсК

= d1

Вычисление ёе1 А1 = dl х d2 приводит к (17). Определитель А е хМ вычислен с учетом диагональности числовых матриц.

Доказательство утверждения 4.

1. Вычисляется приращение функции Ляпунова, заданной разностями текущих и стационарных значений векторов:

Л^ = Ук+1 -ук =

Н(хк -х*) + уЕ Ф(Схк)-ф(сх') Н(хк -х*) + уЕ Ф(Схк)-ф(Сх*

-(хк -х*)Р(хк -х*) = = (хк - х* ) НТРН ( - х*) +

х Р

+2у

Е

ф(Схк)-ф(Сх*))Тр[Н(хк -х*)

х

+Y х P

ф(Схк )-ф(Сх * ) ф(Схк )-ф(Сх * )

-(xk -х*) P(хк -х*) = (хк-х ^ ))01 + 02 ](хк-х ^ )

А^к <

(хк - х* ))

HT PH - P -

01)](хк -х*) +

+2у

F

ф(Схк)-ф(Сх*)|P||• H(хк -х*)

+Y2| PII •

F

ф(Схк )-ф(Сх *) (хк-х * )02 (хк-х ^ )

Преобразование можно продолжить с учетом оценок норм образов операторов и условия Липшица. Тогда

ф(Схк )-ф(Сх *)

еф |С

хи - х

С(хк -х*)

где Ьф — постоянная Липшица для ОМП. Урав -

т

нение Ляпунова: НТ РН — Р — 01 = 0пхп имеет положительно-определенное решение:

для которой введено требование отрицательной определенности ее приращения двумя квадратичными отрицательно-определенными формами с матрицами: Qi = Q[ > 0, Q2 = QT > 0.

2. Преобразованы приращения функции Ляпунова, введено уравнение Ляпунова с матрицей т

01 = Qt > 0 и оценены скалярные произведения по неравенству Коши — Буняковского: |(a,b )|< ||a| -| |b||. Тогда

P = PT =z;=0 (ht )sqh

> 0,

так как Н = ехр (А^) является асимптотически устойчивой (сходящейся) матрицей с учетом асимптотической устойчивости матрицы А1 в уравнениях САУ ЧМ типа (10).

Тогда

Д Ук < 2у||Р||Хф || с || • 11Н || • | | Р || • | | хк — х* ||2 +

+Y2 ||F||2 Еф| |С| |2 •! |P|

I * ||2_

| х^ - х || =

-(хк-х*)Tq2 (хк-х*).

Используя далее оценку квадратичной формы на основе неравенства:

хк - х

(хк — х ) 02 (хк — х* )<^тах (^2 )

где А,тах (02 ) максимальное собственное число матрицы 02 , можно получить (18).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Абраменкова Н. А. Структурный анализ электроэнергетических систем в задачах моделирования и синтеза / Н. А. Абраменкова, Н. И. Воропай, Т. Б. Заславская. — Новосибирск: Наука, 1990. — 224 с.

2. Андреюк В. А. Методы построения консервативной модели энергосистемы для анализа режимов и устойчивости / В. А. Андреюк, Н. С. Сказываева // Изв. РАН. Энергетика. — 1997. — № 5. С. 107-110.

3. Баринов В. А. Режимы энергосистем: методы анализа и управления / В. А. Баринов, С. А. Сова-лов. — М.: Энергоатомиздат, 1990.

4. Бондаренко А. Ф. Регулирование режимов работы энергетического объединения по перетокам мощности и поддержание нормального уровня частоты / А. Ф. Бондаренко, А. Н. Комаров // Электричество. — 1994. — № 5. — С. 1-11.

5. Будовский В. П. Риск дефицита мощности энергосистемы / В. П. Будовский // Электричество. — 2009. — № 8. — С. 17-26.

6. Волков Э. П. Проблемы и перспективы развития электроэнергетики России / Э. П. Волков, В. А. Баринов, А. С. Маневич. — М.: Энергоатомиздат, 2001. — 432 с.

7. Глебов И. А. Научные основы проектирования систем возбуждения мощных синхронных машин / И. А. Глебов. — Л.: Наука, 1985. — 400 с.

8. Заборовский В. С. Характеристика чувствительности энергообъединений к управлению частотой и активной мощностью / В. С. Заборовский, В. Н. Козлов, Х. Сегура // Электричество. — 1986. — № 3.