Объединение результатов одномерной оптимальной фильтрации при полукаузальной и некаузальной обработке гауссовских однородных изображений Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Пристрої та системи радіозв’язку, радіолокації, радіонавігації

УДК 621.391

ОБЪЕДИНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ОДНОМЕРНОЙ

ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ ПОЛУКАУЗАЛЬНОЙ И НЕКАУЗАЛЬНОЙ ОБРАБОТКЕ ГАУССОВСКИХ ОДНОРОДНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Вишневый С.В., аспирант Жук С.Я., д.т.н., профессор

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт», г. Киев, Украина

Методы оптимальной двумерной фильтрации изображений характеризуются огромными вычислительными затратами, что часто делает невозможной их практическую реализацию на ЭВМ. Актуальным является синтез алгоритмов фильтрации, преодолевающие отмеченные трудности.

В [1] разработан подход, основанный на предположении независимости вероятностных характеристик изображения вдоль каждой из его координат, в соответствии с которым фильтрация изображения разделяется на два этапа. На первом этапе выполняется оптимальная одномерная фильтрация изображения соответственно по строкам и столбцам. На втором этапе производится объединение полученных одномерных оценок в каждой точке изображения. В [2] разработан алгоритм объединения результатов одномерной оптимальной фильтрации, который относится к классу каузальных алгоритмов, и позволяет устранить некоторую избыточность, присущую подходу в [1].

Целью статьи является разработка алгоритмов, которые в отличие от [2], при фильтрации изображений используют дополнительные наблюдения, находящиеся в векторах, сформированных из элементов, расположенных от конца строки и столбца до текущего обрабатываемого отсчета изображения. Учет дополнительных данных позволяет рассматривать фильтрацию изображений как полукаузальную и некаузальную.

Теоретическое обоснование

Изображение, схематически представленное на рис.1, записывается в виде матрицы, состоящей из элементов x(n, m), которые соответствуют значениям яркости пикселей изображения; искаженные помехой наблюдения, обозначим y(n, m), где n = 1, N, m = 1,M.

Обозначим текущую обрабатываемую точку изображения x(n, m). Введем векторы Xn1 =(x(n,1),..., x(n, m -1)) , Xm1 =(x(1, m),..., x(n -1, m)),

= (x(n,M), x(n,M -1),..., x(n, m +1)), Xm2 = (x(N, m), x(N -1, m),..., x(n +1, m)), которые содержат элементы изображения согласно рис.1.

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" 77 Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№45

Пристрої та системи радіозв’язку, радіолокації, радіонавігації

Векторы Xnl, Xm1, Xn2, Xm2 не включают в себя текущую обрабатываемую точкУ х(П т). Векторам Xn1, Xm1, Xn2 , Xm2 соответствуют наблюдения Yn1, Ym1, Yn 2,

Ym2, а текущей точке x(n, т) соответствует текущее наблюдение y(n, т).

Использование данных, содержащихся в векторах Xn1, Xm1, Xn2 при формировании оценки в точке x(n, m), лежащей на их

пересечении, позволяет рассматривать фильтрацию как полукаузальную, а использование дополнительных данных, содержащихся в векторе Хт2, делает обработку изображения некаузальной. Далее для краткости опустим аргументы (n, m).

Следуя методике [1, 2] выражение для нахождения апостериорной плотности вероятности p(x / Y) отсчета изображения x при некаузальной фи-

льтрации можно представить в виде:

P(x / Y) = ~^Р(x/ Ynb У)Р(x / Ym1)p(X / Yn2)p(x / Ym2) X P (x)

X

P(Yn1, y) P (Ym1) P(Yn2) P (Ym2) P(Y) :

(1)

где p( x / Yn1, y) - апостериорная плотность вероятности текущей обрабатываемой точки, вычисляемая на первом этапе при одномерной каузальной фильтрации наблюдений (Yn1, у), где у - текущее наблюдение;

p(x / Ym1), p(x / Yn2), p( x / Ym2) - экстраполированные плотности вероятности текущей обрабатываемой точки, вычисляемые на первом этапе при одномерной каузальной фильтрации наблюдений Ym1, Yn 2 и Ym 2 соответст-

венно.

Выражение для вычисления апостериорной плотности вероятности p( x / Y) при полукаузальной фильтрации имеет вид:

p(x / Y) = -Y- p(x / Y„1, у) p( x / Y„,1)p(x / Y„2) P(Y>1, y) PP?mi)P(Yn2), (2) P2(x) P(Y)

где для случая полукаузальной фильтрации вектор Y содержит у, Yn1, Ym1,

Yn 2.

При решении задачи оптимальной фильтрации широко используются случайные гауссовские поля. С целью сокращения объемов обозначений и не снижая общности рассмотрения будем полагать, что гауссовское поле является разделимым и описывается корреляционной функцией

78

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№45

Пристрої та системи радіозв’язку, радіолокації, радіонавігації

R(Ab А2) = ^2р|Лі р2А2 . Рассмотрим вначале случай некаузальной фильтрации, когда плотности вероятности, входящие в выражение (1) будут гаусА ^

совскими p( х / Ynb у) = N(хпъ<у„i)* p( х/ Ymi) = N(xml,Gml),

p(х/Yn2) = N(Р(х/Ym2) = N(^2^2)* Р(х) = N(Х

На первом этапе алгоритма объединения результатов одномерной оптимальной фильтрации при некаузальной обработке однородного изображения осуществляется одномерная каузальная калмановская фильтрация вдоль каждой из координат изображения. Одномерная каузальная калма-новская фильтрация наблюдений (Yni* у) строки изображения описывается выражениями [3]:

xni(k *1) = Pixni(k *1 -1); (3)

^(W) = p2<J„2i(k,/-1) + G2; (4)

K (k, l) = a£(k, l)/ (^2(k, l) + R); (5)

ah(k, I)=CT*2(k, I) - K (k, I )CT„*2(k, I); (6)

xn1(k*l) = xni(k*l) + K(k*l)(y(k*l) - my - xni(k*l))* (7)

где xni(k * l )* .xni(k * l) - экстраполированная и апостериорная оценки; pi -коэффициент корреляции элементов строки изображения; ^*2(k * l )*

2

<rni(k * l) - экстраполированная и апостериорная дисперсии ошибки оценок; K (k* l) - коэффициент усиления одномерного фильтра Калмана; R -дисперсия ошибки наблюдения; y(k * l) - наблюдение случайного поля; ту

- математическое ожидание случайного поля; Gi = <ryji - p2 ; a - СКО

случайного поля. Одномерная каузальная калмановская фильтрация наблюдений Ymi* Yn 2 и Ym 2 вдоль остальных координат осуществляется таким же образом с помощью выражений аналогичных (3)-(7).

Поскольку плотности вероятностей в правой части выражения (i) являются гауссовскими* поэтому плотность вероятности p( х / Y) также будет гауссовской и имеет вид:

(

p (х / Y) = C exp

(х - х) 2<т:

,.\2 Л

(8)

V у

2

где C является константой* а р(х / Y) = N(х* а ).

Приравнивая коэффициенты при х и х в выражениях (i) и (8) получим выражения для нахождения искомых оценок.

Таким образом* вычисление оценок на втором этапе для текущей обрабатываемой точки изображения при некаузальной фильтрации осуществ-

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№45

79

Пристрої та системи радіозв’язку, радіолокації, радіонавігації

ляется с помощью выражений:

2 :2 :4 2 :2 (9)

: 2 :2 X = Xn1 Xm1 - Xn1j а I°m1; (10)

а ——а — а /Іст —а L (11)

х = X-(X -X)(г2 /о2; (12)

*2 = а*2 - а„*4/(S2 + оП2 ); (13)

X = X + (Xn2 - X)а /°nl; (14)

а'2 = -о2 - а4/(о2 - а2); (15)

X = X-(X - x)ct'21 а2; (16)

а'2 = - а,:4^(а'2 + а*); (17)

X" = x'+(xl,2 - З)а"'/ от2; (18)

а2 =-ог - 0*/(а’2 - о1); (19)

X = X " -( X - х" )о2 / а2, (20)

где Xn1, (72і - апостериорные оценка и дисперсия ошибки оценки, рассчитанные для текущей обрабатываемой точки изображения на первом этапе при одномерной каузальной фильтрации наблюдений (Yn1, у), при этом у

: *2

- наблюдение, соответствующее текущей обрабатываемой точке; Xm1, ат1,

xn2, ап2, хт2, ат2 - экстраполированные оценки и дисперсии ошибок оценок, рассчитанные для текущей обрабатываемой точки изображения на первом этапе при одномерной каузальной фильтрации наблюдений соответственно Ym1, Yn 2 и Ym 2; х , а - математическое ожидание и дисперсия

случайного поля, заданные априорно; X, ст2 - оценка и дисперсия ошибки оценки, рассчитанные с помощью алгоритма некаузальной фильтрации на втором этапе.

Выражения (9)-(20) описывают вычисления оценки X и дисперсии ошибки оценки ст2 для алгоритма объединения результатов одномерной оптимальной фильтрации при некаузальной обработке однородного изображения.

Алгоритм объединения результатов одномерной оптимальной фильтрации при полукаузальной обработке однородного изображения описывается с помощью выражений (9)-(16) и позволяет вычислить оценку X " и дисперсию ошибки оценки а ’2 в каждой точке изображения.

Для разработанных алгоритмов, при вычислении оценок в каждой точке изображения, на втором этапе используются апостериорные оценки, рассчитанные на первом этапе при фильтрации наблюдений (Yn1, у), а также

экстраполированные оценки, вычисленные на первом этапе при фильтрации остальных наблюдений. При этом, в отличие от [1], не требуется вычислять дополнительные предварительные оценки рассматриваемой точки по всем полученным измерениям (Yn1, y,Yn2), (Ym1, y,Ym 2) на рассматрива-

80

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№45

Пристрої та системи радіозв’язку, радіолокації, радіонавігації

емых строке и столбце изображения соответственно, а также выполнять одноточечную фильтрацию в каждой точке изображения.

Результаты экспериментальных исследований Анализ разработанных двухэтапных алгоритмов полукаузальной и некаузальной фильтрации однородных гауссовских изображений проведен на модельном примере с помощью статистического моделирования на ЭВМ.

Обрабатываемое изображение описывается гауссовским случайным полем с разделимой корреляционной функцией вида [2]:

К(АъА2) = с р\ 1 р22,

где Аь А2 - приращения в горизонтальном и вертикальном направлении соответственно; ръ р2 - коэффициенты корреляции элементов строк и столбцов соответственно; с2 - дисперсия случайного поля.

а)

Рис.2

б)

На рис.2.а показаны СКО ошибки оценки с (штрих-пунктирная линия), вычисленные с помощью одномерной каузальной калмановской фильтрации, а также СКО ошибки оценки, вычисленные разработанным алгоритмом при полукаузальной фильтрации с' (пунктирная линия), и СКО ошибки оценки с (сплошная линия), рассчитанные разработанным алгоритмом при некаузальной фильтрации в зависимости от СКО помехи си, при фильтрации однородного изображения с СКО с = 0.15 и коэффициентами корреляции р1 = р2 = 0.75. На рис.2.б показаны аналогичные характеристики для случая, когда р1 = р2 = 0.98.

Выводы

Разработаны алгоритмы объединения результатов одномерной оптима-

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№45

81

Пристрої та системи радіозв’язку, радіолокації, радіонавігації

льной фильтрации при полукаузальной и некаузальной обработке однородных гауссовских изображений. В отличие от алгоритмов объединения данных при некаузальной и полукаузальной обработке гауссовских изображений, полученных в [1], не требуется вычислять дополнительные предварительные оценки рассматриваемой точки по всем полученным измерениям (Yn1, y,Yn2), (Ym1, y,Ym 2) на рассматриваемых строке и столбце изображения соответственно, а также выполнять одноточечную фильтрацию в каждой точке изображения.

Для рассмотренных примеров алгоритм объединения результатов одномерной оптимальной фильтрации при полукаузальной обработке однородных гауссовских изображений позволяет повысить точность рассчитанных оценок на 10%-30% по сравнению с одномерной калмановской фильтрацией. Точность оценок, вычисляемых с помощью алгоритма объединения при некаузальной обработке однородных изображений выше по сравнению с одномерной калмановской фильтрацией на 15%—39%. Разработанные алгоритмы позволяют получить существенное увеличение точности фильтрации однородных гауссовских изображений по сравнению с одномерным методом при незначительном усложнении вычислительных процедур.

Литература

1. Грузман И.С., Микерин В.И., Спектор А.А. Двухэтапная фильтрация изображений на основе использования ограниченных данных.//Радиотехника и электроника. — 1995. — Вып. — 5. — С.817—822.

2. Вишневый С.В., Жук С.Я. Алгоритм объединения результатов одномерной оптимальной фильтрации при обработке изображений.//Вісник НТУУ "КШ" Серія - Радіотехніка. Радіоапаратобудування. — Вип. — 40. — С.55—60.

3. Жук С.Я. Методы оптимизации дискретных динамических систем со случайной структурой / Монография. К.: НТУУ «КПИ», 2008. — 232с.

Вишневий С.В., Жук С.Я. Об’єднання результатів одномірної оптимальної фільтрації при напівкаузальній та некаузальній обробці гаусовських однорідних зображень. Синтезовано лінійні алгоритми об’єднання результатів одномірної оптимальної фільтрації при напівкаузальній та некаузальній обробці гаусовських однорідних зображень. Розроблені алгоритми реалізуються в два етапи. На першому етапі виконується одномірна калманівська фільтрація спостережень гаусовського однорідного зображення вздовж кожної із координат, що приймаються до розгляду. На другому етапі виконується об’єднання оцінок, які розраховуються на першому етапі. Аналіз розроблених алгоритмів виконаний на модельному прикладі за допомогою статистичного моделювання на ЕОМ. Проведено порівняння розроблених алгоритмів з відомими алгоритмами. Приведені характеристики точності оцінок, які обчислюються за допомогою розроблених алгоритмів при напівкаузальній та некаузальній обробці гаусовських однорідних зображенень.

Ключові слова: напівкаузальна фільтрація зображень, некаузальна фільтрація зображень, об ’єднання оцінок, випадкове поле.

82

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№45

Пристрої та системи радіозв’язку, радіолокації, радіонавігації

Вишневый С.В., Жук С.Я. Объединение результатов одномерной оптимальной фильтрации при полукаузальной и некаузальной обработке гауссовских однородных изображений. Синтезированы линейные алгоритмы объединения результатов одномерной оптимальной фильтрации при полукаузальной и некаузальной обработке гауссовских однородных изображений. Разработанные алгоритмы реализуются в два этапа. На первом этапе выполняется одномерная калмановская фильтрация наблюдений вдоль каждой из рассматриваемых координат гауссовского однородного изображения. На втором этапе производится объединение оценок, рассчитанных на первом этапе. Анализ разработанных алгоритмов проведен на модельном примере с помощью статистического моделирования на ЭВМ. Проводится сравнение разработанных алгоритмов с известными алгоритмами. Приведены характеристики точности оценок, рассчитанные с помощью разработанных алгоритмов при полукаузальной и некаузальной обработке гауссовских однородных изображений.

Ключевые слова: полукаузальная фильтрация изображений, некаузальная фильтрация изображений, объединение оценок, случайное поле.

Vishnevyy S.V., Zhuk S.Ya. Uniting of one-dimensional optimal filtering outcomes for semicausal and noncausal processing of Gaussian uniform images. Linear algorithms of uniting of one-dimensional optimal filtering outcomes for semicausal and noncausal processing of Gaussian uniform images are synthesized. Designed algorithms are implemented in two stages. At the first stage the one-dimensional Kalman filtering of Gaussian uniform image observations along each of considered coordinates is executed. At the second stage uniting of computed at the first stage estimations is executed. Analysis of designed algorithms is done on the model example by means of statistical modeling on computer. Comparing of designed algorithm with known algorithms is carried out. Characteristics of accuracy of estimations computed by designed algorithms by means of semicausal and noncausal processing of Gaussian uniform images are shown.

Key words: semicausal filtering of images, noncausal filtering of images, uniting of estimations, random field.

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№45

83