CC BY
7(19. б). Однако актуальными являются направления исследований в области формулировки операторов оптимизации в функциональных пространствах.
Список литературы
1. Козлов В.Н. Метод нелинейных операторов в автоматизированном проектировании динамических систем. - Л.: Издательство Ленинградского университета, 1986. - 166 с.
2. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Заборовский В.С. Вычислительные методы синтеза систем автоматического управления. - Л.: Издательство Ленинградского университета, 1989. - 224 с.
3. Козлов В.Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений. - СПб. Изд-во Политехн. ун-та, 2012. - 183 с.
4. Козлов В. Н. Проекционный метод синтеза ограниченных оптимальных управлений динамических систем энергетики. - СПб. : ПОЛИТЕХ-ПРЕСС, 2019. -170 с.
5. Козлов В.Н. К аналитическому решению систем линейных алгебраических неравенств // Автоматика и телемеханика. - 1989. - № 4. - С. 101-104.
6. Козлов В.Н. Операторы минимизации нормы на компактных множествах евклидова пространства // Научно-технические ведомости СПбПУ. - 2013. - № 3 (167).
7. Козлов В. Н. К устойчивости систем алгоритмического управления //Автоматика. - Киев, 1989. - № 4.
8. Козлов В.Н., Ефремов А.А. Введение в функциональный анализ. Издательская ассоциация вузов С-Петербурга. - СПб., 2018. - 90 с.
9. Али Р., Козлов В.Н. Введение в методы И2 — -теорий. - СПб.: Изд-во ЛПИ, 1989. - 85 с.
УДК 517.958:5
ёо1:10.18720/8РВРи/2М21-151
Фирсов Андрей Николаевич1,
д-р техн. наук, профессор
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
1 Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого,
anfirs@yandex.ru
Аннотация. В статье рассмотрены две задачи. Первая связана с исследованием качественных свойств решения задачи Коши для линеаризованного уравнения Боль-цмана в случае «жестких» потенциалов межмолекулярного взаимодействия (степенные потенциалы с показателем степени больше четырех). Показано, что если начальные условия обладают определенными свойствами, то установление равновесия происходит экспоненциально быстро. Вторая задача связана с построением точного ана-
литического решения (в виде степенного ряда по времени) решения задачи Коши для линеаризованного пространственно-однородного уравнения Больцмана. В основу доказательства сходимости упомянутого степенного ряда положено использование дискретного преобразования Лапласа и известные свойства оператора столкновений. Полученный результат позволяет строить явные аналитические приближения функции распределения, что может оказаться весьма полезным в прикладных задачах, связанных с исследованиями течений разреженного газа.
Ключевые слова: решение задачи Коши, линеаризованное уравнение Больцма-на, точное аналитическое решение, доказательство сходимости, аналитические приближения, функция распределения.
Andrey N. Firsov, Professor, Doctor of Technchnic Sciences
ON THE STABILITY OF SOLUTIONS OF THE LINEARIZED
BOLTZMANN EQUATION
Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, Russia, anfirs@yandex.ru
Abstract. In the first part of the paper it is shown, that in the case of specific initial conditions, solutions of the Cauchy problem for linearized Boltzmann equation have exponential damping when time tends to infinity. In the second part of the paper exact analytic solution of spatially homogeneous linearized Boltzmann equation is built by the use of discrete Laplace transform. The result may be useful in research tasks inside the area of applied rarefied gas dynamics.
Keywords: Cauchy problem solution, linearized Boltzmann equation, exact analytical solution, proving convergence, analytical approximations, distribution function.
Введение
Уравнение Больцмана хорошо известно как основное уравнение кинетической теории разреженных газов. Уже Л. Больцман понимал роль этого уравнения для обоснования макроскопических моделей аэродинамики. В 1916 - 1917 гг. Д. Энског и С. Чепмен независимо предложили формально-математический вывод макроскопических уравнений аэродинамики из уравнения Больцмана, включая естественный вывод макроскопических соотношений для коэффициентов вязкости, теплопроводности и диффузии (так наз. метод Чепмена-Энскога, считающийся сейчас классическим).
С другой стороны, исследование уравнения Больцмана как математического объекта (теория существования и единственности решений, анализ качественных свойств решений, корректность постановки различных задач для этого уравнения и т. п.) получило заметное развитие лишь во второй половине ХХ века. Причиной этому послужили, как нам представляется, в основном два обстоятельства.
Во-первых, реальная необходимость приоритетного использования кинетического подхода при рассмотрении практических задач аэродинамики возникла с развитием ракетной и космической техники и высотной авиации, вакуумной техники и т. п. При достаточно большой степени разрежения газа (когда средняя длина свободного пробега молекулы становится сравнимой с размерами движущегося в газе тела, что для земной атмосферы соответствует высотам более 100 км.), классическая аэродинамика должна быть заменена кинетической теорией газов. В основе этой теории, как уже было отмечено, лежит уравнение Больцмана. Таким образом, при решении практических инженерных задач, связанных с движением тел в высотных слоях атмосферы, появилась необходимость развития адекватных приближенных, в частности, численных методов решения уравнения Больцмана. Но для надежного использования тех или иных приближенных методов необходимо их строгое обоснование, которого нельзя получить без математически точных результатов о существовании и свойствах решений этого уравнения.
Во-вторых, математический аппарат, который оказался подходящим для строгого анализа уравнения Больцмана, был в достаточной степени развит лишь во второй половине прошлого века. Речь идет, в первую очередь, о методах функционального анализа, относящихся, в частности, к теории неограниченных операторов в банаховых пространствах, теории однопараметрических полугрупп операторов, теории обобщенных функций. При этом, многие математические задачи, связанные с уравнением Больцмана, оказываются не по зубам даже продвинутым методам функционального анализа.
Можно констатировать, что, несмотря на серьезные успехи, достигнутые трудами не слишком многочисленных зарубежных (Т. Карлеман, Г. Грэд, К. Черчиньяни, С. Укаи и др.) и отечественных (А. А. Арсеньев, Н. Б. Маслова, А. В. Бобылев, А. Н. Фирсов и др.) исследователей, математическая теория уравнения Больцмана еще далека от сколько-нибудь завершенного вида.
С этой точки зрения, даже частные результаты, относящиеся к математической теории уравнения Больцмана, могут оказаться весьма познавательными и практически полезными.
Настоящая работа посвящена двум математическим задачам, относящимся к уравнению Больцмана. Первая касается асимптотических свойств решений линеаризованного уравнения Больцмана на бесконечном промежутке времени, вторая — алгоритму построения точного решения пространственно-однородного уравнения Больцмана.
1. Экспоненциальная устойчивость решений задачи Коши для линеаризованного уравнения Больцмана
Рассмотрим задачу Коши для линеаризованного уравнения Больцмана кинетической теории газов [1, 2]:
/ + и= 1 [/], X > 0, 1 [/] = К\f\-vf,
(1)
/ = /(х,и,X), х е R3, и е R3, X > 0,
Д ^0 = /о( х, и) (2)
Здесь / (х, и, X) — линеаризованная функция распределения молекул по координатам х и скоростям и в момент времени X. К [/] — линейный ограниченный оператор, действующий на / как функцию и; V = у(и) = 0(ипри и ^ю, 0<Р< 1, и = и . Свойства функции v(u) зависят от конкретной модели межмолекулярного взаимодействия, принимаемой при выводе кинетических уравнений. Подробности см. в [1, 2].
Известно [3а,б], что решение задачи (1), (2) — в случае «жестких» потенциалов межмолекулярного взаимодействия и ~ г-к, к > 4 —
имеет при X ^ю в общем случае степенную асимптотику вида
( 1 ^ О - , ¡и> 0.
11+ хц) _
Этот результат получается в предположении, что /(х, и, X) при
х
х
ю ведет себя как функция из Ьр ), р > 1. Оказывается, что если на поведение / (х, и, X) при х ^ю наложить более жесткие требования, например, потребовать, чтобы / (х, и, X) удовлетворяла по х (и равномерно по и, X) условию
/(х,и,X) = О|ехр(-а|х| , |х| ^ю, а> 0, е> 0, (3)
то установление равновесия (т. е. стремление функции / к нулю при X ^го) происходит экспоненциально быстро.
Идея доказательства состоит в следующем (ниже используются обозначения из [7, 8]). Будем искать /(х, и, X) в классе функций таких, что
при почти всех и е R и всех X > 0 /(х,и,X) е Ех, т.е. функцию / можно представить в виде (см. [7, 8])
ю
/ (х, и, X) = ХЕс(<? >(*, X)S{q}(х). (4)
г=0 | ^=г
Подставляя это выражение в (1) и учитывая теорему 3.1 и формулу (3.3) из [8], получим для коэффициентов С9 ^ (и, г) бесконечную «зацепляющуюся» систему уравнений:
дс (°)
= Ь[с(0)], (5)1
дг
дс(9)
дг
Ь[с(9)] - [ис(^ + и2с(9 + и3с(9-/3)], \д\ * 0, (5)2
где через /1, /2, /3 обозначены мультииндексы (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1) соответственно.
Уравнения (5)2 представляют собой неоднородные уравнения вида
дс (9)
^ = 1[с(9)] - ^(и,г), \ч\ * 0,
где gq (и, г) — известная функция (на каждом шаге - своя). Таким образом, свойства функций с(9\и, г) зависят от свойств оператора Ь. Последние достаточно полно изучены [1-6]. В частности, оператор Ь на подпространстве функций м?(и, г), ортогональных в смысле Ь2(К^) подпространству аддитивных инвариантов (что, по существу, эквивалентно выполнению классических законов сохранения для массы газа), порождает полугруппу Т(г), г > 0 ограниченных операторов [9], дающую решение
абстрактной задачи Коши для уравнения (5)1; при этом оказывается ||Т (г )|| < свтг • , ¡л> 0. Методом, аналогичным использованному в [3, 4], по индукции получаем для решений уравнений (5)2 оценку вида (норма понимается в смысле Ь2(К^)): с(9)(г) < сотг • в~п, у > 0, где сотг
зависит от начальной функции распределения /0( х, и) и параметров оператора Ь. Последняя оценка, с учетом теоремы 1.8 из [7], позволяет сделать заключение об экспоненциально быстром (по времени) установлении равновесия в системе, описываемой задачей (1)-(2).
2. Точное аналитическое решение пространственно-однородного линеаризованного уравнения Больцмана
Рассмотрим задачу Коши для пространственно-однородного линеаризованного уравнения Больцмана в случае «жестких» потенциалов
межмолекулярного взаимодействия V ~ г-к, к > 4 (обозначения и терминология здесь и далее см., например, в [1, 2]):
/ = Ь[/], г>0, Ь[/] = к[/]-у/, (6)
/ = /(и, г), и е К3, г > 0,
/ (и ,0) = /0( и). (7)
Здесь /(и, г) — линеаризованная функция распределения молекул по скоростям и в момент времени г. К [/] — линейный ограниченный оператор, действующий на / как функцию и ; у = у(и) = 0(ир) при и ^го, 0 < р < 1, и = и . Свойства функции У (и) зависят от конкретной
модели межмолекулярного взаимодействия, принимаемой при выводе кинетических уравнений. Подробности см. в [1, 2]. Требования «жесткости» потенциалов определяют свойства оператора К [ / ] и функции У (и). Эта
задача достаточно хорошо изучена с математической точки зрения в отношении вопросов корректности и качественных свойств решений задачи (6)-(7) (см., например, [1, 2, 10, 11]).
Однако, важным не только с теоретической, но и с практической точки зрения, остается вопрос построения (хотя бы в частных случаях) точных аналитических решений этого уравнения. Это связано, в частности, с тем, что общие теоремы существования и единственности для уравнения Больцмана, ввиду его сложности, дают результаты, мало приспособленные к задачам построения его решений (даже приближенных). Достаточно полный обзор этих результатов можно найти в [12-14] (со времени написания этих обзоров в отношении интересующих нас вопросов мало что изменилось). Численные методы решения уравнения Боль-цмана основаны, как правило, на методах статистического моделирования, и далеко не всегда строго обоснованы [15, 16]. С другой стороны, наличие в запасе точных аналитических решений даже частных задач может быть полезным для анализа математических моделей более общих процессов. Настоящая заметка как раз и посвящена этому, последнему, вопросу — построению точного аналитического решения задачи (6) - (7) Введем обозначение
д к/
Фк =Фк (и ) =
дгк
к
г=0
Будем искать решение в виде
к = 0,1,2,..., ) = /,(и)
/ (и, г) = ^{<Рк/к\)гк. (8)
к = 0
Ясно, что если ряд (8) абсолютно и равномерно (относительно
> з
и е К ) сходится, то мы, тем самым, получаем аналитическое по г решение задачи (6) - (7). Докажем сходимость ряда (8). Перейдем в (6) к рк и, затем, к дискретному преобразованию Лапласа [17, гл. 8]:
рк+1 = К[рк ] -урк;
Ф*(д, и) = £ ефук (и), Re q > 0.
k = 0
Для Ф (q, U) получаем, следовательно, уравнение
Ф*<K [Ф"])+% = Aq [Ф"].
Легко понять, что при достаточно больших Re q оператор Aq будет сжимающим (в любом и - пространстве, в котором оператор K ограничен). Отсюда следует ограниченность Ф * по q. Но тогда существует обратное преобразование
1 s +in
<Рк=^— I Ф*^,и)eqkdq,
s —in
откуда следует, что
Wk (и )| <pe^,
где p и ^ — постоянные. Отсюда немедленно получаем абсолютную и равномерную (по и) сходимость ряда (8), что и требовалось. Небезынтересным является, на наш взгляд, и отмеченный выше факт аналитичности решения по времени.
Список литературы
1. Гред Г. Асимптотическая теория уравнения Больцмана. II // Некоторые вопросы кинетической теории газов. - М.: Мир, 1965. - С. 93-128.
2. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. - М.: Мир, 1978. -480 с.
за. Маслова Н.Б., Фирсов А.Н. Решение задачи Коши для уравнения Больцмана.
I // Вестн. Ленингр. ун-та. - 1975. - № 19. - С. 83-88.
зб. Маслова Н.Б., Фирсов А.Н. Решение задачи Коши для уравнения Больцмана.
II // Вестн. Ленингр. ун-та. - 1976. - № 1. - С. 97 - 103.
4. Фирсов А. Н. Решение задачи Коши для нелинейного уравнения Больцмана // Аэродинамика разреженных газов. Вып. 8. - Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1976. - С. 22-37.
5. Маслова Н.Б. Математические методы исследования уравнения Больцмана // Алгебра и анализ. - Т. 3, вып. 1. - Л., 1991. - С. 3-56.
6. Maslova N.B. Nonlinear evolution equations. Kinetic approach. // Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences. - Vol. 10. - World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1993. - x+193 p.
7. Фирсов А.Н. Моментное представление быстро убывающих функций и его приложения // «Высокие интеллектуальные технологии и инновации в образовании и науке»: Материалы XVII Междунар. науч.-метод. конф. 11-12 февраля 2010 г. Пленарные доклады. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. - С. 114-124.
8. Фирсов А.Н. Метод моментов в теории обобщенных функций и его приложения в задачах системного анализа и управления. Основы теории // НТВ СПб ГПУ, сер. «Информатика, телекоммуникации, управление». - 2010. - Вып. 6. - С. 74-81.
9. Хилле Э., Филипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. - М.: ИЛ, 1962. - 830 с.
10. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973. - 247 с.
11. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. - М.: ИЛ, 1960. - 124 с.
12. Фирсов А.Н. Исследование решений уравнения Больцмана, близких к равновесным : дисс. ... канд. физ.-мат. наук : 01.02.05 : защищена 18.12.1975 : утв. 21.04.1976 / Фирсов Андрей Николаевич. - Л.: ЛГУ, 1975. - 129 с.
13. Maslova N.B. Nonlinear evolution equations. Kinetic approach. // Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences. . - Vol. 10. - Singapore: World Scientific Publishing Co., 1993. - 193 p.
14. Маслова Н. Б. Математические методы исследования уравнения Больцмана // Алгебра и анализ. . - Т. 3, вып. 1. - Л., 1991. - С. 3-56.
15. Вычислительные методы в динамике разреженных газов. Сборник статей под ред. В.П. Шидловского. - М.: Мир, 1969. - 277 c.
16. Muntz ER. Rarefied gas dynamics // Ann. Rev. Fluid Mech. - 1989. - Vol. 21. -Pp. 387-417.
17. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. - М.: Наука, 1971. - 288 с.
УДК 303.732.4
doi:10.18720/SPBPU/2/id21-152
Малыхина Галина Фёдоровна 1,
профессор, д-р техн. наук, профессор; Семенютин Владимир Борисович 2, профессор, д-р техн. наук; Мухидинова Наргис Шухратовна 3,
магистр, аспирант
ФУРЬЕ И ВЕЙВЛЕТ АНАЛИЗ В МЕДИЦИНСКОЙ СИСТЕМЕ КОНТРОЛЯ АУТОРЕГУЛЯЦИИ МОЗГОВОГО
КРОВООБРАЩЕНИЯ
1 3
' Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 1 g_f_malychina@mail.ru; Россия, Санкт-Петербург, Национальный медицинский исследовательский центр им. В. А. Алмазова
Аннотация. В исследовании выполнен анализ результатов интеллектуальной обработки сигналов системного артериального давления и скорости кровотока и в средней мозговой артерии головного мозга в диапазоне волн Майера. Анализ использует вычисление кросс-когерентности и угла сдвига фаз между сигналами. Для вычисления показателей кросс-когерентности и фазового сдвига разработаны алгоритмы, основанные на дискретном преобразовании Фурье и на непрерывном вейвлет-преобразовании дискретного сигнала с использованием вейвлет-функций Морле. Выполнено сопоставление этих двух подходов.
