УДК 517.9
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ решении ОДНОГО НЕКЛАССИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
А. C. Шипилов
ON STABILTY OF SOLUTIONS FOR A NONCLASSICAL EQUATIONS
A. S. Shipilov
Для уравнения Aut — utxx — vuxx-uxu доказано существование конечномерного неустойчивого и бесконечномерного устойчивого инвариантных многообразий.
Ключевые слова: уравнения соболевского типа, неустойчивое и устойчивое инвариантные многообразия
One proved the existence of finite dimensional stable manifold and infinite dimensional unstable manifold for the equation Aut
utxx — Vuxx u^x u.
Keywords: Sobolev type equations, unstable and stable invariant manifolds
Уравнение
A ut — utxx — vuxx — uxu (1)
является одномерным аналогом системы Осколкова, а также гибридом уравнений Бенджамина - Бона - Махони и Бюргерса. В [1] показано, что фазовое пространство задачи Дирихле
и(а,г) = п{Ъ,г) = 0, г € М (2)
для уравнения (1) есть объединение двух непересекающихся связных компонент. Результат получен в рамках общей теории полулинейных уравнений соболевского типа вида
Ы = Ми + N (и). (3)
В [2] теорема Адамара - Перрона о существовании устойчивого и неустойчивого многообразий в окрестности начала координат распространена на уравнение (3) при следующих условиях.
(А1) Оператор М(Ь,р)-ограничен, р € {0} и N (т.е. оператор М(Ь, ст)-ограничен, и то -устранимая особая точка (р = 0) либо полюс порядка р € N Ь-резольвенты оператора М. Терминология формализована в [3]).
(Л2) Ь-спектр оператора М аь(М) = ) и а1^(М) = 0, где ^(г)(М) = {^ € аь(М) :
Ие^ < 0 (Ие^ > 0)}.
(Л3) Оператор N € С30, N(0) =0, N = О, где Я и 3 - банаховы пространства, N' - производная Фреше оператора М в точке и € Я.
(Л4) Фазовым пространством уравнения (3) служит простое банахово многообразие. (Напомним [1], что банахово Сг-многообразие, г € N и {то}, называется простым, если любой его атлас эквивалентен атласу, содержащему единственную карту).
Цель настоящей работы - снять требование простоты многообразия в (А4), чтобы можно было доказать существование устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий задачи (1), (2).
116
Вестник ЮУрГУ, №37(170), 2009
1. Теорема Адамара — Перрона
Пусть Я и 3 - банаховы пространства; операторы Ь € £(Я; 30 (т.е. линеен и непрерывен), М € С1(Я; 3) (т.е. линеен, замкнут и плотно определен), N € С3). Пусть выполнены условия (А1), (А2), тогда [3, гл. 4 и гл. 5] существует расщепление фазового пространства Я1 уравнения Ьи = Ми в прямую сумму Я1 = Я5 ф Яи экспоненциально устойчивого и неустойчивого инвариантных пространств этого уравнения. Пусть выполнено следующее условие.
(А5) Фазовое пространство М уравнения (3) таково, что М Э 0, и существует окрестность Оо С М, С^-диффеоморфно проектирующаяся вдоль Я0 на окрестность С Я1.
Определение 1. Множество М5 = {и0 = О0 : ||Р,,и0|| < Е1, ||и(^, ио)Н < #2, * € М+} (М = {и0 € О : ||Р„и0| < ^1, |и(*,и0)| < Я2, * € М-}) такое, что
(1) С^-диффеоморфно замкнутому шару в с центром в начале координат
радиуса ;
(и) касается Я5(и) в начале координат;
(ш) при любом и0 € ||и(Ь,и0)|| ^ 0 при Ь ^ +то (Ь ^ —то)
называется устойчивым (неустойчивым) инвариантным многообразием уравнения (32).
Здесь через Р3(и) обозначен проектор вдоль Яи(5) ф Я0 на Я5(и); через и(Ь,щ) обозначено решение задачи Коши и(0) = ад для уравнения (3). Существование и единственность такого решения (квазистационарной траектории [4]) при Ь € (—т, т) следует из существования фазового пространства (условие (А5)). Заметим еще, что определение 1 имеет менее локальный характер, чем его прототип в [2].
Теорема 1. Пусть выполнены условия (А1) - (А3) и (А5). Тогда существуют устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия уравнения (3). Причем, если для некоторого и0 € О0 имеет место ||Ре(г)и0|| < Я1 и ||и(Ь,и0)|| < ^2 при Ь ^ +то или при Ь ^ —то, то и0 € М и Ши.
Внимательный анализ доказательства прототипа этой теоремы в [2] показывает, что без потери общности можно заменить (А4) условием (А5). По традиции, восходящей к В.И. Арнольду [5, гл. 3, § 4], утверждения о существовании устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий принято называть теоремами Адамара - Перрона. Заметим еще, что непустота устойчивого (неустойчивого) инвариантного многообразия находится в прямой зависимости от непустоты компоненты а^у^М) Ь-спектра оператора М, т.е. если а^(г)(М) = 0,
то Ме(г) = {0}. Поэтому формулировка теоремы содержит все возможные варианты.
2. Инвариантные многообразия
Следуя [1], редуцируем задачу (1), (2) к уравнению (3). Для этого пространства Я и 3 положим как в [1]; и формулами
ь
{Ьи, у) = J(ихух + Хиь) йх,
а
ь
{Ми, у) = —V ! ихУх йх,
а
ь
^(и), у) = — ^ ииху йх, и, V € Я
а
Об устойчивости решения одного неклассического уравнения
зададим операторы Ь, М, N : Я ^ Аналогично [1] нетрудно получить следующий результат.
Лемма 1.
(¡) При всех X, V € ^\{0} операторы Ь, М € £(Я; 3), причем оператор М (Ь, 0)-ограничен.
(п) Оператор N € С~ (Я; 3).
Итак, в силу (1) леммы 1 условие (А1) выполнено. Далее, поскольку ь
(N1^V, -ш) = — J(иу)х'т йх, то условие (А3) тоже выполнено. Теперь пусть {Х-} - собственные
а
ь
значения однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа (Ди, V) = — J uxvx йх на
а
интервале (а,Ь), занумерованные по убыванию, тогда Ь-спектр оператора М будет иметь следующий вид:
vXk
(Ть(М) = |^ = х—Х- : к € М\{1 : X = Хг} |.
Если взять V € К+ (что соответствует физическому смыслу), то при любых X € М\{0} только конечное множество (возможно, пустое) точек может оказаться в правой полуплоскости комплексной плоскости, а все остальные точки будут находиться в левой полуплоскости, накапливаясь к точке —V, причем аь(М) П {Ж} = 0. Значит, условие (А2) тоже выполнено. Для проверки условия (А5) построим фазовое пространство задачи (1), (2).
м = Г Я, X / {Х-},
М \ {и € Я : (Ми + N (и), щ) = 0, X = Х1}.
Здесь - нормированный в смысле Ь2(а,Ь) собственный вектор оператора Лапласа, соответствующий X*. Если X / {Х-}, то условие (А5) очевидно выполняется. Пусть X = X*, тогда, как показано в [1], фазовое пространство состоит из двух связных компонент, каждая из которых моделируется одним из полупространств Я- = {V € Я1 : (у, (^2)х) < 4Xv}, Я+ = {V € Я1 : (V, ($)) > 4Xv}. При любых V € М+, X € М\{0} одно из этих полупространств обязательно содержит окрестность нуля, куда диффеоморфно проектируется окрестность нуля одной из компонент фазового пространства. Таким образом, условие (А5) выполнено и при X = X*. Итак, доказана
Теорема 2. При любых X € М\{0}, V € К+ .задача (1), (2) имеет не более чем конечномерное неустойчивое и бесконечномерное устойчивое инвариантные многообразия.
Автор искренне признателен Г. А. Свиридюку за постановку задачи и полезные дискуссии.
Литература
1. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для одного неклассического уравнения / Г. А. Свиридюк, А. В. Анкудинов // Дифференц. уравнения. - 2003. - Т. 39, № 11. - С. 1556 - 1661.
2. Китаева, О. Г. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия уравнения Осколкова / О. Г. Китаева, Г. А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики: сб. тр. - Новосибирск, 2005. - С. 261 - 267.
118
Вестник ЮУрГУ, №37(170), 2009
3. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. - Utrecht - Boston - Koln - Tokyo: VSP, 2003.
4. Свиридюк, Г. А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк // Изв. Рос. Акад. наук, сер. матем. - 1993. - Т. 57, № 3. - C. 192 - 207.
5. Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд, Ю.С. Ильяшенко // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 1. - М., 1985. - С. 7 - 150.
Кафедра математического анализа, Южно-Уральский государственный университет shipilov@mail.ru
Поступила в 'редакцию 26 февраля 2009 г.