Обеспечение тестопригодности ортогонально связанных матричных структур Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.326.35.74

ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТЕСТОПРИГОДНОСТИ ОРТОГОНАЛЬНО СВЯЗАННЫХ МАТРИЧНЫХ СТРУКТУР

ТАРАНОВ В.Б., КУЛАК Э.Н., КОВАЛЕВ Е.В.

Определены условия, которым должна удовлетворять модифицированная функция базовой ячейки для обеспечения С-тестируемости одномерной и двумерной ортогонально связанных систолических матриц комбинационных элементов (СМКЭ) при использовании минимального числа дополнительных состояний в регенерирующей последовательности.

Введение

Недостаточное обеспечение существующих универсальных ЭВМ средствами обработки больших массивов данных числовой или символьной природы для распознавания изображений, речи и др. в реальном масштабе времени, а также приближение быстродействия полупроводниковых схем к пределу, определяемому законами физики твердого тела, послужило толчком к развитию специализированных вычислительных устройств систолического типа. Такие устройства состоят из идентичных ячеек комбинационного или последовательностного типа и осуществляют параллельно-конвейерную обработку данных [1,2]. С увеличением количества таких ячеек возникает множество проблем, одной из которых является проблема тестирования [3, 4]. Матрица с комбинационным типом ячеек называется С-тести-руемой, если она может быть протестирована постоянным числом векторов, независимым от размера матрицы. Впервые идея С-тестируемости была предложена в [5], а затем получила развитие в [3, 6, 7]. При этом производились попытки сокращения времени тестирования путем изменения способа регенерации тестовой последовательности и числа дополнительных состояний. Минимальное число таких состояний было использовано в [3 ], при этом удалось сократить время тестирования по сравнению с [6], где использовалось то же число дополнительных состояний. Однако был рассмотрен частный случай модификации ячейки, который влечет за собой появление недоопределенных дополнительных состояний при увеличении размерности ячейки.

В данной работе доказаны две теоремы, определяющие способ модификации ячейки матрицы при использовании минимального числа дополнительных состояний в регенерирующей последовательности. При этом формируются более общие условия, которым должна удовлетворять модифицированная функция базовой ячейки, по сравнению с ранее сформулированными.

1. Определения и замечания

Будем рассматривать одномерную и двумерную матрицы. Направление вдоль строки матрицы (горизонтальное) определим как x-направление, вертикальное — y-направление. Входы и выходы ячейки в этих направлениях обозначим x, y, xo, y°

соответственно. При получении входных сигналов x и у ячейка вырабатывает выходные сигналы x°, y°. Этот процесс означает переход из одного состояния (x, у) в другое (x°,y°), т.е. (x,y)^(x°,y°) для двумерной матрицы и (x,y)^x° — для одномерной. Запись y°(x, у), x°(x,y), y°=f(x,y), где f — функция ячейки, означает выходные сигналы ячейки, получившие на входах значение x и y; x и x° могут иметь m различных значений и обозначаться xj , i=1,...m. Для y и y° аналогично — yj, j=1,...,n.

Функция ячейки задается таблицей переходов состояний Sb. Она имеет m строк и n столбцов. Каждой паре i и j соответствует пара входных значений базовой ячейки (y^x^yj ), x°(xi,yj)) — для двумерной и значение (x°(xi,yj)) — для одномерной матрицы.

Модель неисправности такова, что только одна ячейка матрицы может быть неисправной. Неисправность базовой ячейки может привести к изменению одного или более элементов таблицы переходов, т.е. функция неисправной ячейки будет отличаться от функции исправной.

Если в ячейке имеется неисправность, используется запись xc Де или yc /ye , где xc и yc — исправные состояния; xe и ye - состояния, соответствующие неисправности. В этом случае x^x*. и yc*ye, т.е. исправное и неисправное состояния являются различимыми. Переход состояний в каком-либо направлении, скажем, в x-направлении, может представляться как x^x°. Если ячейка имеет неисправность, переход обозначается x^x°c/x°e. Эта запись означает, что если ячейка неисправна, переход имеет вид x^x°e, в противном случае - x^x°c.

Условия С-тестируемости приведены в [3, 6]. Ячейка тестируется исчерпывающим тестом. Матри -ца протестирована, если протестированы все ячейки. Приведем следующие определения.

Функция f является хорошо определенной в каком-либо направлении, скажем, в x-направлении, если для каждого yj є Y не существует двух различных значений xi и xk, {xi,xk^X, для которых выполняется условие f(xbyj)=f(xk,yj).

Функция f в каком-либо направлении, скажем, в x-направлении, удовлетворяет условию зацепления для L состояний ячейки, если множество этих состояний можно упорядочить таким образом, чтобы каждый его последующий элемент являлся функцией предыдущего (для первого элемента предыдущим является последний). Если упорядоченное множество представить как {x1, x2 ,...,x/, ...,xL}, где l — номер элемента в нем, то для него должна выполняться система равенств:

f(x1,y)=x2,

f(x2,y)=x3,

f(xi,y)=xi+1, (1)

f(xL,y)=x1.

Аналогично для y-направления. Очевидно, что функция, удовлетворяющая этому условию, является хорошо определенной, причем аргумент функции не может быть равен ее значению.

РИ, 1998, № 1

91

Если функция удовлетворяет условию зацепления, будем обозначать ее Р.

2. Обеспечение С-тестируемости одномерной систолической матрицы

Теорема 1. Для обеспечения С-тестируемости однонаправленной одномерной СМКЭ необходимо ввести в ячейку минимум четыре дополнительных СОСТОЯНИЯ (хт+1, Уп+1, Уп+2, Уп+з), функция Которых должна иметь следующие свойства:

Я^Уп+^к, i=1,.. .,m+1, k=1,...,m+1, (2)

f(xm+1,yn+2) xo r=1,.. .,m, (3)

f(Xs,Уn+2)=Xm+1, s=1,.. .,m, (4)

f(xm+1,yn+3) xm+b (5)

Я^У^^к, i=1,.. s ^4 и M S (6)

f(xm+1 ,Yw') xm+1, w=1,. ..,п, (7)

для остальных дополнительных состояний

f(xj,yj)=xj, для i=m+2,...,2m, j=1,...,2n, и для i=1,...,m+1, j=n+4,...,2n. (8)

Доказательство. Необходимо показать, что условия С-тестируемости выполняются.

Дополнительное X-СОСТОЯНИЄ (xm+i) необходимо вводить для того, чтобы трансформировать в него неисправность xv, v=1,...,m+1, имеющуюся в тестируемой ячейке, и распространять ее в таком виде ко входу следующей тестируемой ячейки. В противном случае возможна ситуация, когда на входе последней окажется xe^x c, для которого xo(xe,y)=xo(xc,y) (так как функция ячейки не является хорошо определенной), что приведет к маскированию неисправности.

Дополнительные у-состояния (уп+1,Уп+2,Уп+з) будут составлять регенерирующую последовательность. Для удобства разделим ее на две части P1 и P2 (рис.1).

Механизм регенерации состоит в следующем. В части P1 осуществляется переход от состояния Хи(Х[,У№), u=1,..., m к Xm+1, где Xt и У№ (t=1,...m, w=1,...h) -тестовые входы

PI Р2

____________А.____________ л

Xt

rYw У„+1 л r A Уп+2 Уп+3 '

Ґ \ xVx, x^./x Ґ ^ ' Xr/Xjjj+t хУхт+1 зг

Рис. 1. Тестирование одномерной СМКЭ

Очевидно, что условие управляемости в части P1 регенерирующей последовательности выполняется, при этом максимальное число Уп+1 в P1 (максимальная длина P1) равно m.

Так как функция f (2) является хорошо определенной, для каждой ячейки в пределах P1 х0(хе,Уп+1)^х0(хс,Уп+1),если xe^xc, т.е. выполняется условие наблюдаемости и независимости тестовой последовательности и ее длины от неисправности xv, v=1,...m+1.

Рассмотрим часть P2 регенерирующей последовательности. Как отмечалось выше, появление состояния xs^xm+1, s=1,...m (рис.1) означает наличие неисправности в тестируемой ячейке, поэтому xs нужно трансформировать в xm+1, в противном случае необходимо осуществить переход в состояние xr, которое послужит “точкой отсчета” в непосредственной регенерации xt. Для этого необходимо минимум одно дополнительное состояние Уп+2, для которого должны выполняться условия (3) и (4), причем xr может принимать любое из m возможных значений. Для регенерации xt и распространения неисправности требуется еще одно дополнительное состояние Уп+3. Следует отметить, что Уп+1 в этих целях использовать нельзя, так как f(xm+1,yn+1)^xm+1 (это следует из условия зацепления), что не даст возможности беспрепятственно транспортировать xm+1 к следующей тестируемой ячейке. Таким образом, для Уп+3 необходимо выполнение условий (5) и (6).

Для прохождения xm+1 через тестируемые ячейки нужно, чтобы выполнялось условие (7). В последовательности регенерации тестового входа Уп+2 используется только один раз, а Уп+3 может

использоваться максимум m-1 раз.

Очевидно, что условие управляемости матрицы выполняется. Условие наблюдаемости и независимости тестовой последовательности и ее длины от неисправности xv, v= 1,..., m+1 обеспечивается тем, что неисправность трансформируется в состояние xm+1 и распространяется к наблюдаемым выходам

матрицы, вследствие чего неисправное и исправное состояния остаются всегда различимыми.

Введение хотя бы одного дополнительного состояния требует добавления одного дополнительного входа в ячейку, что

Xu/xm+1 ----►

в x- и у- направлениях. Появление вместо xm+1 любого другого состояния xs^xm+1, s=1,..., m будет означать, что в тестируемой ячейке имеется неисправность xu^xv, v=1,..., m+1, поэтому в части P2 регенерирующей последовательности состояние xs должно трансформироваться в xm+1, а xm+1 должно беспрепятственно распространяться ко входу следующей тестируемой ячейки (на рис. 1-3 тестируемые ячейки выделены серым цветом). В случае отсутствия неисправности в части P2 необходимо осуществить переход от xm+1 к xt, т.е. произвести собственно регенерацию тестового входа xt.

Рассмотрим часть P1 регенерирующей последовательности . Для осуществления перехода от xu к xm+1 достаточно одного дополнительного состояния Уп+1, функция которого удовлетворяет условию (2).

в свою очередь приводит к удвоению возможных состояний, следовательно, некоторые значения функции остаются неопределенными. Их следует доопределить таким образом, чтобы условия С-тестиру-емости не нарушались. Наиболее рациональным с точки зрения аппаратной реализации и проверки функции ячейки будет способ, определенный выражением (8).

Действительно, для тестирования перехода xi^xi регенерация не требуется и, следовательно, длина тестовой последовательности равна единице. При этом условие наблюдаемости и независимости тестовой последовательности и ее длины от неисправности выполняется, так как не существует x'^xi, для которого x^fx^), при i=m+2,...2m, j=1,...m+3, и при j=1,...2m, j=H+4,...2H. Рассуждения аналогичны также для случая, когда i=m+1 при j=1,...4 и j=4+3.

92

РИ, 1998, № 1

Необходимо отметить, что условие наблюдаемости матрицы при возникновении неисправности xv, v=m+2,...2m и независимости от нее тестовой последовательности и ее длины будет выполняться, так как условие, выраженное в формуле (8), обеспечивает беспрепятственное продвижение xv к наблюдаемым выходам матрицы.

Таким образом, для приведенных в теореме условий, которым должна удовлетворять функция дополнительных состояний ячейки, С-тестируемость матрицы обеспечивается, что и требовалось доказать.

Следствие теоремы 1.

Для тестирования переходов дополнительных состояний х—х0, где x=xo, регенерация тестового входа не требуется, и длина тестовой последовательности при этом равна единице. При тестировании всех остальных переходов модифицированной таблицы регенерация тестового входа осуществляется с использованием дополнительных состояний yn+i, yn+2,yn+3 и длина тестовой последовательности при этом равна 2m+1.

Пример модифицированной матрицы переходов состояний ячейки представлен в табл. 1, где функция ячейки для yn+i, yn+3 — инкремент, m=n=4, xr=0. Примеры тестирования матрицы с данной таблицей переходов приведены на рис. 2. Для затемненных ячеек тестируется переход (1,2)—>1.

3. Обеспечение С-тестируемости двумерной систолической матрицы

Теорема 2. Для обеспечения С-тестируемости

однонаправленной ортогональной двумерной СМКЭ

Таблица 1

y\v y1 yn yn+1 Уп+2 yn+3 Уп+4

0 1 2 3 4 5 6 7

х1 0 1 2 3 3 1 4 1 0

1 2 2 1 0 2 4 2 1

2 1 0 0 1 3 4 3 2

х 3 3 1 0 0 4 4 0 3

m

Xm+1 4 4 4 4 4 0 0 4 4

х „ 5 5 5 5 5 5 5 5 5

m+2

Xm+3 6 6 6 6 6 6 6 6 6

х . . 7 7 7 7 7 7 7 7 7

m+4

необходимо ввести в ячейку минимум восемь дополнительных состояний (Xm+1, Xm+2, Xm+3, Xm+4, Уп+1, yn+2, yn+3, yn+4), функция которых должна иметь

следующие свойства:

fx(xi,yn+2>=Xk, i=1,...,m+1, k=1,...,m+1, (11)

f(Xm+1,yn+3)=Xr, r=1,...,m, (12)

f(Xs,yn+3)=Xm+1, s=1,...,m, (13)

f(xm+1,yn+4) xm+1, (14)

Р(хі,Уп+3)=хь k=1,. (15)

f(xm+1,yw) xm+1, w=1,...,n, (16)

^хі,Уп+1)=хі, i=1,.. .,m+1, (17)

для остальных дополнительных состояний

f(xi,yj)=xi, для i=m+2,..., 2m, j=1,..., 2n и для i=1,..., m+1, j=n+5,..., 2n. (18)

Аналогично происходит доопределение функций по y-направлению.

Доказательство. Необходимо показать, что условия С-тестируемости выполняются. В теореме приведены свойства для x-направления, так как для y-направления они симметричны.

Для двумерной матрицы необходимо обеспечить выполнение тех же условий С-тестируемости, что и для одномерной матрицы плюс выполнение четвертого условия — передачу без изменений последовательности регенерации тестового входа в заданном направлении. Поэтому общие с одномерной матрицей условия обеспечения С-тестируемости приведем без доказательств (со ссылкой на теорему 1), а подробно остановимся лишь на особенностях двумерной матрицы.

Прежде всего следует отметить, что для двумерной матрицы в y-направлении нужно дополнительное состояние yn+i подобно xm+i в x-направлении, поэтому в обоих направлениях необходимо четыре дополнительных состояния. Способ регенерации тот же, что и для одномерной матрицы, но в данном случае регенерация должна осуществляться в х- и y-направлениях одновременно.

Выражения (11)-(16),(18) следуют из теоремы 1.

Для двумерной матрицы необходимо определить функцию дополнительного состояния yn+1. Наиболее рациональным с точки зрения проверки функции ячейки и аппаратной реализации будет способ доопределения, аналогичный тому, что использован в (8), поэтому данная функция должна удовлетворять (17).

Наконец, передачу без изменений в х-направле-нии регенерирующей последовательности (состояния xm+2, xm+3, xm+4) обеспечивает условие, выраженное в (18).

Таким образом, для приведенных в теореме условий, которым должна удовлетворять функция дополнительных состояний ячейки, С-тестируемость матрицы обеспечивается.

Это и требовалось доказать.

Пример модифицированной таблицы переходов состояний ячейки двумерной матрицы представлен в табл. 2, где функция ячейки для yn+2 и yn+4 — инкремент, m=n=4, xr=0. Пример тестирования матрицы с данной таблицей переходов приведен на рис. 3. Для заштрихованных ячеек тестируется пере -ход (1,0)—(2,3).

В работе доказаны две теоремы, где сформулированы условия, которым должна удовлетворять функция модифицированной ячейки систолической матрицы при использовании минимального числа

Рис. 2. Пример тестирования одномерной СМКЭ

РИ, 1998, № 1

93

дополнительных состояний, участвующих в регенерации тестового входа. Эти условия являются общими для любой размерности базовой ячейки матрицы.

Таблица 2

x\y y1 ... Уп Уп+1 Уп+2 Уп+3 Уп+4

0 12 3 4 5 6 7

x1 0 (1,2) (2,3) (3,1) (3,0) (0,4) (1,5) (4,6) (1,7)

1 (2,3) (2,1) (1,3) (0,0) (1,4) (2,5) (4,6) (2,7)

2 (1,2) (0,3) (0,0) (1,0) (2,4) (3,5) (4,6) (3,7)

x m 3 (3,1) (1,2) (0,2) (0,1) (3,4) (4,5) (4,6) (0,7)

xm+1 4 (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (0,5) (0,6) (4,7)

xm+2 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,0) (5,5) (5,6) (5,7)

xm+3 6 (6,4) (6,4) (6,4) (6,4) (6,0) (6,5) (6,6) (6,7)

xm+4 7 (7,1) (7,2) (7,3) (7,0) (7,4) (7,5) (7,6) (7,7)

new class of C-testable systolic arrays // Integration VLSI journal. 1989, №8. P.269-283. 5. Friedman A.D. Easily Testable Iterative Systems // IEEE Trans. on Comput. 1973. Vol. C22, №12. P.1061-1064. 6.Elhumi H, VergisA., Kinney L. C-testability of two-dimentional iterative arrays // IEEE Trans. Comput.-Aided Design. 1986. Vol. CAD-5, №4. P.573-581. 7. LombardiF, Huang W.-K. Fault Detection and Design Complexity in C-testable VLSI Arrays / / IEEE Trans. Comput. 1990. Vol. 39, № 12. P.1477-1481.

Поступила в редколлегию 12.02.98

Таранов Виктор Борисович, канд. техн. наук, старший научный сотрудник кафедры АПВТ, ХТУРЭ. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-93-26.

Кулак Эльвира Николаевна, канд. техн. наук, старший преподаватель кафедры АПВТ, ХТУРЭ. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 4093-26.

Ковалев Евгений Викторович, аспирант кафедры АПВТ, ХТУРЭ. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-93-26.

Литература. 1. СБИС для распознавания образов и обработки изображений / Пер. с англ. / Под ред. К.Фу. М.: Мир, 1988. 248 с. 2. Fuchs W.-K., Earl E, Swarizlander I. Wafer-Scale Integration Architectures and Algorithms // IEEE Computer. 1992. P.6-8. 3. Huang W.K., Lombardi F, Sciuto D. Design and Analysis of C-Testable Arrays // Wafer-Scale Integration II: Proc. 2nd IFIP W610. 5 Workshop, Engham, 23-25 Sept., 1988. P.115-123. 4.Lombardi F. On a

Ptoo. 3. Пример тестирования двумерной СМКЭ

94

PH, 1998, № 1